六年级上数学教学实录数学广角数与形_人教新课标

六年级上数学教学实录-数学广角数与形人教新课标

一、谈话导入

1、师：同学们，我们学过了哪些数学知识？

生：分数乘法。

师：这是关于数的知识。

生：我们学过小数乘法。

师：这也是关于数的知识。

生：我们学过长方体正方体的体积。

师：这是关于形的知识。

生：我们学过比。

师：这是关于数的知识。

生：我们还学过奇数偶数。

师：这也是关于数的知识。

（将以前学过的知识进行整理，都可以分为“数”和“形”两类）

2、图片欣赏。

师：让我们来看一幅图片，图片中有什么？

生：花坛。

师：说具体点。

生：一个正方形花坛。

师：在这句话中就既有数、又有形。

（演示：数：一个 形：正方形 物： 花坛）

师小结：（录音中不包括）

二、探究新知。

1、从1开始的n个连续奇数相加的和是多少？

师：n个是几个？

生：无数个。

师：这个n代表多少？可以代表300吗？

生：可以。

师：有可能是300个，有没有可能是30个？有没有可能是3个？也就是说，它的个数是不固定的。那它的个数不固定，它的和呢？

生：也不固定。

师：可见这个和必定和这个n有关系。那它到底有什么联系呢？怎么才能知道它有什么联系？

师：你有方法吗？想一想你有没有好的思路？

生：可以自己先算一算。

师：怎么算？

生：先算出10个，然后再进行推算。

师：真好。他的意思是把n先假定在10个以内，对吗？很好的策略。复杂的问题往往要从简单的开始。那我们就听你的，把n的个数假定在10个以内，举一些例子来看一看他们有什么联系。几个最简单？

生：1个。

师：1个最简单，那我们来看。如果有1个这样的奇数那算式也只能是1，和也是1。

师：如果有两个这样的奇数相加，那算式应该是什么样子的？

生：1+3

师：对吗？和呢？

生：4

师：它们是不是有联系？继续。3个。

生：1+3+5

师：同意吗？和呢？

生：9

师：再来一个。

生：1+3+5+7

师：同意吗？和是？

生：16.

师：我想是不是有同学观察到了什么？你有什么发现？先在小组说说你的发现，关键是下面的算式是不是都有这个规律？任选一个验证一下。

师：（巡视指导）任选一个验证一下，看看下面的算式是不是也有这样的规律，规律应该是有连续性的。

2、小组汇报交流。

师：同学们有发现吗？谁来说一下你有什么发现。

生：每个后面的数都是加2，而且都是奇数。

生：后面得的这个数都是前面这个数的平方倍。

师：你能找一个数解释一下吗？

生：5，算式是1+3+5+7+9=25

师：那你说一下5和25的关系。

生：25是5的平方倍。

师：25是5的平方。你们有没有这样的发现？你们验证的是哪一个？

生：我们验证的是6.

师：6，6个这样的奇数相加是多少？

生：36.

师：算式是1+3+5+7+9+11=36，也有这个规律。那大家再来看这些是不是都有这个规律？为了便于观察，我们可以将算式先隐藏起来，大家看一看，确认一下，有这个规律吗？

3、小结。

师：按照刚才这个同学的说法，当有1个这样的奇数相加的时候，它的和就是1×1；也就是1的平方；当有2个这样的奇数相加，它的和4就是2的平方；9呢？3的平方；16呢？4的平方；25呢？5的平方。依次这样下去，看来真的有这样的规律。以此类推，如果有20个这样的连续奇数相加，你觉得它的和应该是多少？

生：400.

师：怎么算的？

生：20×20=400

师：那如果有100个这样的连续奇数的和应该是多少？

生：100×100=10000.

师：以此类推，如果有n个这样连续奇数相加的和应该是多少？

生：n的平方。

师：齐读。

生：从1开始的n个连续奇数相加的和是n的平方。

师：这个规律有意思吗？从1开始的几个连续奇数，它的和竟然可以用它的个数的平方来算。你觉得奇怪吗？你不奇怪能不能来解释一下？为什么这样连续奇数相加是它的和可以用个数的平方来算？

生：比如说5，就是5个数相加，它的和就是5的平方。

生：可以用简便算法来试试。10个连续奇数，可以看做是1+19,3+17,5+15,7+13,9+11，就是5个20相加。

师：你用了另一种算法，但是仍然不能解释为什么它们的和要用个数的平方来算。

4、小组交流。

师：说实话，同学们，如果这个道理从数的道理来解释，还真的不太好解释，那该怎么办？华罗庚说过：“不懂就画图”，我们为了让大家听得更清楚，老师准备了一幅画，我们来拼图。我来做个示范。哪个最简单？

生：1

师：我用1个红色的正方形来代表1，1行而且1个，1乘1还是1，下一个1+3,你能用这样的图形来表示出来吗？拼出个1+3行不行？大家小组内都有这样的小正方形，拼一拼。

