2023年广东省广州市白云区中考数学一模试卷（含解析）

2023年广东省广州市白云区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  如图是一个几何体的侧面展开图，这个几何体可以是(    )

A. 圆锥
B. 圆柱
C. 正四面体
D. 球体

2.  点在正比例的图象上，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是(    )

A. 等边三角形 B. 菱形 C. 等腰梯形 D. 平行四边形

4.  代数式有意义时，直线一定不经过(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

5.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  已知，则下列结论中成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，抛物线与轴的交点为，下列结论正确的是(    )

A. 当时，随的增大而减小
B. 当时，随的增大而增大
C. 图象在第三象限内，随的增大而增大
D. 图象在第四象限内，随的增大而增大
 

8.  从某校名八年级学生中随机抽取名学生参加省测，则这名学生中，每位学生被抽中的概率均为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第一个图形需要根小木棒，拼第二个图形需要根小木棒，拼第个图形需要根小木棒若按照这样的方法拼成的第个图形需要根小木棒，则(    )
 

A.  B.  C.  D.

10.  如图，正方形的面积为，点在边上，且，的平分线交于点，点，分别是，的中点，则下列结论错误的是(    )

A.
B. 是等腰直角三角形
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  现有甲、乙两个合唱队队员的平均身高都是，方差分别为，，则这两个合唱队的队员身高较齐整的是______ 大队填“甲”、“乙”中的一个

12.  分解因式： ______ ．

13.  如图，在▱中，，对角线与相交于点，的周长为，则 ______ ．

14.  不等式组的解集是______ ．

15.  如图，在中，，点在边上，恰好过点，且与边相切于点，交于点，当 ______ 时，．

16.  如图，矩形中，，点为边上的一个动点，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，过点作，垂足为点，若，则 ______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
解方程：．

18.  本小题分
如图，点，在的边上，，求证：≌．

19.  本小题分
已知．
化简；
若，求的值．

20.  本小题分
某校在七年级学生中随机抽取了若干名学生参加“平均每天完成家庭作业所需时间”的调查，根据调查结果绘制成尚不完整的统计图表，如图和表．

请根据图表中的信息，解答下列问题：
表中的 ______ ， ______ ， ______ ；
补全折线统计图；
若该校七年级学生共有名，试估计该校九年级学生平均每天家庭作业时间不超过小时的学生人数．

21.  本小题分
平面直角坐标系中，点在第一、三象限的角平分线上点和点在函数的图象上．
求的值和点的坐标；
求直线对应的函数解析式．

22.  本小题分
新冠肺炎疫情防控期间，学校为做好预防性消毒工作，则进，两种消毒液，其中每桶消毒液的价格比消毒液的价格高元，用元购买消毒液的桶数是用元购实消毒液桶数的倍．
求两种消毒液每桶的价格；
学校准备用不多于元的资金购买，两种消毒液共桶，问最多购买消毒液多少桶？

23.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为．
尺规作图：作菱形，使得且点，在第一象限内保留作图痕迹，不要求写作法；
菱形的两条对角线交点为，用钉把一根平放在菱形上的直细木条把细木条数学化为线段固定在点处，并使细木条可以绕点转动拨动细木条，使它与的延长线交于点，当是等腰三角形时，求细木条与边的交点的坐标．

24.  本小题分
已知抛物线开口向上，与轴交于，点在点的左边，与轴交于点．
求出点的坐标；
在直线下方的抛物线上一点，当最大面积为时，求点的坐标及的值；
设抛物线的顶点为点，连接，是否存在点，使得？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由．

25.  本小题分
如图，在正方形中，的半径，在上，为上的一动点，过点作的切线交于点，交于点，交的延长线于点．
当点为线段的中点时，求证：≌；
将沿直线翻折后得，当与相似时，求的长．
连接，，，交于点求证：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意知，这个几何体可以是圆柱，
故选：．
根据圆柱体的侧面展开图是长方形得出结论即可．
本题主要考查圆柱体的侧面展开图，熟练掌握圆柱体的侧面展开图是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：点在正比例的图象上，
，
解得：，
的值为．
故选：．
由点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出关于的一元一次方程，解之即可求出的值．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式”是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
B、菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；
C、等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
D、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误．
故选B．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：
轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；
中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

4.【答案】 

【解析】解：代数式有意义，
，
解得，
直线经过第一、二、三象限，
直线一定不经过第四象限，
故选：．
根据代数式有意义，可以求得的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可得到直线经过哪几个象限，不经过哪个象限．
本题考查一次函数的性质、二次根式有意义的条件，解答本题的关键是明确二次根式有意义的条件，利用一次函数的性质解答．
 

