2023年浙江省湖州市长兴县和平镇中学中考数学一模试卷（含答案）

这是一份2023年浙江省湖州市长兴县和平镇中学中考数学一模试卷（含答案），共28页。试卷主要包含了010101，5元/只．，1≤x≤5等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年和平镇中学中考数学模拟试卷
一 、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
下列实数是无理数的是（　　）
A． B． C．0 D．﹣1.010101
下列计算正确的是（　　）
A．x2+x2=x4
B．（x﹣y）2=x2﹣y2
C．（x2y）3=x6y
D．（﹣x）2•x3=x5
如图是由四个相同的小正方体搭成的立体图形，它的主视图是（　　）

A．
B．
C．
D．
已知一个正多边形的每个外角等于600，则这个正多边形是（ ）
A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形
《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？译文：若人坐一辆车，则两辆车是空的；若人坐一辆车，则人需要步行．问：人与车各多少？设有辆车，人数为，根据题意可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
小明为了解本班同学一周的课外阅读量，随机抽取班上15名同学进行调查，并将调查结果绘制成折线统计图（如图），则下列说法正确的是（ ）

A．中位数是3，众数是2 B．众数是1，平均数是2
C．中位数是2，众数是2 D．中位数是3，平均数是2.5
如图，不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
如图，将△ABC折叠，使点A与BC边中点D重合，折痕为MN，若AB=9，BC=6，则△DNB的周长为（　　）

A．12 B．13 C．14 D．15
如图所示，在矩形纸片中，，点分别是矩形的边上的动点，将该纸片沿直线折叠．使点落在矩形边上，对应点记为点，点落在处，连接与交于点．则下列结论成立的是（ ）
①；
②当点与点重合时；
③的面积的取值范围是；
④当时，．

A．①③ B．③④ C．②③ D．②④
如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6
二 、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
据报道，2021年全国高考报名人数为1078万．将1078万用科学记数法表示为，则n=__________．
若关于x、y的二元一次方程3x﹣ay=1有一个解是，则a=　 　．
已知x+y＝4，x﹣y＝6，则x2﹣y2＝　 　．
如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点，点F是的中点，连接、，若，则的周长为_________．

如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则DC=　 ．

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12．在Rt△DEF中，∠F＝90°，DF＝3，EF＝4．用一条始终绷直的弹性染色线连接CF，Rt△DEF从起始位置（点D与点B重合）平移至终止位置（点E与点A重合），且斜边DE始终在线段AB上，则Rt△ABC的外部被染色的区域面积是 　 　．

三 、解答题（本大题共8小题，共66分）
计算：（﹣2022）0+6×（﹣）+÷．
解不等式组，并求出它的整数解，再化简代数式•
（﹣），从上述整数解中选择一个合适的数，求此代数式的值．
如图，的对角线AC，BD相交于点O，过点O作，分别交AB，DC于点E、F，连接AF、CE．

（1）若，求EF的长；
（2）判断四边形AECF的形状，并说明理由．
如图，一次函数的图象经过点C(3，0)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为3.
（1）求该一次函数的解析式；
（2）若反比例函数的图象与该一次函数的
图象交于二、四象限内的A．B两点，且AC=2BC，
求的值。

某市在九年级“线上教学”结束后，为了解学生的视力情况，抽查了部分学生进行视力检测．根据检测结果，制成下面不完整的统计图表．
被抽样的学生视力情况频数表
组别
视力段
频数
A
5.1≤x≤5.3
25
B
4.8≤x≤5.0
115
C
4.4≤x≤4.7
m
D
4.0≤x≤4.3
52
（1）求组别C的频数m的值．
（2）求组别A的圆心角度数．
（3）如果视力值4.8及以上属于“视力良好”，请估计该市25000名九年级学生达到“视力良好”的人数．根据上述图表信息，你对视力保护有什么建议？

