2023年河南省开封市兰考县中考数学一模试卷（含解析）

2023年河南省开封市兰考县中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各数中是无理数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图是某几何体的三视图，该几何体是(    )
 

A. 长方体 B. 三棱锥 C. 三棱柱 D. 四棱柱

3.  将一个直角三角板和一把直尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D. 不确定

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图所示，平整的地面上有一个不规则图案图中阴影部分，开元同学想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个面积为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果，他将若干次有效试验的结果绘制成了所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为(    )
 

A.  B.  C.  D.

6.  小明同学为某机器人编制一段程序，如果机器人在平地上按照图中所示的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为(    )

A. 米
B. 米
C. 米
D. 不能确定

7.  如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是(    )

A.  B. 且
C. 且 D. 且

8.  开元同学在解决问题“已知、两点的坐标为、，求直线关于轴的对称直线的解析式”时，解法如下：先是建立平面直角坐标系如图，标出、两点，并利用轴对称性质求出、的坐标分别为，；然后设直线的解析式为，并将，代入中，得方程组解得，最后求得直线的解析式为则在解题过程中他运用到的数学思想是(    )

A. 数形结合与方程思想 B. 分类讨论与方程思想
C. 数形结合与整体思想 D. 分类讨论与转化思想

9.  如图，动点从出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点第次碰到矩形的边时，点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  在“探究电流与电压的关系”实验中，开元同学根据得到的实验数据绘制了电阻和的图象如图所示，下列判断正确的是(    )

A. 的阻值是的倍
B. 经过的电流是时，两端的电压是
C. 当，两端电压都是时，经过的电流是经过电流的倍
D. 电阻的阻值随经过它的电流的增大而增大
 

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  请写出一个俯视图为圆的几何体的名称______ ．

12.  据“郑州发布”年月日报道，年郑州常住人口万人，全国城市中排第位，万用科学记数法表示为______ ．

13.  如图，九章算术是中国古代数学专着，是算经十书汉唐之间出现的十部古算书中最重要的一种该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”，大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为文如果每株椽的运费是文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问文能买多少株椽？椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆设这批椽有株，根据题意可列分式方程为______ ．

14.  如图，在中，，，以中点为圆心，作圆心角为的扇形，点恰好在弧上，则图中阴影部分面积为______．

15.  如图，方形中，，点为射线上任意一点与点、不重合，连接，在的右侧作正方形，连接，交射线于，当长为时，点的长为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：
计算：；
化简：．

17.  本小题分
为庆祝年两会胜利召开、学校团委在八、九年级各抽取名团员开展团知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取“整十”的计分方式，满分分竞赛成绩如图所示：

你能用成绩的平均数判断哪个年级的成绩比较好吗？通过计算说明理由；
请根据图表中的信息，回答下列问题．
表中 ______ 、 ______ ．
现要给成绩突出的年级领奖，如果分别从众数和方差两个角度来分析，你认为应该给哪个年级领奖？
若规定成绩分获特等奖，分获一等奖，分获二等奖，直接说出哪个年级的获奖率高？

18.  本小题分
如图，矩形的顶点，分别在函数和的图象上，且．
求，的值；
若点，分别在和的图象上，且不与点，重合，是否存在点，，使得≌，若存在，请直接写出点，的坐标；若不存在，请说明理由．

19.  本小题分
大疆无人机，不断创新，致力于成为持续推动人类进步的科技公司我校“综合与实践”活动小组的同学要测量，两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在，两楼之间上方的点处，点距地面的高度为，此时观测到楼底部点处的俯角为，楼上点处的俯角为，沿水平方向由点飞行到达点，测得点处俯角为，其中点，，，，，，均在同一竖直平面内请根据以上数据求楼与之间的距离的长结果精确到，参考数据：，，，．
 

20.  本小题分
“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，“一盔”是指安全头盔，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔，某商场欲购进一批头盔，已知购进个甲型头盔和个乙型头盔需要元，购进个甲型头盔和个乙型头盔需要元．
购进个甲型头盔和个乙型头盔分别需要多少元？
若该商场准备购进个这两种型号的头盔，总费用不超过元，则最多可购进乙型头盔多少个？
在的条件下，若该商场分别以元个、元个的价格销售完甲，乙两种型号的头盔个，能否实现利润不少于元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．

21.  本小题分
如图，在斜坡底部点处安装一个自动喷水装置，喷水头视为点的高度喷水头距喷水装置底部的距离是米，自动喷水装置喷射出的水流可以近似地看成抛物线当喷射出的水流与喷水装置的水平距离为米时，达到最大高度米以点为原点，自动喷水装置所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．

