2023年浙江省杭州市余杭区星桥中学中考数学模拟试卷（含答案）

2023年浙江省杭州市余杭区星桥中学中考数学模拟试卷

一         、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.一条数学学习方法的微博被转发了30000次，这个数字用科学记数法表示为3×10n，则n的值是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

2.下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（  ）

A． B． C． D．

3.如下摆放的几何体中，主视图为圆的是（    ）

A． B． C． D．

4.下列运算正确的是（   ）

A．(a＋b)(a－2b)=a2－2b2 B．

C．－2(3a－1)=－6a＋1 D．(a＋3)(a－3)=a2－9

5.如图，∠AOB=60°，OA=OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边△ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是（　　）

A．平行 B．相交 C．垂直 D．平行、相交或垂直

6.如图，有一些写有号码的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上，从中任意摸出一张，摸到1号卡片的概率是（  ）

A． B． C． D．

7.如图，△ABC内接于⊙O，且OB⊥OC，则∠A的度数是（　　）

A．90° B．50° C．45° D．30°

8.若关于x的一元一次不等式结的解集为；且关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是（    ）

A．7 B．－14 C．28 D．－56

9.点在反比例函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（    ）.

A． B． C． D．

10.如图，在平面直角坐标系中，O是菱形对角线的中点，轴且，，将菱形绕点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是（    ）

A． B． C． D．或

二         、填空题（本大题有6个小题，每小题4分，共24分）

11.某超市购进一批单价为8元的生活用品，如果按每件9元出售，那么每天可销售20件．经调查发现，这种生活用品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少4件，那么将销售价定为__________元时，才能使每天所获销售利润最大．

12.因式分解：8a3﹣2ab2=　   　．

13.方程﹣=0的解为x=　   　．

14.平面直角坐标系中，点P（﹣3，4）到原点的距离是　   　．

15.计算+×的结果是　   　．

16.如图，矩形的顶点A．C分别在x轴、y轴上，，将绕点O顺时针旋转，点B落在y轴上的点D处，得到，交于点G，若反比例函数的图象经过点G，则k的值为______．

三         、解答题（本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（1）解不等式组：

（2）化简：（﹣2）•．

18.某中学组织一批学生开展社会实践活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆220元，60座客车租金为每辆300元．

（1）这批学生的人数是多少？原计划租用45座客车多少辆？

（2）若租用同一种客车，要使每位学生都有座位，应该怎样租用合算？

19. “风华中学”计划在劳动技术课中增设剪纸、陶艺，厨艺、刺绣、养殖等五类选择性“技能课程”，加大培养学生的劳动习惯和实践操作能力，为了解学生选择各“技能课程”的意向，从全校随机抽取了部分学生进行问卷调查，将调查结果整理并绘制如下不完整统计图表：

样本中选择各技能课程的人数统计表

请根据上述统计数据解决下列问题：

（1）扇形统计图中m＝　   　．

（2）所抽取样本的样本容量是 　   　，频数统计表中a＝　   　．

（3）若该校有2000名学生，请你估计全校有意向选择“养殖”技能课程的人数．

20.如图，Rt△ABO的顶点O在坐标原点，点B在x轴上，∠ABO=90°，∠AOB=30°，OB=2，反比例函数y=（x＞0）的图象经过OA的中点C，交AB于点D．

（1）求反比例函数的关系式；

（2）连接CD，求四边形CDBO的面积．

21.如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别与边和边的延长线交于点，，与边交于点，垂足为点．

