2023年四川省广元市朝天区中考数学一模试卷(含解析）

2023年四川省广元市朝天区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的平方根是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图所示的是由个相同的小正方体搭成的几何体，则它的俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

3.  下列运算中，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  接种疫苗是防控新冠疫情最有效的手段，据国家卫健委统计，光明网公布：截至年月日，我国各地累计报告接种新冠病毒疫苗约万剂次．其中数万用科学记数法可表示为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  若一元二次方程的一根为，则的值为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

6.  不等式组：的最大整数解为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，点，，，四点均在上，，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，在中，、分别是和的中点，，则(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，是的直径，弦，，，则阴影部分的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  二次函数为常数，的部分图象如图所示，图象顶点的坐标为，与轴的一个交点在点和点之间，有下列结论：
；
；
；
；
为任意实数．
其中正确的有(    )

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  分解因式： ______ ．

12.  函数的自变量的取值范围是_______．

13.  如图，在中，，，、分别为的中线和角平分线，过点作于点，并延长交于点，连结，则线段的长为______．
 

14.  如图，，是双曲线上的两个点．过点作轴，交于点垂足为点若的面积为，为的中点，则的值为______．

15.  如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点和点，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交于点，若，，则______．

16.  如图，在平面直角坐标系中，边长为的正方形的两边在坐标轴上，以它的对角线为边作正方形，再以正方形的对角线为边作正方形以此类推，则正方形的顶点的坐标是______．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

17.  先化简，再求值：，其中，．

四、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
计算．

19.  本小题分
“中国梦”关系每个人的幸福生活，为展现巴中人追梦的风采，我市某中学举行“中国梦我的梦”的演讲比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学的成绩分为，，，四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题．

参加比赛的学生人数共有______名，在扇形统计图中，表示“等级”的扇形的圆心角为______度，图中的值为______；
补全条形统计图；
组委会决定从本次比赛中获得等级的学生中，选出名去参加市中学生演讲比赛，已知等级中男生有名，请用“列表”或“画树状图”的方法求出所选名学生中恰好是一名男生和一名女生的概率．

20.  本小题分
如图，点，，，在同一直线上，点，在异侧，，，．
求证：；
若，，求的度数．

21.  本小题分
“绿水青山就是金山银山”，某村为了绿化荒山，计划在植树节当天种植柏树和杉树．经调查，购买棵柏树和棵杉树共需元；购买棵柏树和棵杉树共需元．
求柏树和杉树的单价各是多少元；
本次绿化荒山，需购买柏树和杉树共棵，且柏树的棵数不少于杉树的倍，要使此次购树费用最少，柏树和杉树各需购买多少棵？最少费用为多少元？

22.  本小题分
如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，点．
求反比例函数的表达式；
若一次函数图象与轴交于点，点为点关于原点的对称点，求的面积．
 

23.  本小题分
春节期间，开州厚坝“月亮湾”美景刷爆开州人的朋友圈．大家争相去打卡．一盏形如弯月的射灯悬挂在如图的处．小北在处测得的仰角为，然后乘坐扶梯到达平台处，已知坡度：，且米，米，于点在同一平面内，．
求平台上点到山体底部地面的距离；
求到山体平台的距离的长．精确到米，参考数据：，，

24.  本小题分
如图，是的直径，点是上异于、的点，连接、，点在的延长线上，且，点在的延长线上，且．
求证：是的切线；
若，，求的长．

25.  本小题分
【基础巩固】
如图，在中，，直线过点，分别过、两点作，，垂足分别为、求证：∽．
【尝试应用】
如图，在中，，是上一点，过作的垂线交于点若，，，求的长．
【拓展提高】
如图，在▱中，在上取点，使得，若，，，求▱的面积．
 

26.  本小题分
如图，抛物线经过，，三点．
求抛物线的解析式；
在直线上方的抛物线上是否存在一点，使的面积等于的面积的一半？若存在，求出点的坐标；若不存在，说名理由；
点为抛物线上一动点，在轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为，
所以的平方根是，
故选：．
先根据算术平方根的定义化简，再根据平方根的定义求出结果．
此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，要求学生理解并区分平方根、算术平方根的概念；特别注意为．
 

2.【答案】 

【解析】解：从上面看，是一行三个小正方形，
所以几何体的俯视图是．
故选C．
根据俯视图是从上面看到的图形，结合题中的几何体判断即可．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
 

3.【答案】 

【解析】解：、无法合并，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项正确．
故选：．
直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、单项式乘单项式、二次根式的乘法运算法则分别计算得出答案．
此题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算、单项式乘单项式、二次根式的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：万．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解决问题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
把代入方程计算即可求出的值．
【解答】解：把代入方程得：，
解得：，
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为：，
则不等式组的最大整数解为，
故选：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找确定不等式组的解集，在解集内找到最大整数即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，