求抛物线的函数关系式；
斜坡上距离水平距离为米处有一棵高度为米的小树，垂直水平地面，且点到水平地面的距离为米，绿化工人向左水平移动喷水装置后，水流恰好喷射到小树顶端的点，求自动喷水装置向左水平平移即抛物线向左了多少米？

22.  本小题分
我国古代建筑屋顶大部分属于坡屋顶的范畴与平屋顶相比，其优点是排水迅速、不易积水，所以一般不会形成渗漏并影响下部结构各种坡屋顶类型早在秦汉时期就已基本形成，到宋代更为完备可以将房脊抽象成数学问题如图，，分别与相切于点，，连接连接，交于点，交于点延长交于点，


若，连接，，判断四边形的形状，并说明理由．
若的半径为，直接写出劣弧的长为______ ．
若，，求的长．

23.  本小题分
如图，矩形纸片中，，将纸片折叠，使顶点落在边上的点处，折痕的一端点在边上．
如图，当折痕的另一端在边上，且时，则        ；
如图，当折痕的另一端在边上，点与点重合时，判断和是否全等？请说明理由．
若，当折痕的另一端在边上，点未落在边上，且点到的距离为时，直接写出的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
B.，是有理数，故此选项不符合题意；
C.是无限不循环小数，属于无理数，符合题意；
D.，是有理数，故此选项不符合题意；
故选：．
理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数；由此即可判定选择项．
本题考查了无理数，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的数；易错点是任何非实数的次幂等于．
 

2.【答案】 

【解析】解：由几何体的主视图和俯视图都是长方形，
故该几何体是柱体，
又因为左视图是三角形，
故该几何体是三棱柱．
故选：．
根据几何体的主视图和俯视图都是长方形，可判断该几何体是柱体，进而根据左视图的形状，可判断柱体底面形状，得到答案．
本题考查了由三视图判断几何体，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥体，如果有两个矩形，该几何体一定柱体，其底面由第三个视图的形状决定．
 

3.【答案】 

【解析】解：由题意可知，
，，
，
．
故选：．
由两直线平行，同位角相等求得，结合平角的定义即可求得即．
本题考查平行线的性质及平角的定义，灵活运用平行线的性质是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解： ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意；
故选：．
根据积的乘方，求一个数的算术平方根，完全平方公式，负整数指数幂，逐项分析判断即可求解．
本题考查了积的乘方，求一个数的算术平方根，完全平方公式，负整数指数幂，熟练掌握以上知识是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：假设不规则图案面积为
由已知得：长方形面积为，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：，
当事件试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件发生的概率估计值，
故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为，
综上有：，
解得：．
故选：．
本题分两部分求解，首先设不规则图案面积为，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解．
本题考查几何概率以及用频率估计概率；本题考查了几何概率和用频率估计概率，解题的关键是理解题意，得出小球落在不规则图案内的概率约为．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据题意得，机器人所走过的路线是正多边形，
每一次都是左转，
多边形的边数，
周长米；
故选：．
先判断出机器人所走过的路线是正多边形，然后用多边形的外角和除以每一个外角的度数求出多边形的边数，再根据周长公式列式进行计算即可得解．
本题考查了多边形的内角与外角，判断出走过的路线是正多边形是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：原方程为一元二次方程，
，
原方程有两个不相等的实数根，
，
解得：，
又为二次根式，
，
解得：，
的取值范围是且，
故选：．
首先根据一元二次方程的定义，确定字母的取值范围，然后结合根的判别式以及二次根式的定义继续求解的取值范围即可．
本题考查根据一元二次方程根的情况判断参数，理解根的判别式，以及一元二次方程的基本定义和二次根式的定义是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：第一步：先是建立平面直角坐标系如图，标出、两点，并利用轴对称性质求出、的坐标分别为，，这是依据轴对称的性质求得点的坐标有序实数对，运用了数形结合的数学思想；
第二步：然后设直线的解析式为，并将，代入中，
得方程组，
解得，
最后求得直线的解析式为，这里根据一次函数图象上点的坐标特征，列出方程求得待定系数，运用了方程思想；
所以开元同学在解题过程中，运用到的数学思想是数形结合与方程思想．
故选：．
先建立平面直角坐标系，把坐标转化为图象，在经过轴对称，求出对应点，最后联立方程组求出直线解析式．
本题主要考查一次函数与二元一次方程组；一次函数图象与几何变换；待定系数法求一次函数解析式．熟练掌握相关性质进行计算是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，根据反射角与入射角的定义作出图形，