（巡视指导）

5、小组展示。

师：请问，这可以表示1+3吗？（指着横排成一排的）

师：“1”在哪里？（红色）“3”呢？（黄色）这个是不是可以表示1+3？

师：这个正方形可以表示1+3吗？

生：可以。

师：“1”在哪里？（红色）“3”呢？（黄色）。这都表示1+3.关键是我们不光是能够表示1+3，还要解释1+3为什么用2×2来算。那哪一个图形既能表示1+3，又能表示2×2呢？

师：说一说，2×2在哪里？

生：每行有两个，有两个2，就是2×2。

师：有两列，而且有两行，就表示2×2。看来，拼成正方形，就可以表示从1开始的这样的连续奇数相加，还可以表示一个数的平方。这样的1+3是不是也可以用2×2来算？那下一个，1+3+5又该怎么拼?你来试试看。

（学生拼图：1+3+5，教师巡视。）

6、

师：大家看，你们拼成一个正方形了吗？我看到大家拼的正方形的样子都不太一样，颜色的排列不同，这位同学排的好不好？好在哪里？

生：最小的数量在最里面，中间的数量在中间，最大的数量在最外边。

师：对，大家虽然都拼成了正方形，但是我们数学上要讲究顺序、规律、条理，这位同学拼的非常好。这样，你能解释1+3+5用3的平方来算呢？

生：因为他们横着竖着都是三个。

师：横着每行有三个，而且有三行，所以可以用3的平方来计算。那1+3+5+7你会拼了吗？方块已经没有了，让我们来想一想，如果在这个（1+3+5）的基础上再加上7个，你觉得这7个可以怎么摆？

生：按照原来的方法再摆一层。

师：继续想，拼完之后又是什么图形？

生：正方形。

师：这个正方形的每条边上有几个小方块？有几行？（课件演示不同的颜色），这些不同的颜色分别表示几？为什么1+3+5+7可以用4的平方来算？

生：因为这几个不同颜色的方块拼在一起就组成了大大的正方形，这个正方形可以拼成4行，每行有4个，可以用4的平方来计算。

师：同学们，如果继续这样拼下去，再加上一个奇数，9，现在有几个奇数？而且小正方形每条边上的个数也变成5个，而且有这样的5行，所以它的和可以用5的平方来算。那，继续这样拼下去，再增加一个奇数，11，它的总和可以用6的平方来算。再来一行呢？可以用7的平方，以此类推，如果有n个这样的连续奇数，那就可以用n的平方来算。

师：这个规律你现在弄明白了吗？我们是怎么弄明白的？

生：在我们不懂得时候就可以用形状来解。

生：形可以很简便的了解不会的问题。

7、小结

师：是的，数是很抽象的，很多道理我们需要借助形的力量来理解，把数化成形之后，可以使复杂的数量关系变得更加的清楚、明白，我们把这样的过程叫做“化数为形”，然后以形来助数，帮助理解数量关系。

8、

师：那数的规律可以借助图形来帮助思考，那形的变化背后是不是也隐藏着数的规律呢？

师：我来口述一个问题，大家来思考。有一种桌子，四面坐人可以坐8个人，如果两个桌子拼到一起就可以坐12个人，3张桌子拼到一起可以坐16个人，这样的100张桌子拼到一起可以坐多少个人？

师：你听懂了吗？其实这个事挺简单的，但是用话说却说不明白，你们有没有好的方法？

生：画图。

师：如果画出来的话，（课件演示）1张桌子可以坐8个人，2张桌子可以坐12个人，3张桌子可以坐16个人，100张桌子可以坐多少人？小组讨论交流，把答案写在作业纸上。

（小组讨论交流。）

师：小组同学来说一说你们的做法。

师：请你借助图形来说一说你为什么这样做？

生：我们组算的是一共有404人。100张桌子拼在一起，这一边也就是它的长边一共有400个人，再加上两头有4个人，一共有404人。

生：它每张桌子的两边坐4个人，他有100张桌子，再加上边上就是它的宽分别坐2人，400+4=404人。

师：算式就是100×4,100×4的意思就是每张桌子两边都坐4个人，100张桌子就做400个人，旁边还有4人，所以需要在加上4，等于404人。

师：还有其他做法吗？

生：我们小组是这样想的，把第一张桌子去掉的话，每增加一张桌子就增加4个人，8+4×99=404人。

师：算式是这样的，8先不看，多了99张桌子，每多一张桌子就多4个人，所以多了4×99这些人，然后再加上8人等于404人

师：我想问一下，这是一个图形的问题，为什么你们不去画图，却用数来算呢？

生：老师我感觉画图太麻烦了，因为它有100张桌子。

师：对，画图太麻烦了，这时候需要借助数的力量，把形的计算问题用数来做会更加的快速、简便而且准确。那我们把这样的过程叫做化形为数，然后以数来解形。（板书）

师：同学们，回顾这两个例子，在第一个例子当中，数的问题可以借助图形来思考，而第二个例子当中，形的知识可以借助数来计算，数和形各有优点，它们一一对应而且可以互相转化，互为补充，这就意味着要求我们在解决问题的时候要把数和形结合起来，这在数学上是一种重要的思想，就叫“数形结合思想”。

