湖南省衡阳市衡阳县九峰中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷

这是一份湖南省衡阳市衡阳县九峰中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷，共18页。

2022-2023学年湖南省衡阳县九峰中学八年级（下）期中数学试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）以下各数是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．3﹣＝3 B．
C． D．
4．（3分）如图，平行四边形ABCD中，CE垂直于AB，∠D＝53°，则∠BCE的大小是（　　）

A．53° B．43° C．47° D．37°
5．（3分）下列四组条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的有（　　）
①AB＝CD，AD＝BC；②AB＝CD，AB∥CD；③AB＝CD，AD∥BC；④AB∥CD，AD∥BC．
A．②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④
6．（3分）下列说法错误的是（　　）
A．对角线相等的菱形是正方形
B．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．对角线垂直且相等的四边形是正方形
7．（3分）已知正比例函数y＝（2﹣m）x，若y的值随x的增大而减小，则点（m﹣2，2﹣m）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．（3分）如图，在△ABC中，AB＝CB＝13，BD⊥AC于点D且BD＝12，AE⊥BC于点E，连接DE，则DE的长为（　　）

A． B． C．5 D．6
9．（3分）如图，在矩形ABCD中，E是边AD上一点，F，G分别是BE，CE的中点，连接AF，DG，FG，若AF＝3，DG＝4，FG＝5，则矩形ABCD的面积是 （　　）

A．44 B．46 C．48 D．50
10．（3分）如图，点O是等边△ABC内一点，OA＝4，OB＝2，，则△AOB与△BOC的面积之和是（　　）

A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）计算的结果是 　 　．
12．（3分）在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，则AB边的长是　 　．
13．（3分）若|a﹣2|+＝0，则ab＝　 　．
14．（3分）如图，点P是∠AOB的角平分线上的一点，过点P作PC∥OA交OB于点C，PD⊥OA，若∠AOB＝60°，OC＝6，则PD＝　 　．

15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝4cm，点F从C出发，以1cm/s沿CB运动，点E从C出发，以相同的速度沿CD运动，GF⊥EF交AB于G，作矩形EFGH，当F点到达B点时停止运动，E点也随之停止运动，设运动时间为t秒，当阴影部分的面积为10时，t的值为 　 　．

16．（3分）如图，点E是线段BC上的一个动点，，且∠B＝∠C＝135°，则AE+DE的最小值是 　 　．

三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（6分）计算：
（1）
（2）
18．（6分）已知，求下列代数式的值：
（1）x2﹣2xy+y2；
（2）
19．（6分）如图，以平行四边形ABCD的边AB、CD为边，作等边△ABE和等边△CDF，连接DE，BF．求证：四边形BFDE是平行四边形．

20．（8分）已知一次函数y＝kx+4的图象经过点（﹣3，0）．
（1）求k的值；
（2）请在图中画出该函数的图象；
（3）已知A（2，0），P为图象上的动点，连接AP，则AP的最小值为 　 　．

21．（8分）我校在七、八年级举行了“新冠疫情防控”知识竞赛，从七、八年级各随机抽取了10名学生进行比赛（百分制）．测试成绩整理、描述和分析如下：
成绩得分用x表示，共分成四组：
A.80≤x＜85；B.85≤x＜90；C.90≤x＜95；D.95≤x≤100．
七年级10名学生的成绩：96，86，96，86，99，96，90，100，89，82．
八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：94，90，92．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
92
b
c
a
八年级
92
93
100
50.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　．
（2）这次比赛中哪个年级成绩更稳定？说明理由．
（3）我校八年级共800人参加了此次活动，估计参加此次活动成绩优秀（x≥90）的八年级学生人数是多少？

22．（9分）如图，矩形ABCD中，∠ABD、∠CDB的平分线BE、DF分别交边AD、BC于点E、F．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）当∠ABE为多少度时，四边形BEDF是菱形？请说明理由．

23．（9分）某超市销售10套A品牌运动装和20套B品牌的运动装的利润为4000元，销售20套A品牌和10套B品牌的运动装的利润为3500元．
（1）该商店计划一次购进两种品牌的运动装共100套，设超市购进A品牌运动装x套，这100套运动装的销售总利润为y元，求y关于x的函数关系式；
（2）在（1）的条件下，若B品牌运动装的进货量不超过A品牌的3倍，该商店购进A、B两种品牌运动服各多少件，才能使销售总利润最大？
24．（10分）在正方形ABCD中，E是CD边上一点（CE＞DE），AE，BD交于点F．
（1）如图1，过点F作GH⊥AE，分别交边AD，BC于点G，H．
求证：∠EAB＝∠GHC；
（2）AE的垂直平分线分别与AD，AE，BD交于点P，M，N，连接CN．
①依题意补全图形；
②用等式表示线段AE与CN之间的数量关系，并证明．

