河北省2023届高三模拟（四）数学试题（含解析）

河北省2023届高三模拟（四）数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，，若．则实数的最大值为（    ）

A． B．3 C． D．1

2．设复数满足，若为纯虚数．则（    ）

A． B． C． D．

3．已知，则的值为（    ）

A． B． C． D．

4．山东烟台某地种植的苹果按果径（单位：）的大小分级，其中的苹果为特级，且该地种植的苹果果径．若在某一次采摘中，该地果农采摘了2万个苹果，则其中特级苹果的个数约为（    ）（参考数据：，．，）

A．3000 B．13654 C．16800 D．19946

5．数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列．其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列、如数列2，4，7，11，16，从第二项起，每一项与前一项的差组成新数列2，3，4，5，新数列2，3，4，5为等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列，现有二阶等差数列，其前七项分别为2，2，3，5，8，12，17．则该数列的第20项为（    ）

A．173 B．171 C．155 D．151

6．已知椭圆的左、右焦点分别为，，A为左顶点，B为短轴的一个端点，若，，构成等比数列，则圆C的离心率为（　　）

A． B．

C． D．

7．已知点在棱长为的正方体的外接球的球面上，当的面积最大时，过，，三点的平面截正方体各面所得截线的长度之和的值为（    ）

A． B．

C． D．

8．已知抛物线的焦点为F，圆，过点F的直线与圆M交于C，D两点，交抛物线E于A，B两点，点A，C位于轴上方，则满足的直线的方程为（　　）

A．

B．

C．或

D．或或

二、多选题

9．下列结论错误的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

10．已知．则（    ）

A． B．

C． D．

11．已知函数，若，且直线与函数的交点之间的最短距离为，则（    ）

A．的最小正周期为

B．在上单调递减

C．的图象关于直线对称

D．的图象向右平移个单位长度后得到的函数为偶函数

12．已知函数，，则（    ）

A．当没有零点时，实数的取值范围为

B．当恰有1个零点时，实数的取值范围为

C．当恰有2个零点时，实数的取值范围为

D．当恰有3个零点时，实数的取值范围为

三、填空题

13．2022年8月16日，航天员的出舱主通道——问天实验舱气闸舱首次亮相．某高中为了解学生对这一新闻的关注度，利用分层抽样的方法从高中三个年级中抽取了36人进行问卷调查，其中高一年级抽取了15人，高二年级抽取了12人，且高三年级共有学生900人，则该高中的学生总数为_________人．

14．已知函数，若，则实数的取值范围为_________．

15．如图，在边长为2的正方形中．以为圆心，1为半径的圆分别交，于点，．当点在劣弧上运动时，的最小值为_________．

四、双空题

16．中国有悠久的建筑文化，鲁班锁就是其中一种，鲁班锁的形状种类很多，其结构起源于中国古代建筑的榫卯结构，利用了其拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，一般都是易拆难装．现有如图（1）的鲁班锁，其各个面是由正三角形与正八边形构成的，图（2）是该鲁班锁的直观图，则该鲁班锁的各个面中为正三角形的面有________个，若该鲁班锁每条棱的长均为1，则该鲁班锁表面中为正八边形的面的面积之和为________．

五、解答题

17．在正项数列中，，．

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前项和．

18．已知的内角，，所对的边分别为，，，若_________．在以下两个条件中任选一个：①；②，并解答下列问题．

(1)求角；

(2)若的外接圆半径为．求面积的最大值．

注：如果选择多个条件分别解答．则按第一个解答计分．

19．如图，在正三棱台中，，正三棱台的体积为．

(1)求侧棱的长；

(2)求直线与平面所成角的正弦值．

20．2022世界机器人大会在北京召开，来自各个领域的参展机器人给参观者带来了不同的高科技体验．现有A，B两种型号的小型家庭生活废品处理机器人，其工作程序依次分为三个步骤：分捡，归类，处理，每个步骤完成后进入下一步骤．若分捡步骤完成并且效能达到95%及以上，则该步骤得分为20分，若归类步骤完成并且效能达到95%及以上，则该步骤得分为30分，若处理步骤完成并且效能达到95%及以上，则该步骤得分为50分．若各步骤完成但效能没有达到95%，则该步骤得分为0分，在第三个步骤完成后，机器人停止工作．现已知A款机器人完成各步骤且效能达到95%及以上的概率依次为，，，B款机器人完成各步骤且效能达到95%及以上的概率均为，每款机器人完成每个步骤且效能是否达到95%及以上都相互独立．

(1)求B款机器人只有一个步骤的效能达到95%及以上的概率；

(2)若准备在A，B两种型号的小型家庭生活废品处理机器人中选择一款机器人，从最后总得分的期望角度来分析，你会选择哪一种型号？

21．已知点在双曲线上，且的离心率为，直线交的左支于，两点，直线，的斜率之和为0．

(1)求直线的斜率；

(2)若，直线，与轴的交点分别为，，求的面积．

22．已知函数．

(1)当时，证明：恒成立；

(2)当时，证明：．

参考答案：

1．C

【分析】先化简集合A，再利用题给条件得到关于实数的不等式，进而得到实数的最大值.

