广东深圳市龙岗区鹏达学校2023年中考数学第一次模拟考试（含答案）

龙岗区鹏达学校2023年第一次模拟考试

数学科试卷

一．选择题

1．某几何体由若干个小正方体组成，其俯视图如图所示，图中数字表示该位置上的小正方体的个数，则这个几何体的主视图是（　　）

    A． B． C． D．

2．面积是3的正方形的边长是（　　）

A．整数 B．无理数 C．有理数 D．分数

3．下列运算结果正确的是（　　）

A．3a2﹣a2＝2      B．（﹣a2）3＝a6 C．3a2•2a2＝6a4      D．（﹣2x）3÷x＝﹣2x2

4．估计12的算术平方根介于 （　　）

A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间

5．如图，AB、CD相交于点O，OC＝2，OD＝3，AC∥BD，EF是△ODB的中位线，且EF＝2，则AC的长为（　　）

A． B． C．2 D．

6．为测楼房BC的高，在距楼房30米的A处，测得楼顶B的仰角为α，则楼房BC的高为（　　）

A．30tanα米 B．米 C．30sinα米 D．米

7．如图1，一个均匀的转盘被平均分成10等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10．小凯转动转盘做频率估计概率的实验，当转盘停止转动后，指针指向的数字即为实验转出的数字，图2，是小凯记录下的实验结果情况，那么小凯记录的实验是（　　）

A．转动转盘后，出现偶数        

   B．转动转盘后，出现能被3整除的数 

C．转动转盘后，出现比6大的数      

D．转动转盘后，出现能被5整除的数

5题图            6题图                8题图                10题图

8．如图，在△ABC中，AB＝AC．在AB、AC上分别截取AP，AQ，使AP＝AQ．再分别以点P，Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点R，作射线AR，交BC于点D．若BC＝6，则BD的长为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

9．设备每年都需要检修，该设备使用年数n（单位：年，n为正整数且1≤n≤10）与每年至第n年该设备检修支出的费用总和y（单位：万元）满足关系式y＝1.4n﹣0.5，结论正确的是（　　）

A．从第2年起，每年的检修费用比上一年增加1.4万元 

B．从第2年起，每年的检修费用比上一年减少0.5万元 

C．第1年至第5年平均每年的检修费用为3.7万元 

D．第6年至第10年平均每年的检修费用为1.4万元

10．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB上且BE＝1，F为对角线AC上一动点，则△BFE周长的最小值为（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8

二．填空题

11．分解因式：xy2﹣2xy+x＝　          　．

12．如图，每个灯泡能否通电发光的概率都是，当合上开关时，至少有一个灯泡发光的概率是　                　．

13．“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用．例如古典园林中的门洞．如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m，地面入口宽为1m，则该门洞的半径为 　      　m．

14．由电源、开关、滑动变阻器及若干导线组成的串联电路中，已知电源电压为定值，闭合开关后，改变滑动变阻器的阻值R（始终保持R＞0），发现通过滑动变阻器的电流I与滑动变阻器的电阻R成反比例函数关系，它的图象如图所示，若使得通过滑动变阻器的电流不超过4A，则滑动变阻器阻值的范围是 　      　．

15．如图，正方形ABCD和Rt△AEF，AB＝13，AE＝AF＝12，连接BF，DE．若△AEF绕点A旋转，当∠ABF最大时，S△ADE＝　     　．

12题图                          13题图                  14题图         15题图

三．解答题（共8小题）

16．（1）计算：    

（2）解不等式组

17．先化简：÷（1﹣），然后从2，0，﹣2中选一个合适的数代入求值．

18．某地旅游部门为了促进本地生态特色城镇和新农村建设，将甲、乙，丙三家民宿的相关资料放到某网络平台上进行推广宣传．该平台邀请部分曾在这三家民宿体验过的游客参与调查，得到了这三家民宿的“综合满意度”评分，评分越高表明游客体验越好，现从这三家民宿“综合满意度”的评分中各随机抽取10个评分数据，并对所得数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．

a．甲、乙两家民宿“综合满意度”评分的折线图：

b．丙家民宿“综合满意度”评分：

2.6，4.7，4.5，5.0，4.5，4.8，4.5，3.8，4.5，3.1

c．甲、乙、丙三家民宿“综合满意度”评分的平均数、中位数：

根据以上信息，回答下列问题：

（1）表中m的值是 　      　，n的值是 　      　；

（2）设甲、乙、丙三家民宿“综合满意度”评分的方差分别是s甲2，s乙2，s丙2，直接写出s甲2，s乙2，s丙2之间的大小关系；

（3）根据“综合满意度”的评分情况，该平台打算将甲、乙、丙三家民宿中的一家置顶推荐，你认为该平台会将这三家民宿中的哪家置顶推荐？说明理由（至少从两个方面说明）．

19．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD⊥OC，连接AD，∠ADO＝∠BOC，AC与OD相交于点E．

