浙江省杭州第二中学2023届高三数学下学期5月月考试题（Word版附解析）

这是一份浙江省杭州第二中学2023届高三数学下学期5月月考试题（Word版附解析），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
杭州二中2022学年第二学期高三年级5月月考
数学试题卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 对于，，，则，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二项分布的概率公式可得，再根据指数函数与二次不等式的求法，结合交集与补集的计算求解即可.
【详解】由题意，，解得，，故，即，
则，
满足，即，，解得或，
故，故，.
故选：B
2. 若复数z满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】首先设复数，(不同时为0)，根据条件化简求得的关系式，再根据复数模的几何意义求最值.
【详解】设，(不同时为0)，
，
由题意可知，得或，
当时，的轨迹是轴（除原点外），此时的几何意义表示复数表示的点和的距离，此时，
当时，复数的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，如图，

根据复数模的几何意义可知，的几何意义是圆上的点到的距离，如图可知，
的最小值是点与的距离.
故选：C
3. 已知单位向量和向量、满足，，则的最大值为（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，再分别设，，根据题意可得轨迹方程，再根据数量积公式数形结合分析即可.
【详解】设，，由可得，化简可得，即.
设，则由可得，故的轨迹为以为焦点，的椭圆，其方程为.
设夹角为，则，由圆与椭圆的性质可得，，，，故当同向，均往负半轴时，取得最大值.

故选：B
4. （ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先构造二项式，再根据两边求导，再变形后求导，赋值后即可求解.
【详解】，两边求导得，
，两边乘以后得，
，两边求导得，
，
取得.
故选：A
5. 已知，x，，则的最小值为（ ）
A. －2 B. C. －1 D.
【答案】A
【解析】
【分析】将目标式化为，应用基本不等式及已知可得，注意等号成立条件，进而求目标式最小值.
【详解】由，且，，
所以，仅当，时等号成立，
所以，故当时目标式取最小值为.
故选：A
6. ，，，，则四者的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】观察可得判断，，，在处的函数值大小，再分别构造函数分析即可.
【详解】构造函数，，，.
考查，，令可得，易得当时，单调递增，故，即，.故，即.
考查，，则，故，为增函数，，即.
故当时，有，，，，即，.
构造函数，，
令，，
当时，，单调递增，
又，所以，又，
所以，在成立，所以，即.
再考查.
令，则，故在定义域上单调递减，，故，
令，，则，对求导有，故为增函数，故，故为增函数，，则，故当时，.
又，故当时，故.
故，，则，即
综上有.
故选：D
7. 数列满足，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意化简可得，根据，利用累加法可得；根据，利用累加法计算化简可得，进而得出，令计算即可.
【详解】显然，对任意，．，
化简可得，所以，则，
累加可得，所以．
又，所以，
则
，
注意到，
所以，则，
所以．综上．
当时，，，即.
故选：C.
8. 对正实数a有在定义域内恒成立，则a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用导数研究单调性，得极小值，将问题转化为在上恒成立，再应用导数研究左侧的最小值，即可求解.
【详解】由题设且，令，则，
所以在上递增，显然趋向0时趋向，，
故使，即，则，
所以，在上，递减；在上，递增；
故，
要上恒成立，则，即恒成立，
令且，则，故时，时，
所以上递减，上递增，则，
且当时，,
综上，，可得.
故选：C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列选项不正确的是（ ）
A. 零向量垂直且平行于任意向量
B. －1是奇数
C. 对于拟合函数，预测值为1.5，观测值为1，残差为0.5
D. 直线、圆、点均属圆锥曲线
【答案】CD
【解析】
【分析】由零向量性质、奇数定义判断A、B；由残差定义判断C；由圆锥曲线定义判断D.
【详解】A：由零向量性质：方向任意，故其与任意向量都垂直且平行，对；
B：由不能被2整除，故－1是奇数，对；
C：残差是观测值与估计值的差，故残差为，错；
D：直线、点不是圆锥曲线，错.
故选：CD
10. 下列选项不正确的是（ ）
A. 平面内三点可以确定一条圆锥曲线
B. 圆是特殊的椭圆
C. 互斥事件相互独立
D. 掷两次骰子，事件A：第一次向上面为偶数，事件B：二次向上面数字和为7，则A、B相互独立
【答案】ABC
【解析】
【分析】对A，举反例判断即可；对B，根据椭圆的定义判断即可；对CD，根据独立事件的定义判断即可；
【详解】对A，若三点共线则确定不了圆锥曲线，故A错误；
对B，根据椭圆的定义可得，与两个定点的距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆，圆不满足，故B错误；
对C，设两互斥事件分别为，则，故不恒成立，故互斥事件不相互独立，故C错误；
对D，，，又，故，故A、B相互独立，故D正确；
故选：ABC
11. 在平行六面体中，，，，以下选项正确的是（ ）
A. 平行六面体的体积为 B.
C. 面 D. 二面角的余弦值为
【答案】AD
【解析】
【分析】对A，连接，交于，进而根据勾股定理余弦定理结合几何性质可得各线段长，再根据线面垂直的判定可得平面，进而根据柱体体积公式求解即可；对B，以为坐标原点建立如图空间直角坐标系，再根据线线角的向量做法求解即可；对C，根据空间向量数量积判断即可；对D，作于，可得二面角即，再根据余弦定理求解即可.
【详解】对A，连接，交于，则为，中点，
又由，可得为正三角形，
故.
又，，故，
故，故，
又，故，.
故，则，
又，，平面，故平面.

