全真模拟卷01（解析版）-2023年高考数学（理）全真模拟卷(全国卷)

2023年高考全真模拟卷（一）

理科数学

（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知复数的共轭复数为，且，则下列四个选项中，可以为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】设，

由已知得，即，

∴，即，对照各选项，只有D满足．

故选：D．

2．已知全集,,则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】解:由题知,,,

故.

故选:C

3．若角的终边经过点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】若角的终边经过点，则，

故选：A.

4．若平面向量与的夹角为，，，则等于（   ）．

A． B． C．4 D．12

【答案】B

【详解】因为平面向量与的夹角为，，，

所以，，

所以.

故选：B.

5．若实数满足约束条件则的最大值是（    ）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】C

【详解】画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，

目标函数，可化为直线，

当直线过点时在上的截距最大，此时目标函数取得最大值，

又由，解得，

所以目标函数的最大值为.

故选：C.

6．已知奇函数在上的最大值为，则（    ）

A．或3 B．或2 C．2 D．3

【答案】B

【详解】由已知可得，.

因为是奇函数，所以，所以，

即，解得，即.

当时，则，所以函数在上单调递增，函数在上单调递减，所以函数在上单调递增，所以函数在上单调递增.所以在处有最大值，所以，整理可得，解得或（舍去），所以；

同理，当时，函数在上单调递减，所以在处有最大值，所以，整理可得，解得或（舍去），所以.

综上所述，或.

故选：B.

7．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早 多年．在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图 是阳马，，，，．则该阳马的外接球的表面积为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】因，平面ABCD，平面ABCD，

则，又因四边形ABCD为矩形，则.

则阳马的外接球与以为长宽高的长方体的外接球相同.

又，，．则外接球的直径为长方体体对角线，故外接球半径为：，

则外接球的表面积为：

故选：B

8．从今年8月开始，南充高中教师踊跃报名志愿者参加各街道办、小区、学校的防疫工作，彰显师者先行、师德担当的精神，防疫工作包含扫描健康码、取咽拭子、后勤协调三项工作，现从6名教师自愿者中，选派4人担任扫描健康码、取咽拭子、后勤协调工作，要求每项工作都有志愿者参加，不同的选派方法共有（    ）种

A．90 B．270 C．540 D．1080

【答案】C

【详解】用分步乘法计数原理：

第一步，从6名教师自愿者中选派4人，不同的选派方法种类为；

第二步，将选出的4人分为3组，不同的分组方法种类为；

第三步，将分好的3组，分配到不同的3项工作，不同的分配方法种类为.

所以，不同的选派方法种类为.

故选：C.

9．已知是椭圆的右焦点，为的上顶点，直线与椭圆的另一个交点为，的面积为，则的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】解：由题知，，设，则易知，

因为的面积为，

所以，

所以，解得，即，

因为在椭圆上，

所以，即，

所以，的离心率为.

故选：A

10．如图为“杨辉三角”示意图，已知每一行的数字之和构成的数列为等比数列且记该数列前n项和为，设，将数列中的整数项依次取出组成新的数列记为，则的值为（    ）

A．5052 B．5057 C．5058 D．5063

【答案】B

【详解】解：由题意得：，

所以，

则数列即为，

其整数项为即，

所以的奇数项是以2为首项，以5为公差的等差数列，则；

的偶数项是以3为首项，以5为公差的等差数列，则，

所以，

故选：B

11．日光射入海水后，一部分被海水吸收（变为热能），同时，另一部分被海水中的有机物和无机物有选择性地吸收与散射．因而海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用表示其总衰减规律，其中是平均消光系数（也称衰减系数），（单位：米）是海水深度，（单位：坎德拉）和（单位：坎德拉）分别表示在深度处和海面的光强．已知某海区10米深处的光强是海面光强的，则该海区消光系数的值约为（    ）（参考数据：，）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】由题意得：，即，

两边取对数得：，

故.

故选：A

12．已知，则的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】解：记，则，

令，解得，令，解得，

在上单调递减，在上单调递增，

，

即，所以；

记，,则恒成立，

故在上单调递减，

则，即，

即，所以；

综上，可得.

故选：A.

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知的展开式中，二项式系数之和为64，则展开式中常数项为______．

【答案】

【详解】由的展开式中，二项式系数之和为64得，，

的展开式的通式为

令，得

所以展开式中常数项为

故答案为：.

14．若抛物线上一点到焦点的距离是该点到轴距离的3倍，则______.

【答案】##3.5

【详解】由题知：，故由焦半径公式得：.

故答案为：.

15．已知向量，，若，则的值为______.