第次反弹时回到出发点，
每次碰到矩形的边为一个循环组依次循环，
，
点第次碰到矩形的边时是第个循环的一次，
坐标为．
故选：．
根据反射角与入射角的定义可以在格点中作出图形，可以发现，在经过次反射后，动点回到起始的位置，将除以得到余，说明点第次碰到矩形的边时为第个循环的第一次，因此点的坐标为．
本题主要考查了点的坐标，根据作出图形，观察出每次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由图象可知，当时，；当时，；
根据可知：，，
所以的阻值是的倍，故选项A不符合题意；
经过的电流是时，两端的电压是，故选项B符合题意；
当，两端电压都是时，，，
经过的电流是经过电流的倍，故选项C不符合题意；
根据可知，电阻的阻值随经过它的电流的增大而减小，故选项D不符合题意，
故选：．
由图象可知，当时，；当时，，可分别求出各自电流值，再逐项分析即可得出答案．
本题考查图象分析能力和欧姆定律的应用，关键是从图象读出有用的信息，认真分析图象，找出图象的特点，由图象找出电流所对应的电压，灵活应用相关公式即可正确解题．
 

11.【答案】答案不唯一，如球、圆柱等 

【解析】解：俯视图为圆的几何体有球，圆柱等，
故答案为：球．
根据几何体的俯视图即可得出答案．
本题考查俯视图，掌握几何体的俯视图是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：万．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意可列方程：；
故答案为：．
根据实际问题列分式方程即可，关键是对“那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”的理解．
本题考查根据题意列分式方程，解题关键是熟练运用单价计算公式：单价总价数量，结合题意即可得出分式方程．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接，如右图所示，
在中，，，
，
以中点为圆心，作圆心角为的扇形，点恰好在弧上，
，，，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
与的面积之和等于与的面积之和，
四边形的面积等于的面积，
阴影部分的面积是：，
故答案为：．
根据题意作出合适的辅助线，可知阴影部分的面积等于扇形的面积与四边形的面积之差，再根据题目中的数据即可解答本题．
本题考查扇形面积的计算、等腰直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意，分两种情况，如下
当交点在线段上时，
四边形为正方形，
将绕点顺时针旋转，如图所示，与重合，且，，三点共线，
四边形是正方形，
，
，
由旋转可得，
，
，
连接，
在和中，
，
≌，
，
设，
正方形边长，，
，，，
在中，有勾股定理得：，
即：，
解得：；

当交点在线段延长线上时，
同理旋转到，如图所示，并可得，
同理可证≌，
，
设，
正方形边长，，
，，
在中，有勾股定理得：，
即：，
解得：；
在和中，
，
∽，
，
即，
解得：；
综上所述：或．

故答案为：．
由题可分两种情况，当交点在线段上时，或当交点在线段延长线上时，分别将绕点顺时针旋转，可判定全等三角形，用勾股定理求出对应边的长度即可．
本题主要考查正方形的性质，利用旋转图形证三角形全等，根据勾股定理和相似图形求出对应线段的长度是解题的关键，本题难点在于利用旋转构造全等三角形．
 

16.【答案】解：原式

；
原式


． 

【解析】根据二次根式的性质化简，零指数幂，分母有理化，进行计算即可求解；
根据分式的混合运算进行化简即可求解．
本题考查了二次根式的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则以及分式的运算法则是解题的关键．
 

17.【答案】   

【解析】解：由题意得：
八年级成绩的平均数是：分，
九年级成绩的平均数是：分，
故用平均数无法判定哪个年级的成绩比较好；
九年级竞赛成绩中出现的次数最多，
故众数；
九年级竞赛成绩的方差为：，
所以，
如果从众数角度看，八年级的众数为，九年级的众数为，
所以应该给九年级颁奖；
如果从方差角度看，八年级的方差为，九年级的方差为，
又因为两个年级的平均数相同，九年级的成绩的波动小，
所以应该给九年级颁奖，
综上所述，应该给九年级颁奖；
九年级的获奖率高，
八年级的获奖率为：，
九年级的获奖率为：，
，
九年级的获奖率高．
根据已知数据求得八年级与就九年级的平均数即可求解；
根据众数的定义，方差公式进行计算即可求解；分别从方程与众数两方面分析即可求解；
根据题意分别求得八年级与九年级的获奖率即可求解．
本题考查了折线统计图，求平均数，众数，方差，根据方差判断稳定性，从统计图表中获取信息是解题的关键．
 

18.【答案】解：将点的坐标代入得：；
过点作轴于点，过点作轴于点，

四边形为矩形，则，
，．
．
，
∽．
，则和的相似比为：：，
则，，
故点．
将点的坐标代入，得：．

、理由如下：
由知，两个反比例函数的表达式分别为：、，
假设存在点，符合题设条件，
设点，点，过点作轴于点，过点作轴于点，
如图：

由知，
．
所以，即．
所以，负值已舍去；
≌，
．
即且，
解得：或 或或，
由题意负值不合题意舍去，点不与点重合，不合题意舍去，
故；
故存在符合题设要求的点，，它们的坐标分别为、． 

