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【全套专题】初中数学同步 7年级上册 第14讲 角（含解析）
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这是一份【全套专题】初中数学同步 7年级上册 第14讲 角（含解析），共26页。
第14讲 4.3 角
1. 掌握角的定义、表示及度量；
2. 理解并掌握角的性质及角的平分线的定义；
3. 互余和互补的性质.
知识点01 角的定义、角的表示及角的度量
角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条射线叫做这个角的边。或：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的。
角的表示：
①用数字表示单独的角，如∠1，∠2，∠3等。
②用小写的希腊字母表示单独的一个角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等。
③用一个大写英文字母表示一个独立(在一个顶点处只有一个角)的角，如∠B，∠C等。
④用三个大写英文字母表示任一个角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE等。
注意：用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧。
角的度量
角的度量有如下规定：把一个平角180等分，每一份就是1度的角，单位是度，用“°”表示，1度记作“1°”，n度记作“n°”；度、分、秒是常用的角的度量单位。
把一个周角360等分，每一份就是一度的角，记作1°；
把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分记作“1′”；
把1′的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒记作“1″”；
1．下列四个角中，钝角是( )
A． B． C． D．
2．下列四个图中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的是( )
A． B． C． D．
3．∠1还可以用 表示，若∠1＝62.16°，那么62.16°＝ ° ′ ″．
4．计算77°53′26″+43°22′16″＝ ．
5．图中共有 个小于平角的角，其中可用一个大写字母表示的角有 个．
6．如图，已知∠1＝65°15′，∠2＝78°30′，求∠1+∠2﹣∠3．
知识点02 角的性质及角的平分线的定义
角的性质
(1)角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关。
(2)角的大小可以度量，可以比较
(3)角可以参与运算。
角的平分线
从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。类似的，还有叫的三等分线。
OB平分∠AOC
∠AOB=∠BOC=∠AOC(或者∠AOC=2∠AOB=2∠BOC)
7．如图，用三角板比较∠A与∠B的大小，其中正确的是( )
A．∠A＞∠B B．∠A＜∠B
C．∠A＝∠B D．没有量角器，无法确定
8．若∠1＝30.5°，∠2＝30°50'，则∠1与∠2的大小关系是( )
A．∠1＝∠2 B．∠1＞∠2 C．∠1＜∠2 D．无法判断
9．如图，OC为∠AOB内的一条射线，下列条件中不能确定OC平分∠AOB的是( )
A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOC+∠COB＝∠AOB
C．∠AOB＝2∠BOC D．
10．如图，点O是直线AB上的一点，若∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，∠BOE＝90°，下列结果错误的是( )
A．∠BOD＝155° B．∠BOC＝130° C．∠COE＝45° D．∠AOD＝25°
11．比较大小：52°52′ 52.52°．(填“＞”、“＜”或“＝”)
12．如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，已知∠AOE＝128°，则∠BOD＝ 度．
13．如图，射线OB、OC在∠AOD内部，其中OB为∠AOC的三等分线，OE、OF分别平分∠BOD和∠COD，若∠EOF＝14°，请直接写出∠AOC的大小．
14．如图，OE是∠COA的平分线，∠AOB＝∠COD．
(1)若∠AOE＝50°，∠COD＝18°，求∠BOC的度数；
(2)比较∠AOC和∠BOD的大小，并说明理由．
知识点03 余角和补角
余角和补角
①．如果两个角的和是一个直角等于90°，这两个角叫做互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余角。用数学语言表示为如果∠α+∠β=90°，那么∠α与∠β互余；反过来，如果∠α与∠β互余，那么∠α+∠β=90°
②如果两个角的和是一个平角等于180°，这两个角叫做互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角。用数学语言表示为如果∠α+∠β=180°，那么∠α与∠β互补；反过来如果∠α与∠β互补，那么∠α+∠β=180°
③同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等。
15．已知∠A＝53°，则∠A的余角为( )
A．47° B．127° C．37° D．147°
16．一个角的补角比这个角的余角大( )
A．70° B．80° C．90° D．100°
17．如图，∠AOC＝135°，则∠BOC的度数为( )
A．55° B．45° C．35° D．25°
18．75°的余角是 ．
19．若α＝29°45′，则α的补角等于 ．
20．如图所示，用量角器度量∠AOB，可以读出∠AOB的度数为 ，∠AOB的余角的度数为 ．
21．如图，已知点O是直线AB上的一点，∠BOC＝40°，OD、OE分别是∠BOC、∠AOC的角平分线．
(1)求∠AOE的度数；
(2)直接写出图中与∠EOC互余的角 ；
(3)直接写出∠COE的补角 ．
22．(1)如图1所示，已知∠AOC＝90°，∠AOB＝38°，OD平分∠BOC，请判断∠AOD和∠BOD之间的数量关系，并说明理由；
(2)已知：如图2，点O在直线AD上，射线OC平分∠BOD．求证：∠AOC与∠BOC互补；
(3)已知∠EPQ和∠FPQ互余，射线PM平分∠EPQ，射线PN平分∠FPQ．若∠EPQ＝β(0°＜β＜90°)，直接写出锐角∠MPN的度数是 ．
1．下列图中的∠1也可以用∠O表示的是( )
A．B．C．D．
2．如图，射线OC，OD分别在∠AOB的内部、外部，下列结论错误的是( )
A．∠AOB＜∠AOD B．∠BOC＜∠AOB C．∠COD＞∠AOD D．∠AOB＞∠AOC
3．如果∠AOB的大小可由量角器测得(如图所示)，则∠AOB＝ 度．
4．一个角的补角加上10°后，等于这个角的余角的3倍，则这个角是( )
A．30° B．35° C．40° D．45°
5．如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB．若∠AOD＝110°，则∠COB等于( )
A．35° B．70° C．110° D．145°
6．57.2°＝ 度 分．
7．比较：28°15′ 28.15°(填“＞”、“＜”或“＝”)．
8．若∠A＝59.6°，则它的余角为 ° ′．
9．如图所示，两个直角三角形的直角顶点重合，如果∠AOD＝125°，那么∠BOC＝ ．
10．计算：182°36'÷4+22°16'×3．
11．完成下列说理过程：
已知，如图，∠AOC＝∠BOE＝90°，OD是∠COE的角平分线，且∠DOE＝15°．请你求出∠AOB的度数．
解：因为∠AOC＝∠BOE＝90°，
即∠AOB+∠BOC＝90°，∠BOC+∠COE＝90°．
所以∠AOB与∠BOC互余，∠BOC与∠COE互余．
所以∠ ＝∠ ．(理由： )
因为OD是∠COE的角平分线，
所以∠COE＝2∠ ．(理由： )
因为∠DOE＝15°，
所以∠COE＝30°．
所以 ＝ ．
12．如图，点O是直线AB上一点，∠COD＝50°，OE，OF分别平分∠AOC和∠DOB，求∠EOF的度数．
13．已知：如图所示，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．若∠BOC＝70°，∠AOC＝50°．
(1)求出∠AOB及其补角的度数；
(2)求出∠DOC和∠AOE的度数，并判断∠DOE与∠AOB是否互补，并说明理由；
(3)若∠BOC＝α，∠AOC＝β，则∠DOE与∠AOB是否互补，并说明理由．
14．∠AOB与∠COD有共同的顶点O，其中∠AOB＝∠COD＝60°．
(1)如图①，若∠BOC＝10°，试判断∠AOC与∠BOD的大小关系，并说明理由，求∠AOD的度数；
(2)如图①，猜想∠AOD与∠BOC的数量关系，并说明理由；
(3)若改变∠AOB，∠COD的位置，如图②，则(2)的结论还成立吗？若成立，请说明；若不成立，请直接写出你的猜想．
第14讲 4.3 角
4. 掌握角的定义、表示及度量；
5. 理解并掌握角的性质及角的平分线的定义；
6. 互余和互补的性质.
