2023年四川省巴中市南江县中考数学一模试卷（含解析）

2023年四川省巴中市南江县中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  赤道长约为，用科学记数法可以把数字表示为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下面四个数中，比小的数是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，已知直线与直线、都相交．若，，则(    )
 

A.  B.  C.  D.

4.  反比例函数经过点，则下列说法错误的是(    )

A.  B. 函数图象分布在第一、三象限
C. 当时，随的增大而增大 D. 当时，随的增大而减小

5.  如图，在中，、分别为线段、的中点，设的面积为，的面积为，则(    )
 

A.  B.  C.  D.

6.  六位同学的年龄分别是、、、、、岁，关于这组数据，正确说法是(    )

A. 平均数是 B. 中位数是 C. 方差是 D. 众数是

7.  下列图形是某几何体的三视图其中主视图也称正视图，左视图也称侧视图，则这个几何体是(    )
 

A. 三棱柱 B. 三棱锥 C. 圆柱 D. 圆锥

8.  按一定规律排列的单项式：，，，，，，第个单项式是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，已知是的直径，是的弦，，垂足为若，，则的余弦值为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  下列计算中正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

11.  如图，平分，、、分别是射线、射线、射线上的点，、、与点都不重合，连接、若添加下列条件中的某一个，就能使≌你认为要添加的那个条件是(    )
 

A.  B.
C.  D.

12.  某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木．该活动开始后，实际每天比原计划每天多植树棵，实际植树棵所需时间与原计划植树棵所需时间相同．设实际每天植树棵，则下列方程正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

13.  若代数式有意义，则实数的取值范围是______．

14.  在平面直角坐标系中，点的坐标是，作点关于轴的对称点，得到点，再作点关于轴的对称点，得到点，则点的坐标是______ ，______

15.  分解因式：          ．

16.  关于的方程有两个相等的实数根，则的值是______ 。

17.  某中学开展劳动实习，学生到教具加工厂制作圆锥．他们制作的圆锥，母线长为，底面圆的半径为，这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是          ．

18.  如图，在中，，点在上不与点，重合只需添加一个条件即可证明≌，这个条件可以是______写出一个即可．

三、解答题（本大题共6小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
临近端午节，某学校数学兴趣小组到社区参加社会实践活动，帮助有关部门了解某小区居民对去年销量较好的鲜花粽、火腿粽、豆沙粽、蛋黄粽四种粽子的喜爱情况．在对该小区居民进行抽样调查后，根据统计结果绘制如下统计图：

说明：参与本次抽样调查的每一位居民在上述四种粽子中选择且只选择了一种喜爱的粽子．
请根据以上信息，解答下列问题：
补全条形统计图；
若该小区有人，估计喜爱火腿粽的有多少人？

20.  本小题分
一个不透明的箱子里装有个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定于左右．
请你估计箱子里白色小球的个数；
现从该箱子里摸出个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率用画树状图或列表的方法．

21.  本小题分
如图，在平行四边形中，连接，为线段的中点，延长与的延长线交于点，连接，．

求证：四边形是矩形；
若，，求四边形的面积．

22.  本小题分
某商场计划用元从厂家购进若干部新型手机，以满足市场需求已知该厂家生产三种不同型号的手机，出厂价分别为甲型号手机每部元，乙型号手机每部元，丙型号手机每部元．
若全部资金只用来购进其中两种不同型号的手机共部，请你设计出商场的进货方案；
商场每销售一部甲型号手机可获利元，每销售一部乙型号手机可获利元，每销售一部丙型号手机可获利元，那么在同时购进两种不同型号手机的几种方案中，哪种进货方案获利最多？

23.  本小题分
如图，四边形的外接圆是以为直径的是的劣弧上的任意一点．连接、、，延长至，使．

试判断直线与的位置关系，并证明你的结论；
若四边形是正方形，连接当与重合时，或当与重合时，把转化为正方形的有关线段长的比，可得当既不与重合也不与重合时，是否成立？请证明你的结论．