2020年新冠肺炎疫情期间，部分药店趁机将口罩涨价，经调查发现某药店某月（按30天计）前5天的某型号口罩销售价格（元/只）和销量（只）与第天的关系如下表：
第天
1
2
3
4
5
销售价格（元/只）
2
3
4
5
6
销量（只）
70
75
80
85
90
物价部门发现这种乱象后，统一规定各药店该型号口罩的销售价格不得高于1元/只，该药店从第6天起将该型号口罩的价格调整为1元/只．据统计，该药店从第6天起销量（只）与第天的关系为（，且为整数），已知该型号口罩的进货价格为0.5元/只．
（1）直接写出该药店该月前5天的销售价格与和销量与之间的函数关系式；
（2）求该药店该月销售该型号口罩获得的利润（元）与的函数关系式，并判断第几天的利润最大；
（3）物价部门为了进一步加强市场整顿，对此药店在这个月销售该型号口罩的过程中获得的正常利润之外的非法所得部分处以倍的罚款，若罚款金额不低于2000元，则的取值范围为______．
如图，△ABC和△ADE中，AB＝AD＝6，BC＝DE，∠B＝∠D＝30°，边AD与边BC交于点P（不与点B，C重合），点B，E在AD异侧，I为△APC的内心．
（1）求证：∠BAD＝∠CAE，
（2）设AP＝x，请用含x的式子表示PD，并求PD的最大值，
（3）当AB⊥AC时，∠AIC的取值范围为m°＜∠AIC＜n°，分别直接写出m，n的值．





如图，AB是⊙O的直径，=，AB=2，连接AC．
（1）求证：∠CAB=45°；
（2）若直线l为⊙O的切线，C是切点，在直线l上取一点D，使BD=AB，BD所在的直线与AC所在的直线相交于点E，连接AD．
①试探究AE与AD之间的数量关系，并证明你的结论；
②是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
答案解析
一 、选择题
【考点】无理数．
【分析】根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
解：，0，﹣1.0101是有理数，
是无理数，
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义．初中范围内学习的无理数有三类：①π类，如2π等；②开方开不尽的数，如√22等；③虽有规律但是无限不循环的数，如0.1010010001…，等．　
【考点】合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式
【分析】根据合并同类项法则、完全平方公式、积的乘方法则、同底数幂的乘法法则计算，判断即可．
解：x2+x2=2x2，A错误；
（x﹣y）2=x2﹣2xy+y2，B错误；
（x2y）3=x6y3，C错误；
（﹣x）2•x3=x2•x3=x5，D正确；
故选：D．
【点评】本题考查的是合并同类项、完全平方公式、积的乘方、同底数幂的乘法，掌握它们的运算法则是解题的关键．
【考点】简单组合体的三视图
【分析】根据主视图是从几何体正面看得到的图形即可得到答案.
解：从正面看可以看到有3列小正方形，从左至右小正方体的数目分别为1、2、1，
所以主视图为：
，
故选B．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图，关键是掌握主视图所看的位置．
【考点】多边形的外角和
【分析】多边形的外角和等于360°，因为所给多边形的每个外角均相等，故又可表示成60°n，列方程可求解．
解：设所求正n边形边数为n，
则60°•n=360°，
解得n=6．
故正多边形的边数是6．
故选B．
【点评】本题考查根据多边形的外角和求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组
【分析】设有辆车，人数为，根据“如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
解：设有辆车，人数为人，依题意得：
，
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【考点】平均数，中位数，众数
【分析】根据统计图中的数据，求出中位数，平均数，众数，即可做出判断．
解：15名同学一周的课外阅读量为0，1，1，1，1，2，2，2，2，2，2，3，3，4，4，
中位数为2；
平均数为（0×1+1×4+2×6+3×2+4×2）÷15=2；
众数为2；
故选：C．
【点评】此题考查了平均数，中位数，众数，熟练掌握各自的求法是解本题的关键．
【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．
【分析】 数轴的某一段上面表示解集的线的条数，与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，大于向右小于向左．
解：由①得，x＞﹣2，
由②得，x≤2，
故此不等式组的解集为：﹣2＜x≤2．
故选：B．
【点评】 本题考查了在数轴上表示不等式的解集．不等式的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
【考点】翻折变换
【分析】由D为BC中点知BD=3，再由折叠性质得ND=NA，从而根据△DNB的周长=ND+NB+BD=NA+NB+BD=AB+BD可得答案．
解：∵D为BC的中点，且BC=6，
∴BD=BC=3，
由折叠性质知NA=ND，
则△DNB的周长=ND+NB+BD=NA+NB+BD=AB+BD=3+9=12，
故选：A．
【点评】本题主要考查翻折变换，解题的关键是掌握翻折变换的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
【考点】矩形的性质和判定，菱形的判定与性质，勾股定理，翻折的性质
【分析】①根据题意可知四边形BFGE为菱形，所以EF⊥BG且BN=GN，若BN=AB，则BG=2AB=6，又因为点E是AD边上的动点，所以3 ②如图，过点E作EH⊥BC于点H，再利用勾股定理求解即可；
③当点E与点A重合时，的面积有最小值，当点G与点D重合时的面积有最大值．故<<．
④因为，则EG=BF=6-=．根据勾股定理可得ME= ，从而可求出△MEG的面积．
解：①根据题意可知四边形BFGE为菱形，
∴EF⊥BG且BN=GN，
若BN=AB，则BG=2AB=6，
又∵点E是AD边上的动点，
∴3 故①错误；
②如图，过点E作EH⊥BC于点H，则EH=AB=3，
在Rt△ABE中

