江西省2023届高三下学期4月教学质量监测（二模）数学（文）试卷（含答案）

江西省2023届高三下学期4月教学质量监测（二模）数学（文）试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、设集合，, 则 (   )

A. B. C. D.

2、若复数z 满足, 其中i 为虚数单位, 则z 的共轭复数的虚部是(   )

A. B. C. D.

3、若实数x,y 满足约束条件 则 的最大值是(   )

A. -16 B. 4 C. 12 D. 16

4、已知, 则下列不等式一定成立的是(   )

A.  B.

C.  D.

5、设, 则 “” 是 “” 的(   )

A. 充分不必要条件  B. 必要不充分条件

C. 充要条件  D. 既不充分也不必要条件

6、已知是数列 的前n 项和, 且满足首项为1,, 则 (   )

A. B. C. D.

7、已知定义在R 上的偶函数 满足, 且当 时, , 则下列说法错误的是(   )

A.

B.函数 关于直线 对称

C.函数 是偶函数

D.关于x 的方程 在区间 上所有根的和为 0

8、将函数 的图象沿x 轴向左平移 个单位长度后, 得到的函数 图象关于y 轴对称, 则a 的最小值为(   )

A. B. C. D.

9、如图是一个几何体的三视图, 则该几何体的体积为(  )

A. 2 B. C. D.4

10、定义: 圆雉曲线 的两条相互垂直的切线的交点 Q的轨迹是以坐标原点为圆 心, 为半径的圆, 这个圆称为蒙日圆. 已知椭圆C 的方程为 ,P是直线 上的一点, 过点 P作椭圆 C的两条切线与椭圆相切于 M,N两点, O是坐 标原点, 连接OP, 当 为直角时, 则 (   )

A.或  B.或 0 C.或  D.或 0

11、在三棱锥中, 已知，，, 则三棱锥外接球的表面积为(   )

A. B. C. D.

12、定义在区间 上的可导函数 关于y 轴对称, 当 时, 恒成立, 则不等式 的解集为(   )

A. B. C. D.

二、填空题

13、某高三年级一共有 800 人, 要从中随机抽取 50 人参加社团比赛, 按系统抽样的方法进行 等距抽取. 将全体学生进行编号分别为1∼800, 并按编号分成 50 组, 若第 3 组抽取的编号 为 36 , 则第 16 组抽取的编号为_______.

14、已知两个向量,, ,,则当 取得最小值时, _______.

15、已知某公交车 发车,为了赶上该公交车小张每次都是在 之间到达公交站台, 则他连续两天提前到公站台等待累计时长超过 3 分钟的概率为_____.

16、已知抛物线 过点, 直线 与抛物线 C交于A,B 两点 (不同 于点E ), 则抛物线的焦点F 的坐标为______ ; 若点,, 则 _______.

三、解答题

17、如图是某市 2016 年至 2022 年农村居民人均可支配收人y (单位: 万元) 的折线图.

(1)根据图表的折线图数据, 计算y 与 t的相关系数r, 并判断 y与t 是否具有较高的线性 相关程度 (若, 则线性相关程度一般, 若, 则线性相关程度 较高, r精确到 0.01 );

(2)是否可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系, 若可以用线性回归模型拟合y 与t 的关 系, 求出y 关于t 的回归方程 (系数精确到 0.01 ), 并预测到哪年该市农村居民人均可 支配收人超过 2 万元, 若不可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系, 请说明理由.

(参考数据:,,,. 参考公式: 相关系数,

在回归方程 中, 斜率和截距最小二乘估计公式分别为:

,)

18、在 中, 内角A,B,C 的对边分别为a,b,c, 已知.

(1)若, 求 的值;

(2)求 的值.

19、如图, 在四棱锥中, 底面四边形ABCD 的边长均为 2 , 且  ，，, 棱 PD的中点为M.

(1) 求证: 平面ABCD;

(2) 若 的面积是, 求点P 到平面 BCM的距离.

20、已知双曲线, 若直线 l与双曲线C 交于 A,B两点, 线段AB 的 中点为M, 且 为坐标原点).

(1)求双曲线C 的离心率;

(2)若直线l 不经过双曲线C 的右顶点, 且以AB 为直径的圆经过点N, 证明直线l 恒过定点E, 并求出点E 的坐标.

21、已知函数.

(1) 求函数 在区间 上的最大值;

(2) 若 m为整数, 且关于x 的不等式 恒成立, 求整数m 的最小值.

22、在直角坐标系 xOy中, 曲线C 的参数方程为 (t为参数), 以坐标原点为极点, x轴的正半轴为极轴, 建立极坐标系, 直线 的极坐标方程为 .

(1) 写出直线l 的直角坐标方程;

(2) 若直线l 与曲线 C有公共点, 求实数m 的取值范围.

23、已知，, 且, 证明:

(1);

(2).

参考答案

1、答案：A

解析：由题意, 得, 或，, 所以.

2、答案：A

解析:设, 由 计算可得, ,, 得, 则z 的共轭复数的虚部为.

3、答案：C

解析:在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域是以 ,,, 为顶点的三角形区域 (包含边界), 由图易得当直线 经过平面区域内 的点 时, 取得最大值.

4、答案：C

解析:由 可知, 所以 A错误;, 但无法判定 与 1 的 大小, 所以B 错误; 当 时, 错误; 可以转变为, 由 ,C正确.

