全真模拟卷02（解析版）-2023年高考数学全真模拟卷(江苏专用)

2022年高考全真模拟卷（二）

数学（江苏专用）

（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.

1．已知i为虚数单位，复数为纯虚数，则（    ）

A．0 B． C．2 D．5

【答案】D

【详解】解：由题意，

在中，

∵为纯虚数，

∴，

∴，

∴

∴，

故选：D．

2．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

所以.

故选：B.

3．足球是由个正五边形和个正六边形组成的．如图，将足球上的一个正六边形和它相邻的正五边形展开放平，若正多边形边长为，、、分别为正多边形的顶点，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】连接，由余弦定理可得，

易知正五边形的每个内角为，

所以，

，则，

，

，

，

故选：A.

4．已知函数，若为偶函数，在区间内单调，则的最大值为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】B

【详解】由于函数为偶函数，故直线为函数图像的一条对称轴，

所以，，则，，

又，即，解得，

又，，所以的最大值为4，

当时，在单调递增，满足要求，

故的最大值为4.

故选：B

5．心理学家经常用函数测定时间（单位：）内的记忆量，其中A表示需要记忆的量，表示记忆率．已知一个学生在内需要记忆200个单词，而他的记忆量为20个单词，则该生的记忆率约为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】由题意可得：，则，取对数整理得.

故选：A.

6．甲、乙两队进行篮球比赛，采取五场三胜制（先胜三场者获胜，比赛结束），根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“客客主主客”，设甲队主场取胜的概率为，客场取胜的概率为，且各场比赛相互独立，则甲队在落后的情况下最后获胜的概率为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】由题意可知，甲队在第一场比赛输了，若甲队在落后的情况下最后获胜，分以下几种情况讨论：

①甲队在第二、三、四场比赛都获胜，概率为；

②甲队在第二场比赛输了，在第三、四、五场比赛获胜，概率为；

③甲队在第二、四、五场比赛获胜，在第三场比赛输了，概率为；

④甲队在第二、三、五场比赛获胜，在第四场比赛输了，概率为.

综上所述，所求概率为.

故选：A.

7．在九章算术商功中将正四面形棱台体棱台的上、下底面均为正方形称为方亭在方亭中，，方亭的体积为，则侧面的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】设方亭的高为，因为，方亭的体积为，

所以，解得，

如图，

过作，垂足为，

连接，，过作，垂足为，易知四边形为等腰梯形，

且，，则，

，

因为侧面为等腰梯形，

所以，

所以侧面的面积为．

故选: A．

8．在写生课上，离身高1.5m的絮语同学不远的地面上水平放置着一个半径为0.5m的正圆，其圆心与絮语同学所站位置距离2m.若絮语同学的视平面平面，平面，，且平面于点，，则絮语同学视平面上的图形的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】画出题中所述图：

可知圆在视平面上得到的是椭圆，且长轴长为圆的直径，即

通过相似关系，由及，代入数据：，，

所以，则，，所以.

故选：D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9．已知随机变量服从正态分布，则下列结论正确的是（    ）

A．， B．若，则

C． D．随机变量满足，则

【答案】ABC

【详解】因为,所以，，A正确；

因为，所以，B正确；

因为，所以，C正确；

因为，所以，

所以,D错误，

故选:ABC.

10．已知数列的前项和，数列是首项和公比均为2的等比数列，将数列和中的项按照从小到大的顺序排列构成新的数列，则下列结论正确的是（    ）

A． B．数列中与之间共有项

C． D．

【答案】AB

【详解】由题意可知：数列的前项和，当时，；

当时，；经检验，当时也满足，所以；

又因为数列是首项和公比均为2的等比数列，所以.

则数列为：，

所以，故选项正确；

数列是由连续奇数组成的数列，都是偶数，所以与之间包含的奇数个数为，故选项正确；

因为，则为偶数，但为奇数，所以，故选项错误；

因为，前面相邻的一个奇数为，令，解得：，

所以数列从1到共有，也即，故选项错误，

故选：

11．已知O为坐标原点，a，b为实数，圆C：，点在圆C外，以线段CD为直径作圆M，与圆C相交于A，B两点，且，则（    ）

A．直线DA与圆C相切

B．D在圆上运动

C．

D．

【答案】ABC

【详解】由于线段CD为圆M的直径，所以,所以直线DA与圆C相切，选项A正确；

设的交点为，可知,，则，

圆C：，则半径,由勾股定理可得 ,

设圆M的半径为，则，连接 ，则有,，解得，则，

故D在圆上运动，选项B正确；

圆M的半径为,如图，设圆C与轴的交点为两点，圆C的半径为,,且圆M必过点,

所以动点M的轨迹在圆C内，则有,选项C正确；

点的坐标为，因为D在圆上运动，

当 时，点的坐标为，所在的直线为 ，联立 ，消去 可得，解得，因为点在圆C外，所以此时点的坐标为，即，

，即存在一点的坐标为时，使得，选项D错误；

故选：ABC.

12．已知函数，若方程有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【详解】当时，，易得开口向上，对称轴为，

所以在上单调递减，在上单调递增，且，

当时，，注意此时在处取不到函数值；

当时，，则，所以，

易得的图像是的图像向上平移1个单位得到的，

当时，，注意此时在处取不到函数值；

当时，，则，所以，

易得的图像是的图像向下平移1个单位得到的，且；

综上，画出与在上的图像，如图，

.