24.  本小题分
如图，抛物线与轴交于原点和点，且其顶点关于轴的对称点坐标为．
求抛物线的函数表达式；
抛物线的对称轴上存在定点，使得抛物线上的任意一点到定点的距离与点到直线的距离总相等．
证明上述结论并求出点的坐标；
过点的直线与抛物线交于，两点．
证明：当直线绕点旋转时，是定值，并求出该定值；
点是该抛物线上的一点，在轴，轴上分别找点，，使四边形周长最小，直接写出，的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：用科学记数法可表示为，
故选：．
此题考查科学记数法的表示方法．根据学记数法的表示形式解答．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
比小的数是．
故选：．
实数比较大小，正数大于负数，正数大于，负数小于，两个负数比较大小，绝对值越大这个负数越小，利用这些法则即可求解．
本题主要考查了实数的大小的比较，主要利用了负数小于．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
，
．

故选：．
利用平行线的性质解答即可．
本题主要考查了平行线的性质，对顶角相等，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
根据反比例函数经过点，可以得到的值，然后根据反比例函数的性质，即可判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】
解：反比例函数经过点，
，
解得，，故选项A正确；
，
该函数的图象在第一、三象限，故选项B正确；
当时，随的增大而减小，故选项C错误、选项D正确．
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：在中，、分别为线段、的中点，
为的中位线，
，，
∽，
，
，
即，
故选：．
根据三角形的中位线定理，相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．
本题主要考查了三角形的中位线定理和相似三角形的性质与判定，熟练掌握这些性质和定理是解决本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：选项，平均数岁，故该选项不符合题意；
选项，这组数据从小到大排序为：，，，，，，中位数岁，故该选项不符合题意；
选项，方差，故该选项不符合题意；
选项，出现的次数最多，众数是岁，故该选项符合题意；
故选：．
分别计算这组数据的平均数，中位数，方差，众数即可得出答案．
本题考查了算术平均数，中位数，方差，众数，掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做众数是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．
由三视图及题设条件知，此几何体为一个圆柱．
【解答】
解：还原几何体如图，故这个几何体是圆柱．

故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，

由上可知，第个单项式是：，
故选：．
观察指数规律与符号规律，进行解答便可．
此题主要考查了数字的变化类，关键是分别找出符号与指数的变化规律．
 

9.【答案】 

【解析】解：是的直径，，
，
，
．
，
．
故选：．
利用垂径定理求得，利用余弦的定义在中解答即可．
本题主要考查了垂径定理，直角三角形的边角关系定理，熟练掌握直角三角形的边角关系定理是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，原式，故该选项不符合题意；
，原式，故该选项符合题意；
，原式，故该选项不符合题意；
，原式，故该选项不符合题意；
故选：．
根据同底数幂的乘法判断选项；根据积的乘方判断选项；根据幂的乘方和同底数幂的除法判断选项；根据平方差公式判断选项．
本题考查了平方差公式，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘除法，掌握是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：平分，
，
又，
若，则根据可得≌，故选项D符合题意，
而添加不能得到≌，故选项A不符合题意，
添加不能得到≌，故选项B不符合题意，
添加不能得到≌，故选项C不符合题意，
故选：．
本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形判定定理并会应用．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
，
故选：．
根据实际植树棵所需时间与原计划植树棵所需时间相同，可以列出相应的分式方程，本题得以解决．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
．
故答案为：．
根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 

14.【答案】； 

【解析】解：点的坐标是，作点关于轴的对称点，得到点，
的坐标为：，
点关于轴的对称点，得到点，
点的坐标是：．
故答案为：；．
分别利用轴、轴对称点的性质，得出，的坐标进而得出答案．
此题主要考查了关于轴、轴对称点的性质．
关于轴对称点的坐标特点：
横坐标不变，纵坐标互为相反数．
即点关于轴的对称点的坐标是．
关于轴对称点的坐标特点：
横坐标互为相反数，纵坐标不变．
即点关于轴的对称点的坐标是．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
直接运用平方差公式分解因式即可．
本题主要考查平方差公式分解因式，掌握平方差公式的结构特点是解题的关键．
【解答】
解：．
故答案为：．  

16.【答案】 

【解析】解：关于的方程有两个相等的实数根，
，
解得：．
故答案为：．
根据根的判别式，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出值．
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：设这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是，
，
解得，
即这种圆锥的侧面展开图的圆心角是，
故答案为：．
根据题意可知，圆锥的底面圆的周长扇形的弧长，即可列出相应的方程，然后求解即可．
本题考查圆锥的计算，解答本题的关键是明确圆锥的底面圆的周长扇形的弧长．
 

18.【答案】答案不唯一 

【解析】解：添加，
在与中

，
故答案为：答案不唯一．
由题意可得，，即添加一组边对应相等，可证与全等．
本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键．
 