5、答案：A

解析:由 得 或 解得. 由 解得, 所以 “” 是 “” 的充分不必要条件.

6、答案：D

解析:由已知可得当 时, ,, 所以, 即, 且当 时, , 所以 也满足上式, 所以, 所以.

7、答案：D

解析:取, 得, 所以, 故 A 正确; 因为, 则, 即, 又由 为偶函数, 即, 所以函数 关于直线 对称, 故 B 正确; 令 ，

则

所以 为奇函数, 即函数 是奇函数, 故 C 错误; 画出函数图象可知, 方程所有根的和为 0 , 故 D 正确.

8、答案：D

解析:

, 将 的图象沿x 轴向左平移 个单位长 度, 得 关 于y 轴 对 称, 所 以 ,即,, 所以当 时, a取最小值.

9、答案： B

解析:如图所示, 该几何体 为正方体的一部分, 其中ACDE 四点共面, 所以, 故选 B.

10、答案：D

解析:根据蒙日圆定义, 圆O 方程为, 直线l 与圆 O交于 AB两点, 联立 得,, 当点P 与点 A,B重合时, 为直角,,

11、答案：A

解析:因为三棱雉的对棱相等, 所以可以把它看成长方体的面对角线组成的图形, 也外接 于球, 且长方体的面对角线长为,，, 体对角线即为三棱锥外接球的直径,

, 它外接球半径等于,

所以球的表面积为

12、答案：C

解析：因为, 化简得,

构造函数，,

即当 时, ，单调递增,

所以由

,

即. 因为 为偶函数且在 上单调递增,

所以解得.

13、答案：244

解析： 800 人一共分成 50 组, 每组 16 人, 所以组距为 16 , 系统抽样可以看成是一个组距 为 16 的等差数列, 由第三组 可得

14、答案：

解析：由题意可得, 则,

所以, 所以.

15、答案：

解析：设小张每天等待的时长都在 0-5 分钟之内, 连续两天等待的时长分别为x,y, 则 作出不等式组所表示的可行域, 如图所示, 根据题意可知

，

16、答案：4

解析：因为点 E在抛物线上, 所以, 所以, 所以, 所以抛物线方程为.

设，,

所以 所以. 由题意可知, 即,

所以，,

 , 所以. 因为, 所以.

17、答案： (1) y 与t 的线性相关程度较高

(2)该市农村居民人均可支配收入超过 2 万元

解析: (1) 由折线图中的数据和附注中的参考数据, 可得

，，,

所以. 因为r 近似为 0.96 , 所以y 与t 的线性相关程度较高.

(2) 由 (1) 知, y与t 的相关系数近似为 0.96 , 说明 y与 t的线性相关程度较高 从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系.

由 及 (1)  得

所以y 关于 t的回归方程为.

因为, 所以

所以到2026年该市农村居民人均可支配收入超过 2 万元

18、答案： (1)

(2)3

解析: (1) 若, 则

因为,

所以,

整理得，.

解得 (舍),

(2)因为,

所以,

整理得由正弦定理得,

由余弦定理得, 所以.

19、答案： (1)见解析

(2)

解析: (1) 因为ABCD 为菱形,

所以. 又因为，,

所以 平面PBD.

因为 平面PBD, 所以.

又由已知，, 所以 平面ABCD.

(2) 因为M 为PD 的中点, 所以点P 到平面MCB 的距离等于点D 到平面 MCB的距离. 由 (1) 知, 平面ABCD, 所以.

设点D 到平面BCM 的距离为d, 所以.

因为, 所以

因为, 所以,

所以.

20、答案：(1)

(2)

解析: （1）设，, 则,

由题意得 所以.

所以,即,

解得.

(2) 因为双曲线的右顶点, 所以双曲线C 的标准方程为.

因为, 所以直线l 的斜率一定存在 设直线l 的方程为,

所以 所以,

所以, 即,

所以,.

因为以AB 为直径的圆经过点N,

所以, 所以.

又因为,,

所以.

又因为,

所以,

即

化简得, 即,

解得 或, 且均满足,

当 时,. 因为直线l 不过定点, 故舍去;

当 时, , 所以直线l 恒过定点.

综上所述, 直线l 恒过定点.

21、答案： (1)

(2)2

解析:(1) 若 时, ，在区间 上单调递减,

所以.

若, 则对称轴,

当, 即 时,1离对称轴近, 2 离对称轴远,

所以.

当, 即 时, 1离对称轴远,2离对称轴近,

若, 对称轴 ，在区间 上单调递减,

综上,

(2) 因为 恒成立, 即 恒成立,

令

所以.

当 时, 因为, 所以, 所以 在 上是单调递增函数.

又因为, 所以关于x 的不等式 不能恒成立.

当 时,.

令 得, 所以当 时,;

当 时,.

因此函数 在 上是增函数, 在 上是减函数.

故函数 的最大值为. 令,

因为，.

又因为 在 上是减函数, 所以当 时,.

所以整数m 的最小值为 2 .

22、答案： (1)

(2)

解析: (1) 由, 得.

由得.

(2)因为曲线C 的参数方程为 (t为参数), 将其代入直线,

得, 所以, 所以, 即,

23、答案： (1)见解析

(2)

解析：证明: (1) 由, 得, 即.

因为，, 所以.

（2）由（1）得,

所以, 当且仅当 时, 等号成立.

所以.