四川省南充市高坪区南充市白塔中学2022-2023学年高一数学下学期期中试题 （Word版附解析）

南充市白塔中学2023年高一(下)期中测试

数 学 试 题

一．单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）

1. 已知集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】方法一：求出集合后可求.

【详解】[方法一]：直接法

因为，故，故选：B.

[方法二]：【最优解】代入排除法

代入集合，可得，不满足，排除A、D；

代入集合，可得，不满足，排除C.

故选：B.

【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法；

方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解．

2. 已知命题，则为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】直接根据全称命题的否定是特称命题得到答案.

【详解】命题，则为.

故选：C

3. 已知的定义域为，则函数,则的定义域为

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【详解】，则，即定义域为，故选A．

4. 已知，且，（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】设，判断函数为奇函数，得到，代入数据结合奇函数性质得到答案.

【详解】设，，

则，故为奇函数，

，，，

故选：D

5. 已知正数满足，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】确定，变换，展开利用均值不等式计算得到答案.

【详解】，则，

.

当，即，时等号成立.

故选：C

6. 已知，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】结合平方关系，化为齐次式，然后弦化切转化为的代数式，代入求值．

【详解】由题意．

故选：C．

7. 若，且，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由题干中的条件可得，，再由化简求值即可.

【详解】，，，

，，

，，

.

故选：B.

8. 已知函数，对于，，且在区间上单调递减，则的最大值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由时，函数取得最大值，可求得的表达式．由单调性可得的范围，从而得最大值．

【详解】由题意：在时取得最大值，

则，，

又在区间上单调递减，

则，且，，

所以，得，

所以的最大值为，

故选：C．

二、多选题（本题共4小题，每个小题5分，共20分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得2分.）

9. 已知关于不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ）

A.  B. 的解集为

C.  D. 的解集为

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据不等式对应方程根与系数的关系得到，，，再代入不等式依次计算得到答案.

【详解】关于的不等式的解集为或，

故，且，整理得到，，

对选项A： ，正确；

对选项B：，即，解得，正确；

对选项C：，错误；

对选项D：，即，即，

解得，正确.

故选：ABD

10. 下列各式中值为的是（    ）．

A.  B.

C.  D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】

利用二倍角正弦公式即可判断选项A；利用二倍角余弦公式即可判断选项B；

利用两角和的余弦公式可判断选项C；利用两角差的正切公式可判断选项D；

【详解】对于选项A：由二倍角正弦公式可得，故选项A正确；

对于选项B：由二倍角余弦公式，故选项B不正确；

对于选项C：由两角和的余弦公式

；故选项C正确；

对于选项D：由两角差的正切公式可得：

故选项D正确.

故选：ACD

11. 关于函数，下列命题正确是（    ）

A. 可改写成为

B. 函数是偶函数

C. 当，则函数的最大值为4.

D. 函数的图象关于轴对称

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据诱导公式得到A正确，化简得到，B错误，时，函数有最大值为，C正确，，D正确，得到答案.

【详解】对选项A：，正确；

对选项B：，函数为奇函数，错误；

对选项C：，则，故当时，函数有最大值为，正确；

对选项D：，函数为偶函数，正确；

故选：ACD

12. 已知定义域为的函数对任意实数都有，且，则以下结论正确的有（    ）

A.  B. 是偶函数

C. 关于中心对称 D.

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据赋值法，可判断或，进而判断A，根据赋值法结合奇偶性的定义可判断C，根据偶函数即可判断对称性，根据对称性以及奇偶性可得函数的周期性，进而可判断CD.

【详解】令，则或，故A错误，

若时，令，则，此时是偶函数

若时，令，则，此时既是偶函数又是奇函数；因此B正确，

令，则，所以关于中心对称，故C正确，

由关于中心对称可得，结合是偶函数，所以，所以的周期为2，

令，则，故，

进而，故D正确，

故选：BCD

三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分.）

13. 已知点在幂函数的图象上，则

【答案】

【解析】

【分析】先通过幂函数的概念求出m，然后将点代入解析式求出n，直接计算即可.

【详解】由幂函数概念知，，所以，

由题意，点在幂函数的图象上，

则，解得，所以，所以.

故答案为：

14. 函数的值域为______.

【答案】

【解析】

【分析】变换，根据得到，得到值域.

【详解】，

，则，，故.

故答案为：

15. 已知函数满足，当）时，总有，若，求m的取值范围________．

【答案】

【解析】

【分析】由题意可得是偶函数，且在是单调增函数，即可将转化为不等式，求解即可．

【详解】当时，总有，所以f(x)在上单调递增，

因为，所以f(x)为偶函数，

所以f(x)在上单调递减，

因为，所以，即4m＋1＜0，解得．

故答案为：

16. 函数恰有两个零点，则实数m的取值范围是______.