（1）求证：；

（2）若，，请直接写出的长为__________．

22.在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A．

（1）求顶点A的坐标（用含有字母m的代数式表示）；

（2）若点，在抛物线上，且，则m的取值范围是          ；（直接写出结果即可）

（3）当时，函数y的最小值等于6，求m的值．

23.如图，四边形是正方形，点是射线上的动点，连接，以为对角线作正方形（按逆时针排列），连接．

（1）当点在线段上时．

①求证：；

②求证：；

（2）设正方形的面积为，正方形的面积为，以为原点的四边形的面积为，当时，请直接写出的值．

答案解析

一         、选择题

1.【考点】科学记数法-表示较大的数

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

解：30000次，这个数字用科学记数法表示为3×104，则n的值是4．

故选：B．

【考点】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．　

2.【考点】中心对称图形，轴对称图形

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各图形分析判断后利用排除法求解．

解：A．图形不是中心对称轴图形，是轴对称图形，此选项正确；

B、图形是中心对称轴图形，不是轴对称图形，此选项错误；

C、图形是中心对称轴图形，也是轴对称图形，此选项错误；

D、图形不是中心对称轴图形，也不是轴对称图形，此选项错误；

故选：A．

【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

3.【考点】简单几何体的三视图

【分析】逐项分析，根据三视图的定义，找出主视图为圆的选项．

解：A． 主视图为三角形，不符合题意；

B. 主视图为矩形，不符合题意；

C. 主视图为正方形，不符合题意；

D. 主视图为圆，符合题意．

故选D．

【点评】本题考查了三视图的知识点，熟知主视图的定义和画三视图的规则是解题的关键．

4.【考点】单项式乘多项式,多项式乘多项式,平方差公式,完全平方式

【分析】本题根据代数式运算法则及公式即可做出选择．

解：A．原式＝，故此选项错误；

B、原始＝，根据完全平方公式可以做出判断，故此选项错误；

C、原式＝，根据乘法分配律可以做出判断，故此选项错误；

D、原式＝a2－9，故此选项正确．

故选：D．

【点评】本题主要考查代数式运算公式及法则，掌握相关公式及运算法则是解答本题的关键．

5.【考点】等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定

【分析】先判断出OA=OB，∠OAB=∠ABO，分两种情况判断出∠ABD=∠AOB=60°，进而判断出△AOC≌△ABD，即可得出结论．

解：∵∠AOB=60°，OA=OB，

∴△OAB是等边三角形，

∴OA=AB，∠OAB=∠ABO=60°

①当点C在线段OB上时，如图1，

∵△ACD是等边三角形，

∴AC=AD，∠CAD=60°，

∴∠OAC=∠BAD，

在△AOC和△ABD中，，

∴△AOC≌△ABD，

∴∠ABD=∠AOC=60°，

∴∠ABE=180°﹣∠ABO﹣∠ABD=60°=∠AOB，

∴BD∥OA，

②当点C在OB的延长线上时，如图2，

同①的方法得出OA∥BD，

∵△ACD是等边三角形，

∴AC=AD，∠CAD=60°，

∴∠OAC=∠BAD，

在△AOC和△ABD中，，

∴△AOC≌△ABD，

∴∠ABD=∠AOC=60°，

∴∠ABE=180°﹣∠ABO﹣∠ABD=60°=∠AOB，

∴BD∥OA，

故选：A．

【点评】此题主要考查了等边三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,求出∠ABD=60°是解本题的关键

6.【考点】概率公式

【分析】根据概率公式直接求解即可．

解：∵共有6张卡片，其中写有1号的有3张，

∴从中任意摸出一张，摸到1号卡片的概率是，

故选：A．

【点评】此题考查了概率的求法，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．

7.【考点】三角形的外接圆与外心，圆周角定理．

【分析】由圆周角定理，求得∠A的度数．

解：∵OB⊥OC，

∴∠BOC=90°，

∴∠A=∠BOC=45°．

故选C．

【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，熟知圆周角定理是解答此题的关键．　

8.【考点】分式方程的解，解一元一次不等式组

【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出a的范围，分式方程去分母转化为正整数方程，由分式方程有非负整数解，确定出a的值，求出之和即可．

解：解不等式，解得x≤7，

∴不等式组整理的，

由解集为x≤a，得到a≤7，

分式方程去分母得：y−a＋3y−4＝y−2，即3y−2＝a，

解得：y＝，

由y为正整数解且y≠2，得到a＝1，7，

1×7＝7，

故选：A．

【点评】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

9.【考点】用待定系数法确定反比例函数的解析式

【分析】用待定系数法确定反比例函数的解析式，再验证选项中的点是否满足解析式即可，若满足函数解析式，则在函数图像上.

解：将点代入，

∴，

∴，

∴点在函数图象上，

故选：A．

【点评】本题考查了反比例函数解析式的求法及根据解析式确定点在函数图形上，会求反比例函数的解析式是解题的关键.

10.【考点】菱形的性质，旋转的性质

【分析】分点C旋转到y轴正半轴和y轴负半轴两种情况分别讨论，结合菱形的性质求解.

解：根据菱形的对称性可得：当点D在x轴上时，

A．B、C均在坐标轴上，如图，

∵∠BAD=60°，AD=4，

∴∠OAD=30°，

∴OD=2，

∴AO==OC，

∴点C的坐标为（0，），

同理：当点C旋转到y轴正半轴时，

点C的坐标为（0，），

∴点C的坐标为（0，）或（0，），

故选D.

