全真模拟卷03（解析版）-2023年高考数学全真模拟卷(北京卷)

2023年高考全真模拟卷（三）

数学（北京卷）

（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】因为集合，，

所以，

故选：B

2．若复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【详解】，所以复数在复平面上的点为，所以点在第一象限

故选：A

3．图1：在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能的向左或向右落下，最后落入底部的格子中.在图2中，将小球放入容器中从顶部下落，则小球落入D区的路线数有（    ）

A．16 B．18 C．20 D．22

【答案】C

【详解】第一层只有一个小球，其左右各有一个空隙，小球到这两个空隙处的线路数均为1；

第二层有两个小球，共有三个空隙，小球到这三个空隙处的线路数从左到右依次为：1,2,1，

第三层有三个小球，共有4个空隙，小球到这四个空隙处的线路数从左到右依次为：即为，

第四层有四个小球，共有5个空隙，小球到这五个空隙处的线路数从左到右依次为：即为，

第五层有五个小球，共有6个空隙，小球到这六个空隙处的线路数从左到右依次为：即为，

第六层有六个小球，共有7个空隙，小球到这七个空隙处的线路数从左到右依次为：即为，

故小球落入D区的路线数有20条.

故选：C.

4．设为等差数列的前项和.已知，，则（    ）

A．为递减数列 B．

C．有最大值 D．

【答案】B

【详解】为等差数列的前项和，

，解得；

又，设等差数列的公差为：

为递增数列，选项A错.

，，选项B对.

由知，

由二次函数的性质可知，有最小值没有最大值.选项C错.

，选项D错.

故选：B.

5．函数的零点的个数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【详解】当时，令，

则，解得：（舍去）或，

当时，令，解得：，

所以的零点个数为2.

故选：C.

6．设抛物线的焦点为，准线为.斜率为的直线经过焦点，交抛物线于点，交准线于点（在轴的两侧）.若，则抛物线的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】直线的斜率为，倾斜角为，

过作，垂足为，连接，

由于，所以三角形是等边三角形，

所以，

由于，所以，

所以抛物线方程为.

故选：B

7．设，均为锐角，则“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【详解】因为，均为锐角，所以，.

当时，，

由函数在上单调递增，所以，

故“”是“”的充分条件.

当时，由，，则，所以，

因为函数在上单调递增，所以，即，

故“”是“”的必要条件.

综上所述，“”是“”的充分必要条件.

故选：C.

8．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足.已知某同学视力的小数记录法的数据为0.8，则其视力的五分记录法的数据约为（）（    ）

A．4.5 B．4.7 C．4.8 D．4.9

【答案】D

【详解】由题意可知

,

故选:D.

9．要制作一个容积为的圆柱形封闭容器，要使所用材料最省，则圆柱的高和底面半径应分别为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【详解】解：设圆柱的高为，底面半径为．

，

．

当且仅当，即当时取等号．

此时．

即当，时取得最小值．

故选：C.

10．骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，下图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆（前轮），圆（后轮）的半径均为，均是边长为4的等边三角形.设点为后轮上的一点，则在骑行该自行车的过程中，的最大值为（    ）

A． B．12 C． D．3

【答案】A

【详解】解：由题意

建立平面直角坐标系如下图所示：

则，，，

∵圆（后轮）的半径为

∴圆

设

∴，

∴

当即，时最大，

∴最大值为

故选：A.

第Ⅱ卷

二、填空题：本题共5个小题，每小题5分，共25分．

11．函数的定义域是___________．

【答案】且

【详解】由题知：且.

故答案为：且.

12．若直线与圆有公共点，则的最小值为__________.

【答案】5

【详解】由题意知,直线过定点，

当点在圆上或圆内时，直线与圆总有公共点,

即，

即的最小值为5，

故答案为：5

13．若命题“”是假命题，则实数a的取值范围是___________．

【答案】

【详解】因为命题“”是假命题，

所以命题的否定：为真命题，

当时，恒成立，符合题意，

当时，由题意得：，解得.

综上实数a的取值范围是.

故答案为：

14．人口问题是关系民族发展的大事．历史上在研究受资源约束的人口增长问题中，有学者提出了“Logistic model”：，其中均为正常数，且，该模型描述了人口随时间t的变化规律．给出下列三个结论：

①；

②在上是增函数；

③．

其中所有正确结论的序号是_______________．

【答案】①②③

【详解】①当，

所以；

②，

因为均为正常数，且，

所以，

所以在上是增函数；

③，

等价于，

即等价于，

即等价于，

等价于，

而恒成立，且，

所以恒成立，

即．

故选项③正确.

故答案为：①②③.

15．已知正方形ABCD的边长为2，点P满足．若，则________；若，则的取值范围是________．

【答案】         

【详解】以点A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴，如图建立平面直角坐标系，

则，，，，

当时，，

则，

则.

故第一空的答案为：；

当时，点P在线段CB上运动，

则，，

，，

，，

，

开口向上，对称轴为

则当时，，，

即当时，的取值范围是.

故第二空的答案为：.

三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．在中，．

(1)求A；

(2)若，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积．

条件①：；

条件②：；

条件③：．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】(1)或；

(2)答案见解析.

【详解】（1）由可得，.

因为，所以，又，所以或.

（2）若选①：.

因为，所以为钝角，为锐角，

又，

又，所以，即，所以存在且唯一确定.