知识点01 角的定义、角的表示及角的度量
角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条射线叫做这个角的边。或：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的。
角的表示：
①用数字表示单独的角，如∠1，∠2，∠3等。
②用小写的希腊字母表示单独的一个角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等。
③用一个大写英文字母表示一个独立(在一个顶点处只有一个角)的角，如∠B，∠C等。
④用三个大写英文字母表示任一个角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE等。
注意：用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧。
角的度量
角的度量有如下规定：把一个平角180等分，每一份就是1度的角，单位是度，用“°”表示，1度记作“1°”，n度记作“n°”；度、分、秒是常用的角的度量单位。
把一个周角360等分，每一份就是一度的角，记作1°；
把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分记作“1′”；
把1′的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒记作“1″”；
1．下列四个角中，钝角是( )
A． B． C． D．
【解答】解：∵选项A是等于180°的平角，选项B是大于0°小于90°的锐角，选项C是等于90°的直角，而选项D是大于90°且小于180°的钝角，
故选：D．
2．下列四个图中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的是( )
A． B．
C． D．
【解答】解：A、图中的∠AOB不能用∠O表示，故本选项错误；
B、图中的∠1和∠AOB不是表示同一个角，故本选项错误；
C、图中的∠1和∠AOB不是表示同一个角，故本选项错误；
D、图中∠1、∠AOB、∠O表示同一个角，故本选项正确；
故选：D．
3．∠1还可以用 ∠BCE 表示，若∠1＝62.16°，那么62.16°＝ 62 ° 9 ′ 36 ″．
【解答】解：由图可得，∠1还可以用∠BCE表示；
∵0.16°＝9.6′，0.6′＝36″，
∴62.16°＝62°9′36″，
故答案为：∠BCE，62，9，36．
4．计算77°53′26″+43°22′16″＝ 121°15′42″ ．
【解答】解：77°53′26″+43°22′16″＝121°15′42″．
故答案为：121°15′42″．
5．图中共有 7 个小于平角的角，其中可用一个大写字母表示的角有 2 个．
【解答】解：共有7个小于平角的角，分别为：∠BAD，∠DAC，∠BAC，∠B，∠ADB，∠ADC，∠C，
其中可用一个大写字母表示的角有2个．
故答案为：7，2．
6．如图，已知∠1＝65°15′，∠2＝78°30′，求∠1+∠2﹣∠3．
【解答】解：根据题意得：∠1+∠2﹣∠3
＝65°15′+78°30′﹣(180°﹣65°15′﹣78°30′)
＝143°45′﹣36°15′
＝107°30′．
知识点02 角的性质及角的平分线的定义
角的性质
(1)角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关。
(2)角的大小可以度量，可以比较
(3)角可以参与运算。
角的平分线
从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。类似的，还有叫的三等分线。
OB平分∠AOC
∠AOB=∠BOC=∠AOC(或者∠AOC=2∠AOB=2∠BOC)
7．如图，用三角板比较∠A与∠B的大小，其中正确的是( )
A．∠A＞∠B B．∠A＜∠B
C．∠A＝∠B D．没有量角器，无法确定
【解答】解：由图可得，∠A＜45°，∠B＞45°，
∴∠A＜∠B，
故选：B．
8．若∠1＝30.5°，∠2＝30°50'，则∠1与∠2的大小关系是( )
A．∠1＝∠2 B．∠1＞∠2 C．∠1＜∠2 D．无法判断
【解答】解：因为0.5°＝0.5×60′＝30′，
所以∠1＝30.5°＝30°30′，
而∠2＝30°50'，
所以∠1＜∠2，
故选：C．
9．如图，OC为∠AOB内的一条射线，下列条件中不能确定OC平分∠AOB的是( )
A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOC+∠COB＝∠AOB
C．∠AOB＝2∠BOC D．
【解答】解：∵OC为∠AOB内的一条射线，
∴当∠AOC＝∠BOC＝∠AOB，或∠AOB＝2∠BOC＝2∠AOC时OC平分∠AOB，
∴A，C，D不符合题意，B选项符合题意，
故选：B．
10．如图，点O是直线AB上的一点，若∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，∠BOE＝90°，下列结果错误的是( )
A．∠BOD＝155° B．∠BOC＝130° C．∠COE＝45° D．∠AOD＝25°
【解答】解：∵∠AOC＝50°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝130°，故B选项正确；
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD＝∠AOC＝×50°＝25°，故D选项正确；
∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝155°，故A选项正确；
∵∠BOE＝90°，∠AOC＝50°，
∴∠COE＝180°﹣∠AOC﹣∠BOE＝40°，故C选项错误；
故选：C．
11．比较大小：52°52′ ＞ 52.52°．(填“＞”、“＜”或“＝”)
【解答】解：∵0.52×60＝31.2，0.2×60＝12，
∴52.52°＝52°31′12″，
52°52′＞52°31′12″，
故答案为：＞．
12．如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，已知∠AOE＝128°，则∠BOD＝ 64 度．
【解答】解：∵OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线．
∴∠COD＝∠COE，∠BOC＝AOC，
∴∠BOD＝∠BOC+∠COD
＝∠COE+∠AOC
＝(∠COE+∠AOC)
＝∠AOE
＝×128°
＝64°，
故答案为：64．
13．如图，射线OB、OC在∠AOD内部，其中OB为∠AOC的三等分线，OE、OF分别平分∠BOD和∠COD，若∠EOF＝14°，请直接写出∠AOC的大小．
