2022-2023学年山东省青岛五十九中八年级（下）期中数学试卷(含解析)

这是一份2022-2023学年山东省青岛五十九中八年级（下）期中数学试卷(含解析)，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省青岛五十九中八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分）
1．下列图形是中心对称图形而不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列判断错误的是（　　）
A．若m＞n，则﹣2m＜﹣2n B．若﹣m＜n，则m＞﹣n
C．若m﹣1＞n+1，则m＞n D．若m＞n，则m﹣1＞n+1
3．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A．9﹣a2＝（3+a）（3﹣a） B．x2﹣2x＝（x2﹣x）﹣x
C． D．y（y﹣2）＝y2﹣2y
4．在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在（　　）

A．AC，BC两边高线的交点处
B．AC，BC两边中线的交点处
C．AC，BC两边垂直平分线的交点处
D．∠A，∠B两内角平分线的交点处
6．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是（　　）

A．+1 B．2 C．+2 D．+1
7．如图，直线y＝kx+b与坐标轴的两交点分别为A（2，0）和B（0，﹣3），则不等式kx+b+3≤0的解集为（　　）

A．x≤0 B．x≥0 C．x≥2 D．x≤2
8．如图，在正方形网格中，格点△ABC绕某点顺时针旋转角α（0＜α＜180°）得到格点△A1B1C1，点A与点A1，点B与点B1，点C与点C1是对应点，则α＝（　　）度．

A．30° B．60° C．90° D．150°
二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分）
9．分解因式：m2﹣4＝　 　．
10．若等腰三角形一腰上的高长为，且与底边的夹角为60°，则这个等腰三角形的面积为 　 　．
11．如图，在长为37米，宽为26米的长方形地块上，有纵横交错的几条小路，宽均为1米，其它部分均种植花草，则种植花草的面积 　 　平方米．

12．如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，得到△AB1C1，若点B1在线段BC的延长线上，则∠BB1C1的大小是　 　度．

14．在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x＝9，y＝9时，则各个因式的值是：（x﹣y）＝0，（x+y）＝18，（x2+y2）＝162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式4x3﹣xy2，取x＝10，y＝10时，用上述方法产生的密码是：　 　（写出一个即可）．
15．如图，正方形OBCD的边长为2，点B在y轴的正半轴上，点D在x轴的负半轴上，将正方形OBCD绕点O逆时针旋转30°至正方形OB′C′D′的位置，B′C′与CD相交于点M，则点M的坐标为　 　．

16．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠ABC的平分线BE和∠BAC的外角平分线AD相交于点P，分别交AC和BC的延长线于E，D．过P作PF⊥AD交AC的延长线于点H，交BC的延长线于点F，连接AF交DH于点G．则下列结论：①∠APB＝45°；②PF＝PA；③BD﹣AH＝AB；④DG＝AP+GH．其中正确的是 　 　．

三、解答题（本题满分0分）
17．在正方形的网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点A，B，C都在格点（正方形网格的交点称为格点）上．现将△ABC平移．使点A平移到点D，点E、F分别是B、C的对应点．
（1）请你画出平移后的△DEF；
（2）分别连接AD，BE，则AD与BE的数量关系为 　 　，位置关系为 　 　．
（3）平移的距离为 　 　，四边形ABED的面积为 　 　．

18．如图，已知：点P和直线BC．
求作：等腰直角三角形MPQ，使∠PMQ＝45°，点M落在BC上．

19．把下列式各式因式分解：
（1）﹣3x2+9xy；
（2）m3n﹣2m2n+mn．
20．解不等式组：并写出满足条件的所有整数x的值．
21．某校计划租用客车，组织师生共300人参加一次大型公益活动，每辆小客车的乘客座位数是18个，每辆大客车的乘客座位数是35个，这样租用6辆大客车和5辆小客车恰好全部坐满，由于最后参加活动的人数增加了30人，学校决定调整租车方案，在保持租用车辆总数不变的情况下，为将所有参加活动的师生装载完成，求租用小客车数量的最大值．

22．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．
（1）求证：FC＝AD；
（2）求证：AB＝BC+AD；
（3）若四边形ABCD的面积为32，AB＝12，求点E到BC边的距离．

23．某旅行社要印刷旅游宣传材料，甲、乙印刷厂收费方式如下：
甲印刷厂：没有制版费，只有宣传材料印刷费；
乙印刷厂：宣传材料印刷费加制版费．
设旅游宣传材料的印刷数量为x份，甲印刷厂的收费为y1元，乙印刷厂的收费为y2元，y1，y2与x的函数关系图象如图所示，甲印刷厂每份宣传材料的印刷费比乙印刷厂多0.2元．（注：制版费与印刷的数量无关）
（1）求y1与x之间的函数表达式；
（2）求乙印刷厂的制版费；
（3）如果旅行社要印制一定量的宣传材料，那么选择哪家印刷厂比较合算？

