浙江省杭州市六县九校联考2022-2023学年高一数学下学期期中试题（Word版附答案）

这是一份浙江省杭州市六县九校联考2022-2023学年高一数学下学期期中试题（Word版附答案），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年浙江省杭州市六县九校联盟高一（下）期中数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  已知集合，，则(    )A.  B.  C.  D. 2.  设，，，则(    )A.  B.  C.  D. 3.  设，则“”是“”的(    )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件4.  如图，一个水平放置平面图形的直观图是边长为的菱形，且，则原平面图形的面积为(    )A.
B.
C.
D. 5.  下列命题中正确的是(    )A. 如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行
B. 平面内有不共线的三个点，，到平面的距离相等，则
C. ，，则
D. ，，，则6.  圣索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点，其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美小明为了估算索菲亚教堂的高度，在索非亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点三点共线处测得楼顶，教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则估算索菲亚教堂的高度为(    )
 A.  B.  C.  D. 7.  正方体的棱长为，点，，分别是棱，，中点，则过点，，三点的截面面积是(    )A.
B.
C.
D. 8.  已知，且，则的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.  下列命题为真命题的是(    )A. 复数的虚部为
B. 若为虚数单位，则
C. 复数在复平面内对应的点在第三象限
D. 复数的共轭复数为10.  在中，角，，的对边分别是，，，下列说法正确的是(    )A. 若，则
B. 若，，，则有两解
C. 若，则为锐角三角形
D. 若，则为等腰三角形或直角三角形11.  已知向量，，，，则(    )A. 若，则在方向上的投影向量为
B. 与共线的单位向量为
C. 若，则
D. 的最小值为12.  如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于，的动点，，则下列结论正确的是(    )A. 圆锥 的侧面积为
B. 三棱锥体积的最大值为
C. 的取值范围是
D. 若，为线段上的动点，则的最小值为
 第II卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.  复数，为虚数单位，则 ______ ．14.  如图，在单位圆中，，、分别在单位圆的第一、二象限内运动，若，为等边三角形，则 ______ ．
 15.  已知菱形的边长为，，点，分在边，上，，若，则的最小值为______．16.  已知圆锥底面圆的直径为，高为，在该圆锥内放置一个棱长为的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则的最大值为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
已知，，与的夹角是．
计算：；
当为何值时，18.  本小题分
已知向量，，
若，求的值；
记，若对于任意，，恒成立，求实数的最小值．19.  本小题分
如图，游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径：一种是从处沿直线步行到处；另一种是先从处沿索道乘缆车到处，然后从处沿直线步行到处，现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为，在甲出发
后，乙从处乘缆车到处，再从处匀速步行到处，假设缆车的速度为，山路长为，经测量，．
从处到处，乙乘坐缆车的时间是多少？
乙出发多长时间后，乙在缆车上与甲的距离最短？
20.  本小题分
如图，斜三棱柱中，，分别为，上的点．
当时，求证平面；
若平面平面，求的值，并说明理由．
21.  本小题分
在，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知在中，角，，的对边分别是，，，_____．
求角的值；
若角的平分线交于点，且，求的最小值．22.  本小题分
已知．
当时，解不等式；
若，且函数的图像与直线有个不同的交点，求实数的取值范围；
在的条件下，假设个交点的横坐标分别为，，，且，若恒成立，求实数的取值范围．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：由题设．
故选：．
利用集合的交运算即可求解．
本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．
 2.【答案】 【解析】解：因为，，，
所以，，
所以．
故选：．
利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．
本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力等核心素养，是基础题．
 3.【答案】 【解析】解：由，得，
由，得，即，
，
“”是“”的充分不必要条件．
故选：．
分别求解一元二次不等式与绝对值的不等式，再结合充分必要条件的判定可得答案．
本题主要考查了一元二次不等式与绝对值不等式的解法，考查充分必要条件的判断，属于基础题．
 4.【答案】 【解析】解：根据题意，把直观图还原出原平面图形为平行四边形，如图所示：
其中，，
所以原平面图形的面积为．
故选：．
把直观图还原出原平面图形，是平行四边形，计算原平面图形的面积即可．
本题考查了直观图与原平面图形的关系应用问题，是基础题．
 5.【答案】 【解析】解：对于：若一条直线与一个平面平行，这条直线与平面内的无数条直线平行，但不是任意一条，A错误；
对于：由题意可得：或与相交，B错误；
对于：根据题意可得：或，C错误；
对于：，则，使得，则，
，，，
，D正确；
故选：．
根据线面平行的判断和性质理解辨析．
本题主要考查空间直线、平面位置关系的判定，命题真假的判断，考查逻辑推理能力，属于基础题．
 6.【答案】 【解析】解：由题意知：，所以，
在中，，
在中，由正弦定理得，
所以，
在中，．
故选：．
由正弦得出，再结合正弦定理得到，进而能求．
本题考查解三角形的实际应用，考查正弦定理的应用，考查数学运算和直观想象的核心素养，属于中档题．
 7.【答案】 【解析】解：如图，设的中点为，连接并延长，交延长线于，交延长线于，连接交于，
连接交于，连接，，则六边形为过点，、三点的截面，