【解答】解：①当∠AOC＝3∠BOC时，
设∠BOC＝x，∠DOF＝y，
∵OB为∠AOC的三等分线，OF平分∠COD，
∴∠AOC＝3x，∠COD＝2y，∠BOD＝x+2y，
∵OE平分∠BOD，
∴∠EOD＝∠BOD＝x+y，
∵∠EOF＝14°，
∴x+y﹣y＝14°，
解得x＝28°，
故∠AOC＝3x＝84°．
②当∠AOC＝∠BOC时，
设∠BOC＝2x，∠DOF＝y，
∵OB为∠AOC的三等分线，OF平分∠COD，
∴∠AOC＝3x，∠COD＝2y，∠BOD＝2x+2y，
∵OE平分∠BOD，
∴∠EOD＝∠BOD＝x+y，
∵∠EOF＝14°，
∴x+y﹣y＝14°，
解得x＝14°，
故∠AOC＝3x＝42°．
综上，∠AOC＝84°或42°．
14．如图，OE是∠COA的平分线，∠AOB＝∠COD．
(1)若∠AOE＝50°，∠COD＝18°，求∠BOC的度数；
(2)比较∠AOC和∠BOD的大小，并说明理由．
【解答】解：(1)∵OE是∠COA的平分线，∠AOE＝50°，
∴∠AOC＝2∠AOE＝100°，
又∵∠AOB＝∠COD＝18°，
∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝100°﹣18°＝82°；
(2)∠AOC＝∠BOD．
理由：∵∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，
∴∠AOC＝∠BOD．
知识点03 余角和补角
余角和补角
①．如果两个角的和是一个直角等于90°，这两个角叫做互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余角。用数学语言表示为如果∠α+∠β=90°，那么∠α与∠β互余；反过来，如果∠α与∠β互余，那么∠α+∠β=90°
②如果两个角的和是一个平角等于180°，这两个角叫做互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角。用数学语言表示为如果∠α+∠β=180°，那么∠α与∠β互补；反过来如果∠α与∠β互补，那么∠α+∠β=180°
③同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等。
15．已知∠A＝53°，则∠A的余角为( )
A．47° B．127° C．37° D．147°
【解答】解：根据余角的性质，得90°﹣∠A＝90°﹣53°＝37°．
故选：C．
16．一个角的补角比这个角的余角大( )
A．70° B．80° C．90° D．100°
【解答】解：设这个角为x，则这个角的余角为90°﹣x，补角为180°﹣x．
∵180°﹣x﹣(90°﹣x)＝180°﹣x﹣90°+x＝90°，
∴一个角的补角比这个角的余角大90°．
故选：C．
17．如图，∠AOC＝135°，则∠BOC的度数为( )
A．55° B．45° C．35° D．25°
【解答】解：由图得：∠AOC与∠BOC是邻补角．
∴∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣135°＝45°．
故选：B．
18．75°的余角是 15° ．
【解答】解：75°的余角是90°﹣75°＝15°．
故答案为：15°．
19．若α＝29°45′，则α的补角等于 150°15′ ．
【解答】解：∵α＝29°45′，
∴α的补角＝180°﹣29°45′＝179°60′﹣29°45′＝150°15′．
故答案为：150°15′．
20．如图所示，用量角器度量∠AOB，可以读出∠AOB的度数为 55° ，∠AOB的余角的度数为 35° ．
【解答】解：由题意可得，∠AOB的度数为55°，
故∠AOB的余角的度数为：90°﹣55°＝35°．
故答案为：55°；35°．
21．如图，已知点O是直线AB上的一点，∠BOC＝40°，OD、OE分别是∠BOC、∠AOC的角平分线．
(1)求∠AOE的度数；
(2)直接写出图中与∠EOC互余的角 ∠COD，∠BOD ；
(3)直接写出∠COE的补角 ∠BOE ．
【解答】解：(1)∵∠BOC＝40°，
∴∠AOC＝180°﹣40°＝140°，
∵OE是∠AOC的角平分线，
∴；
(2)∵OD、OE分别是∠BOC、∠AOC的角平分线．
∴∠BOD＝∠COD＝∠BOC，
∠AOE＝∠COE＝∠AOC，
又∵∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠EOC+∠COD＝×180°＝90°＝∠EOC+∠BOD，
∴∠EOC的余角为∠COD，∠BOD，
故答案为：∠COD，∠BOD；
(3)∵∠COE＝∠AOE，∠AOE+∠BOE＝180°，
∴∠COE+∠BOE＝180°，
即∠COE的补角为∠BOE，
故答案为：∠BOE．
22．(1)如图1所示，已知∠AOC＝90°，∠AOB＝38°，OD平分∠BOC，请判断∠AOD和∠BOD之间的数量关系，并说明理由；
(2)已知：如图2，点O在直线AD上，射线OC平分∠BOD．求证：∠AOC与∠BOC互补；
(3)已知∠EPQ和∠FPQ互余，射线PM平分∠EPQ，射线PN平分∠FPQ．若∠EPQ＝β(0°＜β＜90°)，直接写出锐角∠MPN的度数是 45° ．
【解答】解：(1)∠AOD+∠BOD＝90°，
理由如下：
∵∠AOC＝90°，∠AOB＝38°，
∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝90°﹣38°＝52°，
∵OD平分∠BOC，
∴∠BOD＝∠BOC＝26°，
∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝38°+26°＝64°，
∴∠AOD+∠BOC＝64°+26°＝90°．
(2)∵OC平分∠BOD，
∴∠BOC＝∠COD，
∵∠AOC+∠COD＝180°，
∴∠AOC+∠BOC＝180°，
即∠AOC与∠BOC互补；
(3)如图，
∵PM平分∠EPQ，PN平分∠FPQ，
∴∠MPQ＝∠EPQ，∠NPQ＝∠FPQ，
∵∠MON＝∠MPQ+∠NPQ
＝∠EPQ+∠FPQ
＝∠EPF，
∵∠EPQ和∠FPQ互余，
∴∠EPQ+∠FPQ＝90°，
即∠EPF＝90°，
∴∠MON＝45°，
故答案为45°．
1．下列图中的∠1也可以用∠O表示的是( )
A． B．
C． D．
【解答】解：选项A：∠1的顶点处只有一个角(小于平角)，可用∠O表示，符合题意；
选项B：∠1顶点处有三个角(小于平角)，不能用∠O表示，不符合题意；
选项C：∠1顶点处有2个角(小于平角)，不能用∠O表示，不符合题意；
选项D：∠1顶点处有4个角(小于平角)，不能用∠O表示，不符合题意．
故选：A．
2．如图，射线OC，OD分别在∠AOB的内部、外部，下列结论错误的是( )
A．∠AOB＜∠AOD B．∠BOC＜∠AOB C．∠COD＞∠AOD D．∠AOB＞∠AOC