5.【答案】 

【解析】解：：没有意义，故A是错误的；
：，故B是正确的；
：，故C是错误的；
：，故D是错误的；
故选：．
分别根据二次根式的意义，同底数幂的乘法，二次根式的性质，幂的乘方进行运算．
本题考查了二次根式的性质和化简，及整式的运算，掌握运算法则是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
，
选项A，，不符合题意，
选项B符合题意，
故选：．
将变形为，再进行辨别、求解．
此题考查了整式和绝对值的运算能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
 

7.【答案】 

【解析】解：：由图象得：当即轴右侧时，随的增大而增大，故A是错误的；
：由图象得，在第三象限，函数有增有减，故B是错误的；
：由图象得：在第三象限，函数有增有减，故C是错误的；
：由图象得：当时，随的增大而增大，故D是正确的；
故选：．
根据函数的图象，采用数形结合思想求解．
本题考查了二次函数的性质，掌握数形结合思想是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：每位学生被抽中的概率均为，
故选：．
直接由概率公式求解即可．
本题考查了概率公式：概率所求情况数与总情况数之比．熟记概率公式是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：第个图形需要小木棒数为，
第个图形需要小木棒为，
第个图形需要小木棒为，

第个图形需要小木棒为，
所以，
解得．
故选：．
得到小木棒与序号数的关系：第个图形需要小木棒为，则，然后解方程即可．
本题考查了规律型：图形的变换类，找出图形哪些部分发生了变化，确定变化的规律与序号数的关系是解决问题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：正方形的面积为，
正方形的边长为，
在正方形中，，，
，
，
，
平分，
，
，，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
故B不符合题意；
根据勾股定理，得，
，分别是，的中点，
是的中位线，
，
，
即，
故A不符合题意；
在中，根据勾股定理，得，
，
故C不符合题意；
，
，
故D符合题意，
故选：．
根据正方形的面积为，可得正方形的边长为，根据正方形的性质可得，，根据，可知，根据，可得，可得，即可判断选项；根据勾股定理和三角形中位线定理可判断选项；求出的长，进一步可得的长，即可判断选项；根据，，即可判断选项．
本题考查了正方形的性质，三角形中位线定理，等腰直角三角形的判定，角平分线，勾股定理，解直角三角形等，本题综合性较强，熟练掌握这些知识是解题的关键．
 

11.【答案】乙 

【解析】解：现有甲、乙两个合唱队队员的平均身高均为，方差分别为，，且，
则两个队的队员的身高较整齐的是乙，
故答案为：乙．
根据方差小的身高稳定判断即可．
此题考查了方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
 

12.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
利用提公因式法进行因式分解．
本题主要考查因式分解，熟练掌握提公因式法进行因式分解是解决本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
的周长为，
，
，
．
故答案为：．
利用平行四边形的性质得出，，，进而求出的长，即可得出答案．
此题主要考查了平行四边形的性质，正确得出的长是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
解不等式得，
解不等式得，
不等式组的解集为：，
故答案为：．
先解出每每个不等式，再求公共解集．
本题考查解不等式组，解题的关键是能解出每个不等式的公共解集．
 

15.【答案】 

【解析】解：当时，，
理由：连接，
，
，
，
与边相切于点，
，
，
故答案为：．
连接，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据切线的性质得到，于是得到．
本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：预备知识：，证明如下：
如图中，，，
延长到，使，连接，
，
，
，
，
令，则，，
，
．
解决问题：线段绕点顺时针旋转得到线段，
是等边三角形，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
由条件可以证明≌，得到，由，即可求出的长，于是得到的长．
本题考查旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，关键是应用来解决问题．
 

17.【答案】解：开平方得：，
，． 

【解析】开平方求出的值，继而得出的值．
本题考查了平方根的知识，注意不要漏解．
 

18.【答案】证明：，
，
，
，
，
在和中，
，
≌． 

【解析】根据，可得，然后利用证明≌，即可解答．
本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定，以及等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
 

19.【答案】解：

；
，
，，
，，


． 

【解析】由完全平方公式即可得到；
非负数之和等于时，各项都等于，由此求出、的值，即可求出的值．
本题考查非负数的性质：算术平方根，非负数的性质：偶次方；完全平方公式，关键是掌握：非负数之和等于时，各项都等于；完全平方公式．
 

