2022-2023学年北京市朝阳区陈经纶中学分校七年级（下）期中数学试卷(含解析）

2022-2023学年北京市朝阳区陈经纶中学分校七年级（下）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  用式子表示“的平方根，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  在平面直角坐标系中，点位于第二象限，距离轴个单位长度，距轴个单位长度，则点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  将变形，用含的代数式表示，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  若不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则这个不等式组可以是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，直线，三角板的直角顶点放在直线上，两直角边与直线相交，如果，那么等于(    )

A.  B.  C.  D.

6.  下列命题中，真命题是(    )

A. 两个非零有理数的商一定是有理数 B. 一个正数的算术平方根一定小于这个数
C. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 D. 垂直于同一直线的两条直线平行

7.  若，将点向左平移个单位，再向上平移个单位，对应点在(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

8.  在平面直角坐标系中，已知点，，，若轴，轴，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.  的平方根是______ ；若，则的值是______ ．

10.   如图，已知，，则 ______ ．

11.  在平面直角坐标系中，若轴上的点到轴的距离为，则点的坐标是______．

12.  是二元一次方程的一个解，则的值为______ ．

13.  现用甲，乙两种运输车将吨抗旱物资运往灾区，甲种运输车载重吨，乙种运输车载重吨，安排车辆不超过辆，则甲种运输车至少应安排______ 辆．

14.  已知：，含的代数式，那么代数式的值有最______ 值，是______ ．

15.  点坐标为，且点到两坐标轴的距离相等，则点的坐标是______ ．

16.  如图，在长方形内，两个小正方形的面积分别为，，则图中阴影部分的面积等于______．

三、计算题（本大题共2小题，共10.0分）

17.  计算：．

18.  解方程组：．

四、解答题（本大题共8小题，共42.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．

20.  本小题分
解不等式组并写出这个不等式组的所有整数解．

21.  本小题分
已知：如图，直线分别与直线，相交于点，，垂直于，求证：．

22.  本小题分
在如图所示的方格图中，我们称每个小正方形的顶点为“格点”，以格点为顶点的三角形叫做“格点三角形”，根据图形，回答下列问题．

图中格点是由格点通过怎样的变换得到的？
如果以直线、为坐标轴建立平面直角坐标系后，点的坐标为，请写出格点各顶点的坐标，并求出的面积．

23.  本小题分
在不等式组的小括号里填一个数，使不等式组有解．(    )

当时，求出此时不等式组的解集和整数解；
要使不等式组只有个整数解，直接写出的取值范围．

24.  本小题分

某服装店用购进，两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润元毛利润售价进价，这两种服装的进价，标价如表所示．

求这两种服装各购进的件数；

如果种服装按标价的折出售，种服装按标价的折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比按标价出售少收入多少元？

25.  本小题分
是三角形内一点，射线，射线．
当点，分别在，上时，
补全图；
猜想与的数量关系，并证明；
当点，都在线段上时，你在中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
 

26.  本小题分
在平面直角坐标系中，对于任意两点和，我们重新定义这两点的“距离”．
当时，为点与点的“远距离”，即；当时，为点与点的“远距离”，即
点与点的“总距离”为与的和，即

根据以上材料，解决下列问题：
已知点，则 ______ ； ______ ．
若点在第一象限，且求点的坐标．
：
若点，且，所有满足条件的点组成了图形，请在坐标系中画出图形；
已知点，，若在线段上总存在点落在的图形上，请直接写出的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据算术平方根的定义，表示的算术平方根，故A不符合题意．
B.根据算术平方根的定义，表示的算术平方根，故B不符合题意．
B.根据平方根的定义，表示的平方根是，那么不符合题意．
D.根据平方根的定义，表示的平方根是，那么符合题意．
故选：．
根据算术平方根以及平方根的定义解决此题．
本题主要考查算术平方根以及平方根，熟练掌握算术平方根以及平方根的定义是解决本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：点位于第二象限，距离轴个单位长度，距离轴个单位长度，
点的横坐标为，纵坐标为，
点的坐标为．
故选：．
根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到轴的距离等于纵坐标的长度，到轴的距离等于横坐标的长度求出点的横坐标与纵坐标，然后写出即可．
本题考查了点的坐标，熟记点到轴的距离等于纵坐标的长度，到轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将看做已知数求出．
把看做已知数表示出即可．
【解答】
解：，
解得：，
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：由数轴可得所表示的解集为，
只有选项符合题意，
故选：．
实心点表示大于等于或小于等于，空心点表示大于或小于，再根据不等式解集的数轴表示方法判断即可．
本题考查了用数轴表示不等式组的解集，掌握不等式组的解集由所构成的几个不等式解集的公共部分组成是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图，