故平行六面体的体积为，故A正确；
对B，以为坐标原点建立如图空间直角坐标系，
则，
故，，
故，
故，故B错误；

对C，，
因为，，
又面，故面不成立，故C错误；
对D，由，故.
作于，由全等性质可得，
又，平面，则平面，则二面角的平面角为.
又，，故，
即二面角的余弦值为.故D正确；

故选：AD.
12. 已知曲线：，：，，，与的两条公切线、交于点P，O为坐标原点，下列选项正确的是（ ）
A. 时，与相切，与相切
B. 当时，与、的交点个数之和至多为2
C.
D. 当与一条公切线相切时，切点Q满足
【答案】AB
【解析】
【详解】此题解析征解
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 多项式中，项的系数为______（用数字作答）．
【答案】
【解析】
【分析】根据组合数的方法求解即可.
【详解】依题意，中，含项的为.
故答案为：
14. 有三个男生的平均身高为170cm，方差为30；有七个女生的平均身高为160cm，方差为40，则这10人身高的方差为______．
【答案】58
【解析】
【分析】根据男女生权重计算出10人的平均身高，该根据男女生权重和方差公式计算出新的方差.
【详解】由题意知，男生的平均身高、权重和方差分别为，，；
女生的平均身高、权重和方差分别为，，；
则，

.
故答案为：58.
15. 已知，关于的方程有且仅有一个解，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】由已知得出，设，则，再根据解的个数解的个数（且），分析讨论解的个数，即可得解．
【详解】因为，，
所以，且，
则，即，
设，
则，即有且仅有一个解，
因为解的个数解的个数（且），
所以下面讨论解的个数；
由，得其中，
（1）当时，
得，
令，，则，即，
因，
所以为增函数，
所以，
令，，则，
令得，
当，，即单调递减，
当，，即单调递增，
所以 ，
（ⅰ）当，即时，方程无解，即函数与的图像没有交点；
（ⅱ）当，即时，方程有一解，即函数与的图像有一个交点；
（ⅲ）当，即时，
当时，，当时，，
所以方程有两解，即函数与的图像有两个交点；
（2）当时，
由①②消去，得③，
由于，且，故，即，
对③式两边取自然对数，得，即，
两边取自然对数，得，
令，，
则，
由得，
令，，
则，
由得，
当时，；当时，；
所以当时，；
（ⅰ）当，即时，恒成立，
所以，
因为，，
所以，即当且仅当，且时等号成立；
所以在上为减函数，
又因为当时，；时，，
所以方程恰有一解，此时函数与的图像有一个交点；
（ⅱ）当时，即时，
因为当时；时，
所以存在，，使得，
所以，
当变化时，的变化情况如下表：