20.【答案】     

【解析】解：由题意得，样本容量，
所以，
．
故答案为：；；；
补全折线统计图如下：

名，
答：估计该校九年级学生平均每天家庭作业时间不超过小时的学生人数大约为名．
用第一组的频数除以频率可得样本容量，再用的值分别减去其它四组的频数可得的值，用除以样本容量可得的值；
根据的值即可补全频数分布直方图；
用乘样本中平均每天家庭作业时间不超过小时的学生人数所占比例即可．
本题考查频数分布直方图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

21.【答案】解：点在函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为，
点在第一、三象限的角平分线上，且点在函数的图象上，
当时，，
负值舍去，
，
点的坐标为；
设直线对应的函数解析式为，
将、两点的坐标代入，
得，解得，
直线对应的函数解析式为． 

【解析】把点代入函数，求出的值得到反比例函数的解析式，再将代入反比例函数的解析式，即可求出点的坐标；
设直线对应的函数解析式为，将、两点的坐标代入，利用待定系数法即可求解．
本题考查了利用待定系数法求反比例函数以及一次函数的解析式，第一、三象限角平分线上的点横坐标与纵坐标相等的特征，掌握待定系数法是解题的关键．
 

22.【答案】解：设消毒液的单价为元，则消毒液的单价为元，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是所列分式方程的解，且符合题意，
．
答：消毒液的单价为元，消毒液的单价元．
设购买消毒液桶，则购买消毒液桶，
依题意，得：，
解得：．
答：最多购买消毒液桶． 

【解析】设消毒液的单价为元，则消毒液的单价为元，根据数量总价单价结合用元购买消毒液的数量是用元购买消毒液数量的倍，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
设购买消毒液桶，则购买消毒液桶，根据总价单价数量结合总价不多于元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

23.【答案】解：如图：菱形即为所求；

过作于，过作于，
在菱形中，
，
，，
，，
，，
，
，
，，
 

【解析】先作等边三角形，再作等边三角形即可；
根据特殊角的三角函数求解．
本题考查了复杂作图，掌握特殊角的三角函数值及勾股定理是解题的关键．
 

24.【答案】解：令得到方程．
解这个方程得：，，
抛物线与轴的交点为，．
抛物线开口向上，
．
，
又点在点的左侧，
，；
如图，在下方的抛物线上任取一点，过点作轴交直线于点，连接、，

 令得，，
解得，
，
由知，
设直线的解析式为，
 ，
，
直线解析式为，
设，
则．
，
，
 当时，最大值为．
，
，
又，
，
，
 当时，，
．
存在，如图，作，连接，
．
．
．，
作等腰，使，，交轴于点，

，
在和的中，
，
≌，
，．
．
过点作交轴于点，
在中，，
，
，
，
，．
∽．
，
，，
，
，
过、两点的解析式设为，
则，
，
，
点为抛物线的顶点，
，
将点坐标代入得，
解方程得，，
当时，与重合，不符合题意，舍去，
如图，作，连接，
．
．
．
，
 过点作，

．
，，
过，两点的解析为：，
，直线过点，
过两点的解析式为，
点为抛物线顶点，
，
将点坐标代入，
得，
解方程得，舍去，
综上所述：或． 

【解析】令得到方程求出与轴的交点坐标，然后根据开口方向即可确定点坐标；
设，则过点作轴交直线于点，连接、，用含的代数式表示出，表示出，利用二次函数的最值性质即可得解；
分顶点在轴左侧和右侧两种情况，分别构造符合条件的直线解析式，先求出解析，然后将代入直线解析式，解方程得值，进而即可得解．
本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数图象与性质，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质等知识，综合性较强，利用参数表示点的坐标是解题的关键．
 

25.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
，与相切，
由题意知与相切，
，，
点为的中点，
，
，
在和中，
，
≌；
解：将沿直线翻折后得，
≌，
若∽，则∽．
当，时，
，
，关于直线对称，
垂直平分，
，
正方形的边长为，
，；
在中，，
设，则，，，
，
解得，
；
当，时，，
又垂直平分，
，
设，则，，，，
在中，，
，
解得，
；
综上所述，的值为或；
证明：连接，
四边形是正方形，
，
连接，由切线长定理可知，，
，
，
∽，
，
，
，
又，
，
． 

【解析】根据可证明≌；
分两种情况：当，时，设，则，，，由勾股定理得出，可求出答案；当，时，，设，则，，，，得出，求出可得出答案；
连接，证明∽，由相似三角形的性质得出，证出，则可得出结论．
本题是圆的综合题，考查了正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，切线的性质定理，三角形内角和定理，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．