25．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝12cm，BC＝18cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为ts．
（1）CD边的长度为 　 　cm，t的取值范围为 　 　．
（2）从运动开始，当t取何值时，PQ∥CD？
（3）从运动开始，当t取何值时，PQ＝CD？
（4）在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQCD是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．


2022-2023学年湖南省衡阳县九峰中学八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1． 解：A、是最简二次根式，故本选项正确，符合题意；
B、＝2，不是最简二次根式，故本选项错误，不符合题意；
C、＝，不是最简二次根式，故本选项错误，不符合题意；
D、＝，不是最简二次根式，故本选项错误，不符合题意．
故选：A．
2． 解：A、，计算错误，不符合题意，选项错误；
B、，计算正确，符合题意，选项正确；
C、和不是同类二次根式，不能合并，计算错误，不符合题意，选项错误；
D、，计算错误，不符合题意，选项错误，
故选：B．
3． 解：A．3﹣＝2，故本选项不符合题意；
B．和不能合并，故本选项不符合题意；
C．÷
＝
＝
＝2，故本选项符合题意；
D．＝15，故本选项不符合题意；
故选：C．
4． 解：∵ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，
∵∠D＝53°，
∴∠B＝53°，
又∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝90°，
再根据三角形的内角和是180°，
∠BCE＝180°﹣∠B﹣∠BEC，
＝180°﹣53°﹣90°，
＝37°，
∴∠BCE的大小是37°．
故选：D．
5． 解：①、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故①符合题意；
②、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故②符合题意；
③、不能判定四边形ABCD是平行四边形，故③不符合题意；
④、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故④符合题意；
∴能判定四边形ABCD是平行四边形的有①②④
故选：B．
6． 解：A、对角线相等的菱形是正方形，不符合题意；
B、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，不符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，不符合题意；
D、对角线垂直平分且相等的四边形是正方形，符合题意；
故选：D．
7． 解：∵正比例函数y＝（2﹣m）x，y随x的增大而减小，
∴2﹣m＜0，
∴m﹣2＞0，
∴点（m﹣2，2﹣m）在第四象限，故D正确．
故选：D．
8． 解：∵AB＝CB＝13，BD⊥AC于点D且BD＝12，
∴AD＝CD＝＝＝5，
∵AE⊥BC，
∴DE＝AC＝CD＝5，
故选：C．
9． 解：在矩形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，
∵F，G分别是BE，CE的中点，
∴AF＝BE，DG＝CE，FG是△BEC的中位线，
∴FG＝BC，
∵AF＝3，DG＝4，FG＝5，
∴BE＝6，CE＝8，BC＝10，
∵BE2+CE2＝36+64＝100，BC2＝100，
∴BE2+CE2＝BC2，
∴△BEC是直角三角形，∠BEC＝90°，
∴S△BEC＝＝＝24，
∴矩形ABCD的面积＝2S△BEC＝2×24＝48，
故选：C．
10． 解：将△AOB绕点B顺时针旋转60°得△CDB，连接OD，
∴OB＝BD，∠OBD＝60°，CD＝OA＝4，
∴△BOD是等边三角形，
∴OD＝OB＝2，
∵OD2+OC2＝22+（2 ）2＝16，CD2＝42＝16，
∴OD2+OC2＝CD2，
∴∠DOC＝90°，
∴△AOB与△BOC的面积之和为S△BOC+S△BCD＝S△BOD+S△COD＝×22+×2×2＝3，
故选：A．

二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11． 解：法一、
＝|﹣2|
＝2；
法二、
＝
＝2．
故答案为：2．
12． （1）当AC、BC为直角边时，根据勾股定理得：
AC＝＝＝13，
（2）当BC为斜边，AC为直角边时，根据勾股定理得：
AB＝＝＝，
当答案为：13或．
13． 解：∵|a﹣2|+＝0，
∴a﹣2＝0，a+b＝0，
解得：a＝2，b＝﹣2，
故ab＝2×（﹣2）＝﹣4．
故答案为：﹣4．
14． 解：如图，过点P作PE⊥OB于E，
∵OP是∠AOB的角平分线，PD⊥OA
∴PE＝PD，
∵OP是∠AOB的角平分线，∠AOB＝60°，
∴∠AOP＝∠BOP＝30°，
∵PC∥OA，
∴∠OPC＝∠AOP，
∴∠BOP＝∠OPC＝30°，
∴PC＝OC＝6，∠PCE＝60°．
∴PE＝OC•sin60°＝3．
∴PE＝PD＝3
故答案为：3．

