全真模拟卷03（考试版）-2023年高考数学全真模拟卷(北京卷)

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2023年高考全真模拟卷（三）

数学（北京卷）

（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

2．若复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．图1：在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能的向左或向右落下，最后落入底部的格子中.在图2中，将小球放入容器中从顶部下落，则小球落入D区的路线数有（    ）

A．16 B．18 C．20 D．22

4．设为等差数列的前项和.已知，，则（    ）

A．为递减数列 B．

C．有最大值 D．

5．函数的零点的个数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

6．设抛物线的焦点为，准线为.斜率为的直线经过焦点，交抛物线于点，交准线于点（在轴的两侧）.若，则抛物线的方程为（    ）

A． B．

C． D．

7．设，均为锐角，则“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

8．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足.已知某同学视力的小数记录法的数据为0.8，则其视力的五分记录法的数据约为（）（    ）

A．4.5 B．4.7 C．4.8 D．4.9

9．要制作一个容积为的圆柱形封闭容器，要使所用材料最省，则圆柱的高和底面半径应分别为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

10．骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，下图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆（前轮），圆（后轮）的半径均为，均是边长为4的等边三角形.设点为后轮上的一点，则在骑行该自行车的过程中，的最大值为（    ）

A． B．12 C． D．3

第Ⅱ卷

二、填空题：本题共5个小题，每小题5分，共25分．

11．函数的定义域是___________．

12．若直线与圆有公共点，则的最小值为__________.

13．若命题“”是假命题，则实数a的取值范围是___________．

14．人口问题是关系民族发展的大事．历史上在研究受资源约束的人口增长问题中，有学者提出了“Logistic model”：，其中均为正常数，且，该模型描述了人口随时间t的变化规律．给出下列三个结论：

①；

②在上是增函数；

③．

其中所有正确结论的序号是_______________．

15．已知正方形ABCD的边长为2，点P满足．若，则________；若，则的取值范围是________．

三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本小题14分）

在中，．

(1)求A；

(2)若，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积．

条件①：；

条件②：；

条件③：．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

17. （本小题14分）

如图，在四棱锥中，平面，为棱的中点.

(1)证明：平面；

(2)再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角的余弦值.

条件①：；条件②：.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

18．（本小题14分）

玩具柜台元旦前夕促销，就在12月31日购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送大奖.而每个甲系列盲盒可以开出玩偶，中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶，中的一个.

(1)记事件：一次性购买n个甲系列盲盒后集齐玩偶；事件：一次性购买n个乙系列盲盒后集齐，玩偶；求及；

(2)柜台对甲、乙两个系列的盲盒进行饥饿营销，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒.通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为：而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为，前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为：如此往复，记某人第次购买甲系列的概率为.

①求；

②若礼品店每卖出一个甲系列的盲盒可获利30元，卖出一个乙系列的盲盒可获利20元，由样本估计总体，若礼品店每天可卖出1000个盲盒，且买的人之前都已购买过很多次这两个系列的盲盒，估计该礼品店每天利润为多少元（直接写出答案）

19.（本小题14分）

已知椭圆的左、右顶点分别为，且，离心率为.

(1)求椭圆的方程；

(2)设是椭圆上不同于的一点，直线，与直线分别交于点.试判断以为直径的圆是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.

20.（本小题15分）

已知函数.

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)讨论函数的单调性；

(3)当时，证明：对任意的恒成立.

21.（本小题14分）

对于一个有穷正整数数列，设其各项为，各项和为，集合中元素的个数为.

(1)写出所有满足的数列；

(2)对所有满足的数列，求的最小值；

(3)对所有满足的数列，求的最大值.