2022-2023学年江苏省南通市如东县七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省南通市如东县七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各数中，化简结果为的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  不等式的解集在数轴上表示为(    )

A.  B.
C.  D.

3.  已知，则下列不等式中不成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  若是方程的一个解，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，已知棋子“车”的坐标为，棋子“炮”的坐标为，则棋子“马”的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，直线，分别与、交于、，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  我国古代数学名著孙子算经中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出元，多元；每人出元，少元问有多少人？若设有人，该物品值元，则下面所列方程组正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  若点，是与轴平行的直线上不同的两点，且到轴的距离相等，则点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  若的解集中的最大整数解为，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  一副直角三角尺叠放如图所示，现将的三角尺固定不动，将的三角尺绕顶点逆时针转动，点始终在直线的上方，当两块三角尺至少有一组边互相平行时，则所有符合条件的度数为(    )

A. ，，， B. ，，，
C. ，，， D. ，，，

二、填空题（本大题共9小题，共40.0分）

11.  的平方根是______．

12.  命题“相等的角是对顶角”是______命题填“真”或“假”．

13.  已知二元一次方程组，则的值为______ ．

14.  在平面直角坐标系中，点在第四象限，那么的取值范围为______ ．

15.  如图，直线，相交于，平分，，若， ______ ．

16.  某次知识竞赛共道题，每一题答对得分，不答得分，答错扣分，小聪有一道题没答，竞赛成绩超过分设他答对了道题，则根据题意可列出不等式为______ ．

17.  如图，把一个长方形纸条沿折叠，已知，，则
______ ．

18.  若方程组的解是，则方程组的解是______ ．

19.  如图，，，，试说明
解：已知
____________
已知
____________
已知
______
即__________________
______
______

三、解答题（本大题共7小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.  本小题分
计算：；
若一个正数的两个平方根分别是与，求的值．

21.  本小题分
解方程组：；
解不等式：．

22.  本小题分
如图，的顶点都在格点上，已知点的坐标为．
写出点，的坐标；
平移，使点与点重合作出平移后的，并写出点，的坐标．
写出线段与的位置和大小关系．

23.  本小题分
已知是关于，的二元一次方程组．
求方程组的解用含的代数式表示；
若，求的取值范围．

24.  本小题分
中共中央国务院关于深化教育改革全面推进素质教育的决定中明确指出：“健康体魄是青少年为祖国和人民服务的基本前提，是中华民族旺盛生命力的体现”王老师所在的学校为加强学生的体育锻炼，需要购买若干个足球和篮球他曾三次在某商场购买过足球和篮球，其中有一次购买时，遇到商场打折销售，其余两次均按标价购买三次购买足球和篮球的数量和费用如表：

王老师是第______ 次购买足球和篮球时，遇到商场打折销售的；
列方程组求足球和篮球的标价；
如果现在商场均以标价的折对足球和篮球进行促销，王老师决定从该商场一次性购买足球和篮球个，且总费用不能超过元，那么最多可以购买多少个篮球？

25.  本小题分
如图，直线，直线与、分别交于点、，小安将一个含角的直角三角板按如图放置，使点、分别在直线、上，且在点、的右侧，，．
填空： ______填“”“”或“”；
若的平分线交直线于点，如图．
当，时，求的度数；
小安将三角板保持并向左平移，在平移的过程中求的度数用含的式子表示．
 