即
解得：AE=，
∴BF=DE=6-=．
∴HF=-=．
在Rt△EFH中
=；
故②正确；

③当点E与点A重合时，如图所示，的面积有最小值= =，
当点G与点D重合时的面积有最大值==．
故<<．
故③错误．

④因为，则EG=BF=6-=．根据勾股定理可得ME= ，
∴．
故④正确．
故选D．
【点评】本题考查了矩形的性质和判定，菱形的判定与性质，勾股定理，翻折的性质等知识，掌握相关知识找到临界点是解题的关键．
【考点】平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称-最短路线问题
【分析】利用将军饮马之造桥选址的数学方法进行计算．
解：如图所示，

（1）为上一动点，点关于线段的对称点为点，连接，则，过点作的平行线，过点作的平行线，两平行线相交于点，与相交于点M．

四边形是平行四边形


则
（2）找一点， 连接，则，过点作的平行线，连接则．
此时

（1）中周长取到最小值
四边形是平行四边形

四边形是正方形
，
又，，


又

是等腰三角形
，则圆的半径，




故选：B．
【点评】本题难度较大，需要具备一定的几何分析方法．关键是要找到周长取最小值时的位置．
二 、填空题
【考点】科学记数法
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：万=104
将1078万用科学记数法表示为1.078×107
∴=1.078×107
∴n=7．
故答案为：7．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【考点】二元一次方程的解．
【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出a的值．
解：把代入方程得：9﹣2a=1，
解得：a=4，
故答案为：4．
【点评】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
【考点】平方差公式．
【分析】直接利用平方差公式将原式变形，代入得出答案．
解：∵x+y＝4，x﹣y＝6，
∴x2﹣y2
＝（x+y）（x﹣y）
＝4×6
＝24．
故答案为：24．
【点评】此题主要考查了平方差公式，正确将原式变形是解题关键．
【考点】勾股定理，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线
【分析】根据垂直平分线的性质求得∠BEA的度数，然后根据勾股定理求出EC长度，即可求出的周长．
解：∵ DE是AB的垂直平分线，
∴，BE=AE，
∴，
∵
∴
∴
又∵AC=5，
∴在中，
，