24．【实际问题】小明家住16楼．一天，他要把一根3米长的竹竿放入电梯带回家中．如果竹竿恰好刚能放入电梯中（如图①示），那么，电梯的长、宽、高和的最大值是多少米？

【类比探究】为了解决这个实际问题，我们首先探究下面的数学问题．
探究1：如图②，在△ABC中，AC⊥BC．若BC＝a，AC＝b，AB＝c，则b与c之间有什么数量关系？
解：在△ABC中，∵AC⊥BC，
∴BC2+AC2＝AB2，即a2+b2＝c2．
∵（a﹣b）2≥0，
∴a2+b2﹣2ab≥0．
∴a2+b2≥2ab．
∴c2≥2ab．
∴c2+a2+b2≥2ab+a2+b2．
∴2c2≥（a+b）2．
∵a，b，c均大于0，
∴a+b与c之间的数量关系是a+b≤c．
探究2：如图③，在四边形ABCD中，AC是对角线，AB⊥BC，AC⊥CD．若AB＝a，BC＝b，CD＝c，AD＝d，则a+b+c与d之间有什么数量关系？
解：∵AB⊥BC，AC⊥CD，
∴BC2+AB2＝AC2，AC2+CD2＝AD2．
∴a2+b2+c2＝d2．
∵（a﹣b）2≥0，（a﹣c）2≥0，（b﹣c）2≥0，
∴a2+b2≥2ab，a2+c2≥2ac，b2+c2≥2bc．
将上面三式相加得，2a2+2b2+2c2≥2ab+2ac+2bc，
∴2d2≥2ab+2ac+2bc．
∴2d2+a2+b2+c2≥2ab+2ac+2bc+a2+b2+c2．
∴　 　d2≥（a+b+c）2．
∵a，b，c，d均大于0，
∴a+b+c与d之间有这样的数量关系：a+b+c≤　 　d．
探究3：如图④，仿照上面的方法探究，在五边形ABCDE中，AC，AD是对角线，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE．若AB＝a，BC＝b，CD＝c，DE＝d，AE＝e，则a+b+c+d与e之间的数量关系是 　 　．
【归纳结论】
当a1＞0，a2＞0，…，an＞0，m＞0时，若a12+a22+…+an2＝m2，则a1+a2+…+an与m之间的数量关系是 　 　．
【问题解决】
小明家住16楼．一天，他要把一根3米长的竹竿放入电梯带回家中．如果竹竿恰好刚能放入电梯中（如图①示），那么，电梯的长、宽、高和的最大值是 　 　米．
【拓展延伸】
公园准备修建一个四边形水池，边长分别为a米，b米，c米，d米．分别以水池四边为边向外建四个正方形花园，若花园面积和为400平方米，则水池的最大周长为 　 　米．
25．已知△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合）．连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连接QB并延长交直线AD于点E．

（1）如图1．当∠DAC＝90°时，试猜想BC与QE的位置关系，并说明理由．
（2）如图2．当∠DAC是锐角时．求∠QEP的度数．
（3）如图3．当∠DAC＝120°，且∠ACP＝15°，点E恰好与点A重合．若AC＝6．求BQ的长．


