浙江省杭师大附中2022-2023学年高二数学下学期期中试题（Word版附解析）

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杭师大附中2022学年第二学期高二年级期中考试
高二数学试卷
命题人：高二备课组 审题人：高二备课组 命题时间：2023.4
本试题满分150分，考试时间120分钟．
一、单项选择（共8题，每小题5分；满分40分）
1. “”是“数列为等差数列”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据等差数列的性质结合充分条件与必要条件的证明即可得出答案.
【详解】如果数列是等差数列，根据等差中项的扩展可得一定有，
反之成立，不一定有数列是等差数列，
故选：B.
2. 已知抛物线，则它的焦点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析】
将抛物线化为标准方程，确定焦点位置，根据公式计算即可.
【详解】解：抛物线化为，

∵抛物线开口向上，焦点在轴正半轴，
∴焦点为，即．
故选：D.
【点睛】抛物线性质的应用技巧：
（1）利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程；
（2）要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算.
3. 两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则，即在一定条件下通过对分子､分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法，如，则（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】利用洛必达法则直接求解即可.
【详解】.
故选：B.
4. 2022年11月30日,神舟十四号宇航员陈冬、刘洋、蔡旭哲和神舟十五号宇航员费俊龙、邓清明、张陆顺利“会师太空”,为记录这一历史时刻,他们准备在天和核心舱合影留念.假设6人站成一排,要求神舟十四号三名航天员互不相邻,且神舟十五号三名航天员也互不相邻,则他们的不同站法共有（ ）种
A. 72 B. 144 C. 36 D. 108
【答案】A
【解析】
【分析】不相邻问题进行插空,先将神舟十四号三名航天员全排,再将神舟十五号三名航天员插入,由于神舟十四号三名航天员互不相邻,神舟十四号三名航天员之间有两个空需要有人插入,故将神舟十五号三名航天员中选出两名插到神舟十四号三名航天员中间即可满足,写出式子,计算结果即可.
【详解】解:由题知,不妨先将神舟十四号三名航天员全排为:,
再将神舟十五号三名航天员插入到神舟十四号三名航天员中,
因为神舟十四号三名航天员互不相邻,
故先将神舟十五号三名航天员中选出两名插到神舟十四号三名航天员中间空出的两个位置上,进行排列:,
最后一位神舟十五号航天员在首和尾中选一个位置站下,共,
故不同站法有:种.
故选:A
5. 设函数，在上的导数存在，且，则当时（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】对于AB，利用特殊函数法，举反例即可排除；对于CD，构造函数，利用导数与函数单调性的关系证得在上单调递增，从而得以判断.
【详解】对于AB，不妨设，，则，，满足题意，
若，则，故A错误(排除)，
若，则，故B错误(排除)；
对于CD，因为，在上的导函数存在，且，
令，则，所以在上单调递增，
因为，即，所以，
由得，
则，故C正确；
由得，
则，故D正确.
故选：CD.
6. 若，，，则实数a，b，c大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据指数与对数式的互化以及换底公式，可得，，.作出函数，的图象，观察可得当时，所以随着的增大，比值越来越大.令，可得在上单调递增，根据自变量的大小关系，即可得出答案.
【详解】由已知可得，，，
由可得，，所以.
设，则，
因为，故，
所以即，
所以在上为增函数，
又，，，又，所以.
故选：B.
7. 三棱锥中，，平面平面，．若三棱锥的外接球体积的取值范围是，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据面面垂直的性质定理可得平面，根据外接球的性质可得，结合外接球体积的取值范围可得，进而结合外接球半径的取值范围，运算求解即可求解.
【详解】取的中点，连接，
因为，则，
平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
且，则为Rt的外接圆的圆心，
所以的外接球的球心在直线上，连接，
设，的外接球的半径为，则，解得，
则，
因为，即，
解得，
可得，即，
注意到，则，所以的取值范围是.
故选：D.