（1）求证：AD是⊙O的切线；

（2）若tan∠OAC＝，AD＝，求⊙O的半径．

20．临近期末，某文具店需要购进一批2B涂卡铅笔和0.5mm黑色水笔，已知用600元购进铅笔与用400元购进水笔的数量相同，且每支铅笔比每支水笔进价高1元．

（1）求这两种笔每支的进价分别是多少元？

（2）该商店计划购进水笔的数量比铅笔数量的2倍还多60支，且两种笔的总数量不超过360支，售价见店内海报（如下所示）．该商店应如何安排进货才能使利润最大？最大利润是多少？

21．单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，滑雪大跳台在设计时融入了敦煌壁画中“飞天”的元素，故又名“雪飞天”．图1为“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．运动员从D点起跳后到着陆坡AC着落时的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，取水平线OC为x轴，铅垂线OB为y轴，建立平面直角坐标示如图2，从起跳到着落的过程中，运动员的铅垂高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．在着陆坡AC上设置点K（32，4）作为标准点，着陆点在K点或超过K点视为成绩达标．

（1）在某运动员的一次试跳中，测得该运动员的水平距离x与铅垂高度y的几组数据如下：

根据上述数据，直接写出该运动员铅垂高度的最大值，并求出满足的函数关系式；

（2）请问在此次试跳中，该运动员的成绩是否达标？

（3）此次试跳中，该运动员在空中从起跳到达最高点的高度或从最高点到下落的高度h（m）与时间t（s）均满足h＝gt2（其中g为常数，表示重力加速度，取10m/s2），运动员要完成“飞天”动作至少在空中要停留3秒钟，问该运动员从起跳到落地能完成动作吗？

22．我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”．

（1）概念理解：

请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子，例如 　                  　是等邻角四边形；

（2）问题探究：

如图1，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC，AD，BC的垂直平分线恰好交于AB边上一点P，连接AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；

（3）应用拓展：

如图2，在△ABC与△ABD中，∠C＝∠D＝90°，BC＝BD＝3，AB＝5，将△ABD绕着点A顺时针旋转角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到△AB′D′（如图3），当四边形AD′BC为等邻角四边形时，求出它的面积．