26.  本小题分
在平面直角坐标系中，若点的坐标满足，则我们称点为“健康点”；若点的坐标满足，则我们称点为“快乐点”．
已知点、、、，其中是______ “健康点”，______ 为“快乐点”
若点既是“健康点”又是“快乐点”，若是轴上的“健康点”，是轴上的“快乐点”．
求的面积；
若为坐标轴上一点，且与面积相等，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，故选项A的化简结果不为；
B.，故选项B的化简结果为；
C.，故选项C的化简结果不为；
D.，故选项D的化简结果不为．
故选：．
利用去括号法则、二次根式的性质及绝对值的意义，先计算每个选项，再根据计算结果得结论．
本题考查了实数的化简，掌握去括号法则、绝对值的意义及二次根式的性质是解决本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：不等式中是小于等于号，
处是实心原点，且折线向左．
故选：．
根据在数轴上表示不等式解集的方法解答即可．
本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据不等式的性质，可得，
A、，，正确，不符合题意；
B、，，正确，不符合题意；
C、，，正确，不符合题意；
D、，，原变形错误，符合题意．
故选：．
根据不等式的性质，若，且，那么，若，且，那么；若，那么，依次判断即可得出答案．
本题考查了不等式的基本性质，熟知不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变，熟练应用这些性质是解答本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：将代入原方程得：，
解得：，
的值为．
故选：．
将代入原方程，可得出关于的一元一次方程，解之即可求出的值．
本题考查了二元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图所示：棋子“马”的坐标为：．
故选：．
直接利用已知点坐标建立平面直角坐标系，进而得出答案．
此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：直线，
．
又，
．
故选：．
由直线，利用“两直线平行，同位角相等”可求出的度数，再结合邻补角互补，即可求出的度数．
本题考查了平行线的性质以及邻补角互补，牢记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：每人出元，多元，
；
每人出元，少元，
．
根据题意可列方程组．
故选：．
根据“每人出元，多元；每人出元，少元”，即可得出关于的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：点，是与轴平行的直线上不同的两点，且到轴的距离相等，
，，
点的坐标是，
故选：．
据“点，是与轴平行的直线上不同的两点，且到轴的距离相等”列方程即可得到结论．
本题考查了坐标与图形性质，平面直角坐标系，解题关键是熟练掌握平面直角坐标系中点的含义及变化规律．
 

9.【答案】 

【解析】解：的解集中的最大整数解为，
，
故选：．
根据的解集中的最大整数解为，可以得到的取值范围，本题得以解决．
本题考查一元一次不等式的整数解，解答本题的关键是明确题意，求出的取值范围．
 

10.【答案】 

【解析】解：当时，如图，，

；
当时，如图，，

；
当时，如图，，

；
当时，如图，延长交于点，
，

，
，
；
故选：．
根据题意画出图形，再由平行线的判定定理即可得出结论．
本题考查的是平行线的性质，根据题意画出图形，利用平行线的性质及直角三角板的性质求解是解答此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了平方根的定义，解答本题的关键是掌握一个正数的平方根有两个，且互为相反数．
根据平方根的定义求解即可．
【解答】
解：的平方根是，
故答案为．  

12.【答案】假 

【解析】解：对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，
从而可得命题“相等的角是对顶角”是假命题．
故答案为：假．
对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，从而可得出答案．
此题考查了命题与定理的知识，属于基础题，在判断的时候要仔细思考．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
得：
故答案为：．
把方程组中的两个方程相加，即可求解．
本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法．
 

14.【答案】 

【解析】解：点在第四象限，
，解得．
故答案为：．
根据第四象限内点的坐标特点得出关于的不等式，求出的取值范围即可．
本题考查的是解一元一次不等式，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：平分，
．
，，
．
．
，
．
．
故答案为：．
由对顶角相等可得，由角平分线的性质可得的度数，利用，可得，用角的和差可求的度数．
本题主要考查了垂线，对顶角和邻补角，角平分线的性质等知识点．利用角的和差表示角的大小是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：设他答对了道题，根据题意，得
．
故答案为：．
小聪答对题的得分：；小聪答错的得分：，不等关系：小聪得分超过分．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，抓住关键词语，找到不等关系是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
．
，
．
，
，
，
．
故答案为：．
先根据直角三角形的性质求出的度数，再由平行线的性质求出的度数，根据图形翻折变换的性质即可得出结论．
本题考查的是平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：方程组的解是，
，
，
，
，得：，
，
化简，得：，
，，
故答案为：．
根据方程组的解是，可以得到，然后即可得到，再根据变形即可求得、的值．
本题考查二元一次方程组的解、解二元一次方程，解答本题的关键是明确题意，求出方程组的解．
 

19.【答案】  两直线平行，同位角相等    等量代换  等式的性质      角的和差    内错角相等，两直线平行 

【解析】解：已知
两直线平行，同位角相等
已知
等量代换
已知
等式的性质．
即角的和差
．
内错角相等，两直线平行．
由平行线的性质可得到，由可得到，由等式的性质可知，从而得到由平行线的判定定理可得到．
本题主要考查的是平行线的性质和平行线的判定，掌握平行线的性质和判定定理是解题的关键．
 

20.【答案】解：原式
；
根据题意得：，
解得：，
，
． 

【解析】原式利用立方根定义，绝对值的代数意义，以及二次根式乘法法则计算即可求出值；
利用一个正数的平方根有两个且互为相反数，求出的值，进而求出的值．
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