【解答】解：A．由题可得，∠AOB＜∠AOD，故本选项正确；
B．由题可得，∠BOC＜∠AOB，故本选项正确；
C．由题可得，∠COD＜∠AOD，故本选项错误；
D．由题可得，∠AOB＞∠AOC，故本选项正确；
故选：C．
3．如果∠AOB的大小可由量角器测得(如图所示)，则∠AOB＝ 30 度．
【解答】解：由题可得，∠AOB＝60°，
∴∠AOB＝×60°＝30°，
故答案为：30．
4．一个角的补角加上10°后，等于这个角的余角的3倍，则这个角是( )
A．30° B．35° C．40° D．45°
【解答】解：设这个角为∠α，依题意，
得180°﹣∠α+10°＝3(90°﹣∠α)
解得∠α＝40°．
故选：C．
5．如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB．若∠AOD＝110°，则∠COB等于( )
A．35° B．70° C．110° D．145°
【解答】解：∵∠AOD+∠BOD＝180°，∠AOD＝110°，
∴∠BOD＝70°，
∵OC平分∠DOB，
∴∠COB＝∠BOD＝35°．
故选：A．
6．57.2°＝ 57 度 12 分．
【解答】解：∵0.2×60′＝12′，
∴57.2°＝57°12′，
故答案为：57，12．
7．比较：28°15′ ＞ 28.15°(填“＞”、“＜”或“＝”)．
【解答】解：∵28°15′＝28°+(15÷60)°＝28.25°，
∴28°15′＞28.15°．
故答案为：＞．
8．若∠A＝59.6°，则它的余角为 30 ° 24 ′．
【解答】解：∵∠A＝59.6°，
∴∠A的余角为90°﹣59.6°＝30.4°＝30°24'，
故答案为30；24．
9．如图所示，两个直角三角形的直角顶点重合，如果∠AOD＝125°，那么∠BOC＝ 55° ．
【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝90°，
而∠AOD＝125°，
∴∠BOD＝∠AOD﹣90°＝35°，
∴∠BOC＝∠COD﹣∠BOD＝90°﹣35°＝55°．
故答案为：55°．
10．计算：182°36'÷4+22°16'×3．
【解答】解：原式＝45°+(2°+36′)÷4+66°48′
＝45°+156′÷4+66°48′
＝45°+39′+66°48′
＝112°27′．
11．完成下列说理过程：
已知，如图，∠AOC＝∠BOE＝90°，OD是∠COE的角平分线，且∠DOE＝15°．请你求出∠AOB的度数．
解：因为∠AOC＝∠BOE＝90°，
即∠AOB+∠BOC＝90°，∠BOC+∠COE＝90°．
所以∠AOB与∠BOC互余，∠BOC与∠COE互余．
所以∠ AOB ＝∠ COE ．(理由： 同角的余角相等 )
因为OD是∠COE的角平分线，
所以∠COE＝2∠ DOE ．(理由： 角平分线定义 )
因为∠DOE＝15°，
所以∠COE＝30°．
所以 ∠AOB ＝ 30° ．
【解答】解：因为∠AOC＝∠BOE＝90°，
即∠AOB+∠BOC＝90°，∠BOC+∠COE＝90°．
所以∠AOB与∠BOC互余，∠BOC与∠COE互余．
所以∠AOB＝∠COE．(理由：同角的余角相等)
因为OD是∠COE的角平分线，
所以∠COE＝2∠DOE．(理由：角平分线定义)
因为∠DOE＝15°，
所以∠COE＝30°．
所以∠AOB＝30°．
故答案依次为：∠AOB，∠COE，同角的余角相等，
∠DOE，角平分线定义，
∠AOB，30°．
12．如图，点O是直线AB上一点，∠COD＝50°，OE，OF分别平分∠AOC和∠DOB，求∠EOF的度数．
【解答】解：∵∠COD＝50°，
∴∠AOC+∠BOD＝180°﹣∠COD＝180°﹣50°＝130°，
∵OE，OF分别平分∠AOC和∠DOB，
∴∠AOE＝∠COE，∠DOF＝∠BOF，
∴∠EOC+∠DOF＝(∠AOC+∠BOD)＝65°，
∴∠EOF＝∠EOC+∠DOF+∠COD＝65°+50°＝115°．
13．已知：如图所示，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．若∠BOC＝70°，∠AOC＝50°．
(1)求出∠AOB及其补角的度数；
(2)求出∠DOC和∠AOE的度数，并判断∠DOE与∠AOB是否互补，并说明理由；
(3)若∠BOC＝α，∠AOC＝β，则∠DOE与∠AOB是否互补，并说明理由．
【解答】解：(1)∠AOB＝∠BOC+∠AOC＝70°+50°＝120°，
其补角为180°﹣∠AOB＝180°﹣120°＝60°，
(2)∠DOE与∠AOB互补，理由如下：
∵∠DOC＝∠BOC＝×70°＝35°，∠COE＝∠AOC＝×50°＝25°．
∴∠DOE＝∠DOC+∠COE＝35°+25°＝60°．
∴∠DOE+∠AOB＝60°+70°+50°＝180°，
∴∠DOE与∠AOB互补．
(3)∠DOE与∠AOB不一定互补，理由如下：
∵∠DOC＝∠BOC＝α，∠COE＝∠AOC＝β，
∴∠DOE＝∠DOC+∠COE＝α+β＝(α+β)，
∴∠DOE+∠AOB＝(α+β)+(α+β)＝(α+β)，
∵α+β的度数不确定
∴∠DOE与∠AOB不一定互补．
14．∠AOB与∠COD有共同的顶点O，其中∠AOB＝∠COD＝60°．
(1)如图①，若∠BOC＝10°，试判断∠AOC与∠BOD的大小关系，并说明理由，求∠AOD的度数；
(2)如图①，猜想∠AOD与∠BOC的数量关系，并说明理由；
(3)若改变∠AOB，∠COD的位置，如图②，则(2)的结论还成立吗？若成立，请说明；若不成立，请直接写出你的猜想．
【解答】解：(1)∠AOC＝∠BOD，理由如下：
如图1，
∵∠AOB＝∠COD＝60°，∠BOC＝10°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝60°﹣10°＝50°，
∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝60°﹣10°＝50°，
∴∠AOC＝∠BOD，
∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝50°+60°＝110°；
(2)∠AOD+∠BOC＝120°，理由如下：
∵∠AOB＝∠COD＝60°，
∴∠AOD+∠BOC＝∠AOC+∠BOC+∠BOD+∠BOC
＝∠AOB+∠COD
＝60°+60°
＝120°；
(3)在(2)中的关系不成立，∠AOD+∠BOC＝240°，理由如下：
如图2，
∵∠AOD+∠COD+∠BOC+∠AOB＝360°，∠AOB＝∠COD＝60°，
∴∠AOD+∠BOC＝360°﹣60°﹣60°＝240°．
第14讲 4.3 角
1. 掌握角的定义、表示及度量；
2. 理解并掌握角的性质及角的平分线的定义；
3. 互余和互补的性质.
