湖北省宜城市第一中学、枣阳一中等六校2022-2023学年高一下学期期中联考数学试卷（含答案）

湖北省宜城市第一中学、枣阳一中等六校2022-2023学年高一下学期期中联考数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、若复数(i是虚数单位),则的共轭复数在复平面内部对应的点在(     )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2、已知平面向量满足与的夹角为，，则实数的值为(   )

A.-2 B.2 C. D.

3、已知为锐角，，则(   )

A. B. C. D.

4、在中，，则的形状一定是(   )

A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形

5、把函数的图像上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再把图像上所有的点向左平行移动个单位长度，得到的图像所表示的函数是(   )

A.  B.

C.  D.

6、已知单位向量满足，则向量夹角的余弦值为(   )

A. B. C. D.或

7、已知，则的值为(   )

A. B. C. D.

8、已知四边形ABCD中，，，，点E在四边形ABCD的边上运动，则的最小值是(   )

A. B. C. D.-1

二、多项选择题

9、下列四个命题为真命题的是(   )

A.已知非零向量，若，则

B.若四边形ABCD中有，则四边形ABCD为平行四边形

C.己知，，，则可以作为平面向量的一组基底

D.已知向量，，则在方向上的投影向量的模为

10、已知函数，则下列判断正确的是(   )

A.为偶函数

B.的图象关于直线对称

C.在上单调递增

D.的图象关于点对称

11、已知角A，B，C是的三个内角，下列结论一定成立的有(   )

A.

B.若，则

C.若是锐角三角形，则

D.若角C是钝角，则

12、下列命题为真命题的是(   )

A.函数的图象关于点对称

B.函数是最小正周期为的周期函数

C.若是第二象限角，则，且

D.函数在区间上是增函数

三、填空题

13、已知复数z满足，则在复平面中z对应的点所构成的图形的面积为__________.

14、已知函数的最小正周期为，则函数在区间上的最大值与最小值的和是__________.

15、已知点，，将向量按顺时针方向旋转后得到向量，则点的坐标为__________.

16、在中，，,BC边上的高为2，则满足条件的的个数为__________.

四、解答题

17、已知复数.

（1）若z为纯虚数，求实数m的值；

（2）若z在复平面内对应的点在直线上，求.

18、已知为锐角，，

（1）求的值；

（2）求的值.

19、如图，在四边形ABCD中，BCAD，BC=1，AD=3，为等边三角形，E是边CD上靠近的三等分点.设，.

（1）用表示；

（2）求的余弦值.

20、建设生态文明是关系人民福祉､关乎民族未来的长远大计.某市通宵营业的大型商场，为响应国家节能减排的号召，在气温低于时，才开放中央空调，否则关闭中央空调.如图是该市冬季某一天的气温（单位：）随时间（，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似满足关系.

（1）求的表达式；

（2）请根据（1）的结论，求该商场的中央空调在一天内开启的时长.

21、设函数.

（1）求函数的最小正周期及图象的对称轴；

（2）在中，若，且的外接圆的面积为，求的最大值.

22、在中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，的面积为S.已知，且.

（1）求角C的大小；

（2）若对任意的恒成立，，求的最小值.

参考答案

1、答案：C

解析：在复平面内对应的点为且该

点位于第三象限,故选C.

2、答案：B

解析：因为，所以，即，故，所以，故选B。

3、答案：A

解析：由题意为锐角，可得，由，可得，故==故选A

4、答案：A

解析：由，得，所以，即，所以，所以是直角三角形。故选A。

5、答案：D

解析：函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得函数，再把图象上所有的点向左平行移动个单位长度，得，故选D

6、答案：B

解析：因为单位向量满足，所以，即，所以，解得或，又，则，则，故选B

7、答案：A

解析：

8、答案：C

解析：如图所示，因为ACBD，且AB=BC，所以BD垂直且平分AC，则△ACD为等腰三角形，又AC=CD=，所以△ACD为等边三角形，则四边形ABCD关于直线BD对称，故点E在四边形ABCD上运动时，只需考虑点E在边BC，CD上的运动情况即可，因为AB=BC==1，CD=,，即BCCD，则。