8. 过抛物线的焦点作斜率分别为，的两条不同的直线，，且，与相交于点，与相交于点．分别以、为直径的圆、圆（为圆心）的公共弦记为，则点到直线的距离的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线的性质以及已知条件求出圆、圆的标准方程，然后联立求出公共弦所在的直线，最后利用点到直线的距离公式写出表达式，利用二次函数性质求最小值即可.
【详解】由题意知焦点，
设直线，联立得：，
设，
则，
由抛物线定义可得：，
由题知为的中点，所以，
所以，
所以圆的标准方程为：，
即，
同理可得圆的方程为：，
联立，
所以圆与圆的公共弦所在的直线的方程为：，
由题知，所以直线的方程为：，
所以点到直线的距离为：，
当时，取到最小值，故点到直线的距离的最小值为，
故选：A.
二、多项选择（共4题，每小题5分；满分20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 下列命题中正确的是（ ）
A. 已知一组数据6，6，7，8，10，12，则这组数据的分位数是7.5
B. 样本相关系数的绝对值越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强
C. 已知随机变量，则
D. 已知经验回归方程，则y与x具有负线性相关关系
【答案】ABD
【解析】
【分析】A选项由百分位数的定义计算即可；B选项根据样本相关系数的意义判断即可；C选项根据二项分布的期望公式计算；D选项由回归直线的斜率正负判断线性相关关系.
【详解】对于A选项，由，
所以第3个和第4个数的平均数为，
故A正确；
选项B样本相关系数的意义可知，
样本相关系数的绝对值越接近1时，
成对样本数据的线性相关程度越强，
故选项B正确
对于C选项，由，
则，
故C错误；
对于D选项，由，
可得y与x具有负线性相关关系，
可知D正确．
故选：ABD.
10. 如图，在棱长为的正方体中，点，，分别为，，的中点，若点在线段上运动，则下列结论正确的为（ ）

A. 与为共面直线
B. 平面∥平面
C. 三棱锥的体积为定值
D. 与平面所成角的正切值为
【答案】BC
【解析】
【分析】根据棱柱的结构特征可得，即可判断A；利用线面平行和面面平行的判定定理即可判断B；由题意得点到平面的距离等于点到平面的距离，且为定值，即可判断C；建立以为原点的空间直角坐标系，利用向量法求与平面所成角，即可判断D．
【详解】对于A：连接，如图所示：

，分别为，的中点，，
正方体中，，
，而，与为异面直线，故A错误；
对于B：连接，
点，分别为，的中点，，又，
平面，平面，∥平面，
由选项A得，平面，平面，∥平面，
又，平面，平面，平面∥平面，故B正确；
对于C：由选项B得∥平面，
点在线段上运动，
点到平面的距离等于点到平面的距离，且为定值，
又的面积为定值，则三棱锥的体积为定值，故C正确；
对于D：建立以为原点的空间直角坐标系，如图所示：

则，，，，，，
，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，，
平面的一个法向量为，
设与平面所成角为，
，
，
，故D错误．
故选：BC．
11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线交C的右支于点A，B，若，则（ ）
A. B. C的渐近线方程为
C. D. 与面积之比为2∶1
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据可得，，利用余弦定理求出，即可判断A，根据双曲线的定义结合的值可求出可确定C，从而在直角三角形中可得的齐次式，可求渐近线方程确定B，根据直角三角形的面积公式可确定D.
【详解】由，得，
又由，得，
不妨设，在中，
由余弦定理得，
所以，所以,所以，A正确；
在直角三角形中，根据双曲线定义可得，
所以，
在三角形中，根据双曲线定义可得，
所以，
因为，所以，
所以，
在直角三角形中，，即，
所以，所以，所以，
所以渐近线方程为，B正确；
，所以，C正确；