15． 解：在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝4cm，
∴CD＝AB＝6cm，AD＝BC＝4cm，∠B＝∠C＝90°，
∵点F从C出发，以1cm/s沿CB运动，点E从C出发，以相同的速度沿CD运动，运动时间为t秒，
∴CE＝CF＝tcm，BF＝（4﹣t）cm，DE＝（6﹣t）cm，
∴∠CEF＝∠CFE＝45°，，
∵矩形EFGH，
∴∠HEF＝∠EFG＝∠HGF＝90°，
∴∠BFG＝45°，∠HED＝45°，
∴∠BGF＝45°＝∠BFG，∠AGH＝45°，
∴BG＝BF＝（4﹣t）cm，
∴，AG＝AB﹣BG＝（t+2）cm，
过点H作HM⊥AG，HN⊥DE，垂足为：M，N，

则：∠HNE＝90°，∠HMG＝90°，
∴∠MHG＝45°＝∠MGH，∠NHE＝45°＝∠DEH，
∴NE＝NH＝EH＝（4﹣t）cm，HM＝MG＝GH＝tcm，
∴S阴影＝S矩形ABCD﹣S△ECF﹣S△GBF﹣S△AHG﹣S△DHE
＝
＝﹣2t2+8t+4，
当阴影部分的面积为10时，
10＝﹣2t2+8t+4，
解得：t1＝1，t2＝3，
∵当F点到达B点时停止运动，
∴0≤t≤4，
∴t1＝1，t2＝3，均满足题意；
故答案为：1或3．
16． 解：作点A关于线段BC的对称点F，连接BF，DF，DF交BC于点O，连接AO，过点F作FH∥BC，交DC的延长线于点H，过点D作DG⊥HF，交FH的延长线于点G，如图所示：
由轴对称的性质可知：∠ABC＝∠FBC＝135°＝∠DCB，AO＝FO，AB＝BF，
∴BF∥CH，
∵FH∥BC，
∴四边形BFHC是平行四边形，
∴FH＝BC＝4，BF＝CH＝AB，
∵，
∴，
当点E与点O重合时，则AE+DE的最小值即为FD的长，
∵FH∥BC，
∴∠FHC＝∠DCB＝135°，
∴∠DHG＝45°，
∵DG⊥HF，
∴∠DGH＝90°，
∴∠HDG＝45°＝∠DHG，
∴GH＝GD，
∴，
∴，
∴FG＝FH+GH＝6，
∴，
∴即AE+DE的最小值为；
故答案为：．

三．解答题（共9小题，满分72分）
17． 解：（1）原式＝
＝；
（2）原式＝
＝
＝5．
18． 解：（1）∵，
∴x2﹣2xy+y2
＝（x﹣y）2
＝
＝
＝12；
（2）∵，
∴，
，
∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝16﹣2×1＝14，
∴．
19． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝∠DCB，
∵△ABE和△CDF是等边三角形，
∴BE＝AE＝AB＝CD＝CF＝DF，∠BAE＝∠DCF＝60°，
∴∠DCB﹣∠DCF＝∠DAB﹣∠BAE，
即∠DAE＝∠FCB，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴DE＝BF，
又∵BE＝DF，
∴四边形BFDE为平行四边形．
20． 解：（1）∵一次函数y＝kx+4的图象经过点（﹣3，0）．
∴﹣3k+4＝0，
∴k＝；
（2）由函数y＝kx+4可知直线与y轴的交点为（0，4），