参考答案
一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分）
1．下列图形是中心对称图形而不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义以及轴对称图形的定义解决此题．
解：A．根据中心对称图形的定义以及轴对称图形的定义，A中图形是中心对称图形但不是轴对称图形，故A符合题意．
B．根据中心对称图形的定义以及轴对称图形的定义，B中的图形不是中心对称图形但是轴对称图形，故B不符合题意．
C．根据中心对称图形的定义以及轴对称图形的定义，C中的图形既不是中心对称图形也不是轴对称图形，故C不符合题意．
D．根据中心对称图形的定义以及轴对称图形的定义，D中图形既不是中心对称图形也不是轴对称图形，故D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查中心对称图形、轴对称图形，熟练掌握中心对称图形以及轴对称图形的定义是解决本题的关键．
2．下列判断错误的是（　　）
A．若m＞n，则﹣2m＜﹣2n B．若﹣m＜n，则m＞﹣n
C．若m﹣1＞n+1，则m＞n D．若m＞n，则m﹣1＞n+1
【分析】根据不等式的性质，逐项分析判断即可求解．
解：A．若m＞n，则﹣2m＜﹣2n，故该选项正确，不符合题意；
B．若﹣m＜n，则m＞﹣n，故该选项正确，不符合题意；
C．若m﹣1＞n+1，即m＞n+2，则m＞n，故该选项正确，不符合题意；
D．若m＞n，则m﹣1＞n﹣1，故该选项不正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的性质．解题的关键是熟练掌握不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
3．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A．9﹣a2＝（3+a）（3﹣a） B．x2﹣2x＝（x2﹣x）﹣x
C． D．y（y﹣2）＝y2﹣2y
【分析】直接利用因式分解的意义分别分析得出答案．
解：A、9﹣a2＝（3+a）（3﹣a），从左到右的变形是因式分解，符合题意；
B、x2﹣2x＝（x2﹣x）﹣x，不符合题意因式分解的定义，不合题意；
C、x+2无法分解因式，不合题意；
D、y（y﹣2）＝y2﹣2y，是整式的乘法，不合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了因式分解的意义，正确把握定义是解题关键．
4．在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】本题可根据数轴的性质，实心圆点包括该点用“≥”，“≤”表示，空心圆圈不包括该点用“＜”，“＞”表示，大于向右，小于向左．
解：依题意得，数轴可表示为：

故选：B．
【点评】本题考查不等式组解集的表示方法．把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
5．如图，A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在（　　）

A．AC，BC两边高线的交点处
B．AC，BC两边中线的交点处
C．AC，BC两边垂直平分线的交点处
D．∠A，∠B两内角平分线的交点处
【分析】要求到三个小区的距离相等，首先思考到A小区、C小区距离相等，根据线段垂直平分线定理的逆定理知满足条件的点在线段AC的垂直平分线上，同理到B小区、C小区的距离相等的点在线段BC的垂直平分线上，于是到三个小区的距离相等的点应是其交点，答案可得．
解：A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在AC，BC两边垂直平分线的交点处．
故选：C．
【点评】本题主要考查线段的垂直平分线定理的逆定理：到一条线段的两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；此题是一道实际应用题，做题时，可分别考虑，先满足到两个小区的距离相等，再满足到另两个小区的距离相等，交点即可得到．
6．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是（　　）

A．+1 B．2 C．+2 D．+1
【分析】连接AM，BM交AC于D，如图，利用等腰直角三角形的性质得到AC＝AB＝2，再根据旋转的性质得CM＝CA＝2，∠ACM＝60°，则可判断△ACM为等边三角形，直接证BM垂直平分AC，然后利用等腰直角三角形和等边三角形的性质计算出BD和MD，从而得到BM的长．
解：连接AM，BM交AC于D，如图，

∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝，
∴AC＝AB＝＝2，
∵△ABC绕点C逆时针转60°，得到△MNC，
∴CM＝CA＝2，∠ACM＝60°，
∴△ACM为等边三角形，
∴MA＝MC，
而BA＝BC，
∴BM垂直平分AC，
∴BD＝AC＝1，MD＝AC＝2＝，
∴BM＝1．
故选：A．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质．
7．如图，直线y＝kx+b与坐标轴的两交点分别为A（2，0）和B（0，﹣3），则不等式kx+b+3≤0的解集为（　　）

A．x≤0 B．x≥0 C．x≥2 D．x≤2
【分析】从图象上知，直线y＝kx+b的函数值y随x的增大而增大，与y轴的交点为B（0，﹣3），即当x＝0时，y＝﹣3，由图象可看出，不等式kx+b+3≤0的解集是x≤0．
解：由kx+b+3≤0得kx+b≤﹣3，
直线y＝kx+b与y轴的交点为B（0，﹣3），
即当x＝0时，y＝﹣3，
由图象可看出，不等式kx+b+3≤0的解集是x≤0．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．
8．如图，在正方形网格中，格点△ABC绕某点顺时针旋转角α（0＜α＜180°）得到格点△A1B1C1，点A与点A1，点B与点B1，点C与点C1是对应点，则α＝（　　）度．

A．30° B．60° C．90° D．150°
【分析】先连接CC1，AA1，作CC1，AA1的垂直平分线交于点E，连接AE，A1E，再由题意得到旋转中心，由旋转的性质即可得到答案．
解：如图，连接CC1，AA1，作CC1，AA1的垂直平分线交于点E，连接AE，A1E，

