黑龙江省大庆市2018年中考数学试卷【含答案】

黑龙江省大庆市2018年中考数学试卷

一、选择题

1．2cos60°=（　　）

A．1 B． C． D．

2．一种花粉颗粒直径约为0.0000065米，数字0.0000065用科学记数法表示为（　　）

A．0.65×10﹣5 B．65×10﹣7 C．6.5×10﹣6 D．6.5×10﹣5

3．已知两个有理数a，b，如果ab＜0且a+b＞0，那么（　　）

A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＞0

C．a、b同号 D．a、b异号，且正数的绝对值较大

4．一个正n边形的每一个外角都是36°，则n=（　　）

A．7 B．8 C．9 D．10

5．某商品打七折后价格为a元，则原价为（　　）

A．a元 B． a元 C．30%a元 D． a元

6．将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与“创”字所在的面相对的面上标的字是（　　）

A．庆 B．力 C．大 D．魅

7．在同一直角坐标系中，函数y= 和y=kx﹣3的图象大致是（　　）

A． B．

C． D．

8．已知一组数据：92，94，98，91，95的中位数为a，方差为b，则a+b=（　　）

A．98 B．99 C．100 D．102

9．如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=（　　）

A．30° B．35° C．45° D．60°

10．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0）、点B（3，0）、点C（4，y1），若点D（x2，y2）是抛物线上任意一点，有下列结论：①二次函数y=ax2+bx+c的最小值为﹣4a；②若﹣1≤x2≤4，则0≤y2≤5a；③若y2＞y1，则x2＞4；④一元二次方程cx2+bx+a=0的两个根为﹣1和 其中正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题

11．已知圆柱的底面积为60cm2，高为4cm，则这个圆柱体积为　     　cm3．

12．函数y= 的自变量x取值范围是　     　． 

13．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（a，3），点B的坐标是（4，b），若点A与点B关于原点O对称，则ab=　     　．

14．在△ABC中，∠C=90°，AB=10，且AC=6，则这个三角形的内切圆半径为　     　．

15．若2x=5，2y=3，则22x+y=　     　．

16．已知 = + ，则实数A=　     　．

17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为弧BD，则图中阴影部分的面积为　     　．

18．已知直线y=kx（k≠0）经过点（12，﹣5），将直线向上平移m（m＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O相交（点O为坐标原点），则m的取值范围为　        　．

三、解答题

19．求值：（﹣1）2018+|1﹣ |﹣

20．解方程： ﹣ =1．

21．已知：x2﹣y2=12，x+y=3，求2x2﹣2xy的值．

22．如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向的B处，求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离．（参考数据： ≈2.449，结果保留整数）

23．九年级一班开展了“读一本好书”的活动，班委会对学生阅读书籍的情况进行了问卷调查，问卷设置了“小说”“戏剧”“散文”“其他”四个选项，每位同学仅选一项，根据调查结果绘制了如下不定整的频数分布表和扇形统计图．

根据图表提供的信息，解答下列问题：

（1）直接写出a，b，m的值；

（2）在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类，现从以上四位同学中任意选出2名同学参加学校的戏剧兴趣小组，请用列表法或画树状图的方法，求选取的2人恰好乙和丙的概率．

24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC的延长线于F．

（1）证明：四边形CDEF是平行四边形；

（2）若四边形CDEF的周长是25cm，AC的长为5cm，求线段AB的长度．

25．某学校计划购买排球、篮球，已知购买1个排球与1个篮球的总费用为180元；3个排球与2个篮球的总费用为420元．

（1）求购买1个排球、1个篮球的费用分别是多少元？

（2）若该学校计划购买此类排球和篮球共60个，并且篮球的数量不超过排球数量的2倍．求至少需要购买多少个排球？并求出购买排球、篮球总费用的最大值？

26．如图，A（4，3）是反比例函数y= 在第一象限图象上一点，连接OA，过A作AB∥x轴，截取AB=OA（B在A右侧），连接OB，交反比例函数y= 的图象于点P．

（1）求反比例函数y= 的表达式；

（2）求点B的坐标；

（3）求△OAP的面积．

27．如图，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作EC⊥OB，交⊙O于点C，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，作AF⊥PC于点F，连接CB．

（1）求证：AC平分∠FAB；

（2）求证：BC2=CE•CP；

（3）当AB=4 且 = 时，求劣弧 的长度．

28．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（4，0），与y轴交于点C（0，4）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE+EF的最大值；

（3）点D为抛物线对称轴上一点．

①当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，直接写出点D的坐标；

②若△BCD是锐角三角形，直接写出点D的纵坐标n的取值范围．

1．A

2．C

3．D

4．D

5．B

6．A

7．B

8．C

9．B

10．B

11．240

12．x≤3

13．12

14．2

15．75

16．1

17．

18．

19．解：原式=

20．解：两边同乘以x(x+3)，得 ，

去括号，得 ，

移项并合并同类项，得 ，

解得 ．

经检验， 是分式方程的根．

21．解：∵ ，

∴ ，

即 ，解得

则

22．解：作PC⊥AB交于C点，由题意可得∠APC=30°，∠BPC=45°，AP=80（海里）．在Rt△APC中，PC=PA•cos∠APC=40 （海里）．在Rt△PCB中，PB= ≈98（海里）．答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是98海里．

23．（1）解：∵被调查的学生总人数为4÷10%=40（人），

∴散文的人数a=40×20%=8，其他的人数b=40﹣（16+4+8）=12，

则其他人数所占百分比m%= ×100%=30%，即m=30．

（2）画树状图，如图所示：

所有等可能的情况有12种，其中恰好是丙与乙的情况有2种，

∴P（选取的2人恰好乙和丙）= ．

24．（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，

∴DE是Rt△ABC的中位线，

∴DE∥BC．BC=2DE，

即DE∥CF，

又EF∥DC，

∴四边形CDEF是平行四边形.

