2022-2023学年北京市人大附中八年级（下）期中数学试卷(含解析)

这是一份2022-2023学年北京市人大附中八年级（下）期中数学试卷(含解析)，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年北京市人大附中八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：（每小题3分，共30分）
1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（　　）
A．1，1， B．1，，2 C．4，5，6 D．6，8，10
3．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC+BD＝10，AB＝3．则△OCD的周长为（　　）

A．13 B．8 C．7 D．5
4．下列等式不成立的是（　　）
A． B．
C． D．
5．如图，下列四组条件中．不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）

A．AB＝DC，AD＝BC B．AB∥DC，AD∥BC
C．AB∥DC，AD＝BC D．AB∥DC，AB＝DC
6．如图，在4×3的正方形网格中，标记格点A、B、C、D，且每个小正方形的边长都是1．下列选项中的线段长度为的是（　　）

A．线段AB B．线段BC C．线段CD D．线段AD
7．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　）


A．﹣2a B．﹣2b C．2b﹣2a D．0
8．如图，在▱ABCD中，∠B＝42°，E为AD上一点，且DE＝DC，过D作DF⊥EC交BC于F，则∠DFC的度数为（　　）

A．14° B．18° C．21° D．22°
9．校办工厂要制作一些等腰三角形模具，工人师傅对四个模具的尺寸按照底边、腰长和底边上的高的顺序进行了记录，其中记录错误的是（　　）
A．10，26，24 B．16，10，6 C．30，17，8 D．24，13，5
10．如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB于E，连接CF、EF，下列结论不成立的是（　　）

A．∠BCD＝2∠DFC B．EF＝CF
C． D．S△BEC＝2S△CEF
二、填空题：（第11-19题每空2分，第20题每空1分，共22分）
11．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为 　 　．
12．分解因式：mn2﹣m＝　 　．
13．方程＝的解为 　 　．
14．当时，代数式x2+2x+2的值为 　 　．
15．如图，在▱ABCD中，∠A＝120°，AD＝2，作CE⊥AB于E，则∠ECB＝　 　；CE＝　 　．

16．已知432＝1849，442＝1936，452＝2025，462＝2116．若n为整数且，则n的值是 　 　．
17．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形．在转动其中一张纸条的过程中，线段AD和BC的长度始终相等，这里蕴含的数学原理是 　 　．

18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，D，E分别是边AB和BC上的点，把△ABC沿着直线DE折叠，若B恰好落在AC中点M上，则CE长为 　 　．

19．如图，点A，B为定点，直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对于下列各值：①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线MN与AB之间的距离；⑤∠APB的大小．其中会随点P的移动而发生变化的是　 　（填序号）．

20．如图，等边△ABC边长为2，点D为边BC延长线上一动点，CD＝DE，∠BDE＝120°，点F是线段BE的中点，连接DF、CF．
（1）用等式表示线段DF和AD的数量关系为：　 　；
（2）线段CF长度的最小值为：　 　．

三、解答题：（第21题8分，第22-25题每小题8分，第26题6分，第27、28题每小题8分，共48分）
21．计算：（1）；（2）．
22．解不等式组：．
23．先化简，再求值：，其中：a＝3，b＝2．
24．勾股定理是几何中的一个重要定理，且贴近人们的生活实际，古往今来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，出现了诸多证法．下面是证明勾股定理的两种图形构造方法，选择 　 　其中一种，补全后续证明过程．
勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．已知：如图，△ABC中，
∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．求证：a2+b2＝c2．

方法一
证明：如图，将4个全等的该直角三角形围成一个大正方形HCDF，即分别使点C、B、D共线，点D、E、F共线，点F、G、H共线，此时四边形ABEG也是正方形．

方法二
证明：如图，将2个全等的该直角三角形围成一个梯形，即使点P、A、C共线，此时△QAB为等腰直角三角形．

25．如图，在▱ABCD中，点E在AB上，点F在CD上，且AE＝CF．

（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）若DE为∠ADC的平分线，且AD＝3，EB＝2，求▱ABCD的周长．

