2023届陕西省西安市陕西师范大学附属中学高三三模理科数学试题

陕西师大附中2022-2023学年度高三年级第十次模考

数学（理科）  试题

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．答案均写在答题纸上，满分分，时间分钟．

  2．答卷前将答题卡上的姓名、班级、考场填写清楚，并检查条形码是否完整、信息是否准确．

3．答卷必须使用的黑色签字笔书写，字迹工整、笔迹清晰．并且必须在题号所指示的答题区内作答，超出答题区域的书写无效．

第 Ⅰ 卷（选择题  共60分）

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分， 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1.设集合，则（   ）

2.已知复数满足：（其中为虚数单位），则复数在复平面上对应的点位于（    ）

第一象限             第二象限           第三象限          第四象限

3.“”是“直线与直线互相垂直”的（ ）

充分不必要条件    必要不充分条件    充要条件 既不充分也不必要条件

4.十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础，著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段，记为第1次操作：再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作：；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段；操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若第n次操作去掉的区间长度记为，则（   ）                                                

5.某滑冰馆统计了某小区居民在该滑冰馆一个月的锻炼天数，得到如图所示的频率分布直方图（将频率视为概率），则下列说法正确的是（   ）

该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数在区间内的最少

估计小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的平均值为15

估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的中位数为16

  估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数超过15天的概率为0.465

6.已知数列为等差数列，且，则（   ）

7．函数的图象可能为（   ）

8.抛物线的焦点为,过且斜率为的直线与抛物线交于两,点为抛物线上的动点,且点在的左侧,则的面积的最大值为（   ）

9．已知函数在区间内单调且，在区间内存在最值点，则当取得最大值时，满足的一个值可能为（    ）

10．下列结论正确的是（    ）

11．已知双曲线，，为的左、右焦点，，直线与的一支交于点，且，则的离心率最大值为（    ）

 2  

12．截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图所示，将棱长为的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面，得到所有棱长均为a的截角四面体，现给出下列四个命题：①二面角的余弦值为；②该截角四面体的体积为；③该截角四面体的外接球表面积为 ④该截角四面体的表面积为，则其中正确命题的个数为（ ）

第 Ⅱ 卷（非选择题 共90分）

二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分．把答案填在答题卷中相应的横线上．）

13．的展开式中含项的系数为30，则实数a的值为___________．

14．在直四棱柱中，，，M，N在棱，上，且，，过的平面交于G，则截面的面积为______．

15．在平面直角坐标系中，圆和外切形成一个8字形状，若，为圆M上两点，B为两圆圆周上任一点（不同于点A，P），则的最大值为______．

16．如图，从点(0,0)作x轴的垂线交于曲线于点(0,1)，曲线在点Q1处的切线与x轴交于点.再从作x轴的垂线交曲线于点，依次重复上述过程得到一系列点:，，，，…，，，记点的坐标为，()依次连接点，，…，，得到折线…，则该折线与直线，，，围成的面积为=___________.

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17.(本小题满分12分) 在中，角的对边分别为，已知．

(1)求角的大小；

(2)若的角平分线交于点，且，求的最小值．

18．(本小题满分12分)

如图一， 是等边三角形，为边上的高线，分别是边上的点，；如图二，将沿翻折，使点到点的位置，.

(1)求证：平面；

(2)求二面角的正弦值.

19．(本小题满分12分)

已知椭圆经过点，过点的直线交该椭圆于P，Q两点.

（1）求面积的最大值，并求此时直线的方程；

（2）若直线与x轴不垂直，在x轴上是否存在点使得恒成立？若存在，求出s的值；若不存在，说明理由.

20．(本小题满分12分)

为响应习近平总书记“全民健身”的号召，促进学生德智体美劳全面发展，某校举行校园足球比赛．根据比赛规则，淘汰赛阶段，参赛双方有时需要通过“点球大战”的方式决定胜负．“点球大战”的规则如下：

①两队各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜；

②如果在踢满5轮前，一队的进球数已多于另一队踢满5轮最多可能射中的球数，则不需要再踢（例如：第4轮结束时，双方“点球大战”的进球数比为，则不需要再踢第5轮）；

③若前5轮“点球大战”中双方进球数持平，则从第6轮起，双方每轮各派1人踢点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮，直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜出．

假设每轮点球中进球与否互不影响，各轮结果也互不影响．

（1）假设踢点球的球员等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确，左右两边将球扑出的可能性为，中间方向扑出的可能性为．若球员射门均在门内，在一次“点球大战”中，求门将在前4次扑出点球的个数的分布列和数学期望．

（2）现有甲、乙两队在淘汰赛中相遇，需要通过“点球大战”来决定胜负．设甲队每名队员射进点球的概率均为，乙队每名队员射进点球的概率均为，若甲队先踢，求甲队恰在第4轮取得胜利的概率．

21．(本小题满分12分)

已知函数，其中.

(1)求函数的最小值，并求的所有零点之和;

(2)当时，设，数列满足，且，证明:.

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写．

22．(本小题满分10分)选修：坐标系与参数方程选讲．

在平面直角坐标系中，直线过点，倾斜角为.以原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：．

(1)求直线的参数方程与曲线的直角坐标方程；

(2)若直线与曲线相交于两点，为中点，且满足成等比数列，求直线的斜率．

23．(本小题满分10分)选修：不等式选讲．

已知函数.

（1）若不等式有解，求实数的最大值；

（2）在（1）的条件下，若正实数满足，证明：.