，
，
，
，
，
，
解得，
故选：．
根据平行线的性质得到，由得到，由得到，即可求得答案．
此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：两个非零有理数的商一定是有理数，是真命题，故A符合题意；
B.一个正数的算术平方根不一定小于这个数，例如，原命题是假命题，故B不符合题意；
C.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，原命题是假命题，故C不符合题意；
D.在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，原命题是假命题，故D不符合题意．
故选：．
根据有理数的运算，算术平方根的定义，平行线的性质，平行线的判定，逐项进行判断即可．
本题主要考查了命题真假的判定，解题的关键是熟练掌握有理数的运算，算术平方根的定义，平行线的性质，平行线的判定．
 

7.【答案】 

【解析】解：将点向左平移个单位，再向上平移个单位，得到，
，
，，
对应点在第二象限．
故选：．
先根据平移方式得到对应点，再根据确定横坐标和纵坐标的取值范围，即可得到点所在的象限．
此题考查了坐标系中点的平移规律和各象限内点的符号特点，熟练掌握各象限内点的符号特点是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，，轴，轴，
，，
，
即，
，故B正确．
故选：．
根据平行轴和平行轴的坐标特点，得出，，根据，求值即可．
本题主要考查了平行轴和平行轴的坐标特点，解题的关键是熟练掌握平行轴的直线上点的纵坐标相同，平行轴的直线上点的横坐标相同．
 

9.【答案】   

【解析】解：的平方根是，
若，则，即，
故答案为：，；
根据平方根和算术平方根的定义和性质解答即可；
本题考查了平方根：如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根，正数有两个平方根，它们互为相反数，只有一个平方根，负数没有平方根；算术平方根：如果一个非负数的平方等于，那么叫做的算术平方根；掌握其定义是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
故答案为：．
先根据平行线的判定得出，再根据平行线的性质解答即可．
本题考查了平行线判定和性质的应用，熟记内错角相等两直线平行；同位角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行，是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：在平面直角坐标系中，若轴上的点到轴的距离为，
的坐标为，
故答案为：
根据的位置，结合题意确定出坐标即可．
此题考查了点的坐标，确定出的横坐标是解本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：是二元一次方程的一个解，
，
解得：，
故答案为：．
根据方程的解的定义，把与的值代入方程计算即可求出的值，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
此题考查了二元一次方程的解，理解方程的解是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：设甲种运输车安排了辆，
，解得．
则甲种运输车至少应安排辆．
本题考查的是一元一次不等式的应用．
现用甲，乙两种运输车将吨抗旱物资运往灾区，此题的等量关系是：甲种车运输物资数乙种车运输物资数吨．设甲种运输车至少应安排辆，根据不等关系就可以列出不等式，求出的值．
解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，理解汽车的载重量与货物的数量之间的关系是解决本题的关键．
 

14.【答案】小   

【解析】解：，
，
，
，
代数式有最小值，
故答案为：小，．
根据不等式的性质计算求值即可．
本题考查了不等式的性质：不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变；掌握其性质是解题关键．
 

15.【答案】或 

【解析】解：点的坐标为，且点到两坐标轴的距离相等，
，
或，
解得：或，
点坐标为或，
故答案为：或．
根据点到轴和轴的距离相等，则，然后去绝对值得到两个一次方程，解方程求出，再写出点坐标即可．
本题考查了点的坐标，点到坐标轴的距离，明确坐标平面内的点到轴的距离是这个点的纵坐标的绝对值，到轴的距离是这个点的横坐标的绝对值是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：面积为的正方形的边长为：，面积为的正方形的边长为：，
则阴影部分面积为：
故答案为：．
由两个小正方形的面积分别为，，得出其边长分别为和，则阴影部分合起来是长等于，宽等于的长方形，从而可得答案．
本题考查了二次根式在面积计算中的应用，本题属于基础题，难度不大．
 