26．在学习完二次根式后，数学兴趣小组开始自主研究根式方程的解法，针对关于x的根式方程，小组成员展开讨论（如材料一），并梳理了解法（如材料二）．
材料一：
小健同学：回忆分式方程解法，首先要去分母，将分式方程转化为整式方程，二元方程也是，首先要消元，将二元方程转化为一元方程；
小康同学：对，就是要往解x＝a的形式转化，现在关键就是要把根号化去；
小聪同学：我有办法，方程左右两边同时平方就可以化去根号；
小明同学：对，平方可以化去根号，但可能不属于同解变形，得注意验根
……
材料二：

解：两边平方得：5x﹣3＝1．
解得：．
检验：将代入原方程，成立．
∴原方程的解为．
通过以上材料，完成下列问题：
（1）解关于x的方程；
（2）解关于x的方程．
27．已知▱ABCD，BC＝2．

（1）如图1，若以BC为边作等边△BCE，且点E恰好在边AD上，直接写出此时▱ABCD的面积；
（2）如图2，若以BC为斜边作等腰直角△BCF，且点F恰好在边AD上，过C作CG⊥CD交BF于G，连接AG．
①依题意将图2补全；
②用等式表示此时线段CD，CG，AG之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，以BC为边作▱BCMN，且∠CMN＝60°，BN＝3．若NA⊥BD，直接用等式表示此时BD与NA的数量关系．

28．在平面直角坐标系xOy中，对于没有公共点的两个图形M、N给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，若P、Q两点间距离的最大值和最小值分别为d1和d2，则称比值为图形M和图形N的“距离关联值”，记为k（M，N）．
已知▱ABCD顶点坐标为A（﹣1，1），，C（1，﹣1），．

（1）若E为▱ABCD边上任意一点，则OE的最大值为 　 　，最小值为 　 　，因此k（点O，▱ABCD）＝　 　；
（2）若F（x1，m）为▱ABCD对角线BD上一点，G（x2，m）为▱ABCD对角线AC上一点，其中x1≠x2．
①若，则k（线段FG，▱ABCD）＝　 　；
②若6≤k（线段FG，▱ABCD）＜8，求m的取值范围；
（3）若▱HIJK的对角线交点为O，且顶点H（p，n）在直线AC上，顶点K（q，n）在直线BD上，其中p＜q，请直接用含n的代数式表示k（▱HIJK，▱ABCD）．



参考答案
一、选择题：（每小题3分，共30分）
1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用最简二次根式定义判断即可．
解：A、原式＝，不符合题意；
B、原式＝，不符合题意；
C、原式为最简二次根式，符合题意；
D、原式＝2，不符合题意，
故选：C．
【点评】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式定义是解本题的关键．
2．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（　　）
A．1，1， B．1，，2 C．4，5，6 D．6，8，10
【分析】勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形，由此即可判断．
解：A、12+12＝，故A不符合题意；
B、12+＝22，故B不符合题意；
C、42+52＝41≠62，故C符合题意；
D、62+82＝102，故D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理．
3．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC+BD＝10，AB＝3．则△OCD的周长为（　　）

A．13 B．8 C．7 D．5
【分析】平行四边形的对角线互相平分，根据平行四边形的性质即可解决问题．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝3，
C△OCD＝CD+OD+OC＝CD+（AC+BD），
∴C△OCD＝3+×10＝8．
故选：B．
【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形的周长等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质：平行四边形的对边相等
4．下列等式不成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则化简得出答案．
解：A．÷＝2，故此选项不合题意；
B．×＝6，故此选项不合题意；
C．＝2，故此选项不合题意；
D．＝，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘除法，正确化简二次根式是解题关键．
5．如图，下列四组条件中．不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）

A．AB＝DC，AD＝BC B．AB∥DC，AD∥BC
C．AB∥DC，AD＝BC D．AB∥DC，AB＝DC
【分析】平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
解：根据平行四边形的判定，A、B、D均符合是平行四边形的条件，C则不能判定是平行四边形．
故选：C．
【点评】此题主要考查了学生对平行四边形的判定的掌握情况．对于判定定理：“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．”应用时要注意必须是“一组”，而“一组对边平行且另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形．
6．如图，在4×3的正方形网格中，标记格点A、B、C、D，且每个小正方形的边长都是1．下列选项中的线段长度为的是（　　）

A．线段AB B．线段BC C．线段CD D．线段AD
【分析】根据勾股定理可以求得线段AB、BC、CD和AD的长，然后即可判断哪个选项符合题意．
解：由图可得，
AB＝＝，
BC＝＝，
CD＝＝，
AD＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，求出线段AB、BC、CD和AD的长．
7．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　）