连接，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
连接，由，得出，再由，得出，求得，进一步得出，进一步利用圆周角定理得出的度数即可．
此题考查平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，圆周角定理，正确作出辅助线是解决问题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：、分别是、边上的中点，
，，
∽，
，
：：，
即：：，
，
．
故选：．
先根据三角形中位线的性质，证得：，，进而得出∽，又由相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求得答案．
此题考查了三角形中位线定理以及相似三角形的判定与性质．注意相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
 

9.【答案】 

【解析】解：连接，
，
垂径定理，
故，
即可得阴影部分的面积等于扇形的面积，
又，
圆周角定理，
，
故，
即阴影部分的面积为，
故选：．
连接，则根据垂径定理可得出，继而将阴影部分的面积转化为扇形的面积，代入扇形的面积公式求解即可．
此题考查了扇形的面积计算、垂径定理及圆周角定理，解答本题关键是根据图形得出阴影部分的面积等于扇形的面积，另外要熟记扇形的面积公式．
 

10.【答案】 

【解析】解：由图象可知，抛物线开口向下，对称轴在轴的右侧，与轴的交点在轴的负半轴，
，，，
，故错误；
由图象可知，时，，
，故错误；
抛物线的顶点坐标为，
，，
，
，即，故正确；
抛物线与轴有两个交点，
，
，即，故正确．
抛物线的开口向下，顶点坐标为，
为任意实数，故正确．
故选：．
抛物线的开口方向，对称轴以及与轴的交点即可判断；
根据时，，即可判断．
根据对称轴，即可判断．
根据抛物线与轴有两个交点，可知，即可判断．
根据抛物线的顶点坐标为，函数有最大值，由此即可判断．
本题考查二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

11.【答案】 

【解析】解：

，
故答案为：．
先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解即可．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，因式分解彻底，直到不能分解为止，是解答本题的关键．
 

12.【答案】且 

【解析】

【分析】
本题主要考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
根据二次根式的有意义的条件得，被开方数；根据分式有意义的条件，，则函数的自变量取值范围就可以求出．
【解答】
解：根据题意得：
解得，且，
故答案为：且．  

13.【答案】 

【解析】解：为的角平分线，，
是等腰三角形，
，
，
，，
为的中线，
是的中位线，
，
，
．
，
故答案为：．
首先证明是等腰三角形，则，，则是的中位线，利用三角形的中位线定理即可求解．
本题考查了等腰三角形的判定以及三角形的中位线定理，正确证明是关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：过点作轴于，
轴，
，
，
∽，
，
又是的中点，的面积为，
，
，
故答案为：．
根据相似三角形的性质和中点的意义可得出，进而求出三角形的面积，再根据反比例函数系数的几何意义求出答案即可．
本题考查反比例函数系数的几何意义以及相似三角形的判定和性质，理解反比例函数系数的几何意义，掌握相似三角形的性质是正确解答的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接，
由作图可知，，是的角平分线，
，，
，
，，
，
，
故答案为：．
连接，利用等腰三角形的性质得出，进而利用直角三角形的解法解答即可．
此题考查解直角三角形，关键是根据角平分线的作图和等腰三角形的性质解答．
 

16.【答案】 

【解析】解：观察，发现：，，，，，，，，，，
为自然数．
，
的纵横坐标符号与点的相同，
点的坐标为
故答案为：
根据给定图形结合正方形的性质可得出，点、、、、、、的坐标，观察点的坐标可得知，下标为奇数的点的坐标的横纵坐标的绝对值依此为前一个点的横纵坐标绝对值的倍，且次一循环，由此即可得出为自然数，依此规律即可得出结论．
 

17.【答案】解：原式

，
当，时，
原式． 

【解析】将原式小括号内的式子进行通分计算，然后算括号外面的除法，最后代入求值．
本题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的运算顺序先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的和计算法则是解题关键．
 

18.【答案】解：原式

． 

【解析】根据负指数幂、零次幂及特殊三角函数值可进行求解．
本题主要考查负指数幂、零次幂及特殊三角函数值，熟练掌握各个运算法则是解题的关键．
 

19.【答案】；；．
故等级的人数为人，
补全统计图，如图所示；


列表如下：

所有等可能的结果有种，其中恰好是一名男生和一名女生的情况有种，
则． 

【解析】

解：根据题意得：人，
表示“等级”的扇形的圆心角为；
级所占的百分比为，
故，
故答案为：，，．

见答案．
见答案．
【分析】
根据等级为的人数除以所占的百分比求出总人数，根据级的人数求得等级扇形圆心角的度数和的值；
求出等级的人数，补全条形统计图即可；
列表得出所有等可能的情况数，找出一男一女的情况数，即可求出所求的概率．
此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及列表法与树状图法，弄清题意是解本题的关键．  