【详解】或，

又或，

则，则实数的最大值为

故选：C

2．B

【分析】先根据复数的除法运算化简，再根据纯虚数的定义求出，即可得解.

【详解】由，

得，

因为为纯虚数，

所以，解得，

所以.

故选：B.

3．D

【分析】利用两角和正切公式得，再利用二倍角公式化简，根据同角三角函数的基本关系将弦化切，代入计算可得.

【详解】因为，所以，

则

.

故选：D

4．C

【分析】先根据原则求出的概率，再乘以即可得解.

【详解】由，得，

，

，

所以，

所以特级苹果的个数约为个.

故选：C.

5．A

【分析】根据题意得到的通项公式即可得到答案.

【详解】根据题意得新数列为，则二阶等差数列 的通项公式为，则

故选：A.

6．D

【分析】由等比数列性质得出关于的齐次方程，变形后可求得离心率．

【详解】由题可知，因为，，构成等比数列，

所以，即，即，

所以，解得或（舍）．

故选：D．

7．A

【分析】设底面正方形的中心为，由球的截面性质结合条件确定截面的位置，由此确定平面，再求正方体被该平面截得的截线的长度.

【详解】设底面正方形的中心为，

因为，则当点到的距离最大时，的面积最大，

当点P，O，三点共线时，点到的距离最大，

则当的面积最大时，点P，O，三点共线，

因为平面，

所以平面，

此时平面截正方体的截面即为矩形，

所以．

故选：A．

8．B

【分析】易知直线的斜率不为0，设直线的方程为，设，，，，直线方程分别联立抛物线方程和圆的方程，利用韦达定理可得、，结合即列方程，解之即可.

【详解】由题可知，当直线的斜率为0时，不适合题意；

当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，

由，得，则，

设，，，

则，，所以．

由，得，

设，，，则，

因为，所以，

若，则，此时，则直线为，符合题意；

若，则，所以，此方程无解．

综上所述，直线的方程为2．

故选：B．

9．ABD

【分析】根据不等式的性质即可判断AC；利用反例即可判断B；根据对数函数的单调性解不等式即可判断D.

【详解】对于A，若，则，满足，

故由，不一定能得到，故A错误；

对于B，若，，则满足，但，故B错误；

对于C，若，由不等式可得，故C正确；

对于D，若，则，解得，故D错误.

故选：ABD.

10．AD

【分析】A选项令求解判断；B选项利用的展开式的通项公式求解判断；CD选项利用赋值法令，求解判断.

【详解】解：由，令得，故A正确；

由的展开式的通项公式，得，故B错误；

令，得①，再由，得，故C错误；

令，得②，①②再除以2得，故D正确；

故选：AD

11．AB

【分析】根据正弦函数的图象和性质逐项进行检验即可求解.

【详解】由题知直线与函数的交点之间的最短距离为，所以，故A正确；

由A可知，，所以，

又由可知的图象关于点对称，

所以，即，，

又因为，所以当时，，所以，

时，，，故B正确；

因为，故C错误；

函数的图象向右平移个单位长度后得到的函数

为奇函数，故D错误．

故选：AB．

12．CD

【分析】利用导数研究函数的性质，得到函数的图象，设，，将的零点问题，转化为的实根个数问题，分类讨论，结合的图象得的实根个数可得答案.

【详解】由，得，

当时，；当时，，

在上为减函数，在上为增函数，

，，时，，时，，

的图象如图：

令，，则，令，得，得或，

当时，，，此时，即必有零点，故A错误；

当时，有唯一实根，由的图象可知，恰有一个实根，此时有唯一实根；

当时，因为，，则无实根，故有唯一实根；

当时，，由的图象可知，只有一个实根，此时恰有2个零点，为和，

当时，由得，由的图象可知，恰有一个正根，此时恰有2个零点，

当时，方程有唯一实根，设为，则，由的图象可知，有两个非零实根，此时恰有3个零点，

综上所述：当恰有1个零点时，实数的取值范围为，故B错误；

当恰有2个零点时，实数的取值范围为，故C正确；

当恰有3个零点时，实数的取值范围为，故D正确.

故选：CD

【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

13．

【分析】根据题意求得每个学生抽到的概率，结合分层抽样列出方程，即可求解.

【详解】利用分层抽样的方法从三个年级中抽取了36人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了15人,12人，可得高三年级抽取了9人，

又由高三年级共有900名学生，则每个学生被抽到的概率为，

设该校共有名学生，可得，解得（人），

即该校共有名学生.

故答案为：.

14．

【分析】令，易得函数为奇函数，且为增函数，则不等式，即为，再根据函数的单调性解不等式即可.

【详解】令，

因为，所以函数为奇函数，

由函数都是增函数，可得为增函数，

，

则不等式，

即为，即，

即，

所以，解得，

所以实数的取值范围为.

