第二单元《比例》（原卷版+解析版）——【期末复习】2022-2023学年六年级下册数学单元复习知识点+练习学案（北师大版）

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2022-2023学年北师大版六年级下册同步重难点讲义精讲精练
第二单元 比例






知识点一：比例的认识
1.只有比值相等的两个比才能组成比例。
2.每个比例都有两个内项和两个外项组成，并且两个外项之积等于两个内项之积。用字母表示：如果a:b=c:d或ab=cd，那么ad=bc。
3.比例与比的联系与区别：比例是一个等式，等号的两端都是比，且比值相等；比表示两个数的相除关系
知识点二：比例的应用
1.根据外项之积等于内项之积的规律可以求比例中的未知项，就是解比例。
2.解比例实际上就是解方程，要做好检验
知识点三：比例尺
1.比例尺不是一把尺子，比例尺是一个比，是图上距离与实际距离的比。
2.按呈现形式，比例尺可以分为：数值比例尺与线段比例尺。
按放缩关系，比例尺可以分为：放大比例尺与缩小比例尺。
3.比例尺的应用
图上距离：实际距离=比例尺或图上距离实际距离=比例尺
图上距离=实际距离×比例尺 实际距离=图上距离÷比例尺
4.应用比例尺解决问题时，图上距离与实际距离的单位要统一。
5.应用比例尺画图，要先标出比例尺，并根据比例尺计算出图上距离后再画图
知识点四：图形的放大和缩小
1.无论是将图形放大还是缩小，虽然图形的大小发生了变化，但是都要保持形状不变。
2.将图形按一定的比放大或缩小，长度变化，角度不变。
3.按一定的比放大或缩小图形，注意将水平方向与垂直方向的线段按同样的比放大或缩小

考点1：比例的意义和基本性质
【典例分析01】（2022春•房县期中）能与3：4组成比例的是（　　）
A．： B．： C．4：3
【思路点拨】表示两个比相等的式子叫比例，分别求出题干和各选项中比的比值，找到与题干比值相等的选项即可。
【规范解答】解：
3：4＝
A.：＝×4＝
B.：＝×3＝
C.4：3＝
故选：B。
【考点评析】本题考查了比例的意义和性质，关键是理解比例的意义，求比值直接用前项÷后项即可。
【典例分析02】（2022秋•定州市期末）如果6x＝8y，那么x：y＝　4　：　3　。
【思路点拨】根据比例的性质，把所给的等式6x＝8y，改写成一个外项是x，一个内项是y的比例，则和x相乘的数6就作为比例的另一个外项，和y相乘的数8就作为比例的另一个内项，据此写出比例即可.
【规范解答】解：如果6x＝7y，
那么x：y＝8：6＝4：3。
故答案为：4，3。
【考点评析】此题考查把给出的等式改写成比例式，在改写时要注意：相乘的两个数要做内项就都做内项，要做外项就都做外项。
【随堂演练01】（2023•郧阳区模拟）在一个比例中，两个外项的积加上两个内项的积结果是160，其中一个外项是20，另一个外项是　4　
【思路点拨】由比例的基本性质得，两个外项的积：160÷2＝80，由于一个外项是20，所以另一个外项是80÷20＝4。
【规范解答】解：160÷2＝80
80÷20＝4
答：另一个外项是4。
故答案为：4。
【考点评析】此题主要考查比例的基本性质：在比例里，两内项的积等于两外项的积。
【随堂演练02】（2022•济南）已知（a、b均不为0），那么a：b＝　4　：　3　。
【思路点拨】运用比例的基本性质作答，即在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。
【规范解答】解：因为
所以a：b＝：＝4：3
答：a：b＝4：3。
故答案为：4，3。
【考点评析】本题主要是灵活利用比例的基本性质解决问题。
考点2：解比例
【典例分析03】（2022•达川区）在一个比例里，两个外项分别是和，两个内项分别是x和，求x的值是（　　）
A． B． C． D．
【思路点拨】根据比例的两个外项的积等于两个內项的积列方程计算。
【规范解答】解：x＝×
x÷＝÷
x＝
答：x的值是。
故选：A。
【考点评析】解答本题需熟练掌握比例的基本性质，灵活利用等式的性质解方程。
【典例分析04】（2022秋•定州市期末）解比例。
＝
x：0.8＝9：4
：x＝：
【思路点拨】根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的另外一个未知项，求比例中的未知项，叫做解比例；一般来说，求比例的未知项有以下两种情况：（1）求未知外项＝；（2）求未知内项＝。
【规范解答】解：＝
4.5X＝0.9×0.8
4.5X÷4.5＝0.72÷4.5
X＝0.16

x：0.8＝9：4
4x＝0.8×9
4x÷4＝0.8×9÷4
x＝1.8

：x＝：
x＝
x＝
x＝
【考点评析】本题考查了利用比例的性质解比例。
【随堂演练03】（2022春•固始县期中）解方程或比例。
：＝x：9
9：x＝
8（x﹣2）＝2（x+7）
【思路点拨】（1）首先根据比例的基本性质化简，然后根据等式的性质，两边同时乘即可；
（2）首先根据比例的基本性质化简，然后根据等式的性质，两边同时除以4.5即可；
（3）首先根据等式的性质，两边同时减去2x，然后两边再同时加上16，最后两边同时除以6即可。
【规范解答】解：（1）：＝x：9
x＝×9
x＝6
x×＝6×
x＝