【答案】

【解析】

【分析】由题意转化为与的交点个数问题，画出图象，数形结合求出m的取值范围.

【详解】函数，的零点个数

就是函数的图象与直线的交点个数，

作出，的图象，如图

由图象可知或时，

函数的图象与直线有两个交点，

故当函数恰有两个零点时，实数m的取值范围是.

故答案为：

四、解答题（本题共6个小题，17题10分，18-22题每题12分，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 计算：.

【答案】

【解析】

【分析】根据指数幂，对数的运算法则计算得到答案.

【详解】

.

18. 已知集合，.

（1）当时，求；

（2）若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围.

【答案】（1）   

（2）或

【解析】

【分析】（1）解一元二次不等式，再根据并集运算求解；

（2）根据充分不必要关系确定真包含于即可求解.

【小问1详解】

由解得，所以，

由解得或，

所以或，

当时，所以或，

所以.

【小问2详解】

因为是的充分不必要条件，所以真包含于，

由（1）知，或，

所以或，即或.

19. 已知，．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值．

【答案】（1） ；（2）

【解析】

【分析】

（1）先根据的值和二者的平方关系联立求得 的值，再把平方即可求出；

（2）结合（1）求，的值，最后利用商数关系求得的值，代入即可得解．

【详解】（1）∵，

∴，

∴，

∵，

∴，，

∴，

∴.

（2），

解得，，

∴

∵，，

∴．

【点睛】方法点睛：三角恒等常用的方法：三看（看角、看名、看式），三变（变角、变名、变式）.

20. 在①函数为奇函数；②当时，；③是函数的一个零点这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答，已知函数，的图象相邻两条对称轴间的距离为，______.

（1）求函数的解析式；

（2）求函数在上的单调递增区间.

【答案】（1）选条件①②③任一个，均有；（2）选条件①②③任一个，函数在上的单调递增区间均为，.

【解析】

【分析】

（1）由相邻两条对称轴间的距离为，得到；再选择一个条件求解出；

（2）由（1）解得的函数，根据复合函数的单调性得到单调区间.

【详解】解： 函数的图象相邻对称轴间的距离为，，，

.

方案一：选条件①

为奇函数，，

解得：，.

（1），，；

（2）由，，

得，，

令，得，令，得，

函数在上的单调递增区间为，；

方案二：选条件②

，，

，或，，

（1），，；

（2）由，，

得，，

令，得，令，得，

函数在上的单调递增区间为，；

方案三：选条件③

是函数的一个零点，，

，.

（1），，；

（2）由，，得，

令，得，令，得

函数在上的单调递增区间为，

【点睛】本题以一个相对开放的形式考查三角函数的性质，要求解的值，即要找出周期，求常见方法是代入一个点即可.

21. 定义在上的函数，满足对任意，有，且．

（1）求，的值；

（2）判断的奇偶性，并证明你的结论；

（3）当时，，解不等式．

【答案】（1），   

（2）奇函数，证明见解析   

（3）

【解析】

【分析】（1）令可得的值，再令，结合可得的值；

（2）令，由函数奇偶性的定义即可求解；

（3）根据函数单调性的定义判断的单调性，再由单调性结合解不等式即可求解.

【小问1详解】

令，得，所以，

令，，得，所以．

【小问2详解】

令得，，即，

所以函数为奇函数．

【小问3详解】

设，且，则，所以，

所以，故在上为增函数，

，等价于，所以，解得：，

故不等式的解集为．

22. 已知定义在上的函数是奇函数．

（1）求实数，的值；

（2）判断函数的单调性；

（3）若，不等式有解，求实数的取值范围．

【答案】（1），   

（2）在上为减函数   

（3）

【解析】

【分析】（1）由，求得，再由，求得，结合函数奇偶性的定义，即可求解；

（2）化简，根据函数的单调性的定义及判定方法，即可求解；

（3）根据题意化简不等式为在有解，结合正弦函数和二次函数的性质，即可求解.

【小问1详解】

解：由题意，定义在上的函数是奇函数，

可得，解得，即，

又由，可得，解得，所以，

又由，所以，.

【小问2详解】

解：由，

设，则，

因为函数在上是增函数且，

所以，即，

所以在上为减函数.

【小问3详解】

解：由函数在上为减函数，且函数为奇函数，

因为，

即，

可得，

又由对任意的，不等式有解，

即在有解，

因为，则，所以，

所以，即实数的取值范围是.