【解析】利用∽，得到；，从而求得点的坐标，进而求解；
  假设存在点、符合题设条件，由勾股定理构造方程即可求解．
本题考查了反比例函数综合应用，涉及到三角形相似、反比例函数的基本性质、勾股定理、解直角三角形等知识，综合性强，难度适中．
 

19.【答案】解：延长，分别与直线交于点和点，

则，，，
在中，，
所以，
是的一个外角，
．
．
所以，
在中，，
所以，，
所以，，
故，楼与之间的距离的长约为． 

【解析】延长，分别与直线交于点和点，在中，求得，证明得出，在中，，求得，然后求得的长，即可求解．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
 

20.【答案】解：设购进个甲型头盔需要元，购进个乙型头盔需要元．
根据题意，得，
解得，；
答：购进个甲型头盔需要元，购进个乙型头盔需要元；
设购进乙型头盔个，则购进甲型头盔个，
根据题意，得：，
解得：，
的最大值为；
答：最多可购进乙型头盔个；
能，
根据题意，得：；
解得：；
；
为整数，
可取，或，对应的的值分别为，或；
因此能实现利润不少于元的目标，该商场有三种采购方案：
采购甲型头盔个，采购乙型头盔个；
采购甲型头盔个，采购乙型头盔个；
采购甲型头盔个，采购乙型头盔个． 

【解析】根据题意列二元一次方程组并求解即可；
设乙型头盔个，根据所需费用数量单价，计算甲、乙头盔总费用列不等式，求得乙型头盔的最大值；
根据利润单件利润数量，列不等式，求出乙型头盔的取值范围，结合中答案确定的取值范围，即可得出可选方案．
本题考查二元一次方程组和不等式的综合应用题，解题的关键是根据题意列方程组并求解，同时注意在确定方案时所设未知数应取整数．
 

21.【答案】解：由题可知：当喷射出的水流距离喷水头米时，达到最大高度米，
则可设水流形成的抛物线为，
将点代入可得，
抛物线，
设喷射架向左水平平移了米，
则平移后的抛物线可表示为，
将点代入得：，
解得或舍去，
喷射架应向左水平移动米． 

【解析】题目中告知了抛物线的顶点，可以设抛物线的顶点式，又抛物线经过点即可求解顶点式中的，从而求解；
设抛物线向后平移了米，用中的顶点式，表示出新的抛物线解析式，将点坐标代入解析式中，求解即可．
本题考查了二次函数的应用，正确理解题意，熟练掌握待定系数法及二次函数性质是解题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，理由如下：
，分别与相切于点，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形；

由知，四边形是正方形，
，
，
劣弧的长为；
故答案为：．

设，则，
，
，
，
，分别与相切于点，，
，平分，，
，
，
∽，
，即：
化简得：，
解得：或不合题意，舍去，
故EF．
根据四个角是证明四边形是矩形，根据邻边相等证明是正方形即可；
根据弧长公式求解即可；
设，并用表示各线段的长度，证明∽，根据对应边成比例即可求解．
本题主要考查圆的综合应用，牢记弧长计算公式，掌握圆的切线的性质是判定四边形形状的关键，解题难点是利用三角形相似求得圆中线段的长度．
 

23.【答案】 

【解析】解：由折叠的性质得：，，
，，
，
四边形是矩形，
，，
，
在中，，
，
，
；
故答案为：．
全等．
证明：四边形是矩形，
，，
由题意知：，，
，，
在和中，，
≌．
如图，点在的下方时，设与相交于点，过点作分别交、于、，

到的距离为，
，，
在中，，
，，
，
又，
∽，
，
即，
解得，
，
，，
∽，
，
即，
解得，
．
如图，当时，此时点在的上方时，则，，

，
，
此时到的距离为，符合题意，
根据题意得：，
四边形为矩形，
，
；
综上所述，或．
根据折叠的性质可得，，从而得到，在中，，可得，即可求解；
根据矩形的性质和折叠的性质可得，，即可；
点在的下方时，设与相交于点，过点作分别交、于、，然后求出、，在中，利用勾股定理列式求出，再根据和相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出、，再求出，然后根据和相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可；当时，此时点在的上方时，则，，此时到的距离为，符合题意，证明四边形为矩形，即可求解．
本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，熟记翻折前后两个图形能够重合得到相等的线段和角是解题的关键，本题难点在于作辅助线构造出相似三角形．