∵CC1，AA1的垂直平分线交于点E，
∴点E是旋转中心，
∵∠AEA1＝90°，
∴旋转角α＝90°．
故选：C．
【点评】本题考查了旋转的性质，灵活利用旋转中心到对应点的距离相等这一性质确定旋转中心是解题的关键．
二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分）
9．分解因式：m2﹣4＝　（m+2）（m﹣2）　．
【分析】本题刚好是两个数的平方差，所以利用平方差公式分解则可．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
解：m2﹣4＝（m+2）（m﹣2）．
故答案为：（m+2）（m﹣2）．
【点评】本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项；符号相反．
10．若等腰三角形一腰上的高长为，且与底边的夹角为60°，则这个等腰三角形的面积为 　　．
【分析】如图所示，BD是△ABC，AC边上的高，AB＝AC，∠DBC＝60°，过点A作AE⊥BC于点E，根据含30度角的直角三角形的性质，求得BE，AE，勾股定理求得AE＝3cm，进而根据三角形面积公式即可求解．
解：如图所示，BD是△ABC，AC边上的高，AB＝AC，∠DBC＝60°，过点A作AE⊥BC于点E，

∴∠ACB＝90°﹣60°＝30°，
∵cm，
∴cm，
∴cm，
在Rt△AEC中，，
∴，
∴AE＝3cm，
∴S△ABC＝BC•AE＝×6×3＝9（cm2）．
故答案为：．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，根据题意画出图形是解题的关键．
11．如图，在长为37米，宽为26米的长方形地块上，有纵横交错的几条小路，宽均为1米，其它部分均种植花草，则种植花草的面积 　900　平方米．

【分析】可以根据平移的性质，此小路相当于一条横向长为37米与一条纵向长为26米的小路，种植花草的面积＝总面积﹣小路的面积+小路交叉处的面积，计算即可．
解：根据题意，小路的面积相当于横向与纵向的两条小路，种植花草的面积＝（37﹣1）（26﹣1）＝900m2．
答：种植花草的面积是900m2．
【点评】本题考查了图形的平移的性质，把小路进行平移，求出相当面积的小路的面积是解题的关键，要注意小路的交叉处算了两次，这是容易出错的地方．
12．如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，得到△AB1C1，若点B1在线段BC的延长线上，则∠BB1C1的大小是　80　度．

【分析】由旋转的性质可知∠B＝∠AB1C1，AB＝AB1，由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠B＝∠BB1A＝∠AB1C1＝40°，从而可求得∠BB1C1＝80°．
解：由旋转的性质可知：∠B＝∠AB1C1，AB＝AB1，∠BAB1＝100°，
∵AB＝AB1，∠BAB1＝100°，
∴∠B＝∠BB1A＝40°，
∴∠AB1C1＝40°，
∴∠BB1C1＝∠BB1A+∠AB1C1＝40°+40°＝80°，
故答案为：80．
【点评】本题主要考查的是旋转的性质，由旋转的性质得到△ABB1为等腰三角形是解题的关键．
14．在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x＝9，y＝9时，则各个因式的值是：（x﹣y）＝0，（x+y）＝18，（x2+y2）＝162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式4x3﹣xy2，取x＝10，y＝10时，用上述方法产生的密码是：　101030或103010或301010　（写出一个即可）．
【分析】把所求的代数式分解因式后整理成条件中所给出的代数式的形式，然后整体代入即可．
解：4x3﹣xy2＝x（4x2﹣y2）＝x（2x+y）（2x﹣y），
当x＝10，y＝10时，x＝10；2x+y＝30；2x﹣y＝10，
用上述方法产生的密码是：101030或103010或301010．
故答案为：101030或103010或301010．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，读懂题目信息，正确进行因式分解是解题的关键，还考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．
15．如图，正方形OBCD的边长为2，点B在y轴的正半轴上，点D在x轴的负半轴上，将正方形OBCD绕点O逆时针旋转30°至正方形OB′C′D′的位置，B′C′与CD相交于点M，则点M的坐标为　（﹣2，）　．

【分析】连接OM，由旋转性质知OD＝OB′＝2、∠BOB′＝30°、∠B′OD＝60°，证Rt△ODM≌Rt△OB′M得∠DOM＝∠B′OD＝30°，由DM＝ODtan∠DOM可得答案．
解：如图，连接OM，

∵将边长为2的正方形OBCD绕点O逆时针旋转30°得到正方形OB′C′D′，
∴OD＝OB′＝2，∠BOB′＝30°，
∴∠B′OD＝60°，
在Rt△ODM和Rt△OB′M中，
，
∴Rt△ODM≌Rt△OB′M（HL），
∴∠DOM＝∠B′OM＝∠B′OD＝30°，
∴DM＝ODtan∠DOM＝2×＝，
∴点M的坐标为（﹣2，），
故答案为（﹣2，）．
【点评】本题主要考查旋转的性质、正方形的性质，解题的关键是掌握旋转变换的不变性与正方形的性质、全等三角形的判定与性质及三角函数的应用．
16．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠ABC的平分线BE和∠BAC的外角平分线AD相交于点P，分别交AC和BC的延长线于E，D．过P作PF⊥AD交AC的延长线于点H，交BC的延长线于点F，连接AF交DH于点G．则下列结论：①∠APB＝45°；②PF＝PA；③BD﹣AH＝AB；④DG＝AP+GH．其中正确的是 　①②③　．