则，由可得.

.

根据正弦定理可得，，

所以；

若选②：.

因为，所以，由正弦定理可得，，

因为，所以，所以存在且唯一确定.

则，所以，；

若选③：.

因为，所以，此时或，

所以，此时存在但不唯一.

17．如图，在四棱锥中，平面，为棱的中点.

(1)证明：平面；

(2)再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角的余弦值.

条件①：；条件②：.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【详解】（1）

如图，取中点为，连接,

则有

又因为所以

所以四边形是平行四边形，所以，

又因为平面，平面，

所以平面.

（2）因为平面平面

所以且

所以以为轴建系如图，

若选择①：，因为平面平面

所以,所以,则，

所以,则,

因为平面，所以为平面的一个法向量，

设平面的法向量，,

所以，令，

所以，

设二面角为，，

因为由图可知二面角为钝角，所以.

若选择②：，设，则，

,

因为，所以解得，

则,

因为平面，所以为平面的一个法向量，

设平面的法向量，,

所以，令，

所以，

设二面角为，，

因为由图可知二面角为钝角，所以.

18．玩具柜台元旦前夕促销，就在12月31日购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送大奖.而每个甲系列盲盒可以开出玩偶，中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶，中的一个.

(1)记事件：一次性购买n个甲系列盲盒后集齐玩偶；事件：一次性购买n个乙系列盲盒后集齐，玩偶；求及；

(2)柜台对甲、乙两个系列的盲盒进行饥饿营销，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒.通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为：而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为，前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为：如此往复，记某人第次购买甲系列的概率为.

①求；

②若礼品店每卖出一个甲系列的盲盒可获利30元，卖出一个乙系列的盲盒可获利20元，由样本估计总体，若礼品店每天可卖出1000个盲盒，且买的人之前都已购买过很多次这两个系列的盲盒，估计该礼品店每天利润为多少元（直接写出答案）

【答案】(1),；

(2)①，②24000.

【详解】（1）由题意，

.

（2）①由题意可知：

②当时，，

所以，

所以是以为首项，为公比的等比数列，

所以

因为每天购买盲盒的人都已购买过很多次，

所以，对于每一个人来说，某天来购买盲盒时，

可以看作n趋向无穷大，由样本估计总体可知：

购买甲系列盲盒的概率近似于，

假设用表示一天中购买甲系列盲盒的个数，

则，

所以，即购买甲系列盲盒的个数的期望为400，

所以礼品店应卖出甲系列盲盒400个，乙系列盲盒600个.

估计利润为：（元）.

19．已知椭圆的左、右顶点分别为，且，离心率为.

(1)求椭圆的方程；

(2)设是椭圆上不同于的一点，直线，与直线分别交于点.试判断以为直径的圆是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.

【答案】(1)

(2)以为直径的圆过定点，.

【详解】（1）由题意可知，解得，

所以所以求椭圆的方程为.

（2）设，由（1）可知， 斜率存在且不为0，

依题意可知的直线方程为，

的直线方程为，

令，可得，，

假设以为直径的圆过定点，不妨设定点为，

依题意可知，，所以，

，

因为，

所以.

因为，

所以，

令，可得，解得，，

所以以为直径的圆过定点，.

20．已知函数.

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)讨论函数的单调性；

(3)当时，证明：对任意的恒成立.

【答案】(1)

(2)答案详见解析

(3)证明详见解析

【详解】（1）当时，，

，

所以切线方程为.

（2）依题意，，

，

当时，，解得,

则在区间递减；在区间递增.

当时，解得或,

当时， 在区间递增；

在区间递减.

当时，在上递增.

当时，在区间递增；

在区间递减.

（3）当时，，

由（2）可知，在递减，在递增，

所以

，

所以对任意的恒成立.

21．对于一个有穷正整数数列，设其各项为，各项和为，集合中元素的个数为.

(1)写出所有满足的数列；

(2)对所有满足的数列，求的最小值；

(3)对所有满足的数列，求的最大值.

【答案】(1)1，2，1或3，1；

(2)7；

(3)511566.

【详解】（1）解：当时，存在一组，满足，

又因为的各项均为正整数，且，

所以，即，且，

当时，满足条件的数列只能是：3,1；

当时，满足条件的数列不存在；

当时，满足条件的数列不存在；

当时，满足条件的数列只有1，2，1；

当时，满足条件的数列不存在；

所以数列： 1，2，1或3,1；

（2）解：由题意可知，所以，

①当时，应有数列中各项均不相同，此时有；

②当时，由于数列中各项必有不同的数，进而有.

若，满足上述要求的数列中有四项为1，一项为2，此时，不符合，

所以；

③当时，同②可得；

综上所述，有，同时当为2，2，1，1，1时，，

所以的最小值为7；

（3）解：①存在大于1的项，否则此时有；

②,否则将拆分成个1后变大；

③当时，有，否则交换顺序后变为，进一步有，

否则有，此时将改为，并在数列末尾添加一项1，此时变大；

④各项只能为2或1，否则由①②③可得数列中有存在相邻的两项，设此时中有项为2，则将改为2，并在数列末尾添加一项1后，的值至少变为；

⑤由上可得数列为的形式，设其中有项为2，有项为1，则有，

从而有，

由二次函数的性质可得，当且仅当时，最大，为511566.