【点评】本题考查了菱形的对称性，旋转的性质，直角三角形的性质，解题的关键是要分情况讨论.

二         、填空题

11.【考点】二次函数的应用

【分析】根据题意列出二次函数关系式，根据二次函数的性质即可得到结论．

解：设销售单价定为元，每天所获利润为元，

则

，

所以将销售定价定为11元时，才能使每天所获销售利润最大，

故答案为11．

【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的性质解答．

12.【考点】提公因式法与公式法的综合运用

【分析】首先提取公因式2a，再利用平方差公式分解因式得出答案．

解：8a3﹣2ab2=2a（4a2﹣b2）

=2a（2a+b）（2a﹣b）．

故答案为：2a（2a+b）（2a﹣b）．

【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．

13.【考点】解分式方程．

【分析】利用：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论解出方程．

解：﹣=0

方程两边同乘x（x﹣1），得x﹣2（x﹣1）=0

x﹣2x+2=0，

解得，x=2，

检验：当x=2时，x（x﹣1）≠0，

则x=2是分式方程的解，

故答案为：2．

【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；

（2）解分式方程一定注意要验根；

（3）分式方程去分母时不要漏乘．　

14.【考点】坐标与图形性质，勾股定理

【分析】作PA⊥x轴于A，则PA＝4，OA＝3，再根据勾股定理求解．

解：作PA⊥x轴于A，则PA＝4，OA＝3．

则根据勾股定理，得OP＝5．

故答案为5．

【点评】此题考查了点的坐标的知识以及勾股定理的运用．点到x轴的距离即为点的纵坐标的绝对值．

15.【考点】二次根式的混合运算．

【分析】先根据二次根式的乘法法则得到原式=2+，然后化简后合并即可．

解：原式=2+

=2+4

=6．

故答案为6．

16.【考点】反比例函数的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质

【分析】根据题意证明△AOB≌△EOD，△COG∽△EOD，根据相似三角形的性质求出CG的长度，即可求解．

解： 由B（-2，1）可得，AB=OC=1，OA=2，OB=

由旋转可得：△AOB≌△EOD，∠E=∠OAB=90°，

∴OE=OA=2，DE=AB=1，

∵∠COG=∠EOD，∠GCO=∠E=90°，

∴△COG∽△EOD，

∴，即，

解得：CG=，

∴点G（，1），

代入可得：k=，

故答案为：．

【点评】本题考查旋转的性质，相似三角形的判定和性质和反比例函数，解题的关键是利用相似三角形的性质求出OG的长度．

三         、解答题

17.【考点】分式的混合运算，解一元一次不等式组

【分析】（1）先求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．

（2）根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得．

解：（1）解不等式＜1，得：x＜5，

解不等式2x+16＞14，得：x＞﹣1，

则不等式组的解集为﹣1＜x＜5；

（2）原式=（﹣）•

=•

=．

【点评】本题主要考查分式的混合运算和解一元一次不等式组，解题的关键是掌握解一元一次不等式组的步骤和分式混合运算顺序和运算法则．

18.【考点】二元一次方程组的应用，

【分析】（1）设这批学生有x人，原计划租用45座客车y辆，根据“原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）找出每个学生都有座位时需要租两种客车各多少量，由总租金=每辆车的租金×租车辆数分别求出租两种客车各需多少费用，比较后即可得出结论．

解：（1）设这批学生有x人，原计划租用45座客车y辆，

根据题意得：，

解得：．

答：这批学生有240人，原计划租用45座客车5辆．

（2）∵要使每位学生都有座位，

∴租45座客车需要5+1=6辆，租60座客车需要5﹣1=4辆．

220×6=1320（元），300×4=1200（元），

∵1320＞1200，

∴若租用同一种客车，租4辆60座客车划算．

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出二元一次方程组;(2)求出租两种客车各需多少费用。　

19.【考点】扇形统计图，总体、个体、样本、样本容量，用样本估计总体．

【分析】（1）1减去其他组的百分比可得E组的百分比，即可求解，

（2）利用B的频数及其百分比可得所抽取样本的样本容量，样本容量乘以C的百分比，即可得a的值，

（3）样本估计总体，样本中，有意向选择E“养殖”的占20%，因此估计总体2000人的20是有意向选择“养殖”技能课程的人数．

解：（1）m%＝1﹣35%﹣10%﹣25%﹣10%＝20%，

∴m＝20，

故答案为：20，

（2）所抽取样本的样本容量是20÷10%＝200，

a＝200×25%＝50，

故答案为：200，50，

（3）2000×20＝400（人），

答：估计全校有意向选择“养殖”技能课程的有400人．

【点评】本题考查扇形统计图、统计表的意义和制作方法，明确统计图、表中的数量关系是正确计算的前提．

20.【考点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数系数k的几何意义．

【分析】（1）解直角三角形求得AB，作CE⊥OB于E，根据平行线分线段成比例定理和三角形中位线的性质求得C的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；