【分析】①根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和与角平分线的定义表示出∠CAP，再根据角平分线的定义，然后利用三角形的内角和定理整理即可得解；
②证明△ABP≌△FBP（ASA）得出AB＝BF，AP＝PF，即可判断②
③再利用角角边证明△AHP≌△FDP（AAS）全等，然后根据全等三角形对应边相等得到DF＝AH，从而得解；
④根据PF⊥AD，∠ACB＝90°，可得AG⊥DH，然后求出∠ADG＝∠DAG＝45°，再根据等角对等边可得DG＝AG，再根据等腰直角三角形两腰相等可得GH＝GF，然后求出DG＝GH+AF，根据直角三角形斜边大于直角边，AF＞AP，从而得出④错误．
解：①∵∠ABC的角平分线BE和∠BAC的外角平分线，
∴，，
在△ABP中，∠APB＝180°﹣∠BAP﹣∠ABP，
＝，
＝，
＝45°，故①正确；
∵PF⊥AD，∠APB＝45°，
∴∠APB＝∠FPB＝45°，
∵PB为∠ABC的角平分线，
∴∠ABP＝∠FBP，
在△ABP和△FBP中，
，
∴△ABP≌△FBP（ASA），
∴AB＝BF，AP＝PF；故②正确；
③∵∠ACB＝90°，PF⊥AD，
∴∠FDP+∠HAP＝90°，∠AHP+∠HAP＝90°，
∴∠AHP＝∠FDP，
∵PF⊥AD，
∴∠APH＝∠FPD＝90°，
在△AHP与△FDP中，
，
∴△AHP≌△FDP（AAS），
∴DF＝AH，
∵BD＝DF+BF，
∴BD＝AH+AB，
∴BD﹣AH＝AB，故③正确；
④∵PF⊥AD，∠ACB＝90°，
∴AG⊥DH，
∵AP＝PF，PF⊥AD，
∴∠PAF＝45°，
∴∠ADG＝∠DAG＝45°，
∴DG＝AG，
∵∠PAF＝45°AG⊥DH，
∴△ADG与△FGH都是等腰直角三角形，
∴DG＝AG，GH＝GF，
∴DG＝GH+AF，
∵AF＞AP，
∴DG＝AP+GH不成立，故④错误，
综上所述①②③正确．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，直角三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
三、解答题（本题满分0分）
17．在正方形的网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点A，B，C都在格点（正方形网格的交点称为格点）上．现将△ABC平移．使点A平移到点D，点E、F分别是B、C的对应点．
（1）请你画出平移后的△DEF；
（2）分别连接AD，BE，则AD与BE的数量关系为 　AD＝BE　，位置关系为 　AD∥BE　．
（3）平移的距离为 　2　，四边形ABED的面积为 　28　．

【分析】（1）根据平移的性质找到对应点D，E，F，顺次连接即可求解；
（2）根据平移的性质即可求解；
（3）根据网格与勾股定理求得AD的长，根据割补法求得四边形ABED面积即可求解．
解：（1）如图所示，△DEF即为所求

（2）分别连接AD，BE，则AD与BE的数量关系为 AD＝BE，位置关系为AD∥BE．

故答案为：AD＝BE，AD∥BE．
（3）如图所示，平移的距离为，

四边形ABED的面积为四边形ABHS的面积，即7×4＝28．
故答案为：，28．
【点评】本题考查了平移作图，勾股定理与网格问题，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
18．如图，已知：点P和直线BC．
求作：等腰直角三角形MPQ，使∠PMQ＝45°，点M落在BC上．

【分析】作PF⊥BC交BC于点E，以点E为圆心，EP长为半径画弧，交BC于点M，Q，连接PM，PQ，则△PMQ为等腰直角三角形，且∠PMQ＝45°．
解：如图，等腰直角三角形MPQ即为所求．