A．﹣2a B．﹣2b C．2b﹣2a D．0
【分析】根据实数a，b在数轴上的位置确定a、b的符号，再根据二次根式的性质将二次根式进行化简即可．
解：由实数a，b在数轴上的位置可知，a＜0＜1＜b，
∴原式＝|a|﹣|b|+|a﹣b|
＝﹣a﹣b+b﹣a
＝﹣2a，
故选：A．
【点评】本题考查实数与数轴，二次根式的性质与化简，掌握数轴表示数的方法以及二次根式的性质与化简方法是正确解答的前提．
8．如图，在▱ABCD中，∠B＝42°，E为AD上一点，且DE＝DC，过D作DF⊥EC交BC于F，则∠DFC的度数为（　　）

A．14° B．18° C．21° D．22°
【分析】根据平行四边形 到现在得到AB∥DC，AD∥CD，求得∠BCD＝138°，得到∠DEC＝∠FCE，根据等腰三角形的性质得到∠DEC＝∠DCE，根据三角形的内角和定理即可得到结论．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AD∥CD，
∵∠B＝42°，
∴∠BCD＝138°，
∵AD∥CD，
∴∠DEC＝∠FCE，
∵DE＝CD，
∴∠DEC＝∠DCE，
∴∠FCE＝∠DCE＝，
∵DF⊥EC，
∴∠DFC＝90°﹣69°＝21°，
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
9．校办工厂要制作一些等腰三角形模具，工人师傅对四个模具的尺寸按照底边、腰长和底边上的高的顺序进行了记录，其中记录错误的是（　　）
A．10，26，24 B．16，10，6 C．30，17，8 D．24，13，5
【分析】根据底边的一半、底边上的高和腰构成直角三角形，进行判断即可．
解：根据等腰三角形的性质，底边上的高和底边上的中线相互重合，可知底边的一半、底边上的高、腰构成直角三角形，
只有10，26，24中10的一半为5，且52+242≠262，可知满足条件，
故选：A．
【点评】主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形底边上的高、底边的中线和顶角的平分线相互重合是解题的关键．
10．如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB于E，连接CF、EF，下列结论不成立的是（　　）

A．∠BCD＝2∠DFC B．EF＝CF
C． D．S△BEC＝2S△CEF
【分析】延长EF交CD延长线于M，利用平行四边形的性质及等腰三角形的性质判断选项A；利用平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质判断选项B；设∠FEC＝x，则∠FCE＝x，根据三角形内角和定理及角的倍分关系可判断选项C；根据全等三角形的性质即可判断选项D．
解：延长EF交CD延长线于M，

A、∵F是AD的中点，
∴AF＝DF，
在▱ABCD中，AD＝2AB，
∴AF＝FD＝CD，
∴∠DFC＝∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC＝∠FCB，
∴∠DCF＝∠BCF，
∴∠DCF＝∠BCD，
即∠BCD＝2∠DFC，故此选项正确，不合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A＝∠MDF，
∵F是AD的中点，
∴AF＝DF，
在△AEF和△DFM中，
，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴EF＝FM，
∴FE＝MF，∠AEF＝∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠ECD＝90°，
∵FM＝EF，
∴FC＝FM＝EF，故此选项正确，不合题意；
C、设∠FEC＝x，则∠FCE＝x，
∴∠DCF＝∠DFC＝90°﹣x，
∴∠EFC＝180°﹣2x，
∴∠EFD＝90°﹣x+180°﹣2x＝270°﹣3x，
∵∠AEF＝90°﹣x，
∴∠DFE＝3∠AEF，故此选项正确，不合题意；
D、∵△AEF≌△DMF，
∴EF＝FM，
∴S△EFC＝S△CFM，
∵MC＞BE，
∴S△BEC＜S△EFC，
故S△BEC＝2S△CEF错误，符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查的是全等三角形的性质，平行四边形的性质，直角三角形斜边上的中线，掌握其性质定理是解决此题的关键．
二、填空题：（第11-19题每空2分，第20题每空1分，共22分）
11．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为 　x≥3　．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
解：∵x﹣3≥0，
∴x≥3．
故答案为：x≥3．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
12．分解因式：mn2﹣m＝　m（n+1）（n﹣1）　．
【分析】先提取公因式m，再利用平方差公式进行二次分解．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
解：mn2﹣m，
＝m（n2﹣1），
＝m（n+1）（n﹣1）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后再利用平方差公式进行二次分解因式，也是难点所在．
13．方程＝的解为 　x＝5　．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解：去分母得：2x＝x+5，
解得：x＝5，
检验：把x＝5代入得：x（x+5）≠0，
∴分式方程的解为x＝5．
故答案为：x＝5．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
14．当时，代数式x2+2x+2的值为 　18　．
【分析】根据完全平方公式把原式变形，把x的值代入计算即可．
解：x2+2x+2
＝x2+2x+1+1
＝（x+1）2+1，
当x＝﹣1时，原式＝（﹣1+1）2+1＝17+1＝18，
故答案为：18．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握完全平方公式是解题的关键．
15．如图，在▱ABCD中，∠A＝120°，AD＝2，作CE⊥AB于E，则∠ECB＝　30°　；CE＝　　．