（2）9：x＝
4.5x＝9×0.8
4.5x＝7.2
4.5x÷4.5＝7.2÷4.5
x＝1.6

（3）8（x﹣2）＝2（x+7）
8x﹣16＝2x+14
8x﹣16﹣2x＝2x+14﹣2x
6x﹣16＝14
6x﹣16+16＝14+16
6x＝30
6x÷6＝30÷6
x＝5
【考点评析】此题主要考查了根据等式的性质解方程的能力，即等式两边同时加上或同时减去、同时乘或同时除以一个数（0除外），两边仍相等，以及解比例问题，注意比例的基本性质的应用。
【随堂演练04】（2022春•福清市期中）解比例。
20：8＝x：12
＝
x：2.5＝12：15
：＝
【思路点拨】（1）根据比例的基本，原式化成8x＝20×12，再根据等式的性质，方程两边同时除以8求解；
（2）根据比例的基本，原式化成0.7x＝2.4×35，再根据等式的性质，方程两边同时除以0.7求解；
（3）根据比例的基本，原式化成15x＝2.5×1.2，再根据等式的性质，方程两边同时除以15求解；
（4）根据比例的基本，原式化成x＝×1.5，再根据等式的性质，方程两边同时除以求解。
【规范解答】解：（1）20：8＝x：12
8x＝20×12
8x÷8＝240÷8
x＝30

（2）＝
0.7x＝2.4×35
0.7x÷0.7＝84÷0.7
x＝120

（3）x：2.5＝12：15
15x＝2.5×1.2
15x÷15＝3÷15
x＝0.2

（4）：＝
x＝×1.5
x＝3.75
x＝11.25
【考点评析】考查学生依据等式的性质、比例的基本性质解方程的能力，注意等号对齐。
考点3：比例的应用
【典例分析05】（2022春•苍南县期中）下列的比中，不能与3：2组成比例的是（　　）
A．3：2 B．： C．6：4 D．：
【思路点拨】根据比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例；由此依次算出各选项的比值，找出与3：2比值不相等的选项即可。
【规范解答】解：3：2＝
A.3：2＝，所以本选项不符合题意；
B.：＝2：3，所以本选项符合题意；
C.6：4＝，所以本选项不符合题意；
D.：＝，所以本选项不符合题意。
故选：B。
【考点评析】本题主要是应用比例的意义解决问题。
【典例分析06】装订一批书籍，计划每天装订90本，20天装订完。实际提前5天完成任务，实际每天装订多少本？（用比例解）
【思路点拨】每天装订的本数×天数＝总本数（一定），每天装订的本数和天数成反比例关系。据此用比例求出实际每天装订多少本。
【规范解答】解：设实际每天装订x本。
90×20＝（20﹣5）×x
15x＝1800
x＝120
答：实际每天装订120本。
【考点评析】如果相关的两个量的比值一定，这两个量成正比例关系，如果相关的两个量的乘积一定，这两个量成反比例关系。
【随堂演练05】（2022春•元氏县期中）六一班有男生30人，女生18人，又转来一部分女生，这时，女生的人数与男生人数的比是2：3，又转来了多少名女生？
【思路点拨】设后来转来x个女生，这时女生的人数与男生人数的比是2：3，根据等量关系：（原有女生人数+后来转来女生人数）：男生人数＝2：3，列方程解答即可。
【规范解答】解：设又转来了x名女生。
（18+x）：30＝2：3
54+3x＝60
3x＝6
x＝2
答：又转来了2名女生。
【考点评析】本题考查了比的应用，关键是根据等量关系：男生人数：（原有女生人数+后来转来女生人数）：男生人数＝2：3，列方程。
【随堂演练06】（2023•红安县模拟）小慧在上大学，爸爸每个月（按30天算）按每天30元的标准给她一笔零花钱。如果小慧实际每天少花5元，爸爸给她一个月的零花钱实际可用多少天？
【思路点拨】每月天数乘爸爸每天给的钱数即为这个月小慧的生活费，积一定，则每天花的钱数与天数成反比；设爸爸给她一个月的零花钱实际可用x天，可得到方程（30﹣5）x＝30×30，解方法即可解答。
【规范解答】解：设爸爸给她一个月的零花钱实际可用x天。
（30﹣5）x＝30×30
25x＝900
x＝36
答：爸爸给她一个月的零花钱实际可用36天。
【考点评析】这是一道比例的应用题，找出题目中的比例关系是解题的关键。
考点4：图形的放大和缩小
【典例分析07】（2022秋•北碚区期末）按要求作图。

（1）把图形①各边放大到原来的2倍，画出放大后的图形。
（2）把图形②各边缩小为原来的画出缩小后的图形。
（3）在图形②里画一个最大的圆。
【思路点拨】（1）把图形①平行四边形的各边放大到原来的2倍，就是把原平行四边形的底和高分别扩大到原来的2倍，据此画图解答即可；
（2）把图形②的各边缩小到原来的，就是把正方形形的边长都缩小到原来的，据此画图即可。
（3）根据圆的画法，用正方形边长的一半为半径，以正方形对角线的交点为圆心，在图形②里画一个最大的圆即可。
【规范解答】解：作图如下：

【考点评析】本题是考查图形的放大与缩小及圆的画法，结合题意分析解答即可。
【典例分析08】（2022•湘潭县）按要求操作。

（1）画出图①的一条对称轴。
（2）图②是一个直角三角形，如果用数对（10，8）表示点A的位置。对么点B在 　12，8　，点C在 　10，9　。
（3）画出图②向左平移4格后的图形。
（4）画出图②按3：1放大后的图形。
【思路点拨】（1）图①有4条对称，4个内角对角的平分线所在的直线，4个外角对角线所在的直线。据此画它的一条对称轴即可。
（2）根据利用数对表示物体位置的方法，用数对表示物体的位置时，列数在前，行数在后。据此解答。
（3）根据图形平移的性质，图形平移后，图形的形状和大小不变，只是图形的位置发生了变化。据此画出平移后的图形。
（4）根据图形放大的方法，先分别求出放大3倍后，三角形的底和高各是多少，据此按照三角形的画法画出放大后的图形。
【规范解答】解：（1）作如如下：
（2）如果用数对（10，8）表示点A的位置。对么点B在（12，8），C点在（10，9）。
（3）作图如下：
（4）2×3＝6
1×3＝3
作图如下：

