全真模拟卷02（解析版）-2023年高考数学（理）全真模拟卷(全国卷)

2023年高考全真模拟卷（二）

理科数学

（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】由或，

，

所以

故选：B

2．已知复数z满足，则（    ）

A．1 B． C． D．2

【答案】B

【详解】，，.

故选：B．

3．已知向量，，且，则与夹角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】依题意有，

∴，，∴，

又，∴．

所以与的夹角为，

故选:D．

4．已知定义在上的函数满足,,当时,,则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】解:由题知,

所以为奇函数,

因为,

将上式中代替,

有,

将上式中代替,

有,

所以周期,

则

,

因为,

即,

所以,

因为时,,

所以

,

所以.

故选:D

5．已知圆台上下底面半径之比为1：2，母线与底面所成的角为60°，其侧面面积为，则该圆台的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】圆台轴截面如图，则，∴.

圆台高，

∴.

故选：D

6．在的展开式中，的系数为（    ）

A． B． C． D．30

【答案】C

【详解】因为，其中展开式的通项为，所以原式的展开式中含的项为.所以的系数为.

故选：C.

7．南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，2，4，7，11，16，22，则该数列的第20项为（    ）

A．172 B．183 C．191 D．211

【答案】C

【详解】高阶等差数列： 1，2，4，7，11，16，22，，

令，则数列：1，2，3，4，5，6，，

则数列为等差数列，首项，公差，，则

则

故选：C

8．如图所示，函数（且）的图像是（   ）．

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】解：因为，

所以函数图象如C所示.

故选：C

9．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，如果规定每位同学必须报名，则不同的报名方法共有（     ）

A．10种 B．20种 C．25种 D．32种

【答案】D

【详解】如果规定每位同学必须报名，且每位同学限报其中的一个小组，每个同学都有2种选择，根据分步乘法计数原理，知不同的报名方法共有（种），

故选：D．

10．已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，为坐标原点，若，则的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】依题意作图．抛物线的准线方程为，过点作准线的垂线，

垂足为．过点作直线的垂线，垂足为，由条件得，

设，则，，

直线的方程为：，由于点在抛物线上，，

解得或（不符合题意，舍），

，所以，

．

故选：C．

11．已知数列满足：，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】∵，则，

∴数列是以首项，公比的等比数列，则，

故.

故选：B.

12．已知函数，则不等式的解集是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】不等式可整理为，

令，定义域为，则原不等式可看成，

，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，上单调递增，

令，则，令，则，令，则，

所以在上单调递增，上单调递减，且，所以，即，即，

当时，，，所以，解得；

当时，，，所以，不成立；

综上可得，不等式的解集为.

故选：D.

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知，y满足约束条件，则的最大值为______.

【答案】

【详解】如图所示：画出可行域，

，即，表示直线在轴的截距，

，解得，当直线过点时，最大为.

故答案为：

14．设函数，__________．

【答案】9

【详解】

故答案为：9

15．已知某圆台的上、下底面面积分别为和，高为2，上、下底面的圆周在同一球面上，则该圆台外接球的表面积为__________．

【答案】

【详解】由题可知圆台上下底面的半径分别为1和2，外接球轴截面如图所示，

设球的半径为R，当两底面在球心同侧时，有，即，即，即，方程无解；

当两底面在球心异侧时，有，即，所以，即，则，．

∴这个球的表面积是．

故答案为：

16．在平面直角坐标系中，已知双曲线的右焦点为，右顶点为，过作其中一条渐近线的垂线，垂足为．若，则双曲线的离心率为__________．

【答案】

【详解】根据对称性，不妨取渐近线，根据点到直线的距离，则到该渐近线的距离为：，即，于是，依题意，由可知，，又，于是，故为等边三角形，于是，故，则双曲线的离心率.

故答案为：2

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．在中，内角所对的边分别为的面积为．

(1)求的大小；

(2)若，且，求的值．

【答案】(1)

(2)，

【详解】（1）由有，

因为，所以，可得，

所以，

因为，所以

（2）由（1）知，代入，有，

整理得，解得，

所以

18．在2022年卡塔尔世界杯亚洲区预选赛十二强赛中，中国男足以1胜3平6负进9球失19球的成绩惨败出局．甲、乙足球爱好者决定加强训练提高球技，两人轮流进行定位球训练（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人进球另一人不进球，进球者得1分，不进球者得分；两人都进球或都不进球，两人均得0分，设甲每次踢球命中的概率为，乙每次踢球命中的概率为，甲扑到乙踢出球的概率为，乙扑到甲踢出球的概率，且各次踢球互不影响．

(1)经过一轮踢球，记甲的得分为X，求X的分布列及数学期望；

(2)若经过两轮踢球，用表示经过第2轮踢球后甲累计得分高于乙累计得分的概率，求．

【答案】(1)分布列见解析，数学期望为

(2)

【详解】（1）记一轮踢球，甲进球为事件A，乙进球为事件B，相互独立，

由题意得：，，

甲的得分X的可能取值为 ，

则，

，

，

所以的分布列为：

所以.