（3）作AP⊥BC于P，此时AP是最小值，
∵A（2，0），B（0，4），C（3，0），
∴BC＝5，AC＝5，
∵CA•OB＝，
∴5×4＝5AP，
∴AP＝4．
∴AP的最小值是4，
故答案为：4．
21． 解：（1）因为八年级A组有10×20%＝2人，B组有10×10%＝1人，C组有3人，
所以D组有4人，所以＝40%，即a＝40．
∵七年级10名学生的成绩：96，86，96，86，99，96，90，100，89，82．
从小到大排列：82，86，86，89，90，96，96，96，99，100，
所以第5个，第6个数据为：90，96，
∴中位数为＝93，
因为七年级学生成绩中96分有3个，出现的次数最多，所以众数c＝96，
故答案为：40，93，96；
（2）因为七八年级的平均数相等，根据已知条件可得，七年级成绩的方差为：
d＝[3×（96﹣92）2+2×（86﹣92）2+（99﹣92）2+（90﹣92）2+（100﹣92）2+（89﹣92）2+（82﹣92）2]＝34.6，
七年级成绩的方差为34.6，
∴34.6＜50.4，
七年级成绩的方差比八年级小，所以七年级的成绩更稳定．
（3）由题意得：八年级成绩大于或等于90分的有7人，
∴800×＝560（人），
答：参加此次调查活动成绩优秀的学生人数约为560人．
22． 证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC、AD∥BC，
∴∠ABD＝∠CDB，
∵BE平分∠ABD、DF平分∠BDC，
∴∠EBD＝∠ABD，∠FDB＝∠BDC，
∴∠EBD＝∠FDB，
∴BE∥DF，
又∵AD∥BC，
∴四边形BEDF是平行四边形；

（2）当∠ABE＝30°时，四边形BEDF是菱形，
∵BE平分∠ABD，
∴∠ABD＝2∠ABE＝60°，∠EBD＝∠ABE＝30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∴∠EDB＝90°﹣∠ABD＝30°，
∴∠EDB＝∠EBD＝30°，
∴EB＝ED，
又∵四边形BEDF是平行四边形，
∴四边形BEDF是菱形．
23． 解：（1）设每套A种品牌的运动装的销售利润为a，每套B品牌的运动装的销售利润为b元，
得，
解得：
∴y＝100x+150（100﹣x）＝﹣50x+15000，
∴y关于x的函数关系式为y＝﹣50x+15000；
（2）根据题意得：100﹣x≤3x，
解得：x≥25，
∵y＝﹣50x+15000，﹣50＜0，
∴y随x的增大而减小．
∵x为正整数，
∴当x＝25时，y取得最大值，
此时100﹣x＝75，
∴超市购进25套A品牌运动装和75套B品牌运动装才能获得最大利润．
24． （1）证明：在正方形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，
∴∠AGH＝∠GHC．
∵GH⊥AE，
∴∠EAB＝∠AGH．
∴∠EAB＝∠GHC．
（2）①补全图形，如图所示．

②证明：连接AN，连接EN并延长，交AB边于点Q．
∵四边形ABCD是正方形，
∴点A，点C关于BD对称．
∴NA＝NC，∠BAN＝∠BCN．
∵PN垂直平分AE，
∴NA＝NE．
∴NC＝NE．
∴∠NEC＝∠NCE．
在正方形ABCD中，BA∥CE，∠BCD＝90°，
∴∠AQE＝∠NEC．
∴∠BAN+∠AQE＝∠BCN+∠NCE＝90°．
∴∠ANE＝∠ANQ＝90°．
在等腰Rt△ANE中，
∴AE＝NE＝CN．
25． 解：（1）如图1，过点D作DH⊥BC于H，
∴∠CHD＝90°，
∵∠B＝90°，
∴∠B＝∠CHD，
∴DH∥AB，
∵AD∥BC，
∴四边形ABHD是平行四边形，
∴DH＝AB＝8cm，BH＝AD＝12cm，
∴CH＝BC﹣BH＝6（cm），
根据勾股定理得，CD＝＝＝10（cm），
∵点P在AD上运动，
∴0≤t≤12，
∵点Q在BC上运动，
∴0≤t≤9，
故答案为：10，0≤t≤9；

（2）当PQ∥CD时，∵PD∥CQ，
∴四边形PQCD是平行四边形，
∴DP＝CQ，
∴12﹣t＝2t，
∴t＝4；

（3）如图2，
过点Q作QG⊥AD于G，则四边形ABQG是矩形，
∴QG＝AB＝8cm，AG＝BQ，
∵BQ＝BC﹣CQ＝（18﹣2t）cm，
∴PG＝|AG﹣AP|＝|18﹣2t﹣t|＝|18﹣3t|cm，
∵PQ＝CD＝10cm，
根据勾股定理得，82+（18﹣3t）2＝102，
∴t＝4或t＝8，
故答案为4或8；

（4）∵不存在，理由：
∵四边形PQCD是菱形，
∴CQ＝CD，
∴2t＝10，
∴t＝5，
此时，DP＝AD﹣AP＝12﹣5＝7（cm），
而DP≠CD，
∴四边形PQCD不可能是菱形．