①当点E在边BC上运动时，设，则，

则==，当时，最小值为；

当时，最小值为；

②当点E在边CD上运动时，设，则，则,当k=时，的最小值为；综上，的最小值为；故选C

9、答案：ABD

解析：对于选项A，对于非零向量，由，，且为非零向量，可知，即A选项正确；对于选项B，四边形ABCD中有，由平行四边形判定定理可得，四边形ABCD为平行四边形，即选项B正确；对于选项C，，则，即，则不能作为平面向量的一组基底，即选项C错误；对于选项D，，，则向量在向量上的投影向量为，所以在方向上的投影向量的模为，即选项D正确。故选ABD。

10、答案：AB

解析：根据降幂公式及辅助角公式，在根据余弦函数的性质逐一判断即可。

11、答案：ABC

解析：由于角A，B，C是△ABC的三个内角，故，∴，而在上单调递减，则，，A正确；若A＜B，则a＜b，由正弦定理可得，B正确；若△ABC是锐角三角形，则A+B＞，即＞A＞-B＞0，而在（0，）上单调递增，故＞，则＞，C正确；若角C是钝角，则，且，∴，故，则，D错误，故选：ABC．

12、答案：AD

解析：根据正切函数的性质可知函数y=的图象关于点（，0）以及点，对称，即函数y=的图象关于点，对称，A正确；对于函数，由于，即，即不是函数的周期，再结合函数的图象，

可知函数不是周期函数，B错误；若是第二象限角，不妨取，则，则

，，C错误

当时，，而在上单调递增，故在上单调递增，同理当时，，而在上单调递减，故在上单调递增，故函数在区间上是增函数，D正确。

13、答案：

解析：根据题意可知复数z满足，则由复数模的几何意义知z对应的点所构成的图形为半径为2和的两个同心圆所围成的圆环，则其面积为．故答案为：。

14、答案：1

解析：因为函数的最小正周期为，所以，所以，当时，，所以，所以。故答案为1

15、答案：

解析：解:由题意得, 则设与x轴正半轴的夹角为，则，与x轴正半轴的夹角为则

，，故点N的横坐标为,纵坐标为，即点N的坐标为，故答案为。

16、答案：2

解析：因为中，，所以的外接圆半径为，即A位于以2为半径的圆弧上，如图，当为正三角形时，此时顶点A到BC的距离的最大值为

如图当A位于E,F处时，此时CE,CF为外接圆直径，则，则，满足边上的高为2，故满足条件的的个数为2个，故答案为: 2

17、答案： (1)

(2)

解析：(1)复数，

实部为，虚部为.

若z为纯虚数，则

解得. 

（2）由题意可得，

解得.

所以，

所以.

18、答案：（1）因为为锐角，且，所以，所以.

解析：（1）

（2）由（1）知，，因为为锐角，，所以，则，则

解析：（2）

19、答案：（1）由图可知，因为是边上靠近的三等分点，所以，

解析：（1）

（2）因为为等边三角形，所以，所以所以，则

解析：（2）

20、答案：（1）因为图像上最低点坐标为，与之相邻的最高点坐标为，所以，所以，解得所以

解析：（1）

（2）由（1）得所以，

所以，解得，因为，所以或，所以该商场的中央空调应在本天内开启时长为8小时

解析：（2）

21、答案：解：（1）因为所以函数的最小正周期令，解得所以函数的周期是，对称轴方程是

解析：（1）

（2）因为，所以又因为.

所以，故有已知的外接圆的面积为，设半径为所以，得设的角所对的边分别为.由正弦定理。所以

，其中，所以的最大值是

解析：（2）

22、答案：解：（1）因为，所以。因为，所以所以，所以或。因为，所以，所以

解析：（1）

（2）因为对任意的恒成立，所以，即，解得，所以由（1）可知，则设，则，因为，所以，所以设函数，则在上单调递增所以当时，有最小值，即的最小值为1

解析：（2）