江西省重点中学协作体2023届高三第二次联考数学（文）试题（含解析）

这是一份江西省重点中学协作体2023届高三第二次联考数学（文）试题（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
江西省重点中学协作体2023届高三第二次联考数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．若集合，，则（    ）A． B． C． D．2．已知为虚部单位，复数为纯虚数，则的虚部为（    ）A． B． C． D．3．有道是：“上饶是个好地方，三清水秀好风光．”现有甲、乙两位游客慕名来到上饶旅游，分别准备从三清山、婺源、葛仙山三个著名景点中随机选一个景点游玩，则甲、乙至少一人选择三清山的概率是（    ）A． B． C． D．4．已知为单位向量，且，则与的夹角为（    ）A． B． C． D．5．已知等比数列的前4项和为，，则（    ）A． B． C．1 D．26．设，，则“”是“，”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．已知函数，，若对任意的，存在，使，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．8．已知椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上异于长轴端点的动点，，分别为的重心和内心，则（    ）A． B． C．2 D．9．已知实数满足，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．10．已知三棱锥满足，．则其外接球的体积为（    ）A． B． C． D．11．函数在区间上的零点设为…，，则（    ）A．6 B．18 C．12 D．1612．已知，，，则，，的大小关系为（    ）A． B． C． D． 二、填空题13．已知过原点的直线与曲线相切，则该直线的方程是______．14．已知，则______．15．已知的内角、、所对的边分别为、、，若，点在线段上，若，且，则的最小值是______．16．曲线且过定点，点在椭圆上，设椭圆的左右焦点为，若，则该椭圆的离心率取值范围是______． 三、解答题17．上饶某中学为了解该校高三年级学生数学学习情况，对一模考试数学成绩进行分析，从中抽取了50 名学生的成绩作为样本进行统计（若该校全体学生的成绩均在分），按照，，，，，，，的分组做出频率分布直方图如图所示，若用分层抽样从分数在内抽取8人，则抽得分数在的人数为3人．(1)求频率分布直方图中的，的值；并估计本次考试成绩的平均数（以每一组的中间值为估算值）；(2)该高三数学组准备选取数学成绩在前的学生进行培优指导，若小明此次数学分数是132，请你估算他能被选取吗？18．已知数列满足，．(1)令，证明：数列为等比数列；(2)求数列的前项和．19．如图，在四棱雉中，底面是菱形，平面，平面平面．(1)证明：四边形是正方形；(2)若，为上一点，且满足，求三棱锥的体积．20．已知函数．(1)求的单调区间；(2)若对于任意的，恒成立，求实数的最小值．21．已知抛物线：，为坐标原点，过作一条直线，与抛物线相交于，两点，若线段的最小值是2．(1)求抛物线的方程；(2)当直线与轴垂直时，设、是抛物线上异于、两点的两个不同的点，直线、相交于点，直线、相交于点，证明：直线恒过定点．22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；(2)设点，若直线与曲线相交于，两点，求的值．23．已知函数的最小值是．(1)求的值；(2)已知，，且，证明：．