知识点01 角的定义、角的表示及角的度量
角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条射线叫做这个角的边。或：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的。
角的表示：
①用数字表示单独的角，如∠1，∠2，∠3等。
②用小写的希腊字母表示单独的一个角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等。
③用一个大写英文字母表示一个独立(在一个顶点处只有一个角)的角，如∠B，∠C等。
④用三个大写英文字母表示任一个角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE等。
注意：用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧。
角的度量
角的度量有如下规定：把一个平角180等分，每一份就是1度的角，单位是度，用“°”表示，1度记作“1°”，n度记作“n°”；度、分、秒是常用的角的度量单位。
把一个周角360等分，每一份就是一度的角，记作1°；
把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分记作“1′”；
把1′的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒记作“1″”；
1．下列四个角中，钝角是( )
A． B． C． D．
2．下列四个图中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的是( )
A． B． C． D．
3．∠1还可以用 表示，若∠1＝62.16°，那么62.16°＝ ° ′ ″．
4．计算77°53′26″+43°22′16″＝ ．
5．图中共有 个小于平角的角，其中可用一个大写字母表示的角有 个．
6．如图，已知∠1＝65°15′，∠2＝78°30′，求∠1+∠2﹣∠3．
知识点02 角的性质及角的平分线的定义
角的性质
(1)角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关。
(2)角的大小可以度量，可以比较
(3)角可以参与运算。
角的平分线
从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。类似的，还有叫的三等分线。
OB平分∠AOC
∠AOB=∠BOC=∠AOC(或者∠AOC=2∠AOB=2∠BOC)
7．如图，用三角板比较∠A与∠B的大小，其中正确的是( )
A．∠A＞∠B B．∠A＜∠B
C．∠A＝∠B D．没有量角器，无法确定
8．若∠1＝30.5°，∠2＝30°50'，则∠1与∠2的大小关系是( )
A．∠1＝∠2 B．∠1＞∠2 C．∠1＜∠2 D．无法判断
9．如图，OC为∠AOB内的一条射线，下列条件中不能确定OC平分∠AOB的是( )
A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOC+∠COB＝∠AOB
C．∠AOB＝2∠BOC D．
10．如图，点O是直线AB上的一点，若∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，∠BOE＝90°，下列结果错误的是( )
A．∠BOD＝155° B．∠BOC＝130° C．∠COE＝45° D．∠AOD＝25°
11．比较大小：52°52′ 52.52°．(填“＞”、“＜”或“＝”)
12．如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，已知∠AOE＝128°，则∠BOD＝ 度．
13．如图，射线OB、OC在∠AOD内部，其中OB为∠AOC的三等分线，OE、OF分别平分∠BOD和∠COD，若∠EOF＝14°，请直接写出∠AOC的大小．
14．如图，OE是∠COA的平分线，∠AOB＝∠COD．
(1)若∠AOE＝50°，∠COD＝18°，求∠BOC的度数；
(2)比较∠AOC和∠BOD的大小，并说明理由．
知识点03 余角和补角
余角和补角
①．如果两个角的和是一个直角等于90°，这两个角叫做互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余角。用数学语言表示为如果∠α+∠β=90°，那么∠α与∠β互余；反过来，如果∠α与∠β互余，那么∠α+∠β=90°
②如果两个角的和是一个平角等于180°，这两个角叫做互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角。用数学语言表示为如果∠α+∠β=180°，那么∠α与∠β互补；反过来如果∠α与∠β互补，那么∠α+∠β=180°
③同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等。
15．已知∠A＝53°，则∠A的余角为( )
A．47° B．127° C．37° D．147°
16．一个角的补角比这个角的余角大( )
A．70° B．80° C．90° D．100°
17．如图，∠AOC＝135°，则∠BOC的度数为( )
A．55° B．45° C．35° D．25°
18．75°的余角是 ．
19．若α＝29°45′，则α的补角等于 ．
20．如图所示，用量角器度量∠AOB，可以读出∠AOB的度数为 ，∠AOB的余角的度数为 ．
21．如图，已知点O是直线AB上的一点，∠BOC＝40°，OD、OE分别是∠BOC、∠AOC的角平分线．
(1)求∠AOE的度数；
(2)直接写出图中与∠EOC互余的角 ；
(3)直接写出∠COE的补角 ．
22．(1)如图1所示，已知∠AOC＝90°，∠AOB＝38°，OD平分∠BOC，请判断∠AOD和∠BOD之间的数量关系，并说明理由；
(2)已知：如图2，点O在直线AD上，射线OC平分∠BOD．求证：∠AOC与∠BOC互补；
(3)已知∠EPQ和∠FPQ互余，射线PM平分∠EPQ，射线PN平分∠FPQ．若∠EPQ＝β(0°＜β＜90°)，直接写出锐角∠MPN的度数是 ．
1．下列图中的∠1也可以用∠O表示的是( )
A．B．C．D．
2．如图，射线OC，OD分别在∠AOB的内部、外部，下列结论错误的是( )
A．∠AOB＜∠AOD B．∠BOC＜∠AOB C．∠COD＞∠AOD D．∠AOB＞∠AOC
3．如果∠AOB的大小可由量角器测得(如图所示)，则∠AOB＝ 度．
4．一个角的补角加上10°后，等于这个角的余角的3倍，则这个角是( )
A．30° B．35° C．40° D．45°
5．如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB．若∠AOD＝110°，则∠COB等于( )
A．35° B．70° C．110° D．145°
6．57.2°＝ 度 分．
7．比较：28°15′ 28.15°(填“＞”、“＜”或“＝”)．
8．若∠A＝59.6°，则它的余角为 ° ′．
9．如图所示，两个直角三角形的直角顶点重合，如果∠AOD＝125°，那么∠BOC＝ ．
10．计算：182°36'÷4+22°16'×3．
11．完成下列说理过程：
已知，如图，∠AOC＝∠BOE＝90°，OD是∠COE的角平分线，且∠DOE＝15°．请你求出∠AOB的度数．
解：因为∠AOC＝∠BOE＝90°，
即∠AOB+∠BOC＝90°，∠BOC+∠COE＝90°．
所以∠AOB与∠BOC互余，∠BOC与∠COE互余．
所以∠ ＝∠ ．(理由： )
因为OD是∠COE的角平分线，
所以∠COE＝2∠ ．(理由： )
因为∠DOE＝15°，
所以∠COE＝30°．
所以 ＝ ．
12．如图，点O是直线AB上一点，∠COD＝50°，OE，OF分别平分∠AOC和∠DOB，求∠EOF的度数．
13．已知：如图所示，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．若∠BOC＝70°，∠AOC＝50°．
(1)求出∠AOB及其补角的度数；
(2)求出∠DOC和∠AOE的度数，并判断∠DOE与∠AOB是否互补，并说明理由；
(3)若∠BOC＝α，∠AOC＝β，则∠DOE与∠AOB是否互补，并说明理由．
14．∠AOB与∠COD有共同的顶点O，其中∠AOB＝∠COD＝60°．
(1)如图①，若∠BOC＝10°，试判断∠AOC与∠BOD的大小关系，并说明理由，求∠AOD的度数；
(2)如图①，猜想∠AOD与∠BOC的数量关系，并说明理由；
(3)若改变∠AOB，∠COD的位置，如图②，则(2)的结论还成立吗？若成立，请说明；若不成立，请直接写出你的猜想．
第14讲 4.3 角
4. 掌握角的定义、表示及度量；
5. 理解并掌握角的性质及角的平分线的定义；
6. 互余和互补的性质.