【答案】

【详解】已知向量，，若，则有，

∴.

故答案为：

16．如图，在矩形中，为的中点，点分别在线段上运动（其中不与重合，不与重合），且，沿将折起，得到三棱锥.当三棱锥体积最大时，其外接球的体积为__________.

【答案】

【详解】解：设，则，

沿将折起，当平面时，三棱锥的体积最大，

此时，

当时，取最大值，最大值为1，

此时，，，为等边三角形，

当三棱锥体积最大时，三棱锥是正三棱柱的一部分，如图所示：

则三棱柱的外接球即是三棱锥的外接球，

设点，分别是上下底面正三角形的中心，

线段的中点即是三棱柱的外接球的球心，

又是边长为2的等边三角形，，

三棱柱的外接球的半径，

三棱锥的外接球的体积为，

故答案为：．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．已知等差数列满足，，的前n项和为．

(1)求及的通项公式；

(2)记，求证：．

【答案】(1)，

(2)证明见解析

【详解】（1）设等差数列的公差为，

则，解得，

，

；

（2）由（1）得，

，

即.

18．某电视台“挑战主持人”的节目中，挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得5分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得10分，回答不正确得-5分．如果一位挑战者回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率为，且各题回答正确与否相互之间没有影响．若这位挑战者回答这三个问题的总得分不低于5分，就算他闯关成功．

(1)求至少回答对一个问题的概率；

(2)求这位挑战者回答这三个问题的总得分X的分布列；

(3)求这位挑战者闯关成功的概率．

【答案】(1)

(2)分布列见详解

(3)

【详解】（1）由一位挑战者回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率为，

则其回答前两个问题错误的概率都是，回答第三个问题错误的概率为，

设至少回答对一个问题为事件A，则；

（2）这位挑战者回答这三个问题的总得分X的所有可能取值为-5，0，5，10，15，20，

则，

，

，

，

，

，

则随机变量X的分布列为：

（3）设这位挑战者闯关成功为事件B，则．

19．如图，等腰梯形中，//，，，为中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置（平面）.

(1)证明：；

(2)若直线与平面所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【详解】（1）连接，设的中点为，由//，，故四边形为平行四边形，∴，故，为等边三角形，故，，折叠后，又，且平面，故平面，又平面，故

（2）由（1）已证得平面，故在平面内可作平面，垂足为，则在直线上，直线与平面夹角为，又，故，∴两点重合，即平面，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，.

设平面的一个法向量为，则，即，令得，

又平面，显然为平面的一个法向量，

设二面角的大小为，则

由图可知二面角为钝角，所以.

20．已知双曲线C：的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为1．

(1)求双曲线C的标准方程与离心率；

(2)已知斜率为的直线与双曲线C交于x轴下方的A，B两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率之积为，求的面积．

【答案】(1)；

(2)

【详解】（1）由题意知焦点到渐近线的距离为，

则

因为一条渐近线方程为，所以，

又，解得，，

所以双曲线的标准方程为，

离心率为．

（2）设直线：，，，

联立

则，

所以，

由

解得（舍）或，

所以，

：，令，得，

所以的面积为，

21．已知函数.

(1)若函数有两个零点，求的取值范围；

(2)设是函数的两个极值点，证明：.

【答案】(1)

(2)证明过程见解析.

【详解】（1），

该方程有两个不等实根，由，

所以直线与函数的图象有两个不同交点，

由，

当时，单调递减，

当时，单调递增，因此，

当时，，当，，

如下图所示：

所以要想有两个不同交点，只需，即的取值范围为；

（2）因为是函数的两个极值点，

所以，由（1）可知：，不妨设，

要证明，只需证明，显然，

由（2）可知：当时，单调递增，所以只需证明，

而，所以证明即可，

即证明函数在时恒成立，

由，

显然当时，，因此函数单调递减，

所以当时，有，所以当时，恒成立，因此命题得以证明.

22．在直角坐标系中，圆心为的圆的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

(1)求圆的极坐标方程；

(2)设点在曲线上，且满足，求点的极径．

【答案】(1)

(2)1或

【详解】（1）由圆的参数方程消去参数，得圆的普通方程为

，圆心．

把代入，

化简得圆的极坐标方程为．

（2）由题意，在极坐标系中，点．

点在曲线上，设．

在中，由余弦定理有，

即．

化简得．

解得或．

故或．

点的极径为1或．

23．已知函数．

(1)求不等式的解集；

(2)若恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【详解】（1）由于，

当时，，解得，此时；

当时，，解得，此时；

当时，，解得，此时．

综上：的解集为；

（2），

当且仅当时等号成立，

，即，

解得，

的取值范围是．