故答案为：12、8、10、9。
【考点评析】此题考查的目的是理解掌握轴对称图形的性质、图形平移的性质及应用，利用数对表示物体位置的方法及应用，图形放大的方法及应用。
【随堂演练07】（2022•玉屏县）画出如图三角形ABC向右平移4格得到图形1（三角形A′B′C′），再画出三角形A′B′C′以点C′为中心点顺时针旋转90°后得到图形2，最后画出图形2按照2：1的比例放大的图形3，请保留作图痕迹。

【思路点拨】（1）找出三角形ABC的关键点向右平移4格后的对应点，依次连接各点，最后标注图形1三角形A′B′C′；
（2）以点C′为旋转中心，画出点C′出发的两条边按顺时针方向旋转90°后的对应边，并根据原图形状画出其它两条边，最后标注图形2；
（3）把图形2的各边长扩大到原来的2倍，画出扩大后的图形，最后标注图形3。
【规范解答】解：解答如下：

【考点评析】本题主要考查旋转、平移、放大图形的作图方法，关键是找出原图形关键点或关键边的对应边。
【随堂演练08】（2022•丹凤县）按要求填一填，画一画。
（1）图中 　③　号图形是①号图形放大后的图形，它是按 　3　：　1　的比放大的。
（2）画出将图形①缩小的图形，使得缩小后的图形与原图形对应线段长的比是1：2。

【思路点拨】（1）要找几号图形是①号图形放大后的图形，先找出比①号长方形大的图形，看看长和宽扩大的倍数是否一样，据此即可确定出要找的图形，然后数出扩大后的图形的长是几个格，同时数出原图的长是几个格，即可求出放大比例；
（2）将图形①的长和宽同时缩小2倍。
【规范解答】解：（1）图中比①大的图形有两个，②号、③号，
②号的长没有变化，所以③号图形是①号图形放大后的图形；
③号的长是12格，宽6格，
①号的长是4个格，宽2格，
12：4＝6：2＝3：1
答：图中③号图形是①号长方形放大后的图形，它是按 3：1放大的。
（2）如红色图像所示。

故答案为：③，3：1。
【考点评析】本题主要考查图形的放大与缩小，注意求放大或缩小的比：用放大或缩小后的边长：原图的对应边长。
考点5：比例尺
【典例分析09】（2022•潍城区）将如图的线段比例尺化成数值比例尺是（　　）

A．1：3000000 B．1：1000000 C．1：100000 D．1：10
【思路点拨】根据比例尺＝图上距离：实际距离，这个线段比例尺的意义是图上距离1cm等于实际距离10km，据此改写。
【规范解答】解：1cm：10km
＝1cm：1000000cm
＝1：1000000。
故选：B。
【考点评析】解答此题的关键是掌握比例尺的意义和相关公式。
【典例分析10】（2022春•云和县期中）把线段比例尺改写成数值比例尺是（　　）
A． B． C． D．
【思路点拨】这个线段比例尺的意义是图上距离1cm等于实际距离40km，据此改写。
【规范解答】解：1cm：40km
＝1cm：4000000cm
＝1：4000000
故选：C。
【考点评析】此题主要考查了比例尺的意义，要熟练掌握。
【随堂演练09】（2022秋•北碚区期末）把线段比例尺改写为数值比例尺是 　1：5000　。比例尺1：60000表示实际距离是图上距离的 　60000　倍。
【思路点拨】根据比例尺＝图上距离：实际距离，写出即可。
【规范解答】解：1cm：50m
＝1cm：5000cm
＝1：5000
把线段比例尺改写为数值比例尺是1：5000。比例尺1：60000表示实际距离是图上距离的60000倍。
故答案为：1：5000，60000。
【考点评析】解答此题的关键是掌握比例尺的意义和相关公式。
【随堂演练10】（2022•茌平区）按要求操作。

（1）把这幅地图的线段比例尺改写成数值比例尺是 　1：30000　。
（2）学校位于红红家 　北偏东50°　方向 　900　米处。
【思路点拨】（1）根据比例尺的意义把线段比例尺改写成数值比例尺即可。
（2）利用图上距离和比例尺计算实际距离，结合图上确定方向的方法“上北下南、左西右东”确定方向，利用图示角度完成填空。
【规范解答】解：（1）1厘米：300米
＝1厘米：30000厘米
＝1：30000
答：这幅图的比例尺改写成数值比例尺是1：30000。
（2）3×300＝900（米）
答：学校位于红红家北偏东50°方向900米处。
故答案为：1：30000；北偏东50°，900。
【考点评析】此题主要考查依据方向（角度）和距离判定物体位置的方法以及线段比例尺的意义。
考点6：图上距离与实际距离的换算（比例尺的应用）
【典例分析11】（2022春•莱山区期末）前进小学校园平面图的比例尺是1：1000，在该图上量得操场长20厘米，那么在比例尺是1：4000的平面图上操场长（　　）厘米。
A．2000 B．5 C．50 D．500
【思路点拨】这道题是已知比例尺、图上距离，求实际距离，先根据：实际距离＝图上距离÷比例尺求出操场长的实际距离，进而根据：图上距离＝实际距离×比例尺，解答即可。
【规范解答】解：20÷×
＝20000×
＝5（厘米）
答：在比例尺是1：4000的平面图上操场长5厘米。
故选：B。
【考点评析】此题主要考查比例尺、图上距离、实际距离三者之间的数量关系：比例尺＝图上距离÷实际距离，灵活变形列式解决问题。
【典例分析12】（2022秋•合川区期末）在比例尺为1：2000000的地图上，量得某地到重庆江北机场的距离是3cm，某地到重庆江北机场的实际距离是 　60　km。
【思路点拨】比例尺是1：2000000，图上距离是3厘米，根据实际距离＝图上距离÷比例尺，即可解答。
【规范解答】解：3÷＝6000000（厘米）
6000000厘米＝60千米
答：某地到重庆江北机场的实际距离是60km。
故答案为：60。
【考点评析】此题考查学生对比例尺的具体应用情况，以及对长度单位之间的换算的掌握。
【随堂演练11】（2022•孟津县）如面是河图公园附近的平面图。经过你的细心测量和计算，河图公园到汽车站和孟庄小学的实际距离各是多少米？