参考答案及评分标准

11.x（y﹣1）2      12.      13. 1.3      14. R≥2       15.R≥2

16．（1）解：原式＝2﹣+1﹣（﹣3）+2×

＝2﹣+1+3+

＝6．

（2）解：，

解①得x＞2，

解②得x≤4．

则不等式组的解集是：2＜x≤4．

则整数解是：3，4．

17．解：÷（1﹣）

＝÷

＝÷

＝•

＝x﹣2，

要使分式÷（1﹣）有意义，x+2≠0且x﹣2≠0，

所以x不能为﹣2和2，

取x＝0，

当x＝0时，原式＝0﹣2＝﹣2．

18． 解：（1）甲家民宿“综合满意度”评分：

3.2，4.2，5.0，4.5，5.0，4.9，4.5，4.2，5.0，4.5，

∴m＝（3.2+4.2+5.0+4.5+5.0+4.9+4.5+4.2+5.0+4.5）＝4.5，

丙家民宿“综合满意度”评分：2.6，4.7，4.5，5.0，4.5，4.8，4.5，3.8，4.5，3.1，

从小到大排列为：2.6.3.1.3.8.4.5.4.5.4.5.4.5.4.7.4.8.5．

∴中位数n＝＝4.5，

故答案为：4.5，4.5；

（2）根据折线统计图可知，乙的评分数据在4分与5分之间波动，甲的数据在3.2分和5分之间波动，

根据丙的数据可以在2.6至5分之间波动，

∴＜；

（3）推荐乙，理由：乙的方差最小，数据稳定，平均分比丙高，

答案不唯一，合理即可．

19． （1）证明：∵OD⊥OC，

∴∠COD＝90°，

∴∠BOC+∠AOD＝180°﹣90°＝90°，

又∵∠ADO＝∠BOC，

∴∠ADO+∠AOD＝90°，

∴∠OAD＝180°﹣90°＝90°，

即OA⊥AD，

∵OA是半径，

∴AD是⊙O的切线；

（2）解：∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA，

∴tan∠OAC＝＝tan∠OCA＝，

∵AB是直径，

∴∠ACB＝90°＝∠OAD，即∠OCB+∠OCA＝90°＝∠OAC+∠DAE，

∴∠DAE＝∠OCB，

又∵∠ADO＝∠BOC，

∴∠DEA＝∠B，

∵OB＝OC，

∴∠OBC＝∠OCB，

∴∠DAE＝∠DEA，

∴AD＝DE＝，

设半径为r，则OE＝r，OD＝r+，

在Rt△AOD中，由勾股定理得，

AD2+OA2＝OD2，

即（）2+r2＝（r+）2，

解得r＝2或r＝0（舍去），

即半径为2．

20． 解：（1）设每支0.5mm黑色水笔的进价为x元，则每支2B涂卡铅笔的进价为（x+1）元，

依题意得：＝，

解得：x＝2，

经检验，x＝2是原方程的解，且符合题意，

∴x+1＝2+1＝3．

答：每支2B涂卡铅笔的进价为3元，每支0.5mm黑色水笔的进价为2元．

（2）设购进m支2B涂卡铅笔，则购进（2m+60）支0.5mm黑色水笔，

依题意得：m+2m+60≤360，

解得：m≤100．

设购进的这批笔全部售出后获得的总利润为w元，则w＝（4﹣3）m+（2.5﹣2）（2m+60）＝2m+30，

∵2＞0，

∴w随m的增大而增大，

∴当m＝100时，w取得最大值，最大值＝2×100+30＝230，此时2m+60＝2×100+60＝260．

答：该商店应购进100支2B涂卡铅笔，260支0.5mm黑色水笔才能使利润最大，最大利润是230元．

21． 解：（1）根据题意得，抛物线的顶点坐标为（10，25.00），

∴抛物线的解析式为y＝a（x﹣10）2+25，

即h＝10，k＝25，

即该运动员铅垂高度的最大值为25m；

把点（0.20）代入y＝a（x﹣10）2+25得：20＝a（0﹣10）2+25，

解得：a＝﹣，

∴满足的函数关系式为y＝﹣（x﹣10）2+25；

（2）当x＝32时，y＝﹣（32﹣10）2+25＝0.8＜4，

∴该运动员的成绩不达标；

（3）设直线AC的解析式为y＝mx+n，

∴，

解得，

∴直线AC的解析式为y＝﹣x+20，

联立方程组，

解得或，

∴抛物线与AC交点坐标为（30，5），

当h＝25﹣20＝5时，5＝×10t2，

解得：t＝1或t＝﹣1，

当h＝25﹣5＝20时，20＝×10t2，

解得：t＝2或t＝﹣2，

∴该运动员从起跳到落地所用时间为1+2＝3，

∵运动员要完成“飞天”动作至少在空中要停留3秒钟，

∴该运动员从起跳到落地能完成动作．

22． 解：（1）直角梯形或矩形或正方形；

故答案为：直角梯形或矩形或正方形（答案不唯一）；

（2）AC＝BD，理由为：

连接PD，PC，如图1所示：

∵PE是AD的垂直平分线，PF是BC的垂直平分线，

∴PA＝PD，PC＝PB，

∴∠PAD＝∠PDA，∠PBC＝∠PCB，

∴∠DPB＝2∠PAD，∠APC＝2∠PBC，即∠PAD＝∠PBC，

∴∠APC＝∠DPB，

∴△APC≌△DPB（SAS），

∴AC＝BD；

（3）分两种情况考虑：

（i）当∠AD′B＝∠D′BC时，延长AD′，CB交于点E，

如图3（i）所示，

∴∠ED′B＝∠EBD′，

∴EB＝ED′，

设EB＝ED′＝x，

由勾股定理得：42+（3+x）2＝（4+x）2，

解得：x＝4.5，

过点D′作D′F⊥CE于F，

∴D′F∥AC，

∴△ED′F∽△EAC，

∴，即，

解得：D′F＝，

∴S△ACE＝AC×EC＝×4×（3+4.5）＝15；S△BED′＝BE×D′F＝×4.5×＝，

则S四边形ACBD′＝S△ACE﹣S△BED′＝15﹣＝10；

（ii）当∠D′BC＝∠ACB＝90°时，过点D′作D′E⊥AC于点E，

如图3所示，

∴四边形ECBD′是矩形，

∴ED′＝BC＝3，

在Rt△AED′中，根据勾股定理得：AE＝，

∴S△AED′＝AE×ED′＝××3＝，S矩形ECBD′＝CE×CB＝（4﹣）×3＝12﹣3，

则S四边形ACBD′＝S△AED′+S矩形ECBD′＝+12﹣3＝12﹣．

综上所述，S四边形ACBD′为10或12﹣．

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