，
所以与面积之比为3∶1，D错误，
故选:ABC.
12. 已知数列的前n项和为，且或的概率均为.设能被3整除的概率为，则（ ）
A. B. C. D. 当时，
【答案】BC
【解析】
【分析】由已知可得，利用递推关系求出，逐项分析可得答案.
【详解】由题可知，，故B正确；
被3整除的余数有3种情况，分别为0，1，2，
所以，则，所以，
即，所以，
A错误，C正确；
，令，则，所以，故D错误.
故选：BC.
三、填空题（共4题，每小题5分：满分20分）
13. 已知随机变量，且，则__________．
【答案】##
【解析】
【分析】由正态分布的对称性得出概率.
【详解】.
故答案为：
14. 展开式中含项的系数为______．
【答案】30
【解析】
【分析】先利用二项式定理求出的展开式通项，再利用多项式相乘进行求解.
【详解】的展开式通项为，
因为，
在中，令，
在中，令，得，
所以展开式中的系数为.
故答案为：30.
15. 期中考卷有8道单选题，小明对其中5道题有思路，3道题完全没思路．有思路的题做对的概率是0.9，没思路的题只能猜答案，猜对的概率为0.25，则小明从这8道题中随机抽取1道做对的概率为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据全概率公式求解即可.
【详解】设事件表示“考生答对”，设事件表示“考生选到有思路的题”
则小明从这道题目中随机抽取道做对的概率为：
.
故答案为：.
16. 若函数是函数的导函数，且满足，则不等式的解集为____________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意可设，由，可得，由此求出的解析式，不等式可解.
【详解】，
可设
由，得
又，即
，解得

又
即
解得
故答案为：
【点睛】本题考查了导数中构造函数解决问题的题型，由题眼可知，原函数和导函数形式相同，由此可联想构造型函数，属于难题.
四、解答题（共6题，满分70分）
17. 为数列{}的前项和.已知＞0，=.
（Ⅰ）求{}的通项公式；
（Ⅱ）设 ,求数列{}的前项和.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
【分析】（I）根据数列的递推关系，利用作差法即可求{an}的通项公式：
（Ⅱ）求出bn，利用裂项法即可求数列{bn}的前n项和．
【详解】解：（I）由an2+2an＝4Sn+3，可知an+12+2an+1＝4Sn+1+3
两式相减得an+12﹣an2+2（an+1﹣an）＝4an+1，
即2（an+1+an）＝an+12﹣an2＝（an+1+an）（an+1﹣an），
∵an＞0，∴an+1﹣an＝2，
∵a12+2a1＝4a1+3，
∴a1＝﹣1（舍）或a1＝3，
则{an}是首项为3，公差d＝2的等差数列，
∴{an}的通项公式an＝3+2（n﹣1）＝2n+1：
（Ⅱ）∵an＝2n+1，
∴bn（），
∴数列{bn}的前n项和Tn（）（）.
【点睛】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．
18. 已知函数．
（1）若，求在处的切线方程；
（2）若方程有且仅有一个实数根，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）对函数求导数，求出在点处的斜率，最后求切线方程即可；
（2）方程有且仅有一个实数根，等价于只有一个交点，利用函数导数求出极值，再结合图像求出的取值范围即可.
【小问1详解】
当时，，则，
所以切线的斜率为，
又，
所以在处的切线方程为，即.
【小问2详解】
若方程有且仅有一个实数根，即有一根，
即两个函数图像只有一个交点，
由，令，则或，
所以在和上单调递增，
令，则，
所以在上单调递减，
所以的极大值为，极小值为，如图所示：

由图可知，当或时，两个函数图像只有一个交点，
故方程有且仅有一个实数根，
实数a的取值范围为.
19. 杭师大附中三重门樱花是师附校友心中最美的记忆．每年樱花季，在樱花树下流连超10小时的称为“樱花迷”，否则称为“非樱花迷”．从调查结果中随机抽取50人进行分析，得到数据如表所示：

樱花迷
非樱花迷
合计
男
20

26
女

14

合计


50

（1）补全列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为是否为“樱花迷”与性别有关联？
（2）现从抽取的“樱花迷”人群中，按性别采用分层抽样的方法抽取6人，然后从这6人中随机抽取2人，记这2人中男“樱花迷”的人数为X，求X的分布列和数学期望．
附：参考公式：，其中．