参考答案：1．A【分析】根据集合的并集运算，即可求解.【详解】由，得，故．故选:A．2．D【分析】根据复数除法运算法则化简，结合纯虚数定义可构造方程求得；由共轭复数和虚部的定义可得结果.【详解】为纯虚数，，解得：，，，则的虚部为.故选：D.3．D【分析】由古典概型列举可选择的情况计算即可.【详解】由题意可知列举可知，甲乙游玩的可能选择是：（三清山，三清山）（三清山，婺源）、（三清山，葛仙山）、（婺源，三清山）、（婺源，婺源）、（婺源，葛仙山）、（葛仙山，三清山）、（葛仙山，婺源）、（葛仙山，葛仙山）共有9种．满足题意的有5种，即甲、乙至少一人选择三清山的概率是.故选：D．4．C【分析】由，根据向量数量积定义和运算律可求得夹角，即为的夹角.【详解】，，又与同向，，，.故选：C.5．A【分析】设等比数列的公比为，讨论不成立，时，由等比数列的通项公式和前项和公式列方程求解即可得出答案.【详解】设等比数列的公比为，若，则，与题意矛盾；所以，则，解得，所以．故选：A．6．B【分析】由可得或，再由充分条件和必要条件的定义求解即可.【详解】由可知，或，，所以“”是“，”的必要不充分条件．故选：B．7．B【分析】求出二次函数在上的值域为，分、、两种情况讨论，求出函数在上的值域，由题意可得出，当时，直接验证即可，在、两种情况下，可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围.【详解】函数，当时，，则，则，函数在的值域记为，对任意的，存在，使，则，①当时，，则，则；②当时，因为，则，则，所以，，解得；③当时，因为，则，即，所以，，解得.综上所述，实数的取值范围是.故选：B.8．D【分析】根据题意，由椭圆的定义，结合平面向量数量积的运算，即可得到结果.【详解】由椭圆可得，，如图，设的内切圆与三边分别相切与，，，，分别为的重心和内心．则，，，所以，所以故选：D9．C【分析】分类讨论可得方程所表示的曲线，将问题转化为直线与曲线有公共点，采用数形结合的方式可求得结果.【详解】当，时，方程为，是双曲线在第一象限的部分；当，时，方程为，不能表示任何曲线；当，时，方程为，是双曲线在第三象限的部分；当，时，方程为，是圆在第四象限的部分；其图象大致如图所示：令，则直线与曲线有公共点，表示的曲线如图，则当表示部分双曲线时，该曲线的渐近线斜率，和直线平行，；把直线往下移，直到如图与第四象限的圆相切，此时圆心到直线的距离等于半径，，解得：，又是与第四象限圆相切，；若直线继续下移，则无交点，不合题意；综上所述：，即的取值范围为.故选：C.10．C【分析】利用正弦定理求得外接圆半径，根据三棱锥图像，分别表示出，，然后利用勾股定理，解得，进而利用球体的体积公式即可得出答案.【详解】在中，，，根据三角形的外接圆半径公式，可得的外接圆半径，如图所示．设点在平面内的投影的为，则，在中，因为，解得，设三棱锥的外接球半径，即，，在中，由勾股定理得，即，解得，故三棱锥的外接球半径，根据球体的体积公式.故选：C11．B【分析】化简可得，令可得，易得与均关于点对称，再根据对称性结合函数图象即可得解.【详解】由得，即，∵与均关于点对称，由图可知，两函数有个交点，不妨设为，根据对称性得，故函数在上所有零点之和为．故选B．12．A【分析】构造函数与，根据函数的单调性比较大小.【详解】由题意可得：∵，利用三角函数线可得当时，，∴构造函数∴，，即，令∴在上单调递增，即，∴，∴，∴．故选：A．13．【分析】根据题意，设出切点，然后求导，即可得到结果.【详解】由题意可得，设该切线方程，且与相切于点，，整理得，∴，可得，∴.故答案为：.14．【分析】利用诱导公式结合二倍角公式即可求解.【详解】由题意可得，.故答案为：15．【分析】根据已知条件求得角A，根据等面积法与正弦定理得到的关系，再结合基本不等式可以求得最值.【详解】由题意可得：由余弦定理可知：，∴由等面积法可知：∴∴；当且仅当等式成立．故答案为：16．【分析】令可求得定点坐标，利用椭圆对称性可得；由可整理求得的范围，由可得结果.【详解】由曲线方程得：令，解得：，则曲线恒过定点，，不妨设，，两点都在椭圆上，满足，由椭圆的对称性可知：，，解得：，由得：，，则，离心率.故答案为：.