【思路点拨】根据题意，首先量出图上距离，然后根据比例尺求出实际距离即可。
【规范解答】解：根据图示，量出河图公园到汽车站的图上距离是2.2厘米，河图公园到孟庄小学的图上距离是2.4厘米，根据图上的比例尺是1：100000，解答如下：
2.2×100000＝220000（厘米）＝2200（米）
2.4×100000＝240000（厘米）＝2400（米）
答：河图公园到汽车站和孟庄小学的实际距离各是2200米和2400米。
【考点评析】本题考查了比例尺的意义和实际应用知识，结合题意分析解答即可。
【随堂演练12】（2022•孟津县）如图的图像表示一幅地图的图上距离和实际距离的关系。在这幅地图上，量得两地的图上距离是14cm，两地的实际距离是多少m？

【思路点拨】由于正比例的图象是一条直线，通过观察图象可知：图上距离和实际距离成正比例，根据比例尺的意义，求出这幅图的比例尺，然后根据实际距离＝图上距离÷比例尺，据此解答即可。
【规范解答】解：图中的比例尺是：
1：4000＝
14÷＝56000（厘米）＝560（米）
答：两地的实际距离是560米。
【考点评析】此题考查的目的是理解掌握正比例的意义、比例尺的意义及应用，结合题意分析解答即可。
考点7：比例尺应用题
【典例分析13】（2021秋•潼南区期末）在比例尺是1：200000的地图上，量得小华家到外婆家的距离是5cm，小华8：30从家出发，10：30走到外婆家，小华平均每时行（　　）
A．20km B．15km C．10km D．5km
【思路点拨】图上距离÷比例尺＝实际距离，据此代入数据求出小华家到外婆家的实际距离，再根据路程÷时间＝速度，求出小华平均每时行几千米。
【规范解答】解：5＝1000000（厘米）
1000000厘米＝10千米
10时30分﹣8时30分＝2时
10÷2＝5（千米）
答：小华平均每时行5千米。
故选：D。
【考点评析】明确图上距离、实际距离、比例尺三者间的关系是解题的关键。
【典例分析14】（2023•万州区模拟）在一幅比例尺是的地图上，量得甲地到乙地的距离是5厘米，甲地到乙地的实际距离是　110　千米。把这个线段比例尺改写成数值比例尺是　1：2200000　。
【思路点拨】由图知，图上1cm表示实际距离22千米，量得甲地到乙地的距离是5厘米，要求甲地到乙地的实际距离是多少千米，就是求5个22千米是多少，用乘法计算即可。然后再把这个线段比例尺改写成数值比例尺。
【规范解答】解：图上1cm表示实际距离22千米
22×5＝110（千米）
1厘米：22千米＝1厘米：2200000厘米＝1：2200000。
故答案为：110；1：2200000。
【考点评析】此题有计算公式可用，根据图上距离、比例尺和实际距离三者的关系，进行分析解答即可得出结论。
【随堂演练13】（2022秋•定州市期末）曲港高速公路（曲阳至黄骅港）是河北省“东出西联”出海通道，其定州段连通京昆和京港澳高速，填补安国、博野两地无高速公路的空白，项目建设里程约为92千米。在一幅1：4000000的地图上，这条高速公路的长度是多少？
【思路点拨】根据比例尺的意义，图上距离：实际距离＝比例尺来解决。
【规范解答】解：设这条高速公路的图上长度是x厘米。
92千米＝9200000厘米
x：9200000＝1：4000000
4000000×x＝9200000
x＝2.3
答：这条高速公路的图上长度是2.3厘米。
【考点评析】熟悉比例尺的意义是解决本题的关键。
【随堂演练14】（2022春•鹿城区校级期中）在比例尺是1：5000000的地图上，量得A、B两地之间的图上距离是9cm。甲、乙两车从两地同时相向而行，3小时相遇，甲、乙两车速度比是3：2，甲、乙两车的速度各是多少？
【思路点拨】先依据“实际距离＝图上距离÷比例尺”求出两地的实际距离，进而依据“路程÷相遇时间＝速度和”求出二者的速度和，又因甲车的速度与乙车速度的比是3：2，分别求出两车的速度分别占速度和的几分之几，再根据乘法的意义，即可得解。
【规范解答】解：9÷＝45000000（厘米）
45000000厘米＝450千米
450÷3＝150（千米）
150×＝90（千米/时）
150﹣90＝60（千米/时）
答：甲车的速度是90千米/时，乙车的速度是60千米/时。
【考点评析】此题考查了图上距离、实际距离和比例尺的关系，以及行程问题、按比例分配的方法