解得：CE=3，
又∵点F是的中点，
∴，
∴的周长=CF+CE+FE=．
故答案为：8．
【点评】此题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质．
【考点】圆周角定理；含30度角的直角三角形；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得∠BAD=∠BCD=90°，然后求出∠CAD=30°，利用同弧所对的圆周角相等求出∠CBD=∠CAD=30°，根据圆内接四边形对角互补求出∠BDC=60°再根据等弦所对的圆周角相等求出∠ADB=∠ADC，从而求出∠ADB=30°，解直角三角形求出BD，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答即可．
解：∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD=∠BCD=90°，
∵∠BAC=120°，
∴∠CAD=120°﹣90°=30°，
∴∠CBD=∠CAD=30°，
又∵∠BAC=120°，
∴∠BDC=180°﹣∠BAC=180°﹣120°=60°，
∵AB=AC，
∴∠ADB=∠ADC，
∴∠ADB=∠BDC=×60°=30°，
∵AD=6，
∴在Rt△ABD中，BD=AD÷cos60°=6÷=4，
在Rt△BCD中，DC=BD=×4=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了圆周角定理，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，以及圆的相关性质，熟记各性质是解题的关键．
【考点】勾股定理的应用，生活中的平移现象．
【分析】如图，连接CF交AB于点M，连接CF′交AB于点N，过点F作FG⊥AB于点H，过点F′作F′H⊥AB于点H，连接FF′，则四边形FGHF′是矩形，Rt△ABC的外部被染色的区域是梯形MFF′N．求出梯形的上下底以及高，可得结论．
解：如图，连接CF交AB于点M，连接CF′交AB于点N，过点F作FG⊥AB于点H，过点F′作F′H⊥AB于点H，连接FF′，则四边形FGHF′是矩形，Rt△ABC的外部被染色的区域是梯形MFF′N．

在Rt△DEF中，DF＝3，EF＝4，
∴DE＝＝＝5，
在Rt△ABC中，AC＝9，BC＝12，
∴AB＝＝＝15，
∵•DF•EF＝•EF•GF，
∴FG＝，
∴BG＝＝＝，
∴GE＝BE﹣BG＝，AH＝GE＝，
∴F′H＝FG＝，
∴FF′＝GH＝AB﹣BG﹣AH＝15﹣5＝10，
∵BF∥AC，
∴＝＝，
∴BM＝AB＝，
同法可证AN＝AB＝，
∴MN＝15﹣﹣＝，
∴Rt△ABC的外部被染色的区域的面积＝×（10+）×＝21，
故答案为：21．
【点评】本题考查勾股定理，梯形的面积，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题在的压轴题．
三 、解答题
【考点】实数的运算，零指数幂，二次根式的混合运算．
【分析】利用零指数幂的意义，有理数的乘法，二次根式的性质化简运算即可．
解：原式＝1+（﹣3）+2
＝0．
【点评】本题主要考查了实数的运算，零指数幂的意义，有理数的乘法，二次根式的性质，正确利用上述法则与性质解答是解题的关键．
【考点】分式的化简求值，不等式组的解法
【分析】先解不等式组求得 x 的整数解，再根据分式混合运算顺序和运算法则化 简原式，最后选取使分式有意义的 x 的值代入计算可得．
解：解不等式 3x﹣6≤x，得：x≤3， 解不等式＜，得：x＞0，
则不等式组的解集为 0＜x≤3，
所以不等式组的整数解为 1、2、3，
原式=•[]
=•
=
∵x≠±3、1，
∴x=2， 则原式=1．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值以及不等式组的解法，正确进行分式的 混合运算是解题关键．
【考点】全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，菱形的判定
【分析】（1）只要证明即可得到结果；
（2）先判断四边形AECF是平行四边形，再根据对角线互相垂直且平分证明是菱形，即可得到结论；
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，AC、BD是对角线，
∴，OA=OC，
又∵，
∴，
在△AOE和△COF中，
，
∴．
∴FO=EO，
又∵，
∴．
故EF的长为3．
（2）由（1）可得，，四边形ABCD是平行四边形，
∴FC=AE，FC∥AE，
∴四边形AECF是平行四边形，
又，OE=OF，OA=OC，
∴平行四边形AECF是菱形．
【点评】本题主要考查了特殊平行四边形的性质应用，准确运用全等三角形的性质及菱形的判定是解题的关键．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．.
【分析】（1）先由一次函数y=kx+b（k＜0）的图象经过点C（3，0），得出3k+b=0①，由于一次函数y=kx+b的图象与y轴的交点是（0，b），根据三角形的面积公式可求得b的值，然后利用待定系数法即可求得函数解析式；
（2）作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，则AD∥BE．由△ACD∽△BCE，得出==2，那么AD=2BE．设B点纵坐标为﹣n，则A点纵坐标为2n．由直线AB的解析式为y=﹣x+2，得出A（3﹣3n，2n），B（3+n，﹣n），再根据反比例函数y=的图象经过A、B两点，列出方程（3﹣3n）•2n=（3+n）•（﹣n），解方程求出n的值，那么m=（3﹣3n）•2n，代入计算即可．
解：∵一次函数y=kx+b（k＜0）的图象经过点C（3，0），
∴3k+b=0①，点C到y轴的距离是3，
∵k＜0，
∴b＞0，
∵一次函数y=kx+b的图象与y轴的交点是（0，b），
∴×3×b=3，
解得：b=2．
把b=2代入①，解得：k=﹣，则函数的解析式是y=﹣x+2．
故这个函数的解析式为y=﹣x+2；