【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是根据题意准确作图．
19．把下列式各式因式分解：
（1）﹣3x2+9xy；
（2）m3n﹣2m2n+mn．
【分析】（1）提公因式﹣3x，即可求解；
（2）先提公因式mn，然后根据完全平方公式因式分解即可求解．
解：（1）﹣3x2+9xy＝﹣3x（x﹣3y）；
（2）m3n﹣2m2n+mn
＝mn（m2﹣2m+1）
＝mn（m﹣1）2．
【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
20．解不等式组：并写出满足条件的所有整数x的值．
【分析】先求出不等式组的解集，再从中找到符合条件的整数解即可得．
解：由不等式x+3（x﹣2）≥2得：x≥2，
由不等式＞x﹣1得：x＜4，
此不等式组的解集为2≤x＜4，
所以此不等式组的整数解为2，3．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
21．某校计划租用客车，组织师生共300人参加一次大型公益活动，每辆小客车的乘客座位数是18个，每辆大客车的乘客座位数是35个，这样租用6辆大客车和5辆小客车恰好全部坐满，由于最后参加活动的人数增加了30人，学校决定调整租车方案，在保持租用车辆总数不变的情况下，为将所有参加活动的师生装载完成，求租用小客车数量的最大值．

【分析】利用参加活动的师生人数＝每辆车的载客量×租用数量+30，即可求出参加活动的师生人数，设租用小客车x辆，则租用大客车（6+5﹣x）辆，根据11辆客车的载客量不少于330人，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论．
解：参加活动的师生人数为35×6+18×5+30＝210+90+30＝330（人）．
设租用小客车x辆，则租用大客车（6+5﹣x）辆，
依题意得：18x+35（6+5﹣x）≥330，
解得：x≤．
又∵x为整数，
∴x的最大值为3．
答：租用小客车数量的最大值为3辆．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
22．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．
（1）求证：FC＝AD；
（2）求证：AB＝BC+AD；
（3）若四边形ABCD的面积为32，AB＝12，求点E到BC边的距离．

【分析】（1）首先根据AD∥BC可知∠ADE＝∠FCE，再根据点E为CD的中点，可证得△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可得证；
（2）结合全等三角形的性质可知BE是线段AF的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可证得AB＝BF，再由线段的和差以及等量代换即可得证；
（3）首先根据全等三角形的性质及线段垂直平分线的性质，可得S△ADE＝S△FCE，AB＝BF＝12，S△ABE＝S△BEF，再根据S四边形ABCD＝S△ADE+S△ABE+S△BCE＝2S△BEF，即可求得S△BEF＝16，据此即可求得结果．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠FCE，
∵点E为CD的中点，
∴DE＝CE，
在△ADE和△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴FC＝AD；
（2）证明：∵△ADE≌△FCE，
∴AE＝FE，AD＝FC，
∵BE⊥AE，
∴BE是线段AF的垂直平分线，
∴AB＝BF＝BC+FC＝BC+AD，
即AB＝BC+AD；
（3）解：∵△ADE≌△FCE，
∴S△ADE＝S△FCE，
∵BE是线段AF的垂直平分线，
∴AB＝BF＝12，S△ABE＝S△BEF，
∴S四边形ABCD＝S△ADE+S△ABE+S△BCE＝2S△BEF＝32，
即S△BEF＝16，
设点E到BC边的距离为h，
则，
即，
解得：，
即点E到BC边的距离为．
【点评】本题主要考查了三角形全等的性质与判定、平行线的性质、垂直平分线的性质等知识，掌握三角形全等的判定与性质是解题的关键．
23．某旅行社要印刷旅游宣传材料，甲、乙印刷厂收费方式如下：
甲印刷厂：没有制版费，只有宣传材料印刷费；
乙印刷厂：宣传材料印刷费加制版费．
设旅游宣传材料的印刷数量为x份，甲印刷厂的收费为y1元，乙印刷厂的收费为y2元，y1，y2与x的函数关系图象如图所示，甲印刷厂每份宣传材料的印刷费比乙印刷厂多0.2元．（注：制版费与印刷的数量无关）
（1）求y1与x之间的函数表达式；
（2）求乙印刷厂的制版费；
（3）如果旅行社要印制一定量的宣传材料，那么选择哪家印刷厂比较合算？