知识点01 角的定义、角的表示及角的度量
角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条射线叫做这个角的边。或：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的。
角的表示：
①用数字表示单独的角，如∠1，∠2，∠3等。
②用小写的希腊字母表示单独的一个角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等。
③用一个大写英文字母表示一个独立(在一个顶点处只有一个角)的角，如∠B，∠C等。
④用三个大写英文字母表示任一个角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE等。
注意：用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧。
角的度量
角的度量有如下规定：把一个平角180等分，每一份就是1度的角，单位是度，用“°”表示，1度记作“1°”，n度记作“n°”；度、分、秒是常用的角的度量单位。
把一个周角360等分，每一份就是一度的角，记作1°；
把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分记作“1′”；
把1′的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒记作“1″”；
1．下列四个角中，钝角是( )
A． B． C． D．
【解答】解：∵选项A是等于180°的平角，选项B是大于0°小于90°的锐角，选项C是等于90°的直角，而选项D是大于90°且小于180°的钝角，
故选：D．
2．下列四个图中，能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的是( )
A． B．
C． D．
【解答】解：A、图中的∠AOB不能用∠O表示，故本选项错误；
B、图中的∠1和∠AOB不是表示同一个角，故本选项错误；
C、图中的∠1和∠AOB不是表示同一个角，故本选项错误；
D、图中∠1、∠AOB、∠O表示同一个角，故本选项正确；
故选：D．
3．∠1还可以用 ∠BCE 表示，若∠1＝62.16°，那么62.16°＝ 62 ° 9 ′ 36 ″．
【解答】解：由图可得，∠1还可以用∠BCE表示；
∵0.16°＝9.6′，0.6′＝36″，
∴62.16°＝62°9′36″，
故答案为：∠BCE，62，9，36．
4．计算77°53′26″+43°22′16″＝ 121°15′42″ ．
【解答】解：77°53′26″+43°22′16″＝121°15′42″．
故答案为：121°15′42″．
5．图中共有 7 个小于平角的角，其中可用一个大写字母表示的角有 2 个．
【解答】解：共有7个小于平角的角，分别为：∠BAD，∠DAC，∠BAC，∠B，∠ADB，∠ADC，∠C，
其中可用一个大写字母表示的角有2个．
故答案为：7，2．
6．如图，已知∠1＝65°15′，∠2＝78°30′，求∠1+∠2﹣∠3．
【解答】解：根据题意得：∠1+∠2﹣∠3
＝65°15′+78°30′﹣(180°﹣65°15′﹣78°30′)
＝143°45′﹣36°15′
＝107°30′．
知识点02 角的性质及角的平分线的定义
角的性质
(1)角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关。
(2)角的大小可以度量，可以比较
(3)角可以参与运算。
角的平分线
从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。类似的，还有叫的三等分线。
OB平分∠AOC
∠AOB=∠BOC=∠AOC(或者∠AOC=2∠AOB=2∠BOC)
7．如图，用三角板比较∠A与∠B的大小，其中正确的是( )
A．∠A＞∠B B．∠A＜∠B
C．∠A＝∠B D．没有量角器，无法确定
【解答】解：由图可得，∠A＜45°，∠B＞45°，
∴∠A＜∠B，
故选：B．
8．若∠1＝30.5°，∠2＝30°50'，则∠1与∠2的大小关系是( )
A．∠1＝∠2 B．∠1＞∠2 C．∠1＜∠2 D．无法判断
【解答】解：因为0.5°＝0.5×60′＝30′，
所以∠1＝30.5°＝30°30′，
而∠2＝30°50'，
所以∠1＜∠2，
故选：C．
9．如图，OC为∠AOB内的一条射线，下列条件中不能确定OC平分∠AOB的是( )
A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOC+∠COB＝∠AOB
C．∠AOB＝2∠BOC D．
【解答】解：∵OC为∠AOB内的一条射线，
∴当∠AOC＝∠BOC＝∠AOB，或∠AOB＝2∠BOC＝2∠AOC时OC平分∠AOB，
∴A，C，D不符合题意，B选项符合题意，
故选：B．
10．如图，点O是直线AB上的一点，若∠AOC＝50°，OD平分∠AOC，∠BOE＝90°，下列结果错误的是( )
A．∠BOD＝155° B．∠BOC＝130° C．∠COE＝45° D．∠AOD＝25°
【解答】解：∵∠AOC＝50°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝130°，故B选项正确；
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD＝∠AOC＝×50°＝25°，故D选项正确；
∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝155°，故A选项正确；
∵∠BOE＝90°，∠AOC＝50°，
∴∠COE＝180°﹣∠AOC﹣∠BOE＝40°，故C选项错误；
故选：C．
11．比较大小：52°52′ ＞ 52.52°．(填“＞”、“＜”或“＝”)
【解答】解：∵0.52×60＝31.2，0.2×60＝12，
∴52.52°＝52°31′12″，
52°52′＞52°31′12″，
故答案为：＞．
12．如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，已知∠AOE＝128°，则∠BOD＝ 64 度．
【解答】解：∵OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线．
∴∠COD＝∠COE，∠BOC＝AOC，
∴∠BOD＝∠BOC+∠COD
＝∠COE+∠AOC
＝(∠COE+∠AOC)
＝∠AOE
＝×128°
＝64°，
故答案为：64．
13．如图，射线OB、OC在∠AOD内部，其中OB为∠AOC的三等分线，OE、OF分别平分∠BOD和∠COD，若∠EOF＝14°，请直接写出∠AOC的大小．
【解答】解：①当∠AOC＝3∠BOC时，