（2）求得D的坐标，进而求得AD的长，得出△ACD的面积，然后根据S四边形CDBO=S△AOB﹣S△ACD即可求得．

解：（1）∵∠ABO=90°，∠AOB=30°，OB=2，

∴AB=OB=2，

作CE⊥OB于E，

∵∠ABO=90°，

∴CE∥AB，

∴OC=AC，

∴OE=BE=OB=，CE=AB=1，

∴C（，1），

∵反比例函数y=（x＞0）的图象经过OA的中点C，

∴1=，

∴k=，

∴反比例函数的关系式为y=；

（2）∵OB=2，

∴D的横坐标为2，

代入y=得，y=，

∴D（2，），

∴BD=，

∵AB=2，

∴AD=，

∴S△ACD=AD•BE=××=，

∴S四边形CDBO=S△AOB﹣S△ACD=OB•AB﹣=×2×2﹣=．

【点评】本题考查待定系数法求反比例函数的解析式，解决本题的关键是明确反比例函数图象上点的坐标特征．

21.【考点】矩形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定

【分析】(1)利用矩形的性质和线段垂直平分线的性质证明三角形全等即可．

(2)分别由勾股定理和线段垂直平分线求AC、AO，再证明∽，得到，求出AE即可．

(1)证明：∵是的垂直平分线，

∴．

∵矩形，

∴即

∴．

在和中

∴．

(2)解：由勾股定理

∵MN是AC的垂直平分线

∴

∵

∴

∵

∴∽，

∴，即

解得．

【点评】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理和相似三角形的性质与判定，解答关键是根据相似三角形构造方程求解．

22.【考点】二次函数综合题

【分析】(1)将抛物线解析式化成的形式，即可求得顶点A的坐标；

(2)将，代入抛物线中求得和的值，然后再解不等式即可求解；

(3)分类讨论，分对称轴在1的左侧、对称轴在3的右侧、对称轴在1,3之间共三种情况分别求出函数的最小值，进而求出m的值．

解：(1)由题意可知：

抛物线，

∴顶点A的坐标为；

(2)将代入中，

得到，

将代入中，

得到，

由已知条件知：，

∴，

整理得到：，

解得：，

故m的取值范围是：；

(3)二次函数的开口向上，故自变量离对称轴越远，其对应的函数值越大，二次函数的对称轴为，

分类讨论：

①当，即时，

时二次函数取得最小值为，

又已知二次函数最小值为6，

∴，解得或，

又，故符合题意；

②当，即时，

时二次函数取得最小值为，

又已知二次函数最小值为6，

∴，解得或，

又，故或都不符合题意；

③当，即时，

时二次函数取得最小值为，

又已知二次函数最小值为6，

∴，解得或，

又，故符合题意；

综上所述，或．

【点评】本题考查待定系数求二次函数的解析式，二次函数的最值问题，不等式的解法等，计算过程中细心，熟练掌握二次函数的图形及性质是解决本题的关键．

23.【考点】四边形综合题

【分析】（1）①根据正方形的性质，可以推断出，有和全等，从而根据三角形全等的性质推断出；

②在线段上截，连接，设与相交于点，根据正方形的性质，可以证明和全等，可以证明，再利用勾股定理得出，从而可以证明结论；

（2）根据题目信息以及第（1）问可以设出各边长，再根据面积公式进行比值即可解答．

（1）①证明：

∵四边形和四边形都是正方形

∴

∴

即

∴

∴

②证明：

方法一：在线段上截，连接，设与相交于点

∵四边形和四边形都是正方形

∴

∴

∵

∴

∴

∴

∴，即

在中，

∵

∴

∵

∴

方法二：连接

∵四边形和四边形都是正方形

∴

∴

即

在和中，

∵

∴

∴

∴

∴

∴

∴

（2）或

①根据，设DC=5n，GC=，FD=n，由（1）有，，

从而有

②根据，设DC=5n，GC=，FD=n，

从而有

故答案为：或．