基础练
一．选择题（共3小题）
1．（2022春•固始县期中）比例尺100：1表示（　　）
A．图上距离是实际距离的
B．实际距离是图上距离的
C．图上距离100cm相当于实际距离1m
【思路点拨】根据比例尺＝图上距离：实际距离，据此解答。
【规范解答】解：比例尺100：1表示实际距离是图上距离的。
故选：B。
【考点评析】解答此题的关键是掌握比例尺的意义和相关公式。
2．（2022春•兴化市期中）李叔叔是汽轮机厂的工程师，他要将一个长4mm、宽2mm的零件画在一张A3纸（42cm×29.7cm）上，合适的比例尺是（　　）
A．1：100 B．100：1 C．1：1000 D．1000：1
【思路点拨】通过题意可知，要用放大比例尺，A和C是缩小比例尺，可以排除，分别求出以B和D为比例尺的图上距离，比较即可。
【规范解答】解：A．1：100，缩小比例尺，排除；
B．100：1，4×100＝400（mm）＝40（cm），2×100＝200（mm）＝20（cm），比例尺合适；
C．1：1000，缩小比例尺，排除；
D．1000：1，4×1000＝4000（mm）＝400（cm），400＞42，比例尺不合适。
故选：B。
【考点评析】本题考查了比例尺，要把实际距离换算成图上距离。
3．（2022春•文登区期末）一个机器零件长4.2毫米，在10：1的图纸上应该画（　　）
A．0.42毫米 B．42厘米 C．4.2毫米 D．4.2厘米
【思路点拨】要求零件的图上距离长多少毫米，根据“实际距离×比例尺＝图上距离”，代入数值，计算即可。
【规范解答】解：4.2×＝42（毫米）
42毫米＝4.2厘米
答：在10：1的图纸上应画4.2厘米。
故选：D。
【考点评析】解答此题应根据图上距离、比例尺和实际距离三者的关系，进行分析解答即可得出结论。
二．填空题（共3小题）
4．（2022秋•合川区期末）把如图所示的比例尺改写成数值比例尺是 　1：1000　。

【思路点拨】根据比例尺＝图上距离：实际距离，代入数据解答即可。
【规范解答】解：1cm：10m
＝1cm：1000cm
＝1：1000
答：改写成数值比例尺是1：1000。
故答案为：1：1000。
【考点评析】解答此题的关键是掌握比例尺＝图上距离：实际距离这个公式。
5．（2022春•沽源县期中）在8：24，，0.75：这三个比中，能与12：10组成比例的比是 　0.75：　。
【思路点拨】比例是指表示两个比相等的式子，因此可以用求比值的方法，先求出12：10的比值，进而求出给出的三个比的比值，再根据比值相等，就能组成比例，比值不相等，就不能组成比例得解。
【规范解答】解：12：10＝12÷10＝
8：24＝8÷24＝
：＝÷＝
0.75：＝0.75÷＝
因为＝，所以能与12：10组成比例的是0.75：。
故答案为：0.75：。
【考点评析】解决此题也可以根据比例的性质“两外项的积等于两内项的积”，等于能组成比例，不等于就不能组成比例。
6．（2022春•榕城区期中）一段水泥路长300米，在一幅设计图纸上量得它的长是5厘米，在这幅设计图纸上量得甲、乙两地的距离是8厘米，甲、乙两地的实际距离是 　480　米。
【思路点拨】根据比例尺的意义，图上距离：实际距离＝比例尺，已知水泥路的图上距离和实际距离，据此可求出这幅地图的比例尺；根据前面所求出的比例尺和甲乙两地的图上距离，即可求出两地的实际距离。
【规范解答】解：300米＝30000厘米
5：30000＝1：6000
8÷＝48000（厘米）
48000厘米＝480米
答：甲、乙两地的实际距离是480米。
故答案为：480。
【考点评析】本题是考查比例尺的意义、根据比例尺和图上距离求实际距离。
三．判断题（共2小题）
7．（2022春•榕城区期中）3：14和25：120这两个比不能组成比例。 　√　（判断对错）
【思路点拨】判断两个比能不能组成比例，要看它们的比值是不是相等，相等能组成比例，否则不能组成比例；据此判断即可。
【规范解答】解：3：14＝3÷14＝
25：120＝25÷120＝
因为≠，所以3：14和25：120这两个比不能组成比例。
故答案为：√。
【考点评析】本题主要考查了比例的意义及灵活运用。
8．（2022•日照模拟）如果A×＝B×，那么A：B＝4：3。 　√　（判断对错）
【思路点拨】依据比例的基本性质，即两内项之积等于两外项之积，即可进行解答。
【规范解答】解：因为A×＝B×，那么A：B＝：＝4：3。所以原题说法正确。
故答案为：√。
【考点评析】此题主要考查比例的基本性质的灵活应用，结合题意分析解答即可。
四．计算题（共1小题）
9．（2022•高淳区）解方程。

3x﹣3×3.4＝0.38
3：x＝
【思路点拨】先计算出方程左边x﹣x＝x，再根据等式的性质，方程两边同时除以即可得到原方程的解。
先计算出方程左边3×3.4＝10.2，再根据等式的性质，方程两边同时加10.2，再同时除以3即可得到原方程的解。
根据比例的性质，两外项之积等于两内项之积，把比例式转化成一般方程x＝3×，再根据等式的性质，方程两边同时除以即可得到原比例的解。
【规范解答】解：x﹣x＝8
x＝8
x÷＝8÷
x＝32

3x﹣3×3.4＝0.38
3x﹣10.2＝0.38
3x﹣10.2+10.2＝0.38+10.2
3x＝10.58
3x÷3＝10.58÷3
x＝

3：x＝：
x＝3×
x÷＝3×÷
x＝
【考点评析】解方程的依据是等式的性质。解答过程要注意书写格式：上、下行等号对齐；不能连等。解比例时，先根据比例的性质，两外项之积等于两内项之积，把比例式转化成一般方程，然后再根据解方程的方法解答。
五．操作题（共1小题）
10．（2022春•新晃县期中）在方格纸上按要求画图形。

（1）以直线a为对称轴，画出图形①的轴对称图形。
（2）将图形②放大，使放大后的图形与原图形对应线段长的比为2：1。
【思路点拨】（1）根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴（虚线a）的下边画出图形①的关键对称点，依次连接即可。
（2）根据题意，把图形②的长、宽均放大到原来的2倍所得到的长方形就是放大后的图形。
【规范解答】解：根据题意画图如下：