（2）根据题意，经过第2轮踢球累计得分后甲得分高于乙得分的情况有三种；

分别是：甲两轮中第1轮得0分，第2轮得1分；

或者甲第1轮得1分，第2轮得0分；

或者甲两轮各得1分，

于是：

.

19．已知四棱锥中，底面是菱形，平面平面为中点．

(1)若在线段上，且直线与平面相交，求的取值范围；

(2)若与平面所成的角为，求二面角的余弦值．

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）取的中点分别为，连接，可得，

因为，，所以，所以四边形是平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，此时，

若与点重合，显然不符合题意；

当与点重合时，直线与平面相交，此时，所以；

当在与之间时，

因为，，所以四边形是梯形，

所以与相交，平面，

所以直线与平面相交，此时；

当在与之间或与重合时，

因为，，所以四边形是梯形，

所以与相交，平面，

所以直线与平面相交，此时；

综上所述，；

（2）因为底面是菱形，所以，

因为平面平面，平面平面，

所以平面，平面，所以，

因为，所以，即，

又，平面，所以平面，

取的中点，连接，所以，平面，

所以，，，所以，

取的中点，连接，所以，

以为原点，分别以所在的直线为轴的正方向建立如图空间直角坐标系，所以，，，，，

，，

因为为平面的一个法向量，

设为平面的一个法向量，

所以，，令，所以，

所以，

由图二面角的平面角为锐角，

所以二面角的余弦值为.

20．已知双曲线：（），直线与双曲线交于，两点．

(1)若点是双曲线的一个焦点，求双曲线的渐近线方程；

(2)若点的坐标为，直线的斜率等于1，且，求双曲线的离心率．

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）∵点是双曲线的一个焦点，∴，

又∵且，解得，

∴双曲线的方程为，

∴双曲线的渐近线方程为；

（2）设直线的方程为且，

联立,可得，

则，∴，即，

∴

解得，即由可得，

故双曲线的离心率为．

21．已知函数，其中是自然对数的底数．

(1)若，证明：函数的极小值为0；

(2)若存在两条直线与曲线和曲线均相切，求的取值范围．

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【详解】（1）依题意，，求导得：，令，

，由得，由得，因此函数在上递减，在上递增，

而，则，

又，即存在，使得，

当或时，，当时，，

即函数在上单调递增，在上单调递减，

因此当时，取得极小值，

所以函数的极小值为0.

（2）令与曲线和曲线均相切的直线同曲线相切于点，

而，有，因此该切线方程为，显然直线与相切，

由消去y并整理得：，

因此，整理得，令，

依题意，函数有两个不同的零点，，当时，，，当时，，

即函数在上单调递减，在上单调递增，

当时，，而函数在上单调递减，函数值集合为，

因此函数在上的取值集合为，

当时，令，，令，则，

即函数在上单调递增，，

因此函数在上单调递增，，即，

则当时，，显然抛物线开口向上，在上无最大值，

因此函数在上的取值集合为，

从而当，即，存在，使得，

于是得当时，函数有两个不同的零点，

所以的取值范围是.

22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数）．

(1)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求曲线C极坐标方程；

(2)若点A，B为曲线C上的两个点且，求证：为定值．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【详解】（1）由得，

所以曲线的直角坐标方程为．

将，代入到，得，

得，

所以曲线的极坐标方程为：.

（2）由于，故可设，

，，

所以

．

即为定值.

23．已知函数.

(1)求不等式的解集；

(2)若，，且，求满足条件的整数的所有取值的和.

【答案】(1)

(2)6

【详解】（1）解：当时，，

∴，∴，∴；

当时，，∴，，∴；

当时，，∴，，∴，

综上，不等式的解集为；

（2）解：因为，

∴为偶函数，

当时，，

当时，，

当时，，

作出函数图象如图所示，

若，则

①，∴；

②，∴或；

③，，∴，

综上整数的取值为0，1，2，3，故和为6.