故答案为：.

15．/

【分析】以点为坐标原点建立平面直角坐标系，设，利用平面向量数量积的坐标表示结合三角函数的性质即可得解.

【详解】如图，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，

则，设，

则，

则，

由，得，

所以当，即时，取得最小值.

故答案为：.

16．     8；     .

【分析】（1）观察直观图可知各个面中为正三角形的面的个数；（2）画出正八边形的平面图，利用割补法求出每个正八边形的面积即得解.

【详解】从图（2）的直观图中可知，各个面中为正三角形的面共有8个．

由直观图可知表面为正八边形的面有6个，如图为正八边形的平面图，

易得，分别过点，作，，垂足分别为M，N，则，

则每个正八边形的面积为，

所以该鲁班锁表面的所有正八边形的面的面积之和为.

故答案为：8；.

17．(1)

(2)

【分析】（1）由题意因式分解可得，即，再根据等比数列的通项即可得解；

（2）分和两种情况去绝对值符号，再根据等比数列的前项和公式即可得解.

【详解】（1）由，

得，

因为，所以，

又，则，

所以数列是以为首项，为公比的等比数列，

所以；

（2），

当时，，

当时，

，

综上所述，.

18．(1)

(2)

【分析】（1）若选①利用正弦定理和余弦定理即可求解；若选②利用正弦定理将边化角即可求解；

（2）结合（1）结论，利用正弦定理求出，再由余弦定理和基本不等式得到，再利用三角形面积公式即可求解.

【详解】（1）若选①：因为，

所以由正弦定理得，

即，

又由余弦定理得，所以，

又因为，所以．

选②：由得，

则由正弦定理得，

因为A，，所以，所以，

所以．

（2）由（1）可知，又正弦定理可得，

解得，

则由余弦定理得

，当且仅当时取等号，

又，所以，

所以，

所以面积的最大值为．

19．(1)

(2)

【分析】（1）由三棱台体积公式可求出正三棱台的高，即可利用勾股定理求出侧棱长；

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦即可.

【详解】（1）由题知，，且为正三角形，

所以，，

设正三棱台的高为，

则

，

解得，

设正三棱台的上、下底面的中心分别为，连接，

则，，

所以，

即侧棱长为.

（2）延长CO交AB于点E，则E为AB的中点，所以OE⊥AB,

过点O作OF//AB交BC于点F，则OE⊥OF，连接，则OE，OF，两两垂直.

所以以为坐标原点，分别以OE, OF, 所在直线为x，y, z轴建立空间直角坐标系，如图，

则,,,,，

，所以,,

设平面BCC1B1的法向量为，

则 ，令，则，

所以，

设直线AA1与平面BCC1B1所成角为，

则，

即直线与平面所成角的正弦值为.

20．(1)；

(2)应该选择种型号的机器人．

【分析】（1）记“B款机器人只有一个步骤的效能达到及以上”为事件，利用独立重复性试验的概率公式求解；

（2）设款机器人完成所有工作总得分为，求出；设款机器人完成所有工作总得分为，求出,比较和即得解.

【详解】（1）记“B款机器人只有一个步骤的效能达到及以上”为事件，

则．

（2）设款机器人完成所有工作总得分为，

则的可能取值为，

所以，

，

，

，

，

，

，

所以的分布列为：

则．

设款机器人完成所有工作总得分为，

则的可能取值为，

所以，

，

所以的分布列为：

则

因为，

所以，

所以从最后总得分的期望角度来分析，应该选择种型号的机器人．

21．(1)

(2)

【分析】（1）由题意列出关于的方程组，求出椭圆方程，设直线的方程为，联立方程，利用韦达定理求出，再根据直线，的斜率之和为0，化简整理即可得出答案;

（2）由直线AP，AQ的斜率之和为0，得它们的倾斜角互补，从而由已知正切值求得两直线斜率，得直线方程，从而求得两点的坐标，然后可计算出三角形面积．

【详解】（1）由题意得，解得，

所以双曲线的方程为，

由题意直线的斜率存在，设其方程为，

联立，得，

则，则，

，

由，

得，即，

即，

整理得，

则，

整理得，

即，

因为直线不过点，所以，即，

所以，所以，

即直线的斜率为；

（2）不妨设直线AP，AQ的倾斜角分别为，，

因为，

所以，则，故，

因为，

所以，

即，解得或（舍），

所以直线，

直线．

在直线中，令，得，

所以，

同理得，

所以，

所以的面积为．

【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：

（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．

22．(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）分两种情况和求出函数最值证明不等式；

（2）构造函数证明，结合对数运算及裂项相消证明不等式

【详解】（1）函数时,,单调递减，

当,单调递减，

,

令,,单调递增，

,恒成立，

当,

所以时， 恒成立；

（2）,,单调递减，

,恒成立

,l,,

令,可得

令,可得

令,可得

两边相加可得