【考点评析】作轴对称图形，对称点位置的确定是关键；图形放大或缩小的倍数是指对应边放大或缩小的倍数，对应角大小不变。
六．应用题（共5小题）
11．（2022春•房县期中）在比例尺是1：6000000的中国地图上，量得北京到上海的距离是20厘米，一辆火车以每小时150千米的速度从北京到上海，需要多少小时到达？
【思路点拨】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出北京到上海的实际距离，再根据时间＝路程÷速度，列式解答即可。
【规范解答】解：20×6000000＝120000000（厘米）
120000000厘米＝1200千米
1200÷150＝8（小时）
答：需要8小时到达。
【考点评析】关键是掌握图上距离与实际距离的换算方法，理解速度、时间、路程之间的关系。
12．（2022春•广饶县期末）在一幅比例尺是1：15000000的地图上，贵阳到长沙的距离是5厘米，甲、乙两车同时从两地相向而行，甲车每小时行66千米，乙车每小时行84千米，几小时后两车相距150千米？
【思路点拨】先根据比例尺的意义，求出甲、乙两地的实际距离，用实际距离减去150米，求出两车走的路程和，用路程和除以速度和求出几小时后两车相距150千米；当两车相遇后，用150千米除以甲、乙两车的速度和，求出甲、乙两车行驶150千米的时间，用甲乙两地的实际距离除以甲、乙两车的速度和，就是相遇时间，再加上相遇时间，即可解答。
【规范解答】解：5÷＝75000000（厘米）
75000000厘米＝750千米
（750﹣150）÷（66+84）
＝600÷150
＝4（小时）
150÷（66+84）+750÷（66+84）
＝150÷150+750÷150
＝1+5
＝6（小时）
答：4小时或6小时后路程相距150千米。
【考点评析】明确相遇前或相遇后相距150千米的计算方法不同是解题的关键。
13．（2022•裕华区）在比例尺是1：6000000的地图上，量得A、B两地的距离是6厘米，两列火车同时从A、B两地相对开出，甲车每小时行47千米，乙车每小时行53千米，几小时后两车相遇？
【思路点拨】根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”代入数字，求出A、B两地的路程；然后根据“路程÷速度之和＝相遇时间”，代入数字，列式解答即可。
【规范解答】解：6÷＝36000000（厘米）
36000000厘米＝360千米
360÷（47+53）
＝360÷100
＝3.6（小时）
答：3.6小时后两车相遇。
【考点评析】此题主要考查比例尺、图上距离、实际距离三者之间的数量关系及速度之和、相遇时间、路程之间的数量关系。
14．（2022春•莱阳市期末）公园中心花坛是一个圆形，按照1：600的比例尺画在图纸上，量的周长为12.56厘米，这个花坛的实际占地面积是多少平方米？
【思路点拨】根据圆的周长公式：C＝2πr，可知r＝C÷（2π），据此代入数值，先求出圆的半径，根据“实际距离＝图上距离：比例尺”代入数值，求出圆的实际半径，进而根据圆的面积公式：S＝πr2，代入数值，求出这个花坛的实际占地面积。
【规范解答】解：12.56÷（2×3.14）＝2（厘米）
2：＝1200（厘米）
1200厘米＝12米
3.14×122＝452.16（平方米）
答：这个花坛的实际占地面积是452.16平方米。
【考点评析】此题主要考查比例尺、图上距离、实际距离三者的关系式：比例尺＝图上距离：实际距离，实际距离＝图上距离：比例尺，以及圆的周长和面积公式，灵活变形列式解决问题。
15．（2022•高明区）2022年高明高铁时代来临！珠肇高铁高明站位于三和路荷城街道东亨村，具有地级市规模的大型高铁站，属于枢纽型车站。已知珠肇高铁江门至珠三角枢纽（广州新）机场段起点和终点两地的图上距离是4cm，比例尺是1：2500000。如高铁从起点到终点（中间不停车），设计每小时时速350千米/时，走完全程约几小时？（保留两位小数）

【思路点拨】图上距离÷比例尺＝实际距离，据此求出高铁从起点到终点的实际距离，根据路程÷速度＝时间代入数据解答即可。
【规范解答】解：4÷＝10000000（厘米）
10000000厘米＝100千米
100÷350≈0.29（小时）
答：走完全程约0.29小时。
【考点评析】熟练掌握图上距离、实际距离、比例尺三者间的关系以及路程、速度、时间三者间的关系是解题的关键。
提高练
一．选择题（共3小题）
1．（2022•邱县）甲地到乙地的距离210千米，用1：5000000的比例尺画在地图上，应画（　　）厘米。
A．0.42 B．42 C．4.2
【思路点拨】根据图上距离＝实际距离×比例尺，结合1千米＝100000厘米，将210千米的单位换算成厘米后直接计算即可。
【规范解答】解：210千米＝21000000厘米
21000000×＝4.2（厘米）
答：应画4.2厘米。
故选：C。
【考点评析】解答本题需熟练掌握比例尺、图上距离和实际距离之间的关系。
2．（2022•武进区模拟）下面各比中，（　　）能与：4组成比例。
A．5：4 B．20：1 C．1：20 D．5：
【思路点拨】根据比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。求各比的比值，比较即可。
【规范解答】解：：4＝÷4＝
A.5：4＝5÷4＝，所以5：4与：4不能组成比例；
B.20：1＝20÷1＝20，所以20：1与：4不能组成比例；
C.1：20＝1÷20＝，所以1：20与：4能组成比例；
D.5：＝5÷＝20，所以5：与：4不能组成比例。
故选：C。
【考点评析】本题主要考查比例的意义的应用。
3．（2022•章丘区模拟）如图所示，圆的面积与长方形面积相等，则阴影部分的周长与圆周长的比是（　　）