【点睛】思路点睛：求解圆锥曲线离心率或离心率取值范围问题的基本思路有两种：（1）根据已知条件，求解得到的值或取值范围，由求得结果；（2）根据已知的等量关系或不等关系，构造关于的齐次方程或齐次不等式，配凑出离心率，从而得到结果.17．(1)，；平均数为分(2)小明能被选取 【分析】（1）根据题意，由频率分布直方图即可求得，然后代入公式即可求得平均数；（2）根据题意，由条件列出方程，即可得到结果.【详解】（1）设由分层抽样可得分数在的人数与分数在的人数之比为，所以，则，，又由频率分布直方图可知分数在的频率为0.04，分数在的频率为0.06，分数在的频率为0.1，分数在的频率为0.2，分数在的频率为0.3，分数在的频率为0.14，分数在的频率为0.1，分数在的频率为0.06．则平均数为分.（2）由题意可知分数在的频率为6%，所以前5%在该组，不妨设第5%名的分数为，则可得等式为，∴，∵，故小明能被选取.18．(1)证明见解析(2) 【分析】（1）计算，确定，得到证明.（2）计算，再根据等比数列求和公式结合分组求和法计算得到答案.【详解】（1），则，，故是以首项为3，公比为3的等比数列．（2），故，.19．(1)证明见解析(2) 【分析】（1）只需证，即可求证四边形是正方形.（2）根据椎体体积公式，即可求解.【详解】（1）证明：如图，过点作交于点；因为面面，面面,，面,所以面,所以．又因为面，，，，，面，面，面，由题意四边形是菱形∴四边形是正方形．（2）∵设点到面的距离为，则由∵20．(1)在单调递增，在单调递减(2)1 【分析】（1）利用导数分析函数的单调性即可；（2）不等式恒成立求参数取值范围问题，分离参数，转化为利用导数求函数的最大最小值问题即可求解.【详解】（1）由定义域为又令，显然在单调递减，且；∴当时，；当时，．则在单调递增，在单调递减（2）法一：∵任意的，恒成立，∴恒成立，即恒成立令，则．令，则在上单调递增，∵，．∴存在，使得当时，，，单调递增；当时，，，单调递减，由，可得，∴，又 ∴，故的最小值是1．法二：∴恒成立，即恒成立令 不妨令，显然在单调递增．∴在恒成立．令 ∴当时，；当时，即在单调递增在单调递减∴ ∴，故的最小值是1．【点睛】不等式恒成立问题，求参数取值范围，一般思路分离参数，转化为利用导数求函数的最大最小值问题即可.21．(1)(2)证明见解析 【分析】根据题结合弦长公式得到线段的最小值是2时对应的值即得.根据抛物线的对称性，可判断定点在轴上，根据三点共线可确定定点坐标.【详解】（1）由题意不妨设直线：联立方程组：得所以，∴∴即所以抛物线的方程为.（2）由（1）知，，由对称性可得，该定点在轴上，设设，，，，直线为①．直线为．②联立①②，解得，即由理可得直线的斜率直线的斜率．因在直线上，所以得当时，原式化为得∴即∴即直线过定点又当时，直线是轴，也过故直线过定点．【点睛】思路点睛：第一问可根据线段的最小值为2得到，这里考虑到点不是抛物线的焦点，故不能按照焦点弦去计算，需要用现场定理去计算；第二问根据第一问可得，点坐标，这里，是与，不同的点，考虑到抛物线的对称性，可以判断定点在轴上，设，两点坐标，可表示出，点坐标，根据三点共线可得到定点坐标.22．(1)，(2) 【分析】（1）根据直线的参数方程消去参数,能求出直线的普通方程；曲线的极坐标根据，由此能求出曲线的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标系方程，利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果.【详解】（1）由直线，消去可得曲线的极坐标方程为，即，转换为直角坐标方程为，整理得．（2）点在直线上，将直线的参数方程化为标准参数方程，代入中，得到，化简得：，设，对应的参数分别为，∴，，故故23．(1)(2)证明见解析 【分析】（1）由绝对值的定义去绝对值，判断的单调性，即可求出的最小值；（2）由（1）可得，利用基本不等式即可证明.【详解】（1）由题知易知：当时，单调递减；当时，单调递增，所以，即的最小值为，即（2）由（1）可得，又由于．∵故当且仅当等式成立.