0.10
0.05
0.01
0.005
0.001

2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

【答案】（1）列联表见解析；不能
（2）分布列见解析；
【解析】
【分析】（1）补全列联表，计算卡方，进行独立性检验；
（2）由超几何分布概率公式计算X的所有可能取值对应的概率，进而得出分布列和数学期望.
【小问1详解】
列联表如下表所示：

樱花迷
非樱花迷
合计
男
20
6
26
女
10
14
24
合计
30
20
50

故根据小概率值的独立性检验，不能认为“樱花迷”与性别有关联.
【小问2详解】
由可得，抽取的6人中男生为4人，女生为2人.
则X的所有可能取值为..
X的分布列如下表：
X







则数学期望为.
20. 如图，三棱柱中，侧面为矩形，且为的中点，．

（1）证明：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接与交于点，连接，则，利用线面平行的判定定理即可证明；
（2）由已知条件得面，则，由得.以为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，由面得平面的一个法向量为，设平面的法向量为，由求得，然后利用向量夹角公式求解即可.
【小问1详解】
连接与交于点，连接

为三棱柱，为平行四边形，点为的中点
又为的中点，则，
又平面平面，平面．
【小问2详解】
解法1：
，面
面，

，，即
以为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，




面，则平面的一个法向量为
设平面的法向量为，则，即
令
设平面与平面的夹角为，

平面与平面的夹角的余弦值是．
解法2：设点为的中点，点为的中点，
连接交于点，连接，

设点为的中点，连接
点为的中点，点为的中点
且，点为的中点
为矩形，
又平面，
在中，，可得
为等腰直角三角形，其中
而点为中点，且
点为的中点，点为的中点
且，
又在Rt中，，点为的中点，
在中，，且点为的中点
且
即为平面与平面的夹角
在中，
．
平面与平面的夹角的余弦值是．
21. 已知椭圆的左焦点为F，C上任意一点M到F的距离最大值和最小值之积为3，离心率为.
（1）求C的方程；
（2）若过点的直线l交C于A，B两点，且点A关于x轴的对称点落在直线上，求n的值及面积的最大值.
【答案】（1）；
（2），面积的最大值为.
【解析】
【分析】（1）由已知，根据，可得，.根据已知得到，，根据离心率值即可求出的值；
（2）设，，由已知可得，即.联立直线与椭圆方程，根据，得到.根据韦达定理求出，.根据坐标表示出弦长以及点到直线l的距离，即可得出
.进而根据基本不等式，结合的范围换元即可求出面积的最小值.
【小问1详解】
解：由题意可得，
，，.
又因为，，，
由已知可得，即，
又椭圆C的离心率，所以，则，
解得，所以，
所以椭圆C的方程为.
【小问2详解】
解：设，，又，
因为，所以，所以，
化简整理得①.
设直线，联立直线与椭圆方程
化简整理可得，
，可得②，
由韦达定理，可得，③，
将，代入①，
可得④，
再将③代入④，可得，解得，
所以直线l的方程为，
且由②可得，，即，
由点到直线l的距离，，
.
令，则，
当且仅当时，即，等号成立，
所以面积S最大值为.
22. 已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若有两个不同的零点，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）
【解析】
【分析】（1）通过分类讨论，利用导数求函数的单调区间；
（2）有两个不同零点，构造函数，则有两个不等实根，令，设，由的值域可得的取值范围为．
【小问1详解】
函数，定义域为，，
当时，恒成立，在上单调递增；
当时，解得，解得，在上单调递增，在上单调递减.
【小问2详解】
有两个不同零点，，
由，可得，
构造函数，，
所以为上的增函数，且，
即有两个不等实根，，则，
令，，由，可得，又，
所以，则，，
故，
而两边取对数，可转化为，即，
设，则在上恒成立，，
设，，
在上恒成立，在递增，
，在上恒成立，得在上恒成立，
则在递减，所以的最小值接近极限值，
设，则，
，
所以的最小值无限接近3，即得的取值范围为．
【点睛】方法点睛：
1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.