A．5：4 B．1：1 C．3：4 D．4：5
【思路点拨】通过观察图形可知，长方形的宽等于圆的半径，根据圆的周长公式：C＝2πr，那么r＝C÷π÷2，据此求出半径，根据圆的面积公式：S＝πr2，长方形的面积公式：S＝ab，那么a＝S÷b，据此求出长方形的长，然后根据长方形的周长公式：C＝（a+b）×2，由此可知，阴影部分的周长等于长方形的两条长加上圆周长的四分之一，把圆的周长看作单位“1”，把圆的周长平均分成4份，则阴影部分的周长相当于（4+1）份，再根据比的意义解答即可。
【规范解答】解：假设圆的周长是12.56厘米，
圆的半径：12.56÷3.14÷2＝2（厘米）
圆的面积：3.14×22
＝3.14×4
＝12.56（平方厘米）
长方形的长：12.56÷2＝6.28（厘米）
阴影部分的周长：6.28×2+12.56÷4
＝12.56+3.14
＝15.7（厘米）
阴影部分的周长与圆的周长的比是：15.7：12.56＝5：4
答：阴影部分的周长与圆的周长的比是5：4。
故选：A。
【考点评析】此题主要考查圆的周长公式、面积公式、长方形的面积公式、周长公式的灵活运用，比的意义及应用，关键是熟记公式。
二．填空题（共3小题）
4．（2022•仁化县）在一个比例里，两个内项的积是1，如果一个外项是1，那么另一个外项是 　1　。
【思路点拨】根据比例的基本性质：两个内项的积等于两个外项的积，由此用积除以一个外项求出另一个外项。
【规范解答】解：1÷1＝1
答：另一个外项是1。
故答案为：1。
【考点评析】本题主要是灵活利用比例的基本性质解答。
5．（2022•临漳县）12的所有因数有 　1、2、3、4、6、12　，从中选4个数组成一个比例是 　1：2＝3：6　。
【思路点拨】先根据找一个数因数的方法，找出12的因数有：1、2、3、4、6、12；再根据比例的含义，从12的因数中选出比值相等的两组数组成比例即可。
【规范解答】解：12的因数有1、2、3、4、6、12
因为1：2＝，3：6＝
所以1：2＝3：6。
故答案为：1：2＝3：6。（答案不唯一）
【考点评析】此题应根据找一个数的因数的方法先求出12的因数，再根据比例的意义写出比例式。
6．（2021春•新沂市期中）在一幅比例尺是1：2000000的地图上量的AB两地长6厘米，AB两地的实际距离是　120　千米，把AB两地画在第二幅地图上，长12厘米，第二幅地图的比例尺是　1：1000000　，BC两地长240千米，画在第二幅地图上长　24　厘米．
【思路点拨】根据“图上距离÷比例尺＝实际距离”，代入数值即可求两地间的实际距离，根据比例尺＝图上距离÷实际距离，代入数值计算出第二幅地图的比例尺，进而根据“实际距离×比例尺＝图上距离”即可解答第三问．
【规范解答】解：6÷＝12000000（厘米）
12000000厘米＝120千米
12：12000000＝1：1000000
240千米＝24000000厘米
24000000×＝24（厘米）
答：AB两地的实际距离是120千米，第二幅地图的比例尺是1：1000000，BC两地长240千米，画在第二幅地图上长24厘米．
故答案为：120，1：1000000，24．
【考点评析】解答此题应根据图上距离、比例尺和实际距离三者的关系，进行分析解答即可得出结论．要注意单位的统一．
三．计算题（共1小题）
7．（2022•梅江区）解方程。


15%x﹣5＝25
x+30%x＝52
【思路点拨】（1）方程的两边先同时乘，然后两边同时除以；
（2）将比例式化成方程后两边同时除以；
（3）方程的两边先同时加上5，然后两边同时除以15%；
（4）先化简x+30%x，然后方程的两边除以（1+30%）的和。
【规范解答】解：（1）x÷＝12
x÷5＝12×
x÷＝3÷
x＝

（2）：＝0.9：x
x＝×0.9
x÷＝0.3÷
x＝0.6

（3）15%x﹣5＝25
15%x﹣5+5＝25+5
15%x÷15%＝30÷15%
x＝200

（4）x+30%x＝52
1.3x＝52
1.3x÷1.3＝52÷1.3
x＝40
【考点评析】本题考查了解方程和解比例，解题过程要利用等式的性质。
四．操作题（共2小题）
8．（2022•安顺）先画出三角形AOB按2：1放大后得到的图形①，再画出图形①按1：3缩小后得到的图形②。


【思路点拨】三角形按2：1放大，只要数出两条直角边各自的格数，然后分别乘2画出，连出两边即可；
画出图形①按1：3缩小后的图形，只要先数出图形①的底和高各有几个格，然后分别乘求出缩小后的三角形的底和高，然后画出即可。
【规范解答】解：（1）原三角形的两条直角边都是3个格，扩大后的三角形的直角边都是（3×2＝6）个格，据此画出两条相交垂线然后连线画成三角形；
（2）图形①的底和高都是6个格，缩小后的图形①的底和高的格数都是6×＝2（个），据此画出底和高都是2个格的三角形。
画图如下：


【考点评析】解答本题关键是注意按2：1放大就是把原三角形的两条直角扩大2倍，按1：3缩小图形①就是把图形①的底和高缩小到原来的。
9．（2022•昆明）按要求画一画，填一填。