17.【答案】解：原式
． 

【解析】直接利用算术平方根，立方根的性质以及绝对值的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
 

18.【答案】解：
由得，，
把代入得，，
解得，
把代入得，，
所以，方程组的解是． 

【解析】本题考查的是二元一次方程组的解法，熟练掌握代入消元法和加减消元法是解题的关键．
先把第二个方程整理得到，然后利用代入消元法求解即可．
 

19.【答案】解：去括号得，
移项得，
合并得，
系数化为得．
用数轴表示为：
 

【解析】先去括号，再移项合并得到，然后系数化为即可，再用数轴表示解集．
本题考查了解一元一次不等式：根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为也考查了在数轴上表示不等式的解集．
 

20.【答案】解：，
由，得，
由，得 ，
原不等式组的解集为，
原不等式组的所有整数解为，，． 

【解析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后求出答案即可．
本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能求出不等式组的解集是解此题的关键．
 

21.【答案】证明：已知，
垂直定义．
已知，
同角的余角相等，
内错角相等，两直线平行． 

【解析】先根据垂直的定义可得，再结合可得，然后根据“内错角相等，两直线平行”即可证明结论．
本题主要考查了平行线的判定、垂直的定义、同角的余角相等等知识点，掌握“内错角相等，两直线平行”是解答本题的关键．
 

22.【答案】解：图中格点是由格点向右平移个单位长度得到的；

如果以直线、为坐标轴建立平面直角坐标系后，点的坐标为，则格点各顶点的坐标分别为，，，

或． 

【解析】本题考查的是作图平移变换及三角形的面积，熟知图形平移的性质是解答此题的关键．
直接根据图形平移的性质得到即可；
根据所在的格点位置写出其坐标，连接，再根据三角形的面积公式求解；
 

23.【答案】解：当时，不等式组为，
解不等式得，，
解不等式得，，
把解集表示在数轴上如下：

不等式组的解集为，整数解为；
，
解不等式得，，
解不等式得，，
使不等式组只有个整数解，
，
解得，
即的取值范围是． 

【解析】求出每个不等式的解集并表示在数轴上，即可得到不等式组的解集和整数解；
求出每个不等式的解集，根据不等式组只有个整数解即可得到的取值范围．
此题考查了一元一次不等式组的解法及整数解，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
 

24.【答案】解：设种服装购进件，种服装购进件，由题意，得
，
解得：．
答：种服装购进件，种服装购进件；
由题意，得：


元．
答：服装店比按标价售出少收入元． 

【解析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．
设种服装购进件，种服装购进件，由总价单价数量，利润售价进价建立方程组求出其解即可；
分别求出打折后的价格，再根据少收入的利润总利润打折后种服装的利润打折后中服装的利润，求出其解即可．
 

25.【答案】解：补全图形，如图所示．

 
证明：，
  
，
，
．

不成立，此时．
理由如下：如图，反向延长射线交于点，可知．

由结论可知．
． 

【解析】根据平行线的性质，即可得到，，即可得到与的数量关系．
先反向延长射线交于点，可知，由结论可知，进而得出．
本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．
 

26.【答案】   

【解析】解：，
；；
故答案为：；．

，
或，
点在第一象限，
或，
或，
即或；

，
又，，
，
图形是过，的一段线段，如图所示：

点，，
点一定在轴上，点在直线上，
当时，即时，点正好在线段上，此时点的坐标为，再向右移动线段上一定有个点在上，当点移动到，即时，再向右移动线段上没有点在上，
当时，线段上总存在点落在的图形上．

根据和的定义，进行计算即可；
分或两种情况讨论求解即可；
根据，得到，得到图形是过，的一段线段；
如图，考虑两个极限端点，讨论求解即可．
本题主要考查坐标系下两点间的距离．理解并掌握和的定义，是解题的关键．