【分析】根据平行线的性质和直角三角形的性质解答即可．
解：∵在▱ABCD中，∠A＝120°，AD＝2，
∴AD＝BC＝2，∠B＝60°，
∵CE⊥AB，
∴∠ECB＝30°，
∴BE＝BC＝1，
∴CE＝＝，
故答案为：30°，．
【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行线的性质和直角三角形的性质解答．
16．已知432＝1849，442＝1936，452＝2025，462＝2116．若n为整数且，则n的值是 　44　．
【分析】估算出的值即可解答．
解：∵442＝1936，452＝2025，
∴1936＜2023＜2025，
∴44＜＜45，
∵n为整数且n＜＜n+1，
∴n＝44，
故答案为：44．
【点评】本题考查了无理数的估算，熟练掌握平方数是解题的关键．
17．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形．在转动其中一张纸条的过程中，线段AD和BC的长度始终相等，这里蕴含的数学原理是 　平行四边形的对边相等　．

【分析】由题意可知AB∥CD，AD∥BC，可证四边形ABCD为平行四边形，即可得出AD＝BC．
解：由题意可知，AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AD＝BC（平行四边形的对边相等），
故答案为：平行四边形的对边相等．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，证明四边形ABCD为平行四边形是解题的关键．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，D，E分别是边AB和BC上的点，把△ABC沿着直线DE折叠，若B恰好落在AC中点M上，则CE长为 　　．

【分析】点M是直角边AC的中点，可以得到MC的长度，再利用翻折得到ME＝BE，在Rt△MCE中利用勾股定理即可求出CE的长．
解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，
∴，
∵点BM是直角边AC的中点，
∴MC＝AC＝3，
根据折叠的性质，
得△MDE≌△BDE，
∴ME＝BE，
设CE为x，则：ME＝BE＝8﹣x，
在Rt△MCE中：x2+32＝（8﹣x）2，
解得：x＝，
故答案为：．
【点评】本题考查勾股定理以及图形的变换中的折叠问题．在折叠过程中，对应角和对应边相等是解题的关键；在直角三角形中，知道一条边长以及另外两条边的关系时，通常采用方程思想来解题．
19．如图，点A，B为定点，直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对于下列各值：①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线MN与AB之间的距离；⑤∠APB的大小．其中会随点P的移动而发生变化的是　②⑤　（填序号）．

【分析】根据三角形的中位线定理，平行线的性质即可一一判断．
解：∵l∥AB，
∴△PAB的面积不变，
∵PM＝MA，PN＝NB，
∴MN＝AB，∵AB的长为定值，
∴MN的长不变，△PMN的面积不变，直线MN与AB之间的距离不变，
故答案为：②⑤．
【点评】本题考查三角形的中位线定理、平行线的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20．如图，等边△ABC边长为2，点D为边BC延长线上一动点，CD＝DE，∠BDE＝120°，点F是线段BE的中点，连接DF、CF．
（1）用等式表示线段DF和AD的数量关系为：　AD＝2DF　；
（2）线段CF长度的最小值为：　　．