由题意可知，≌，则，
故≌，可知，即为的中点，
同理可证为的中点，故可知六边形为正六边形，
且边长为，
故其面积为，即过点、三点的截面面积是，
故选：．
作图作出过点、，三点的截面，说明截面为正六边形，求得边长即可求得截面面积．
本题考查了正方体的结构特征，考查了平面被正方体截得的图形问题，主要考查空间想象能力和计算能力，属于基础题．
 8.【答案】 【解析】解：，
，，
设，，则，
则，，
在单调递减，在上单调递增，
，时，；时，，
的取值范围为：．
故选：．
可得出，根据条件得出，设，，，从而得出，，然后根据函数的单调性可得出的取值范围，进而得出的取值范围．
本题考查了对数函数的单调性，对数的运算性质，对勾函数的单调性，考查了计算能力，属于中档题．
 9.【答案】 【解析】解：复数的虚部为，故A错误；
，故B正确；
复数在复平面内对应的点在第三象限，故C正确；
，其共轭复数为，故D错误．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数虚部，共轭复数的定义，复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数虚部，共轭复数的定义，复数的几何意义，属于基础题．
 10.【答案】 【解析】解：对于，，
，根据同角三角函数基本关系式可知，故A正确；
对于，由正弦定理可得：，
，
此时无解，故B错误；
对于，，
，可知，，均为锐角，故为锐角三角形，故C正确；
对于：，，
，，，或，故D正确．
故选：．
利用正、余弦定理对每项逐一判断即可得解．
本题考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．
 11.【答案】 【解析】解：时，，，
在方向上的投影向量为：，A正确；
B.与共线的单位向量为：或，B错误；
C.，，
，，C错误；
D.，
，
的最小值为：，D正确．
故选：．
A.时，，得出，然后根据投影向量的计算公式即可求出在方向上的投影向量，从而判断出的正误；
B.与共线的单位向量为，从而判断的正误；
C.根据得出，进而得出，然后即可判断的正误；
D.可求出，然后配方即可判断的正误．
本题考查了投影向量的计算公式，向量坐标的加法、数乘和数量积的运算，根据向量的坐标求向量的长度的方法，单位向量的定义及求法，配方求二次函数最值的方法，考查了计算能力，属于基础题．
 12.【答案】 【解析】【分析】本题考查旋转体及其特征，考查剪展问题中最值的求法，考查棱锥体积的求法，考查空间想象能力及思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
由已知求出圆锥侧面积判断；求出三棱锥体积的最大值判断；由极限观点求解的取值范围判断；利用剪展问题求得的最小值判断．【解答】解：在中，，，
则圆锥 的侧面积为，故A错误；
当位于中点时，面积取最大值，为，
此时三棱锥体积的最大值为，故B正确；
当点与点重合时，，为最小角，当点与点重合时，，为最大角，
又因为点与，不重合，
故，
又，
可得的取值范围是，故C错误；
若，以为轴把平面旋转至与平面共面，连接，交于，如图所示，

在此平面图中，易得为等边三角形，，且，
则，在中，，
由余弦定理可得，
，即的最小值为，故D正确．
故选：．  13.【答案】 【解析】解：由题意，，
则．
故答案为：．
先化简复数，再由复数的模长公式计算即可．
本题考查复数的运算，考查复数的模长公式，属于基础题．
 14.【答案】 【解析】解：，解得，
而点在第二象限，
则，
，
．
故答案为：．
根据三角形面积公式求出，然后结合两角和与差的正弦公式，即可求解．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，以及正弦函数的两角差公式，属于中档题．
 15.【答案】 【解析】解：如图，

