四川省大数据精准教学联盟2023届高三第二次统一监测文科数学试题（含解析）

四川省大数据精准教学联盟2023届高三第二次统一监测文科数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．复数的虚部是（    ）

A．5 B． C． D．

2．已知全集为实数集R，集合，，则（    ）

A． B． C． D．

3．居民消费价格指数（Consumer Price Index，简称CPI）是度量居民生活消费品和服务价格水平随着时间变动的相对数，综合反映居民购买的生活消费品和服务价格水平的变动情况．下图为我国2022年1月~2023年3月CPI同比（与去年同月对比）涨跌幅统计图．

下列分析中，最为恰当的一项是（    ）

A．各月CPI同比涨跌幅的极差大于

B．各月CPI同比涨跌幅的中位数为

C．2022年上半年CPI同比涨跌幅的方差小于下半年CPI同比涨跌幅的方差

D．今年第一季度各月CPI同比涨跌幅的方差大于去年第一季度各月CPI同比涨跌幅的方差

4．如图，在正中，点为边上一点，且，则实数（    ）

A． B． C． D．

5．如图所示的网格中小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（    ）

A．9 B．18 C．27 D．54

6．函数在上的图象大致为（    ）

A．   B．  

C．   D．  

7．若为锐角，且，则（    ）

A． B． C． D．

8．已知数列满足，则的通项公式为（    ）

A． B．

C． D．

9．已知三棱锥各顶点均在以为直径的球面上，，是以为斜边的直角三角形，则当面积最大时，该三棱锥体积的最大值为（    ）

A． B． C． D．

10．已知点，分别为双曲线：的左、右焦点，点是双曲线的一条渐近线上一点，且.若的面积为，则双曲线的实轴长为（    ）

A． B．1 C．2 D．4

11．“勾股树”，也被称为毕达哥拉斯树，是根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形.如图所示，以正方形的一边为直角三角形的斜边向外作一个等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两直角边为正方形的边长向外作两个正方形，如此继续，若共得到127个正方形，且，则这127个正方形中，最小的正方形边长为（    ）

A．1 B． C．2 D．

12．若，则a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

13．若x，y满足约束条件，则的最大值为________．

14．为迎接大运盛会，全力争创全国文明典范城市，全面提升城市文明程度和市民文明素养.某社区随机选取了10名市民走访，并对其回答情况评分，结果分别记为，，，，，，，，，.则按如图的程序框图运行，输出的为______.

15．抛物线有一条重要的光学性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.已知抛物线：，一条光线从点沿平行于轴的方向射出，与抛物线相交于点，经点反射后与交于另一点，则的面积为______.

16．已知函数的定义域为，若，均为奇函数，则______.

三、解答题

17．党的二十大报告提出，从现在起，中国共产党的中心任务就是团结带领全国各族人民全面建成社会主义现代化强国、实现第二个百年奋斗目标，以中国式现代化全面推进中华民族伟大复兴.高质量发展是全面建设社会主义现代化国家的首要任务.加快实现高水平科技自立自强，才能为高质量发展注入强大动能.某科技公司积极响应，加大高科技研发投入，现对近十年来高科技研发投入情况分析调研，其研发投入（单位：亿元）的统计图如图1所示，其中年份代码、、、分别指年、年、、年.

现用两种模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程，并进行残差分析，得到图2所示的残差图.结合数据，计算得到如下值：

表中，.

(1)根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；

(2)根据（1）中所选模型，求出关于的回归方程；根据所选摸型，求该公司年高科投研发投入的预报值.（回归系数精确到）.

附：对于一组数据、、、，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.

18．已知中，角，，的对边分别为a，，c，点为边的中点，，.

(1)求的值；

(2)求的周长.

19．如图所示，直角梯形和三角形所在平面互相垂直，，，，，异面直线与所成角为45°.

(1)求证：平面平面；

(2)若点在上，当面积最小时，求三棱锥的体积.

20．已知椭圆：的离心率为，，分别为椭圆的左、右顶点，，分别为椭圆的左、右焦点，点是以为直径的圆上除去，的任意一点，直线交椭圆于另一点.

(1)当点为椭圆的短轴端点时，原点到直线的距离为1，求椭圆的标准方程；

(2)求的最小值.

21．已知函数.

(1)若单调递增，求a的值；

(2)判断（且）与的大小，并说明理由.

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），．以为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

(1)求的直角坐标方程；

(2)已知点，设与的交点为，．当时，求的极坐标方程．

23．已知a，b，c为正数，且．

(1)是否存在a，b，c，使得？若存在，求a，b，c的值；若不存在，说明理由．

(2)证明：．

参考答案：

1．B

【分析】根据题意，由复数的运算即可得到结果.

【详解】由，所以其虚部为.

故选：B.

2．C

【分析】先求出集合，然后直接运用集合的交、补运算即可得结果.