负
正
负

减
增
减
由上表可知，在内是减函数，在内是增函数，在内是减函数，
下面证明，；
，
令，
则当时，，
所以在内是增函数，
所以，即；
，，
令，，
易证为减函数，
所以当，，即；
因为，
所以，
又因为当时，，当时，，
所以在区间，，各有一个解，
此时函数与的图像有三个交点；
综上所述，函数与（且）图像的交点情况如下：
当时，没有交点；
当时，有1个交点；
当时，有2个交点；
当时，有1个交点；
当时，有3个交点；
所以或，
即或，
故答案为：．
【点睛】关键点睛：本题关键在于：①将解的个数转化为解的个数（且）；②分类讨论解的个数与之间的关系．
16. 已知椭圆：，其左、右焦点分别为、，直线过交于A、B两点，且有；双曲线：，与共焦点，其右支交于C、D，且，当最小时，m的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】直线与x轴不重合，设联立椭圆并应用韦达定理及求得，注意验证直线与x轴重合的情况，再由双曲线方程，结合椭圆、双曲线定义求m、n，进而确定最小时对应m值.
【详解】由题设且，令且，
若直线与x轴不重合，设，联立椭圆得，
所以，则，，
又，
而一定在x轴两侧，不妨设在x轴上方，在x轴下方，故，
所以，
则，
所以，
而直线与x轴重合时，也满足，
综上，椭圆，
由题意，，则，
所以，由为双曲线，则，故，
所以最小时，有.
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 在中，．
（1）求A；
（2）若线段AC上有一点D，设，则在上恰有两条对称轴（），求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理，结合余弦定理可得，再根据基本不等式与三角恒等变换可得即可；
（2）由（1）可得，从而，再根据周期与的大小关系列不等式可得或，再分别讨论求解即可.
【小问1详解】
由正弦定理，，故，
故，即，当且仅当，，即时取等号.
又，故
【小问2详解】
由（1），即，.
由题意，又在上恰有两条对称轴（），故的周期满足，即，故，又，故或.
当时，，可看作往左平移个单位，因为，故不满足题意；
当时，，可看作往左平移个单位，满足题意.
故
18. 数列满足，，，，．
（1）求的通项；
（2）若，恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据递推公式找出数列规律，得到是等比数列，由此求出其通项公式，继而得到的通项；
（2）将代入不等式中，可知不等式左边为正数，右边符号不确定，因此分类讨论n为偶数和奇数时的取值范围，取交集即可.
【小问1详解】
因为，，所以，
又，其中，，
由此可得，
所以，，
所以是以为首项，为公比的等比数列.
所以，解得，其中，，
检验：根据通项公式计算可得，，所以
【小问2详解】
由（1）可知，
当为奇数时，，
当时，取最小值，即，解得或；
当为偶数时，，
当时，取最小值，即，解得或；
综上：或，
故的取值范围为.
19. 四面体中，，，，，E为AC中点．
（1）证明：；
（2）若二面角的余弦值为，求a的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）过作面于，再过作，连接，求证是的角平分线，即在面上的投影为的角平分线，若为在面上的投影且在上，连接，由已知和线面垂直的性质有、，最后应用线面垂直的判定及性质证结论；
（2）若为的交点，到面的距离为，利用等体积法求得，再由及余弦定理求△中上的高，根据二面角的定义和已知余弦值求参数a.
【小问1详解】
过作面于，再过作，连接，如下图示：

由题设知：，又面，则，
由面，即，而，，面，
所以面，又面，故，同理可证：，
综上，△和△为等腰直角三角形，即△△，故，
所以△△，故，则△△，故，
所以是的角平分线，即在面上的投影为的角平分线，
如下图，若为在面上的投影且在上，则平分（即），连接，