，且，



，
由题意可得，，，
，
，则，
当且仅当时等号成立，
的最小值为．
故答案为：．
由题意画出图形，把用表示，最后转化为含有，的代数式，再结合 及基本不等式求得的最小值．
本题考查平面向量的数量积，考查学生的运算能力，属于中档题．
 16.【答案】 【解析】解：四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球，
设球心为，球的半径为，下底面半径为，轴截面上球与圆锥母线的切点为，圆锥的轴截面如图：
则，，．
三角形为等边三角形，故是的中心，
连接，则平分，．
，即，
即四面体的外接球的半径为．
另正四面体可以从正方体中截得，如图：
从图中可以得到，当正四面体的棱长为时，截得它的正方体的棱长为，
而正四面体的四个顶点都在正方体上，
故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，
，
即的最大值为．
故答案为：．
根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，然后利用分割补形法求得的最大值．
本题考查正四面体的外接球，考查化归与转化思想，训练了分割补形法的应用，是中档题．
 17.【答案】解：．
，
，
，即，解得，
故当时，成立． 【解析】，再结合数量积的运算公式，即可求解．
根据已知条件，结合数量积的运算公式，即可求解．
本题主要考查数量积的运算公式，属于基础题．
 18.【答案】解：由，
则，
即，
即，
又，
则；
，
又，
则，
则，
又对于任意，，而恒成立，
则，
故实数的最小值为． 【解析】由，则，再求解即可；
由，又，则，又对于任意，，恒成立，等价于，得解．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了三角函数恒等变换及三角函数最值的求法，属中档题．
 19.【答案】解：在中，因为，所以，，
从而，
由正弦定理，得，乙乘缆车的时间是；
假设乙出发分钟后，甲、乙距离为，此时，甲行走了，
乙距离处，所以由余弦定理得，
因为，故当时，甲、乙两游客距离最短． 【解析】先利用两角和的正弦公式求得，再根据正弦定理求出的长，从而可求乙乘坐缆车的时间；
设乙出发分钟后，甲、乙两游客距离为，此时，甲行走了，乙距离处，由余弦定理可求，进而可求的最小值；
本题考查了正余弦定理的应用，锐角三角函数定义，属中档题．
 20.【答案】解：证明：如图，当时，为线段的中点，
连接交于点，连接．
由棱柱的性质，知四边形为平行四边形，所以点为的中点．
在中，点、分别为B、的中点，
．
又平面，平面，
平面．
由已知，平面平面，
且平面平面，
平面平面
因此，同理．
，．
又，
，即． 【解析】欲证平面，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证与平面内一直线平行，当时，为线段的中点，连接交于点，连接，，平面，平面，满足定理所需条件；
根据平面与平面平行的性质定理可知，同理，根据比例关系即可求出所求．
本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及平面与平面平行的性质，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．
 21.【答案】解：选择条件：，
由正弦定理得，
，，
，
，即，
，，
，；
选择条件：，
，
，．
，；
选择条件：
，，
，
，
，即，．
，；
在中，在中，，
在中，，，，，
当且仅当，时等号成立，
的最小值为． 【解析】选择条件：根据已知条件，结合正弦定理，以及三角函数的恒等变换公式和角的取值范围，即可求解；选择条件：根据已知条件，结合余弦定理，以及角的取值范围，即可求解；选择条件：根据已知条件，结合正弦定理，以及余弦定理，即可求解；
由，可得，，进而利用均值不等式可求的最小值．
本题考查了解三角形，重点考查了正弦定理及余弦定理，考查三角形的面积公式，属中档题．
 22.【答案】解：当时，，
又，
或，
不等式的解集为，；
由题设得，
可得函数的大致图象，

所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，
要使函数的图像与直线有个不同的交点，
则，
所以，
解得，又，
所以的取值范围为；
由可知，当时，，为方程的两根，
则，即，
又在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在单调递增，，
(ⅰ)当，即时，是方程的较小根，，
在上单调递减，则，
；
(ⅱ)当，即时，是方程的正根，
，
，则，
综上，的取值范围为． 【解析】由题可得或，进而即得；
根据分类讨论可得函数的解析式，然后利用数形结合即得；
由题可得，分，讨论，结合条件求的取值范围即得．
本题主要考查函数零点与方程根的关系，考查函数性质的综合运用，考查分类讨论思想，数形结合思想以及运算求解能力，属于中档题．