【详解】因为，，

所以，.

故选：C.

3．D

【分析】根据统计图，判断极差范围，可判断A；结合中位数概念可判断B；根据统计图判断涨跌幅的变化幅度的大小，可判断C，D.

【详解】由统计图可知各月CPI同比涨跌幅的最小值大于，最大值小于，

故极差不超过，A错误；

各月CPI同比涨跌幅的中位数为将这15个数据从小到大排列的第8个数。

由统计图可知第8个数为2022年4月或5月11月中的一个，接近于，B错误；

由统计图可知2022年上半年CPI同比涨跌幅的变化幅度较大，

下半年CPI同比涨跌幅的变化幅度较小，

故2022年上半年CPI同比涨跌幅的方差应大于下半年CPI同比涨跌幅的方差，C错误；

由统计图可知今年第一季度各月CPI同比涨跌幅的变化幅度明显大于去年第一季度各月CPI同比涨跌幅的变化幅度，

故今年第一季度各月CPI同比涨跌幅的方差大于去年第一季度各月CPI同比涨跌幅的方差，D正确；

故选：D

4．C

【分析】根据题意，过点，作，交于点，作，交于点，然后结合平面向量的线性运算，即可得到结果.

【详解】

如图，过点，作，交于点，作，交于点，

由知，所以，故，

所以，而，所以.

故选:C

5．C

【分析】首先由三视图还原几何体，再求表面积.

【详解】由三视图可知，平面，且，，，,

因为平面平面，平面平面，，

所以平面，平面，所以，

,

所以该几何体的表面积

.

故选：C

6．A

【分析】首先判断函数的奇偶性，即可排除C、D，再由特殊值排除B，即可判断.

【详解】因为，，

则，

所以为偶函数，函数图象关于轴对称，故排除C、D；

又，由于，所以，故排除B；

故选：A

7．D

【分析】利用同角三角函数的关系和两角和的正弦公式计算.

【详解】由为锐角，且，所以，则

.

故选：D

8．B

【分析】由题中等式，可得，再结合时，可得.

【详解】当时，有，所以，

当时，由，，

两式相减得，

此时，，也满足，

所以的通项公式为.

故选：B.

9．A

【分析】由基本不等式，面积最大时的外接圆半径为，中边上的高为，的最大值等于，可求三棱锥体积的最大值.

【详解】如图，设为的外心，则为的中点，又设，中边上的高为.

由已知，，，

当且仅当等号成立，即当时，面积取得最大值4.

此时，.

显然，的最大值等于，故，即三棱锥体积的最大值为.

故选：A

10．B

【分析】先求出双曲线的渐近线方程，由的面积求出，进一步计算实轴长即可.

【详解】双曲线的渐近线方程为.如图，由，知，

过点作于点，则，，

因为，所以.

由，得，

故双曲线的实轴长为1.

故选：B.

11．C

【分析】由题意可得不同边长的正方形的个数，构成以1为首项，2为公比的等比数列，从而可得小正方形的种类数，再由正方形的边长构成以16为首项，为公比的等比数列，即可得到结果.

【详解】依题意，不同边长的正方形的个数，构成以1为首项，2为公比的等比数列，所以，即，解得，即有7种边长不同的正方形；又正方形的边长构成以16为首项，为公比的等比数列.

因此，最小的正方形边长.

故选:C

12．A

【分析】根据题意，设，然后构造，由导数研究函数的最小值，即可得到结果.

【详解】不等式，即，

所以.设，则，

可知时，，单调递减；时，，单调递增，

所以.

令，则.

当时，，单调递增，则，

则，故满足条件；

当时，则在上单调递减；在上单调递增，则，

设，则，则在单调递减，又，所以，则，

综上所述，的取值范围是.

故选：A

【点睛】解答本题的关键在于，先换元令，然后构造函数，得到其最值，即可得到结果.

13．

【分析】首先画出可行域，再根据目标函数的几何意义，找到最优解，代入即可求解.

【详解】如图，画出可行域，表示斜率为的一组平行线，当时，

首先画出初始目标函数，当平移至点时，取得最大值，

联立，得，，即，即.

故答案为：

14．7

【分析】读出程序框图的功能，即可得到输出值.

【详解】根据程序框图可知，是统计这个评分中大于或等于分的个数，则有个，

所以输出的为.

故答案为：

15．/0.625

【分析】由抛物线的光学性质知直线过焦点，得出的直线方程，与抛物线联立求解点的坐标，再得出的面积.

【详解】如图，

依题意，由抛物线的光学性质知直线过焦点.而，，

则：，设，.

由，得.

所以，.则.

故答案为：.

16．210

【分析】因为，为奇函数，所以关于点与点对称，又，，利用赋值法得出规律求得结果.

【详解】因为为奇函数，则，即，

所以关于点对称，且；

又为奇函数，则，

所以，故关于点对称，且.