设∠BOC＝x，∠DOF＝y，
∵OB为∠AOC的三等分线，OF平分∠COD，
∴∠AOC＝3x，∠COD＝2y，∠BOD＝x+2y，
∵OE平分∠BOD，
∴∠EOD＝∠BOD＝x+y，
∵∠EOF＝14°，
∴x+y﹣y＝14°，
解得x＝28°，
故∠AOC＝3x＝84°．
②当∠AOC＝∠BOC时，
设∠BOC＝2x，∠DOF＝y，
∵OB为∠AOC的三等分线，OF平分∠COD，
∴∠AOC＝3x，∠COD＝2y，∠BOD＝2x+2y，
∵OE平分∠BOD，
∴∠EOD＝∠BOD＝x+y，
∵∠EOF＝14°，
∴x+y﹣y＝14°，
解得x＝14°，
故∠AOC＝3x＝42°．
综上，∠AOC＝84°或42°．
14．如图，OE是∠COA的平分线，∠AOB＝∠COD．
(1)若∠AOE＝50°，∠COD＝18°，求∠BOC的度数；
(2)比较∠AOC和∠BOD的大小，并说明理由．
【解答】解：(1)∵OE是∠COA的平分线，∠AOE＝50°，
∴∠AOC＝2∠AOE＝100°，
又∵∠AOB＝∠COD＝18°，
∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝100°﹣18°＝82°；
(2)∠AOC＝∠BOD．
理由：∵∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，
∴∠AOC＝∠BOD．
知识点03 余角和补角
余角和补角
①．如果两个角的和是一个直角等于90°，这两个角叫做互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余角。用数学语言表示为如果∠α+∠β=90°，那么∠α与∠β互余；反过来，如果∠α与∠β互余，那么∠α+∠β=90°
②如果两个角的和是一个平角等于180°，这两个角叫做互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角。用数学语言表示为如果∠α+∠β=180°，那么∠α与∠β互补；反过来如果∠α与∠β互补，那么∠α+∠β=180°
③同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等。
15．已知∠A＝53°，则∠A的余角为( )
A．47° B．127° C．37° D．147°
【解答】解：根据余角的性质，得90°﹣∠A＝90°﹣53°＝37°．
故选：C．
16．一个角的补角比这个角的余角大( )
A．70° B．80° C．90° D．100°
【解答】解：设这个角为x，则这个角的余角为90°﹣x，补角为180°﹣x．
∵180°﹣x﹣(90°﹣x)＝180°﹣x﹣90°+x＝90°，
∴一个角的补角比这个角的余角大90°．
故选：C．
17．如图，∠AOC＝135°，则∠BOC的度数为( )
A．55° B．45° C．35° D．25°
【解答】解：由图得：∠AOC与∠BOC是邻补角．
∴∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣135°＝45°．
故选：B．
18．75°的余角是 15° ．
【解答】解：75°的余角是90°﹣75°＝15°．
故答案为：15°．
19．若α＝29°45′，则α的补角等于 150°15′ ．
【解答】解：∵α＝29°45′，
∴α的补角＝180°﹣29°45′＝179°60′﹣29°45′＝150°15′．
故答案为：150°15′．
20．如图所示，用量角器度量∠AOB，可以读出∠AOB的度数为 55° ，∠AOB的余角的度数为 35° ．
【解答】解：由题意可得，∠AOB的度数为55°，
故∠AOB的余角的度数为：90°﹣55°＝35°．
故答案为：55°；35°．
21．如图，已知点O是直线AB上的一点，∠BOC＝40°，OD、OE分别是∠BOC、∠AOC的角平分线．
(1)求∠AOE的度数；
(2)直接写出图中与∠EOC互余的角 ∠COD，∠BOD ；
(3)直接写出∠COE的补角 ∠BOE ．
【解答】解：(1)∵∠BOC＝40°，
∴∠AOC＝180°﹣40°＝140°，
∵OE是∠AOC的角平分线，
∴；
(2)∵OD、OE分别是∠BOC、∠AOC的角平分线．
∴∠BOD＝∠COD＝∠BOC，
∠AOE＝∠COE＝∠AOC，
又∵∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠EOC+∠COD＝×180°＝90°＝∠EOC+∠BOD，
∴∠EOC的余角为∠COD，∠BOD，
故答案为：∠COD，∠BOD；
(3)∵∠COE＝∠AOE，∠AOE+∠BOE＝180°，
∴∠COE+∠BOE＝180°，
即∠COE的补角为∠BOE，
故答案为：∠BOE．
22．(1)如图1所示，已知∠AOC＝90°，∠AOB＝38°，OD平分∠BOC，请判断∠AOD和∠BOD之间的数量关系，并说明理由；
(2)已知：如图2，点O在直线AD上，射线OC平分∠BOD．求证：∠AOC与∠BOC互补；
(3)已知∠EPQ和∠FPQ互余，射线PM平分∠EPQ，射线PN平分∠FPQ．若∠EPQ＝β(0°＜β＜90°)，直接写出锐角∠MPN的度数是 45° ．
【解答】解：(1)∠AOD+∠BOD＝90°，
理由如下：
∵∠AOC＝90°，∠AOB＝38°，
∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝90°﹣38°＝52°，
∵OD平分∠BOC，
∴∠BOD＝∠BOC＝26°，
∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝38°+26°＝64°，
∴∠AOD+∠BOC＝64°+26°＝90°．
(2)∵OC平分∠BOD，
∴∠BOC＝∠COD，
∵∠AOC+∠COD＝180°，
∴∠AOC+∠BOC＝180°，
即∠AOC与∠BOC互补；
(3)如图，
∵PM平分∠EPQ，PN平分∠FPQ，
∴∠MPQ＝∠EPQ，∠NPQ＝∠FPQ，
∵∠MON＝∠MPQ+∠NPQ
＝∠EPQ+∠FPQ
＝∠EPF，
∵∠EPQ和∠FPQ互余，
∴∠EPQ+∠FPQ＝90°，
即∠EPF＝90°，
∴∠MON＝45°，
故答案为45°．
1．下列图中的∠1也可以用∠O表示的是( )
A． B．
C． D．
【解答】解：选项A：∠1的顶点处只有一个角(小于平角)，可用∠O表示，符合题意；
选项B：∠1顶点处有三个角(小于平角)，不能用∠O表示，不符合题意；
选项C：∠1顶点处有2个角(小于平角)，不能用∠O表示，不符合题意；
选项D：∠1顶点处有4个角(小于平角)，不能用∠O表示，不符合题意．
故选：A．
2．如图，射线OC，OD分别在∠AOB的内部、外部，下列结论错误的是( )
A．∠AOB＜∠AOD B．∠BOC＜∠AOB C．∠COD＞∠AOD D．∠AOB＞∠AOC