【分析】（1）设出解析式利用待定系数法代入解答即可；
（2）先列出乙的解析式，令x＝0可得制版费；
（3）分三种情况列出不等式，方程解答即可．
解：（1）设y1＝kx，
将（1000，400）代入得：1000k＝400，
解得k＝0.4，
∴y1＝0.4x；
（2）∵甲印刷厂每份宣传材料的印刷费比乙印刷厂多0.2元，
∴乙印刷厂每份宣传材料的印刷费为0.4﹣0.2＝0.2（元），
设y2＝0.2x+b，
把（1000，700）代入得：200+b＝700，
解得b＝500，
∴y2＝0.2x+500，
令x＝0得y＝500，
∴乙印刷厂的制版费为500元；
（3）由0.2x+500＜0.4x得x＞2500，
∴当印刷数量大于2500份，到乙印刷厂合算；
由0.2x+500＝0.4x得x＝2500，
∴当印刷数量等于2500份，到两个印刷厂都一样；
由0.2x+500＞0.4x得x＜2500，
∴当印刷数量小于2500份，到甲印刷厂合算；
答：当印刷数量小于2500份，到甲印刷厂合算，当印刷数量等于2500份，到两个印刷厂都一样，当印刷数量大于2500份，到乙印刷厂合算．
【点评】本题考查的是一次函数的应用问题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出函数式．
24．【实际问题】小明家住16楼．一天，他要把一根3米长的竹竿放入电梯带回家中．如果竹竿恰好刚能放入电梯中（如图①示），那么，电梯的长、宽、高和的最大值是多少米？

【类比探究】为了解决这个实际问题，我们首先探究下面的数学问题．
探究1：如图②，在△ABC中，AC⊥BC．若BC＝a，AC＝b，AB＝c，则b与c之间有什么数量关系？
解：在△ABC中，∵AC⊥BC，
∴BC2+AC2＝AB2，即a2+b2＝c2．
∵（a﹣b）2≥0，
∴a2+b2﹣2ab≥0．
∴a2+b2≥2ab．
∴c2≥2ab．
∴c2+a2+b2≥2ab+a2+b2．
∴2c2≥（a+b）2．
∵a，b，c均大于0，
∴a+b与c之间的数量关系是a+b≤c．
探究2：如图③，在四边形ABCD中，AC是对角线，AB⊥BC，AC⊥CD．若AB＝a，BC＝b，CD＝c，AD＝d，则a+b+c与d之间有什么数量关系？
解：∵AB⊥BC，AC⊥CD，
∴BC2+AB2＝AC2，AC2+CD2＝AD2．
∴a2+b2+c2＝d2．
∵（a﹣b）2≥0，（a﹣c）2≥0，（b﹣c）2≥0，
∴a2+b2≥2ab，a2+c2≥2ac，b2+c2≥2bc．
将上面三式相加得，2a2+2b2+2c2≥2ab+2ac+2bc，
∴2d2≥2ab+2ac+2bc．
∴2d2+a2+b2+c2≥2ab+2ac+2bc+a2+b2+c2．
∴　3　d2≥（a+b+c）2．
∵a，b，c，d均大于0，
∴a+b+c与d之间有这样的数量关系：a+b+c≤　　d．
探究3：如图④，仿照上面的方法探究，在五边形ABCDE中，AC，AD是对角线，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE．若AB＝a，BC＝b，CD＝c，DE＝d，AE＝e，则a+b+c+d与e之间的数量关系是 　a+b+c+d≤2e　．
【归纳结论】
当a1＞0，a2＞0，…，an＞0，m＞0时，若a12+a22+…+an2＝m2，则a1+a2+…+an与m之间的数量关系是 　a1+a2+…+an≤m　．
【问题解决】
小明家住16楼．一天，他要把一根3米长的竹竿放入电梯带回家中．如果竹竿恰好刚能放入电梯中（如图①示），那么，电梯的长、宽、高和的最大值是 　3　米．
【拓展延伸】
公园准备修建一个四边形水池，边长分别为a米，b米，c米，d米．分别以水池四边为边向外建四个正方形花园，若花园面积和为400平方米，则水池的最大周长为 　40　米．
【分析】探究2：利用完全平方公式，模仿例题解决问题即可．
探究3：模仿例题解决问题即可．
归纳结论：利用探究2，3的规律，解决问题即可．
问题解决：利用探究2中结论解决问题．
拓展延伸：利用探究3中结论，解决问题即可．
解：探究2：∵AB⊥BC，AC⊥CD，
∴BC2+AB2＝AC2，AC2+CD2＝AD2．
∴a2+b2+c2＝d2．
∵（a﹣b）2≥0，（a﹣c）2≥0，（b﹣c）2≥0，
∴a2+b2≥2ab，a2+c2≥2ac，b2+c2≥2bc．
将上面三式相加得，2a2+2b2+2c2≥2ab+2ac+2bc，
∴2d2≥2ab+2ac+2bc．
∴2d2+a2+b2+c2≥2ab+2ac+2bc+a2+b2+c2．
∴3d2≥（a+b+c）2．
∵a，b，c，d均大于0，
∴a+b+c与d之间有这样的数量关系：a+b+c≤d．
故答案为：3，
探究3：∵AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE．若AB＝a，BC＝b，CD＝c，DE＝d，AE＝e，
∴BC2+AB2＝AC2，AC2+CD2＝AD2，AD2+DE2＝AE2，
∴a2+b2+c2+d2＝e2，
∵（a﹣b）2≥0，（a﹣c）2≥0，（b﹣c）2≥0，（a﹣d）2≥0，（b﹣d）2≥0，（c﹣d）2≥0，
∴a2+b2≥2ab，a2+c2≥2ac，b2+c2≥2bc，a2+d2≥2ad，b2+d2≥2bd，c2+d2≥2cd，
将上面三式相加得，3a2+3b2+3c2+d2≥2ab+2ac+2bc+2ad+2bd+2cd，
∴3e2≥2ab+2ac+2bc+2ad+2bd+2cd，
∴2e2+a2+b2+c2+d2≥2ab+2ac+2bc+2ad+2bd+2cd+a2+b2+c2+d2
∴4e2≥（a+b+c+d）2，
∴a+b+c+d≤2e，
故答案为：a+b+c+d≤2e．