21.【答案】解：，
，得，
解得，
把代入，得，
所以原方程组的解是；
，
解：去分母得：，
去括号得：，
移项、合并得：，
系数化为得：． 

【解析】用，可消去未知数，求出未知数，再把的值代入其中一个方程求出的值即可；
根据解一元一次不等式的基本步骤解答即可，去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为．
本题考查了解二元一次方程组以及解一元一次不等式，掌握加减消元法和代入消元法以及解一元一次不等式的基本步骤是解答本题的关键．
 

22.【答案】解：，；
如图，即为所求，点的坐标为，的坐标为．

线段与的位置关系为平行，大小关系为相等． 

【解析】依据点，在坐标系中的位置，即可得到点，的坐标；
依据点与点重合，即可得到平移的方向和距离，进而作出平移后的，并写出点，的坐标．
依据平移的性质，即可得到线段与的位置和大小关系．
本题考查了作图平移变换以及平移的性质，确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
 

23.【答案】解：，
得：，
，
得：，
得：，
方程组的解为；
，
，
，
，
． 

【解析】得到，求得，求得；
将方程组的解代入，解不等式即可．
本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，根据，之间不含，有且只有一个整数，列出不等式组是解题的关键．
 

24.【答案】三 

【解析】解：王老师是第三次购买足球和篮球时，遇到商场打折销售．
理由：王老师在某商场购买足球和篮球共三次，只有一次购买时，足球和篮球同时打折，其余两次均按标价购买，
且只有第三次购买数量明显增多，但是总的费用不高，
按打折价购买足球和篮球是第三次购买；
故答案为：三；
设足球的标价为元，篮球的标价为元．
根据题意，得，
解得：，
答：足球的标价为元，篮球的标价为元；
设购买个篮球，依题意有
，
解得．
故最多可以买个篮球．
根据图表可得按打折价购买足球和篮球是第三次购买；
设足球的标价为元，篮球的标价为元，根据图表列出方程组求出和的值；
设购买个篮球，根据从该商场一次性购买足球和篮球个，且总费用不能超过元，列出不等式求解即可．
本题考查了一元一次方程和二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．
 

25.【答案】解：；
，，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
即；
点在的右侧时，如图，

，，
，
，
，
，
平分，
，
，
；
点在的左侧时，如图，

，，
，
，
，
，，
平分，
，
，
综上所述，的度数为或． 

【解析】解：过点作，

，
，
，
，
，
故答案为：
见答案；
见答案．
过点作，根据平行线的性质可得，，进而可求解；
由平行线的性质可得，结合角平分线的定义可得，再利用平行线的性质可求解；
可分两种情况：点在的右侧时，点在的左侧时，利用平行线的性质及角平分线的定义计算可求解．
本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，分类讨论是解题的关键．
 

26.【答案】   

【解析】解：分别把、、、代入健康和快乐的函数关系式计算得：
其中是“健康点”，为“快乐点”；
故答案为：“健康点”，为“快乐点”；
点既是“健康点”又是“快乐点”，则坐标应该满足和，
解得：，
的坐标为；
 设直线交轴于，如图：
是轴上的“健康点”，在中，令得，
，
是轴上的“快乐点”，在中，令得，
，
在中，令得，
，
，



；
过作的平行线，交轴于，交轴于，如图：
此时、，到的距离都等于到的距离，与面积相等，
设直线解析式为，将，代入得：
，解得，
直线解析式为，
设过于平行的直线解析式为，
将代入得，
，
过于平行的直线解析式为，
令得，令得，
，，
由，根据对称性，当，即时，过作，交轴于，则、也符合条件，
而直线解析式为，同理可得：，
与面积相等，的坐标为，，，．
法：当在轴上时，设，则，
，
解得或，
的坐标时或，
当在轴上时，设，则，
，
解得或，
综上所述，的坐标为或或或．
分别把、、、代入“健康点”和“快乐点”的函数关系式计算即可情况；
点既是“健康点”又是“快乐点”，则坐标应该满足和，解方程组即可得的坐标，然后利用“健康点”和“快乐点”函数关系式求出、的坐标，设直线交轴于，求出、、的坐标，根据即可求出答案；
过作的平行线，交轴于，交轴于，、到的距离都等于到的距离，与面积相等，求出、坐标，再根据对称性可求、坐标．
本题考查三角形面积，涉及新定义、坐标轴上点坐标特征等知识，解题的关键是理解“健康点”、“快乐点”含义．