（2）解：∵DC是Rt△ABC斜边AB上的中线，

∴AB=2DC，

∵四边形CDEF是平行四边形，

∴四边形DCFE的周长=2（DE+DC）=BC+AB=25cm，

则BC=25-AB、

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，

∴AB2=BC2+AC2，即AB2=（25﹣AB）2+52，

解得AB=13cm．

25．（1）解：设每个排球的价格是x元，每个篮球的价格是y元，

根据题意得：   ，解得： ，

答：每个排球的价格是60元，每个篮球的价格是120元．

（2）解：设购买排球a个（a≤60，且a为自然数），则购买篮球（60﹣a）个．

根据题意得：60﹣a≤2a，

解得a≥20，

∴至少需要购买排球20个．

∵排球的单价小于篮球的单价，

∴要使总费用最大，则排球购买的个数越少越好，篮球购买的个数越多越好，

∵排球至少购买20个，

∴a=20时，购买排球、篮球总费用的最大

购买排球、篮球总费用的最大值=20×60+40×120=6000元．

26．（1）解：将点A（4，3）代入反比例函数y= ，得：k=12，

则反比例函数解析式为y= ．

（2）解：∵A（4，3），

∴OA= ，

∵AB∥x轴，且AB=OA=5，

∴点B的坐标为（9，3）．

（3）解：如图，过点P作CE⊥x轴，交x轴于点C，交AB于点D，

∵点B坐标为（9，3），且AB∥x轴，

∴O到直线AB的距离为3，CD=3.

由B（9，3）可得直线OB：y= ，

∵点P是反比例函数y= 和直线OB y= 的交点，

则 解得 （舍），则P（6，2），

∴CP=2，PD=CD-CP=3-2=1，

则 ．

27．（1）证明：∵CD是⊙O的直径，PC是⊙O的切线，

∴CD⊥PF，

又∵AF⊥PF，

∴CD∥AF，

∴∠FAC=∠ACD，

∵OA=OC，

∴∠CAO=∠ACO=∠FAC，

∴AC平分∠FAB.

（2）证明：∵OC=OB，

∴∠OCB=∠OBC，

∵CD⊥PF，CE⊥AB，

∴∠OCP=∠CEB=90°，

∴∠PCB+∠OCB=90°，∠BCE+∠OBC=90°，

∴∠BCE=∠BCP，

∵CD是直径，

∴∠CBD=∠CBP=90°，

∴△CBE∽△CPB，

∴ ，

∴BC2=CE•CP．

（3）由（1）得AC平分∠FAB，

∵AF⊥PF，CE⊥AB，

∴CE=CF，

∴ ，

设CE=3k，则CP=4k，BC2=CE·CP=12k2，

在Rt△BCE中，sin∠CBE= ，则∠CBE=60°，

∴∠BOD=2∠CBE=120°，

∴ ．

28．（1）解：把B（4，0），C（0，4）代入y=x2+bx+c，得 ，解得 ∴抛物线的解析式为y=x2﹣5x+4．

（2）解：由B（4，0），C（0，4）易得BC的解析式为y=﹣x+4，

由OB=OC，可得△BOC为等腰直角三角形，∠BCO=∠CBO=45°，

由直线y=x+m可得F（0，m），与x轴的交点为Q（-m，0），则OF=OQ，

∴∠EFC=45°，

∴△ECF为等腰直角三角形，EF= ，

作PG∥y轴交BC于G，

△EPG为等腰直角三角形，PE= PG，

设P（t，t2﹣5t+4）（1＜t＜4），则G（t，﹣t+4），m=t2﹣6t+4

∴PG=﹣t+4﹣（t2﹣5t+4）=﹣t2+4t，EF= ，

∴PE= PG=﹣ + ，

∴PE+EF=﹣ + =

当t= 时，PE+EF的最大值为   ；

（3）解：①如图，

抛物线的对称轴为直线x= ，设D（ ，n），则BC2=42+42=32，DC2=（ ）2+（n﹣4）2，BD2=（4﹣ ）2+n2= +n2，当△BCD是以BC为直角边，BD为斜边的直角三角形时，BC2+DC2=BD2，即32+（ ）2+（n﹣4）2= +n2，解得n=5，此时D点坐标为（ ， ）.

当△BCD是以BC为直角边，CD为斜边的直角三角形时，BC2+BD2=DC2，即32+ +n2=（ ）2+（n﹣4）2，解得n=﹣1，此时D点坐标为（ ， ）；

 综上所述，符合条件的点D的坐标是（ ， ）或（ ， ）．

②当△BCD是以BC为斜边的直角三角形时，DC2+DB2=BC2，即（ ）2+（n﹣4）2+ +n2=32，解得n1= ，n2= ，此时D点坐标为（ ， ）或（ ， ），

∴△BCD是锐角三角形，点D的纵坐标的取值范围为 ＜n＜ 或 ＜y＜ ．