由面，则，
在△中，，则，即，
又E为AC中点，故，故，
所以，易知：，
因为，面，故面，
因为面，所以.
【小问2详解】
若为的交点，由题意，即△为正三角形，
所以为中点，易知△△，即，且，
令到面的距离为，而，，
由，则，故；
结合（1）知：，故，
所以，即，故，，
，则，
综上，，
由，且，
所以，故，
所以△中上的高，
因为二面角的余弦值为，则正弦值为，即，
所以，即，
由得：.
20. 2022年，我国部分地区零星出现新冠疫情，为了有效快速做好爆发地区的全员核酸检测，我国专家突破难关，使得多合一混采检测情况下依然有效，即：多人的咽拭子合入一个样管进行检测．如果该样管中检测出的结果是阴性，就表示与该管相关的人检测结果都是阴性．否则，立即对该混管的多个受检者进行暂时单独隔离，并重新采集单管拭子进行复核，以确定其中的阳性者．采用多合一混采检测模式，是为了确保在发生新冠肺炎疫情时，能够短时间内完成大规模全员核酸检测工作，降低新冠前炎疫情在本地扩散风险．已知每人患病的概率为p，检测一组样本使用混管检测时，采用k人一管的检测方式并在完成检测后统计混阳管中每管阳性样本数．
（1）若，，证明：若检测结果为阳性，则很可能恰有一人为阳性；
（2）若，，以下为一次检测的阳性人数与管数的对应表，检测出阳性人数为x的管数为．
人数x
1
2
3
4
5
6
管数
23
14
7
3
2
1
（i）求其中每管阳性人数的期望；
（ii）若有，求的最小值；
（iii）对于正态分布函数，求的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）（i）；（ii）76；（iii）
【解析】
【分析】（1）设混管中有阳性为A，恰有1人阳性为B，由条件概率公式得，结合二项式定理计算证明即可；
（2）（i）由二项分布的期望公式求解；（ii）利用二次函数的性质求最小值；（iii）利用正态分布的性质求解.
【小问1详解】
设混管中有阳性为A，恰有1人阳性为B，
则，，，
，
若，则，
从而，
则，
所以，若检测结果为阳性，很可能恰有一人为阳性．
【小问2详解】
（i）每管阳性人数，则；
（ii）
，
故当时，取最小值76；
（iii）对于正态分布函数，则
则．
21. 已知双曲线，其左、右焦点分别为、，上有一点P满足，．
（1）求b；
（2）过作直线l交于B、C，取BC中点D，连接OD交双曲线于E、H，当BD与EH的夹角为时，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据得，利用余弦定理得，即可求出；
（2）设直线BC的方程为，与双曲线联立，设，结合韦达定理可得，，，进而得点坐标及，直线的方程与双曲线联立，设，可得，当BD与EH的夹角为时，由可得，及，从而，结合二次函数的性质求得，进而由求得答案.
【小问1详解】
由题意,，
，，
在中,由余弦定理得，
，
则，即，.
【小问2详解】

双曲线，，
设直线BC的方程为，
由，得，即，
由题意，，
设，则，
则，
则，
则，，直线的方程为，
由，得，由题意，解得，
设，则，
当BD与EH的夹角为时，，
则，得，可知，
所以
，
，，，，
所以，
即的取值范围是．
22. 已知，，．
（1）若恒成立，证明：；
（2）对于有，其根可设为，相同地，对于，其根可设为，令．
（i）证明：在上单调递增；
（ii）若，求n的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）（i）证明见解析；（ii）．
【解析】
【分析】（1）由题意可得恒成立，所以，利用导数求出函数的最小值的近似值，即可证出；
（2）（i）利用单调性的定义即可证出；
（ii）设，，原不等式可等价于，再求出函数的范围，即可解出．
【小问1详解】
［方法一］：由恒成立可得，恒成立，即.
设，则，再设，
，所以函数在上递增，而，（后面补证），
，即存在唯一的零点使，即．
故当时，，单调递减，当时，，单调递增，因此，由函数，，
易知函数在上单调递减，所以
．
下面证明
设，则，所以函数在上递减，故当时，，
即．
［方法二］：由方法一可知，，所以，故存在唯一的零点使．
设，，
所以，即，
所以当时，，
设，则
故，即，原不等式得证．
【小问2详解】
（i）设，记，，由可得，即，
所以，，设，
，所以函数在上递增，在上递减，而且当时，，其大致图象如下：

当时，直线与曲线只有一个交点，即有唯一的实根，且根在内．
因为，所以，即，而函数在上递增，故，即在上单调递增．
（ii）设，由题可知，，即，由（i）可知，，且，
设，所以，即，
解得：，即，
原不等式等价于，即，所以，，
设，，
，所以，
即，即，所以n的取值范围为．
【点睛】本题解题关键是等价转化，第一问将恒成立问题转化为最值问题，通过放缩解出，第二问第一小问，因为无法求出的表达式，所以通过定义证明，第二小问，利用比值代换，将原不等式转化为恒成立，进而通过导数求最值得出．