（2）如图，作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，则AD∥BE．
∵AD∥BE，
∴△ACD∽△BCE，
∴==2，
∴AD=2BE．
设B点纵坐标为﹣n，则A点纵坐标为2n．
∵直线AB的解析式为y=﹣x+2，
∴A（3﹣3n，2n），B（3+n，﹣n），
∵反比例函数y=的图象经过A、B两点，
∴（3﹣3n）•2n=（3+n）•（﹣n），
解得n1=2，n2=0（不合题意舍去），
∴m=（3﹣3n）•2n=﹣3×4=﹣12．

【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，难度适中．正确求出一次函数的解析式是解题的关键．
【考点】频数（率）分布表,扇形统计图
【分析】（1）根据统计图中的数据，可以得到本次抽查的人数，从而可以得到m的值；
（2）根据（1）中的结果和频数分布表，可以得到组别A的圆心角度数；
（3）根据统计图中的数据，可以得到该市25000名九年级学生达到“视力良好”的人数，并提出合理化建议，建议答案不唯一，只要对保护眼睛好即可．
解：（1）本次抽查的人数为：115÷23%=500，
m=500×61.6%=308，
即m的值是308；
（2）组别A的圆心角度数是：360°×=18°，
即组别A的圆心角度数是18°；
（3）25000×=7000（人），
答：该市25000名九年级学生达到“视力良好”的有7000人，建议是：同学们应少玩电子产品，注意用眼保护．
【点评】本题主要考查了统计图的应用，准确识图，从中找到有用的信息是解题的关键．
【考点】一次函数的应用，二次函数的应用
【分析】（1）根据表格数据，p是x的一次函数，q是x的一次函数，分别求出解析式即可；
（2）根据题意，求出利润w与x的关系式，再结合二次函数的性质，即可求出利润的最大值．
（3）先求出前5天多赚的利润，然后列出不等式，即可求出m的取值范围．
解：（1）观察表格发现p是x的一次函数，q是x的一次函数，
设p=k1x+b1，
将x=1，p=2；x=2，p=3分别代入得：，
解得：，
所以，
经验证p=x+1符合题意，
所以，且x为整数；
设q=k2x+b2，
将x=1，q=70；x=2，q=75分别代入得：，
解得：，
所以，
经验证符合题意，
所以，且x为整数；
（2）当且x为整数时，

；
当且x为整数时，
；
即有；
当且x为整数时，售价，销量均随x的增大而增大，
故当时，（元）
当且x为整数时，
故当时，（元）；
由，可知第5天时利润最大．
（3）根据题意，
前5天的销售数量为：（只），
∴前5天多赚的利润为：
（元），
∴，
∴；
∴的取值范围为．
【点评】此题考查二次函数的性质及其应用，一次函数的应用，不等式的应用，也考查了二次函数的基本性质，另外将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题．
【考点】三角形综合题
【分析】（1）由条件易证△ABC≌△ADE，得∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE．
（2）PD＝AD﹣AP＝6﹣x，∵点P在线段BC上且不与B、C重合，∴AP的最小值即AP⊥BC时AP的长度，此时PD可得最大值．
（3）I为△APC的内心，即I为△APC角平分线的交点，应用“三角形内角和等于180°“及角平分线定义即可表示出∠AIC，从而得到m，n的值．
解：（1）在△ABC和△ADE中，（如图1）