（1）画出小旗子绕A点按逆时针方向旋转90°后的图形。
（2）在梯形的右边按3：1的比画出图中梯形放大后的图形。原来图形的面积是放大后图形面积的 　　。
（3）画出梯形向左平移5格后的图形，平移后B点的位置用数对表示是 　（2，4）　。请用C来表示这个位置。
（4）点A在点C的 　北　偏 　东　45°方向上，点C在点A的 　南　偏 　西　45°方向上。
【思路点拨】（1）根据旋转的特征，先把小旗子与点A相交的旗杆，绕点A逆时针旋转90度，再把小旗子旗面的各顶点，绕点A逆时针旋转90度，再连接各顶点即可。
（2）根据图形的放大与缩小的意义，把梯形的上底下底和高分别扩大三倍，画出一个上底是3、下底是6、高是6的梯形即可，然后再根据梯形的面积公式求出原来梯形的面积和放大后梯形的面积，再用原来梯形的面积去除以放大后梯形的面积即可。
（3）根据平移的特征，把梯形的四个顶点分别向左平移5格，再依次连接各点即可。再根据用数对表示物体位置的方法，数对的第一个数表示列，第二个数表示行，即可写出B点位置的数对。
（4）根据上北下南左西右东的方向，以点C为观测点，即可知道点A在点C的什么位置。根据方向的相对性，两个位置互相是观测点，则方向相对，角度不变，据此解答即可。
【规范解答】解：（1）画出小旗子绕A点按逆时针方向旋转90°后的图形（图中红色部分）。
（2）在梯形的右边按3：1的比画出图中梯形放大后的图形（图中绿色部分）。
（1+2）×2÷2＝3
（3+6）×6÷2＝27
3÷27＝
所以原来图形的面积是放大后图形面积的。
（3）画出梯形向左平移5格后的图形（图中蓝色部分），
平移后B点的位置用数对表示是（2，4）。
（4）以点C为观测点，点A在点C的北偏东45°方向上，两个位置互相是观测点，则方向相对，角度不变，所以点C在点A的南偏西45°方向上。
故答案为：，（2，4），北、东，南、西。
【考点评析】此题考查了作旋转一定角度后的图形，作平移后的图形，以及作放大与缩小后的图形的方法，还考查了根据数对表示物体位置的方法和方向的相对性，作图关键是找到关键点的对应点。
五．应用题（共6小题）
10．（2022•仁化县）在比例尺1：2000000的地图上，量得韶关到北京的铁路长9.6厘米。复兴号高铁的平均速度是240千米/小时，一辆复兴号高铁从韶关站出发，大约经过多少小时到达北京？
【思路点拨】根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”计算出韶关到北京的铁路长，再根据“时间＝路程÷速度”解答。
【规范解答】解：9.6÷＝19200000（厘米）
19200000厘米＝192千米
192÷240＝0.8（小时）
答：大约经过0.8小时到达北京。
【考点评析】解答此题的关键一是弄清图上距离、实际距离、比例尺三者之间的关系及路程、时间、速度三者之间的关系。
11．（2022春•商城县月考）在比例尺为1：6000000的地图上，量得两地间铁路线长10厘米，甲、乙两列火车同时从两地相对开出，3小时后相遇，已知甲、乙两列火车的速度比为11：9，两车相遇时甲行了多少千米？
【思路点拨】首先根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出两地之间的实际路程是多少千米，再根据速度和＝路程÷相遇时间，求出甲乙两列火车每小时的速度和，已知甲、乙两列火车的速度比为11：9，因为时间相同，所以甲、乙所行路程的比等于速度的比，利用按比例分配的方法，求出相遇时甲行驶的多少千米。
【规范解答】解：10÷
＝10×6000000
＝60000000（厘米）
60000000厘米＝600千米
11+9＝20
600×＝330（千米）
答：两车相遇时甲行了330千米。
【考点评析】此题考查的目的是理解掌握比例尺的意义及应用，按比例分配的方法及应用，关键是明确：在时间相同时，甲、乙所行路程的比等于速度的比。
12．（2022•崂山区）测量小组测量教学楼的影子长是22.5米，同时量得附近一个3米高的篮球架的影子长是4.5米，教学楼高多少米？（用比例知识解答）
【思路点拨】同样条件下，物体的高度与它的影子的比是一定的，也就是说，篮球架与其影子的比和教学楼与其影子的比是相等的，据此即可列比例求解。
【规范解答】解：设教学楼的高度为x米，
则3：4.5＝x：22.5
4.5x＝3×22.5
4.5x＝67.5
x＝15
答：教学楼的高度是15米。
【考点评析】解答此题的关键是明白：同样条件下，物体的高度与它的影子的比是一定的．
13．（2022•黄岩区）在比例尺是1：5000000的地图上，量得甲、乙两地间的距离4.8cm，一辆汽车在上午8：25从甲地出发，平均每小时行驶60千米，什么时候到达乙地？
【思路点拨】先根据图上距离÷比例尺＝实际距离，再根据路程÷速度＝时间解答。
【规范解答】解：4.8÷＝24000000（厘米）
24000000厘米＝240千米
240÷60＝4（时）
8时25分+4时＝12时25分。
答：12时25分到达。
【考点评析】此题主要考查比例尺的应用，以及速度、时间、路程三者之间的关系。
14．（2022•玉屏县）在一幅比例尺为1：50000000地图上，甲乙两地的图上距离是4.2厘米，这条路有多长？（用方程解答）如果一列高铁从甲地开往乙地，每小时行驶速度为300千米/时，从甲地到乙地需要多长时间？
【思路点拨】根据比例尺＝图上距离÷实际距离，列方程求出这条路长，再根据时间＝路程÷速度求出从甲地到乙地需要的时间。
【规范解答】解：设这条路长x厘米，得：
4.2：x＝1：50000000
x＝4.2×50000000
x＝210000000
210000000厘米＝2100千米
2100÷300＝7（小时）
答：这条路长2100千米；从甲地到乙地需要7小时。
【考点评析】本题考查了比例尺的应用，需灵活使用比例尺、图上距离和实际距离的关系。
15．（2022•昌平区模拟）在一幅比例尺为的地图上量从A地到B地的高速公路长24厘米，如果一列汽车以每小时120千米速度从A地开往B地，需几小时到达？
【思路点拨】首先根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出A、B之间的路程，再根据路程÷速度＝时间，据此列式解答．
【规范解答】解：24
＝24×4000000
＝96000000（厘米），
96000000厘米＝960千米，
960÷120＝8（小时），
答：需要8小时达到．
【考点评析】此题考查的目的是理解掌握比例尺的意义及应用，以及路程、速度、时间三者之间关系的灵活运用