【归纳结论】当a1＞0，a2＞0，…，an＞0，m＞0时，若a12+a22+…+an2＝m2，则a1+a2+…+an与m之间的数量关系是 a1+a2+…+an≤m．

【问题解决】小明家住16楼．一天，他要把一根3米长的竹竿放入电梯带回家中．如果竹竿恰好刚能放入电梯中（如图①示），由探究2可知，电梯的长、宽、高和≤3（米），
∴电梯的长、宽、高和的最大值是3米．
故答案为：3．

【拓展延伸】由题意a2+b2+c2+d2＝400＝e2，
∴e＝20（米），
由探究3可知，a+b+c+d≤2e，
∴a+b+c+d≤40，
∴水池的最大周长为40米，
故答案为：40．
【点评】本题考查勾股定理的应用，完全平方公式等知识，解题的关键是理解题意，学会模仿例题解决问题，属于中考创新题型．
25．已知△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A不重合）．连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连接QB并延长交直线AD于点E．

（1）如图1．当∠DAC＝90°时，试猜想BC与QE的位置关系，并说明理由．
（2）如图2．当∠DAC是锐角时．求∠QEP的度数．
（3）如图3．当∠DAC＝120°，且∠ACP＝15°，点E恰好与点A重合．若AC＝6．求BQ的长．
【分析】（1）先判断出△CQB≌△CPA，即可得出∠CBQ＝∠CAP＝90°．
（2）如图2，根据等边三角形的性质得AC＝BC，∠ACB＝60°，再根据旋转的性质得CP＝CQ，∠PCQ＝6O°，则∠ACP＝∠BCQ，根据“SAS”可证明△ACP≌△BCQ，得到∠APC＝∠Q，然后利用三角形内角和定理可得到∠QEP＝∠PCQ＝60°．
（3）作CH⊥AD于H，如图3，与（2）一样可证明△ACP≌△BCQ，则AP＝BQ，由∠DAC＝120°，∠ACP＝15°，qcAH，CH，可求出PH的长，即可得出结论．
解：（1）结论：BC⊥EQ．
理由：如图1，QE与CP的交点记为M，

∵PC＝CQ，且∠PCQ＝60°，
则△CQB和△CPA中，
，
∴△CQB≌△CPA（SAS），
∴∠CBQ＝∠CAP，
∵∠CAP＝90°，
∴∠CBQ＝90°，
∴CB⊥EQ．

（2）∠QEP＝60°．
理由如下：如图2，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°，
∵线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，
∴CP＝CQ，∠PCQ＝6O°，
∴∠ACB+∠BCP＝∠BCP+∠PCQ，
即∠ACP＝∠BCQ，
在△ACP和△BCQ中，
，
∴△ACP≌△BCQ（SAS），
∴∠APC＝∠Q，
∵∠BOP＝∠COQ，
∴∠QEP＝∠PCQ＝60°．

（3）作CH⊥AD于H，如图3，

与（2）一样可证明△ACP≌△BCQ，
∴AP＝BQ，
∵∠DAC＝120°，∠ACP＝15°，
∴∠APC＝45°，∠PCB＝45°，
∴∠HAC＝60°，
∴△PCH为等腰直角三角形，
∴AH＝AC＝3，CH＝AH＝3，
在Rt△PHC中，PH＝CH＝3，
∴PA＝PH﹣AH＝3﹣3，
∴BQ＝3﹣3．
【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，也考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质和判定，判断出△ACP≌△BCQ是解本题的关键．