∴△ABC≌△ADE（SAS）
∴∠BAC＝∠DAE
即∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE
∴∠BAD＝∠CAE．
（2）∵AD＝6，AP＝x，
∴PD＝6﹣x
当AD⊥BC时，AP＝AB＝3最小，即PD＝6﹣3＝3为PD的最大值．
（3）如图2，设∠BAP＝α，则∠APC＝α+30°，
∵AB⊥AC
∴∠BAC＝90°，∠PCA＝60°，∠PAC＝90°﹣α，
∵I为△APC的内心
∴AI、CI分别平分∠PAC，∠PCA，
∴∠IAC＝∠PAC，∠ICA＝∠PCA
∴∠AIC＝180°﹣（∠IAC+∠ICA）
＝180°﹣（∠PAC+∠PCA）
＝180°﹣（90°﹣α+60°）
＝α+105°
∵0＜α＜90°，
∴105°＜α+105°＜150°，即105°＜∠AIC＜150°，
∴m＝105，n＝150．

【点评】本题是一道几何综合题，考查了点到直线的距离垂线段最短，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，全等三角形的判定和性质，三角形内心概念及角平分线定义等，解题关键是将PD最大值转化为PA的最小值．
【考点】圆的综合题．
【分析】（1）由AB是⊙O的直径知∠ACB=90°，由=即AC=BC可得答案；
（2）分∠ABD为锐角和钝角两种情况，①作BF⊥l于点F，证四边形OBFC是矩形可得AB=2OC=2BF，结合BD=AB知∠BDF=30°，再求出∠BDA和∠DEA度数可得；②同理BF=BD，即可知∠BDC=30°，分别求出∠BEC、∠ADB即可得；
（3）分D在C左侧和点D在点C右侧两种情况，作EI⊥AB，证△CAD∽△BAE得==，即AE=CD，结合EI=BE、EI=AE，可得BE=2EI=2×AE=AE=×CD=2CD，从而得出结论．
解：（1）如图1，连接BC，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA==45°；
（2）①当∠ABD为锐角时，如图2所示，作BF⊥l于点F，

由（1）知△ACB是等腰直角三角形，
∵OA=OB=OC，
∴△BOC为等腰直角三角形，
∵l是⊙O的切线，
∴OC⊥l，
又BF⊥l，
∴四边形OBFC是矩形，
∴AB=2OC=2BF，
∵BD=AB，
∴BD=2BF，
∴∠BDF=30°，
∴∠DBA=30°，∠BDA=∠BAD=75°，
∴∠CBE=∠CBA﹣∠DBA=45°﹣30°=15°，
∴∠DEA=∠CEB=90°﹣∠CBE=75°，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE；
②当∠ABD为钝角时，如图3所示，

同理可得BF=BD，即可知∠BDC=30°，
∵OC⊥AB、OC⊥直线l，
∴AB∥直线l，
∴∠ABD=150°，∠ABE=30°，
∴∠BEC=90°﹣（∠ABE+∠ABC）=90°﹣（30°+45°）=15°，
∵AB=DB，
∴∠ADB=∠ABE=15°，
∴∠BEC=∠ADE，
∴AE=AD；
（3）①如图2，当D在C左侧时，
由（2）知CD∥AB，∠ACD=∠BAE，∠DAC=∠EBA=30°，
∴△CAD∽△BAE，
∴==，
∴AE=CD，
作EI⊥AB于点I，
∵∠CAB=45°、∠ABD=30°，
∴BE=2EI=2×AE=AE=×CD=2CD，
∴=2；
②如图3，当点D在点C右侧时，过点E作EI⊥AB于I，
由（2）知∠ADC=∠BEA=15°，
∵AB∥CD，
∴∠EAB=∠ACD，
∴△ACD∽△BAE，
∴==，
∴CD，
∵BA=BD，∠BAD=∠BDA=15°，
∴∠IBE=30°，
∴BE=2EI=2×AE=AE=×CD=2CD，
∴=2．