师：对于“数形结合”，我国数学家华罗庚先生有一段话非常好。让我们一起读一遍：

生：数缺形时少直觉，形缺数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。

师：数形结合百般好，可是怎样做到数与形的结合呢？我想，这既然是一种思想，那我们还是要落脚到这两个数上，“思”和“想”，也就是要见“数”思“形”，见“形”想“数”。 试试你能不能够做到。

9、巩固练习

师： 有这样一道算式（3×2），你能够想到什么图形？

生：我能想到一个长方形。

师：为什么？

生：因为可以想象它的长是3，高是2,6就是他们的面积。

师：大家说有没有道理？可见数的变化背后却是隐藏着形。

师：再来看，这是一位同学画的一副图形，它用来表示一个数，你觉得它是那一个数呢？

生：我觉得是3.5，因为前面它画的三根一样的线表示3个整数，后边画了前面一根线的二分之一，所以变成3.5

师：有没有道理？它可以表示35吗？

生：可以

师：为什么可以？

生：比如说他前面三个整数可以想象一个整数为10，然后就是35.

师：有这样一个数量关系，一袋大米中60千克，吃了四分之三，你能够想到用什么图形来表示它？

生：我想到用一个边长为4厘米的的长方形来表示。

生：把一个长方形平均分成四份，每份是1厘米。

师：那即是说把它平均分成4份，吃了的是3份。

10、

师：这样一个图形，你会想到是几的平方？为什么？

生：因为这个正方形边长均为3，

师：边长为3可以用3的平方来表示，我们把3的平方还原成像第一张那样几个连续奇数的相加这个算式，这应该是什么样子的？

生：1+3+5

师：那这样的一个算是又可以用几的平方来表示？

生：应该是4的平方，因为把它倒过来后就等于1+3+5+7,所以可以用4的平方来表示，

师：那4的平方你又能想到什么图形？

生：可以想象出一个正方形。

师：多大的正方形？

生：边长为4的正方形。

师：如果把上边的算式合起来，和应该是多少？

师：想一想，3的平方等于几？4的平方等于几？9+16=25，是5的平方

师：5的平方你又能想到什么图形？

生：边长都是5厘米的正方形。

师：大家看，一个有趣的算式出现了，3的平方加4的平方等于5的平方，这个有趣的算式背后还隐藏着有趣的图形，大家看，直角三角形它的一条直角边如果是3，另一条直角边是4，那他的斜边就一定是5，这是我们初中要学的一个重要的定理，叫做勾股定理。

师：大家看，数形结合的思想不但从小学阶段一直在陪伴着我们，更重的是对于我们初中乃至以后的学习有着十分重要的意义，我想，这也正是我们为什么要在这里讲这样一节课的目的和价值所在。下面给大家介绍一些有意思的数。

像当中的这些书化成图形都是正方形，我们就把这样的数叫做“正方形数”；按照这样的叫法，这些数叫做“三角形数”；这些可以叫“梯形数”这些呢？“五边形数”，像这样的数还有很多。我们现在再来感受一下这些数。你觉得这些数它还只是数吗？它有形状吗？这些形它还只是形吗？它有数吗？数和形，形和数能分得开吗？所以数学上也没把他们分开，我们就把这样有形状的数叫做“形数”，知道形数是谁发现的吗？他叫“毕达哥拉斯”，他有一个著名的理论，他认为世界上万事万物的背后都隐藏着数的规律，它还举了一个例子，1可以用1个点来表示，2用两个点来表示，那它就可以练成一条线，3个点就可以炼成一个平面，不同平面的4个点连在一起，他就是一个立体图形。大家想，世界上的万事万物背后，是不是都是以或点、或线、或面、或体这样的形式存在的，所以他们认为，“万物皆数”。

这节课马上就要结束了，老师问问大家，学完这一节课后你有什么体会？或者说你对于数和形的认识有没有发生一些改变？

生：数和形它们两个是不能相离得的。

师：你以前是怎么认识的？

生：我以前认为给我一个数我就去想他做题的答案。

生：我以前认为光用一个数就能解开一个题，现在我知道了数和形是形影不离的。

师：接着这位同学的话来说，如果把你们以前那种认识归结为“看形是形、看数是数”的话，那只是数学学习的第一境界；那你觉得第二境界应该是什么样子的？“看形不是形，看数不是数”。 看形不是形，是什么？看数不是数是什么？也就是说，数形要结合。

下课！