20.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌，
；

解：≌，
，，，
，

，
，
． 

【解析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形内角和定理的应用，能根据全等三角形的判定求出≌是解此题的关键．
根据平行线的性质求出，根据推出≌，根据全等三角形的性质得出即可；
根据全等得出，，，求出，推出，即可求出答案．
 

21.【答案】解：设柏树的单价为元棵，杉树的单价是元棵，
根据题意得：，
解得，
答：柏树的单价为元棵，杉树的单价是元棵；
设购买柏树棵，则杉树为棵，购树总费用为元，
根据题意：，解得，
，
，
随的增大而增大，
又为整数，
当时，，
此时，，
即购买柏树棵，杉树棵时，总费用最小为元． 

【解析】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．
设柏树的单价为元棵，杉树的单价是元棵，根据“购买棵柏树和棵杉树共需元；购买棵柏树和棵杉树共需元”列出二元一次方程组，求解即可；
设购买柏树棵，则杉树为棵，购树总费用为元，根据题意求出与的函数关系式，然后根据总费用和两种树的棵数关系列出不等式组，求出的取值范围，再根据是正整数确定出购买方案．
 

22.【答案】解：点，点在反比例函数上，
，
解得：，
则，
故反比例函数的表达式为：；
，故点、的坐标分别为、，
设直线的表达式为：，则，解得，
故一次函数的表达式为：；
当时，，故点，故，
而点为点关于原点的对称点，则，
的面积． 

【解析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，一次函数图象上点的坐标的特征，运用待定系数法确定函数关系式，三角形的面积公式．
点，点在反比例函数上，则，即可求解；
，故点、的坐标分别为、，求出一次函数的表达式为：，则点，故，进而利用三角形面积公式求解．
 

23.【答案】解：过点作于点，延长交于，

斜坡的坡度或坡比：，米，
设米，米，则，
，
解得，
米，米，
平台上点到山体底部地面的距离为米；
四边形是矩形，
米，米，
米．
在中，
，
米，
米．
答：到山体平台的距离的长约为米． 

【解析】过点作于点，延长交于，根据坡比即可解决问题；
根据锐角三角函数列式计算即可解决问题．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

24.【答案】证明：连接，

，
，
，
，
又是的直径，
，
，
，
即，
，
是半径，
是的切线
解：，且，
设，，
，
，
又，，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
即的长为． 

【解析】连接，由等腰三角形的性质得出，由圆周角定理得出，证出，则可得出结论
设，，证明∽，由相似三角形的性质得出，求出的长，则可求出答案．
本题考查了圆周角定理、平行线的性质、等腰三角形的性质、切线的判定、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握切线的判定与相似三角形的判定和性质是解题的关键．
 

25.【答案】证明：，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽；
解：过点作于点，

由得∽，
，
，，，
，
，
，
，
；
过点作于点，过点作，交的延长线于点，

，
四边形是平行四边形，
，，
，
≌，
，，
，，
，
，
设，，，
，，
，
由得∽，
，
，
，
，
，
，，
▱的面积． 

【解析】由直角三角形的性质证得，由相似三角形的判定定理可得出结论；
过点作于点，由相似三角形的性质得出，由锐角三角函数的定义求出，则可求出答案；
过点作于点，过点作，交的延长线于点，证明≌，由全等三角形的性质得出，，设，，，由得∽，得出比例线段，求出，，由平行四边形的面积公式可得出答案．
本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，锐角三角函数的定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

26.【答案】解：抛物线的表达式为：，
故，
解得：，
故抛物线的表达式为：；

过点作直线的平行线交轴于点，过点作的平行线交轴于点，

的面积等于的面积的一半，
，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
则直线的表达式为：，
故点，
即，则，，
则，
故点，
则直线的表达式为：，
联立并解得：或，
故点或；

当且时，与关于对称轴对称，
，
，，
当且时，点到轴的距离为，
设，
，
，
，
，；
综上：存在点有四个，分别为：，，，． 

【解析】抛物线的表达式为：，故，解得：，即可求解；
过点作直线的平行线交轴于点，过点作的平行线交轴于点，的面积等于的面积的一半，则，即可求解；
当且时，与关于对称轴对称，，即可求解；
当且时，点到轴的距离为，设，则，即可求解．
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．