19.【答案】解：抽样调查的总人数：人，
喜欢火腿粽的人数为：人，
补全条形统计图如图所示：

根据题意得：人，
答：喜爱火腿粽的有人． 

【解析】先计算出抽样调查的总人数，用总人数减去喜欢其它三种粽子的人数即可，从而补全统计图；
根据样本估计总体计算即可．
本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，体现了用样本估计总体的思想．
 

20.【答案】解：通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在左右，
估计摸到红球的概率为，
设白球有个，
根据题意，得：，
解得，
经检验是分式方程的解，
估计箱子里白色小球的个数为；
画树状图为：

共有种等可能的结果数，其中两次摸出的球恰好颜色不同的结果数为，
两次摸出的小球颜色恰好不同的概率为． 

【解析】设白球有个，根据多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在左右可估计摸到红球的概率为，据此利用概率公式列出关于的方程，解之即可；
画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求事件或的概率．
 

21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
点是的中点，
，
在和中，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
．
四边形是矩形．
解：由得四边形是矩形，
，，，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
即四边形的面积为． 

【解析】由四边形是平行四边形，得，而点是的中点，可得≌，即知，从而四边形是平行四边形，又，即得四边形是矩形；
由，，，得的长，进而得到矩形的面积，再求出的面积，即可得四边形的面积．
本题考查平行四边形的性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理，证明．
 

22.【答案】解：元，
必买甲种型号手机．
当购进甲和乙两种型号手机时，设购进甲种型号手机部，乙种型号手机部，
依题意，得：，
解得：；
当购进甲和丙两种型号手机时，设购进甲种型号手机部，丙种型号手机部，
依题意，得：，
解得：；
共有两种进货方案，方案：购进甲种型号手机部，乙种型号手机部；方案：购进甲种型号手机部，丙种型号手机部．
方案获得的利润为：元，
方案获得的利润为：元．
，
方案购进甲种型号手机部，丙种型号手机部获得的利润多． 

【解析】由平均价格总价数量可求出部手机的均价，结合三种型号手机的单价即可得出必买甲种型号手机，分购进甲和乙两种型号手机及购进甲和丙两种型号手机两种情况，根据购买部手机共花费元，即可得出关于，或，的二元一次方程组，解之即可；
利用总利润单部利润销售数量，分别求出两个方案获得的利润，比较后即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

23.【答案】解：与相切，理由如下：
为的直径，
．
，
．
，
∽，
．
点在圆上，是的直径，
是的切线，
即：与相切；
仍然成立，理由如下：
如图，作，交的延长线于，

．
四边形是正方形，
，，，
，，
，
即：，
，
，
同理可得：，
，
，，
，，
，
在和中，

≌，
，
． 

【解析】【解析】
本题考查了圆周角定理及其推论，正方形性质，等腰直角三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键作辅助线，构造全等三角形．
可证明∽，从而得出，从而得出结论；
作，交的延长线于，可得出，进而得出是等腰直角三角形，再证得≌，从而得出，进一步得出结论．
 

24.【答案】解：顶点关于轴的对称点坐标为，
，
，
将点、点、点代入抛物线，
得到，解得，
；
设，，
点到直线的距离为，
，
，
，
到定点的距离与点到直线的距离相等，
抛物线上的任意一点到定点的距离与点到直线的距离总相等；
到定点的距离与点到直线的距离相等，
，
整理得，，
距离总相等，
，
；
设过点的直线解析式为，，，
联立，整理得，
，，
，，
到点与点到的距离相等，到点与点到的距离相等，
，
是定值；
作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接交轴、轴分别于点、，
，，
四边形周长，
点是该抛物线上的一点
，
，
，，
直线的解析为，
，． 

【解析】求出，，再将点、点、点代入抛物线，即可求解解析式；
设，，由已知可得，整理得到，因为任意一点到定点的距离与点到直线的距离总相等，所以，即可求坐标；设过点的直线解析式为，，，联立直线与抛物线解析式得，则有，，，，由可得；
作点关于轴的对称点，作点关于轴的对称点，连接交轴、轴分别于点、，四边形周长，求出，，可得直线的解析为，则可求，．
本题考查二次函数的综合应用，本题需要正确理解任意的含义，利用对称性求周长的最小值是常用方法，需要熟练掌握；求时，将点与点的距离转化为点与线的距离，熟练应用韦达定理是求解的关键．