【分析】（1）延长DF至点M，使DF＝FM，连接BM、AM，先证△BFM≌△EFD（SAS），得BM＝DE，∠MBF＝∠DEF，则BM∥DE，再证△ABM≌△ACD（SAS），得AM＝AD，∠BAM＝∠CAD，然后证△AMD是等边三角形，即可得出结论；
（2）连接CE，取BC的中点N，连接作射线NF，先由等腰三角形的性质得∠DCE＝30°，再由三角形中位线定理得NF∥CE，则∠CNF＝∠DCE＝30°，得点F的运动轨迹为射线NF，且∠CNF＝30°，当CF⊥NF时，CF最短，然后由含30°角的直角三角形的性质得CF＝CN＝即可．
解：（1）线段DF与AD的数量关系为：AD＝2DF，理由如下：
延长DF至点M，使DF＝FM，连接BM、AM，如图1所示：

∵点F为BE的中点，
∴BF＝EF，
在△BFM和△EFD中，
，
∴△BFM≌△EFD（SAS），
∴BM＝DE，∠MBF＝∠DEF，
∴BM∥DE，
∵线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE，
∴CD＝DE＝BM，∠BDE＝120°，
∴∠MBD＝180°﹣120°＝60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠ABM＝∠ABC+∠MBD＝60°+60°＝120°，
∵∠ACD＝180°﹣∠ACB＝180°﹣60°＝120°，
∴∠ABM＝∠ACD，
在△ABM和△ACD中，
，
∴△ABM≌△ACD（SAS），
∴AM＝AD，∠BAM＝∠CAD，
∴∠MAD＝∠MAC+∠CAD＝∠MAC+∠BAM＝∠BAC＝60°，
∴△AMD是等边三角形，
∴AD＝DM＝2DF；
故答案为：AD＝2DF；
（2）连接CE，取BC的中点N，连接作射线NF，如图2所示：

∵△CDE为等腰三角形，∠CDE＝120°，
∴∠DCE＝30°，
∵点N为BC的中点，点F为BE的中点，
∴NF是△BCE的中位线，
∴NF∥CE，
∴∠CNF＝∠DCE＝30°，
∴点F的运动轨迹为射线NF，且∠CNF＝30°，
当CF⊥NF时，CF最短，
∵AB＝BC＝2，
∴CN＝1，
在Rt△CNF中，∠CNF＝30°，
∴CF＝CN＝，
∴线段CF长度的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
三、解答题：（第21题8分，第22-25题每小题8分，第26题6分，第27、28题每小题8分，共48分）
21．计算：（1）；（2）．
【分析】（1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
（2）利用二次根式的乘除法法则进行计算，即可解答．
解：（1）
＝2+3﹣
＝4；
（2）
＝÷
＝30÷
＝15．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
22．解不等式组：．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
解：由2+x＞7﹣4x，得：x＞1，
由x＜，得：x＜4，
则不等式组的解集为1＜x＜4．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
23．先化简，再求值：，其中：a＝3，b＝2．
【分析】根据二次根式的性质、二次根式的加减混合运算法则把原式化简，把a、b的值代入计算即可．
解：原式＝﹣•a+a﹣b
＝﹣+a﹣b
＝a﹣b，
当a＝3，b＝2时，原式＝3﹣2＝1．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的加减混合运算法则是解题的关键．
24．勾股定理是几何中的一个重要定理，且贴近人们的生活实际，古往今来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，出现了诸多证法．下面是证明勾股定理的两种图形构造方法，选择 　方法一　其中一种，补全后续证明过程．
勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．已知：如图，△ABC中，
∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．求证：a2+b2＝c2．

方法一
证明：如图，将4个全等的该直角三角形围成一个大正方形HCDF，即分别使点C、B、D共线，点D、E、F共线，点F、G、H共线，此时四边形ABEG也是正方形．

方法二
证明：如图，将2个全等的该直角三角形围成一个梯形，即使点P、A、C共线，此时△QAB为等腰直角三角形．

【分析】方法一：由大正方形的面积＝4个直角三角形的面积+小正方形的面积，即可得出结果；
方法二：梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和，即可得出结果．
解：方法一，
证明：如图，将4个全等的该直角三角形围成一个大正方形HCDF，
即分别使点C、B、D共线，点D、E、F共线，点F、G、H共线，
此时四边形ABEG也是正方形，
∵大正方形的面积＝4个直角三角形的面积+小正方形的面积，
∴（a+b）2＝4×ab+c2，即a2+2ab+b2＝2ab+c2，
∴a2+b2＝c2；
方法二，
证明：如图，将2个全等的该直角三角形围成一个梯形，
即使点P、A、C共线，此时△QAB为等腰直角三角形，
∵梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和，
即（a+b）（a+b）＝ab×2+c2，
化简得：a2+b2＝c2．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，正确利用图形中有关面积的等量关系得出勾股定理是解题的关键．
25．如图，在▱ABCD中，点E在AB上，点F在CD上，且AE＝CF．