于是，则；，则；，则，…，，

所以.

故答案为：210.

17．(1)选模型②比较合适，理由见解析

(2)回归方程为，该公司年高科投研发投入的预报值为亿元

【分析】（1）根据残差点的分布可得出结论；

（2）令，可得出，利用参考数据可求出、的值，求出关于的回归方程，然后将代入回归方程，可得出该公司年高科投研发投入的预报值.

【详解】（1）应该选择模型②，理由如下：

由于模型②残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄，

所以模型②的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，故选模型②比较合适.

（2）根据模型②，令，研发投入与可用线性回归来拟合，所以.

则，所以，

则关于的线性回归方程为，

所以关于的回归方程为.

年，即时，（亿元），

所以该公司年高科技研发投入的预报值为（亿元）.

18．(1)

(2)

【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角互化化简，再由三角恒等变换公式即可得到结果；

（2）根据题意，在与中，分别由余弦定理列出方程，即可得到，从而得到结果.

【详解】（1）因为，

由正弦定理得，，

又，

所以，

所以，

所以，又，所以.

（2）

在中，设，，则，

在中，由余弦定理有，

即，①

在中，由余弦定理有，

即，②

联立①②得，，，即，.

所以的周长.

19．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由异面直线与所成角，得出，则，再由面面垂直得出线面垂直，再证得面面垂直.

（2）取中点，面积最小时，线段最短. 当点为中点时，，线段最短. 求此时三棱锥的体积即可.

【详解】（1）证明：因为，

所以为锐角.

因为，

所以为异面直线与所成角，

所以.

所以为等腰直角三角形，所以.

则.

因为平面平面，，平面平面，平面，

所以平面，，

所以平面.

因为平面，

所以平面平面.

（2）取中点，连接，.如图：

因为，，，

所以.

因为，所以.

所以，.

所以，.

所以面积最小时，线段最短.

因为，，

所以当点为中点时，，线段最短.

因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面.

此时，.

20．(1)

(2)

【分析】（1）为椭圆的短轴端点时，，根据等面积法，解得，又根据椭圆性质，解得的值，即可得出结果.

（2）解设出直线，分别与圆和椭圆联立方程得出和点坐标，然后直接表示关于的式子，求其最小值即可.

【详解】（1）因为当点为椭圆的短轴端点时，

，所以，.

所以.

因为，解得.

所以椭圆的标准方程为.

（2）由题设直线的方程为，

由，得，

，

解得或（舍），则，即.

由，得，则.

即，.即，

所以，

当且仅当，即时等号成立.

所以的最小值为.

【点睛】关键点睛：本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量的坐标运算，考查计算能力，属于中档题.

21．(1)1

(2)，理由见解析

【分析】（1）根据题意，由单调递增，转化为恒成立，然后分，，讨论，即可得到结果；

（2）根据题意，由（1）可得时，，然后再由放缩，裂项即可得到结果.

【详解】（1）由得，，

由于函数单调递增，则恒成立，

设，则，

当时，，可知时，，不满足条件；

当时，，单调递增，

又，即，不满足条件；

当时，令，得，

则时，，单调递减，时，，单调递增，

所以时，取得极小值，

由，得，

令，则，

可知时，，单调递增；时，，单调递减，

则，由于恒成立，

所以，，当且仅当时取等号，

故单调递增时，的值为1.

（2）.

理由如下：

由（1）可知，当时，，即有，

则时，，

故当且时，

，

因为时，，

所以，

则，

所以，.

【点睛】关键点睛：本题主要考查了导数的单调性以及极值最值问题，解题关键在于利用好两个重要函数不等关系式：

1.当时，有，当时，取等号；

2.当时，，当时，取等号.

22．(1)

(2)

【分析】（1）根据将极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）将曲线的参数方程代入的直角坐标方程，根据的几何意义可设，，列出韦达定理，由求出，即可求出的普通方程与极坐标方程.

【详解】（1）因为曲线的极坐标方程为，即，

因为，所以，

所以的直角坐标方程为.

（2）将曲线的参数方程为（为参数）代入的直角坐标方程，

整理得，

由的几何意义可设，，

因为点在内，所以方程必有两个实数根，

所以，，

因为，

所以，

因为，所以，即，所以的普通方程为，

则的极坐标方程为.

23．(1)不存在，理由见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）使用柯西不等式可直接求解；

（2）先利用基本不等式并结合把化成，再利用基本不等式“1”的代换即可证明.

【详解】（1）不存在，理由如下：

由柯西不等式得，

所以（当且仅当，即时取等号），

所以不存在a，b，c，使得.

（2）因为a，b，c为正数，所以由基本不等式得（当且仅当时都取等号），

所以

，（当且仅当时取等号）

又，

所以

（当且仅当时取等号），

所以.