对于A，因为与的图像的交点个数即为方程的解的个数，

又有四个不同的实数解，所以，故A正确；

对于B，结合图像可知，故B错误；

对于C，结合图像可知与关于对称，所以，故C正确；

对于D，因为，所以，所以，

由选项C知，又，则，

所以，

当且仅当且，即时，等号成立，

易知，所以，

所以，故D正确.

故选：ACD

二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13．已知某班高三模拟测试数学成绩，若，则______.

【答案】0.34

【详解】因为，所以.

故答案为：

14．已知，展开式的各项系数之和为，则展开式中的系数为______.

【答案】

【详解】当时，展开式的各项系数之和为，解得，

故二项式为，

当时，中含的项为，

故中的系数为.

故答案为：.

15．设为实数，已知双曲线的离心率，则的取值范围为_____________

【答案】

【详解】因为表示双曲线的方程，

所以有，因此，

因为，

所以由

，

即k的取值范围为，

故答案为：.

16．已知平行四边形中，，，.若沿对角线将折起到的位置，使得，则此时三棱锥的外接球的体积大小是______.

【答案】 ##

【详解】如图示：

在平行四边形中，，，，

则 ,

所以,

则在三棱锥中，，

故可将三棱锥中补成一个长方体，如图示：

则，故，

由题意可知三棱锥的外接球即为该长方体的外接球，设球的半径为r,

则，

故外接球体积为，

故答案为：

四、解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列．

(1)求角A、B、C；

(2)若，延长BC到D，使的面积为，求.

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）因为A、B、C成等差数列，所以，

因为，所以，所以，

由余弦定理得：，

因为a、b、c成等比数列，所以，代入上式得，，

所以，所以，所以，

综上所述.

（2）由（1）知，是等边三角形，所以由知，，

所以，所以，

所以，

在中，由余弦定理得，

，

在中，又由正弦定理得，

，即，

所以.

18．一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯卫生习惯分为良好和不够良好两类的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了例称为病例组，同时在未患该疾病的人群中随机调查了人称为对照组，得到如下数据：

(1)能否有的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异

(2)为了进一步研究已患该疾病人群的情况，该医疗团队在该地已患该疾病的病例中随机抽取人进行调查根据上表数据估计，要保证抽取的人中至少含有一个卫生习惯不够良好的居民的概率超过，则至少抽取多少人

附，

【答案】(1)有的把握

(2)至少抽取人

【详解】（1）因为，

又因为，，

所以有的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异．

（2）根据表中数据可估计，病例组中卫生习惯不够良好的居民的概率是，

卫生习惯良好的居民的概率是．

记抽取的人中至少含有一个卫生习惯不够良好的居民为事件，

则，

因为，所以，

所以，所以至少抽取人．

19．已知数列满足.

(1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；

(2)若记为满足不等式的正整数的个数，数列的前项和为，求关于的不等式的最大正整数解.

【答案】(1)证明见解析，

(2)8

【详解】（1）由取倒数得

，即，所以为公差为的等差数列，

.

（2）当时，，

所以这样有个,故，，

，

，

两式相减得：，

所以,又因为为递增数列.

又因为，，

，

所以最大正整数解为8.

20．如图，四棱锥的底面为平行四边形，平面平面，，，，分别为，的中点，且.

(1)证明：；

(2)若四棱锥的体积为1，求异面直线与所成角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【详解】（1）证明：如图，连接，因为，为中点，

所以，由平面，平面平面，平面平面，

故平面；因为平面，所以；

因为，，且，平面

所以平面；

而平面，所以.

（2）由（1），且为平行四边形，所以，

因为，所以

由于四棱锥的体积为，

故，解得；

如图，以为坐标原点，，方向为，轴正方向建立空间直角坐标系，则，，，

因为为的中点，且，所以，

所以，

设异面直线与所成角为，，则，

所以异面直线与所成角的余弦值为

21．如图，已知点分别是椭圆的左右焦点，是椭圆上不同的两点，且（），连接，且，交于点.

(1)当时，求点的横坐标；

(2)若的面积为，试比较与的大小，说明理由.

【答案】(1)

(2)，理由见解析

【详解】（1）易知，，设点，

可得：，

，可得：

又点在椭圆上，可得：，

解得：

故点的横坐标为

（2）由基本不等式，可得：（）

当且仅当时，取得等号

设点，，当时，可得：

可得：

又点在椭圆上，可得：，

解得：，或，

不妨设，，可得：

可得：

同理，当，时，也有：

故，可得：

22．已知函数，.

(1)当时，求的极值；

(2)当时，设函数的两个极值点为，，证明：.

【答案】(1)，无极小值

(2)证明见解析

【详解】（1）当时，，

则

令，得，

列表：

所以，无极小值.

（2）

，

当时，设函数的两个极值点为，所以，是方程的两根，

则，，

不妨设，则

要证：，只要证：

只要证： 只要证： 只要证：

只要证： 令，，，即证：，

因为，所以在上单调递增，

所以，所以，得证.