（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）若DE为∠ADC的平分线，且AD＝3，EB＝2，求▱ABCD的周长．

【分析】（1）由平行四边形的在得AB＝CD，AB∥CD，再证BE＝DF，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得AB＝CD，AD＝BC＝3，AB∥CD，再证∠ADE＝∠AED，得AE＝AD＝3，则AB＝AE+EB＝5，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵AE＝CF，
∴AB﹣AE＝CD﹣CF，
即BE＝DF，
∴四边形DEBF是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC＝3，AB∥CD，
∴∠AED＝∠CDE，
∵DE为∠ADC的平分线，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AE＝AD＝3，
∴AB＝AE+EB＝3+2＝5，
∴▱ABCD的周长＝2（AB+AD）＝2×（5+3）＝16．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
26．在学习完二次根式后，数学兴趣小组开始自主研究根式方程的解法，针对关于x的根式方程，小组成员展开讨论（如材料一），并梳理了解法（如材料二）．
材料一：
小健同学：回忆分式方程解法，首先要去分母，将分式方程转化为整式方程，二元方程也是，首先要消元，将二元方程转化为一元方程；
小康同学：对，就是要往解x＝a的形式转化，现在关键就是要把根号化去；
小聪同学：我有办法，方程左右两边同时平方就可以化去根号；
小明同学：对，平方可以化去根号，但可能不属于同解变形，得注意验根
……
材料二：

解：两边平方得：5x﹣3＝1．
解得：．
检验：将代入原方程，成立．
∴原方程的解为．
通过以上材料，完成下列问题：
（1）解关于x的方程；
（2）解关于x的方程．
【分析】（1）方程两边平方得出x﹣2＝1，求出方程的解，再进行检验即可；
（2）方程两边平方得出x2+4x﹣3＝（x﹣1）2，求出方程的解，再进行检验即可．
解：（1）＝1，
两边平方得：x﹣2＝1，
解得：x＝3，
检验：将x＝3代入原方程，成立，
所以原方程的解为x＝3；

（2），
两边平方得：x2+4x﹣3＝（x﹣1）2，
解得：x＝，
检验：将x＝代入原方程，不成立，
所以原方程无解．
【点评】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键．
27．已知▱ABCD，BC＝2．

（1）如图1，若以BC为边作等边△BCE，且点E恰好在边AD上，直接写出此时▱ABCD的面积；
（2）如图2，若以BC为斜边作等腰直角△BCF，且点F恰好在边AD上，过C作CG⊥CD交BF于G，连接AG．
①依题意将图2补全；
②用等式表示此时线段CD，CG，AG之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，以BC为边作▱BCMN，且∠CMN＝60°，BN＝3．若NA⊥BD，直接用等式表示此时BD与NA的数量关系．

【分析】（1）根据等边三角形的性质求出BC边上的高为，再根据平行四边形ABCD的面积等于底乘以高即可解决问题；
（2）①根据题意画出图形即可；
②如图2，在CG上取CH＝CD，连接FH，证明△CFH≌△BFA（SAS），得FH＝FA，∠CFH＝∠BFA＝45°，再证明△FHG≌△FAG（SAS），得HG＝AG，进而根据线段的和差即可解决问题；
（3）连接BM，过点M作MQ⊥BC延长线于点Q，连接DM，根据平行四边形的性质和勾股定理可得BM2＝BQ2+MQ2＝（）2+（）2＝19，然后证明四边形ADMN是平行四边形，证得MD⊥BD，根据勾股定理可得BM2＝BD2+MD2＝BD2+NA2＝19．
解：（1）如图1，∵△BCE是等边三角形，BC＝2，
∴BC边上的高为，
∴▱ABCD的面积＝2；
（2）①如图2即为补全的图形；