【解答】解：A．由题可得，∠AOB＜∠AOD，故本选项正确；
B．由题可得，∠BOC＜∠AOB，故本选项正确；
C．由题可得，∠COD＜∠AOD，故本选项错误；
D．由题可得，∠AOB＞∠AOC，故本选项正确；
故选：C．
3．如果∠AOB的大小可由量角器测得(如图所示)，则∠AOB＝ 30 度．
【解答】解：由题可得，∠AOB＝60°，
∴∠AOB＝×60°＝30°，
故答案为：30．
4．一个角的补角加上10°后，等于这个角的余角的3倍，则这个角是( )
A．30° B．35° C．40° D．45°
【解答】解：设这个角为∠α，依题意，
得180°﹣∠α+10°＝3(90°﹣∠α)
解得∠α＝40°．
故选：C．
5．如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB．若∠AOD＝110°，则∠COB等于( )
A．35° B．70° C．110° D．145°
【解答】解：∵∠AOD+∠BOD＝180°，∠AOD＝110°，
∴∠BOD＝70°，
∵OC平分∠DOB，
∴∠COB＝∠BOD＝35°．
故选：A．
6．57.2°＝ 57 度 12 分．
【解答】解：∵0.2×60′＝12′，
∴57.2°＝57°12′，
故答案为：57，12．
7．比较：28°15′ ＞ 28.15°(填“＞”、“＜”或“＝”)．
【解答】解：∵28°15′＝28°+(15÷60)°＝28.25°，
∴28°15′＞28.15°．
故答案为：＞．
8．若∠A＝59.6°，则它的余角为 30 ° 24 ′．
【解答】解：∵∠A＝59.6°，
∴∠A的余角为90°﹣59.6°＝30.4°＝30°24'，
故答案为30；24．
9．如图所示，两个直角三角形的直角顶点重合，如果∠AOD＝125°，那么∠BOC＝ 55° ．
【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝90°，
而∠AOD＝125°，
∴∠BOD＝∠AOD﹣90°＝35°，
∴∠BOC＝∠COD﹣∠BOD＝90°﹣35°＝55°．
故答案为：55°．
10．计算：182°36'÷4+22°16'×3．
【解答】解：原式＝45°+(2°+36′)÷4+66°48′
＝45°+156′÷4+66°48′
＝45°+39′+66°48′
＝112°27′．
11．完成下列说理过程：
已知，如图，∠AOC＝∠BOE＝90°，OD是∠COE的角平分线，且∠DOE＝15°．请你求出∠AOB的度数．
解：因为∠AOC＝∠BOE＝90°，
即∠AOB+∠BOC＝90°，∠BOC+∠COE＝90°．
所以∠AOB与∠BOC互余，∠BOC与∠COE互余．
所以∠ AOB ＝∠ COE ．(理由： 同角的余角相等 )
因为OD是∠COE的角平分线，
所以∠COE＝2∠ DOE ．(理由： 角平分线定义 )
因为∠DOE＝15°，
所以∠COE＝30°．
所以 ∠AOB ＝ 30° ．
【解答】解：因为∠AOC＝∠BOE＝90°，
即∠AOB+∠BOC＝90°，∠BOC+∠COE＝90°．
所以∠AOB与∠BOC互余，∠BOC与∠COE互余．
所以∠AOB＝∠COE．(理由：同角的余角相等)
因为OD是∠COE的角平分线，
所以∠COE＝2∠DOE．(理由：角平分线定义)
因为∠DOE＝15°，
所以∠COE＝30°．
所以∠AOB＝30°．
故答案依次为：∠AOB，∠COE，同角的余角相等，
∠DOE，角平分线定义，
∠AOB，30°．
12．如图，点O是直线AB上一点，∠COD＝50°，OE，OF分别平分∠AOC和∠DOB，求∠EOF的度数．
【解答】解：∵∠COD＝50°，
∴∠AOC+∠BOD＝180°﹣∠COD＝180°﹣50°＝130°，
∵OE，OF分别平分∠AOC和∠DOB，
∴∠AOE＝∠COE，∠DOF＝∠BOF，
∴∠EOC+∠DOF＝(∠AOC+∠BOD)＝65°，
∴∠EOF＝∠EOC+∠DOF+∠COD＝65°+50°＝115°．
13．已知：如图所示，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．若∠BOC＝70°，∠AOC＝50°．
(1)求出∠AOB及其补角的度数；
(2)求出∠DOC和∠AOE的度数，并判断∠DOE与∠AOB是否互补，并说明理由；
(3)若∠BOC＝α，∠AOC＝β，则∠DOE与∠AOB是否互补，并说明理由．
【解答】解：(1)∠AOB＝∠BOC+∠AOC＝70°+50°＝120°，
其补角为180°﹣∠AOB＝180°﹣120°＝60°，
(2)∠DOE与∠AOB互补，理由如下：
∵∠DOC＝∠BOC＝×70°＝35°，∠COE＝∠AOC＝×50°＝25°．
∴∠DOE＝∠DOC+∠COE＝35°+25°＝60°．
∴∠DOE+∠AOB＝60°+70°+50°＝180°，
∴∠DOE与∠AOB互补．
(3)∠DOE与∠AOB不一定互补，理由如下：
∵∠DOC＝∠BOC＝α，∠COE＝∠AOC＝β，
∴∠DOE＝∠DOC+∠COE＝α+β＝(α+β)，
∴∠DOE+∠AOB＝(α+β)+(α+β)＝(α+β)，
∵α+β的度数不确定
∴∠DOE与∠AOB不一定互补．
14．∠AOB与∠COD有共同的顶点O，其中∠AOB＝∠COD＝60°．
(1)如图①，若∠BOC＝10°，试判断∠AOC与∠BOD的大小关系，并说明理由，求∠AOD的度数；
(2)如图①，猜想∠AOD与∠BOC的数量关系，并说明理由；
(3)若改变∠AOB，∠COD的位置，如图②，则(2)的结论还成立吗？若成立，请说明；若不成立，请直接写出你的猜想．
【解答】解：(1)∠AOC＝∠BOD，理由如下：
如图1，
∵∠AOB＝∠COD＝60°，∠BOC＝10°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝60°﹣10°＝50°，
∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝60°﹣10°＝50°，
∴∠AOC＝∠BOD，
∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝50°+60°＝110°；
(2)∠AOD+∠BOC＝120°，理由如下：
∵∠AOB＝∠COD＝60°，
∴∠AOD+∠BOC＝∠AOC+∠BOC+∠BOD+∠BOC
＝∠AOB+∠COD
＝60°+60°
＝120°；
(3)在(2)中的关系不成立，∠AOD+∠BOC＝240°，理由如下：
如图2，
∵∠AOD+∠COD+∠BOC+∠AOB＝360°，∠AOB＝∠COD＝60°，
∴∠AOD+∠BOC＝360°﹣60°﹣60°＝240°．
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