②CG＝CD+AG，理由如下：
如图2，在CG上取CH＝CD，连接FH，
∵△BCF是等腰直角，
∴FB＝FC，∠FBC＝∠FCB＝45°，
在▱ABCD中，AD∥BC，
∴∠AFB＝∠FBC＝45°，
∴∠FAB+∠FBA＝135°，
∴∠FBA＝135°﹣∠BAD，
∵CG⊥CD，
∴∠GCD＝90°，
∴∠FCH＝90°﹣∠FCD＝90°﹣（∠BCD﹣∠FCB）＝90°﹣（∠BAD﹣45°）＝135°﹣∠BAD，
∴∠FCH＝∠FBA，
∵CF＝BF，CH＝AB，
∴△CFH≌△BFA（SAS），
∴FH＝FA，∠CFH＝∠BFA＝45°，
∵∠BFC＝90°，
∴∠HFG＝∠BFA＝45°，
∵FG＝FG，
∴△FHG≌△FAG（SAS），
∴HG＝AG，
∴CG＝CH+HG＝CD+AG，
∴CG＝CD+AG，
（3）BD2+NA2＝19，理由如下：
如图3，连接BM，过点M作MQ⊥BC延长线于点Q，连接DM，

在▱BCMN中，CM＝BN＝3，BC∥MN，
∴∠MCN＝∠CMN＝60°，
∴CQ＝CM＝，
∴MQ＝CQ＝，
∵BC＝2，
∴BQ＝BC+CQ＝，
∴BM2＝BQ2+MQ2＝（）2+（）2＝19，
在▱BCMN和▱ABCD中，
∵BC∥MN，BC＝MN，BC∥AD，BC＝AD，
∴MN∥AD，MN＝AD，
∴四边形ADMN是平行四边形，
∴AN∥MD，
∵NA⊥BD，
∴MD⊥BD，
∴BM2＝BD2+MD2＝BD2+NA2＝19，
∴BD2+NA2＝19．
【点评】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的性质等知识，得到△CFH≌△BFA是解题的关键．
28．在平面直角坐标系xOy中，对于没有公共点的两个图形M、N给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，若P、Q两点间距离的最大值和最小值分别为d1和d2，则称比值为图形M和图形N的“距离关联值”，记为k（M，N）．
已知▱ABCD顶点坐标为A（﹣1，1），，C（1，﹣1），．

（1）若E为▱ABCD边上任意一点，则OE的最大值为 　2　，最小值为 　1　，因此k（点O，▱ABCD）＝　2　；
（2）若F（x1，m）为▱ABCD对角线BD上一点，G（x2，m）为▱ABCD对角线AC上一点，其中x1≠x2．
①若，则k（线段FG，▱ABCD）＝　6　；
②若6≤k（线段FG，▱ABCD）＜8，求m的取值范围；
（3）若▱HIJK的对角线交点为O，且顶点H（p，n）在直线AC上，顶点K（q，n）在直线BD上，其中p＜q，请直接用含n的代数式表示k（▱HIJK，▱ABCD）．

【分析】（1）当点E与D或B重合时，OE的值最大，最大值＝＝2，当点E在y轴上时，OE的值最小，最小值为1；
（2）①求出最大值d1，最小值d2可得结论；
②根据方程求出空格特殊位置m的值，可得结论；
（3）利用（2）中方法，分n＞0，n＜0，两种情形分别求解．
解：（1）当点E与D或B重合时，OE的值最大，最大值＝＝2，
当点E在y轴上时，OE的值最小，最小值为1，
∴K（点O，▱ABCD）＝＝2．
故答案为：2，1，2；

（2）①当m＝时，OF＝DF，AG＝OG，
此时F（，），G（﹣，），
观察图象可知d1＝FB＝3，d2＝，
∴k（线段FG，▱ABCD）＝＝6．
故答案为：6．

②当m＞0时，d1＝2+2m，d2＝1﹣m，
当＝6时，＝6，解得，m＝，
当＝8时，＝8，解得，m＝，
∴当6≤k（线段FG，▱ABCD）＜8时，
≤m＜．
当m＜0时，同法可得﹣＜m≤﹣，
综上所述，满足条件的m的值为：≤m＜或﹣＜m≤﹣；

（3）由（2）可知，当n＞0时，k（▱HIJK，▱ABCD）＝．
当n＜0时，k（▱HIJK，▱ABCD）＝..

【点评】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，勾股定理，新定义“距离关联值”等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．