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2022-2023学年重庆市渝北区六校联考九年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年重庆市渝北区六校联考九年级（下）第一次月考数学试卷（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，四象限内，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年重庆市渝北区六校联考九年级（下）第一次月考数学试卷
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 有理数−22的相反数是( )
A. 22 B. −22 C. 122 D. −122
2. 某物体如图所示，它的俯视图是( )
A. B. C. D.
3. 下列计算正确的是( )
A. b3⋅b3=2b3 B. (−2a)2=4a2
C. (a+b)2=a2+b2 D. (x+2)(x−2)=x2−2
4. 如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，已知BO：EO=2：1，则△ABC与△DEF的周长比是( )
A. 4：1 B. 3：1 C. 2：1 D. 3：2
5. 已知反比例函数y=−6x，下列说法不正确的是( )
A. 图象经过点(−3,2) B. 图象分别位于第二、四象限内
C. 在每个象限内y的值随x的值增大而增大 D. x≥−1时，y≥6
6. 观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第2023个图案中的“”的个数是( )
A. 6074 B. 6072 C. 6070 D. 6068
7. 如图，甲乙两人以相同的路线前往距离学校10km的文博中心参加学习，图中l1和l2分别表示甲乙两人前往目的地所走的路程(千米)随时间(分)变化的函数图象，以下说法：
①乙比甲提前12分钟到达；
②甲平均速度为0.25千米/小时；
③甲、乙相遇时，乙走了6千米；
④乙出发6分钟后追上甲；
其中正确的是( )
A. ②③④ B. ①③④ C. ③④ D. ①②
8. 已知a−1a=2 2，那么a+1a的值是( )
A. 2 3 B. ±2 3 C. −2 3 D. ± 6
9. 如图，AB是⊙O的切线，切点为点H，连接OA、OB分别与圆相交于点D、E，点C为圆上一点且∠DCE=52.5°，若⊙O的半径长为2，且∠A=30°，则AB的长为( )
A. 6
B. 2 3+2
C. 4 3
D. 3 2+2
10. 规定f(x)=|x−3|，g(y)=|y+4|，例如f(−4)=|−4−3|=7，g(−4)=|−4+4|=0，下列结论中，正确的是(填写正确选项的序号)( )
(1)若f(x)+g(y)=0，则2x−3y=18；(2)若x<−4，则f(x)+g(x)=1=2x；
(3)能使f(x)=g(x)成立的x的值不存在；(4)式子f(x−1)+g(x+1)的最小值是9．
A. (1)(2)(3) B. (1)(2)(4) C. (1)(4) D. (1)(2)(3)(4)
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11. 计算：2cos45°−( 3+π)0= ______ ．
12. 2022年5月14日，编号为B−001J的C919大飞机首飞成功.数据显示，C919大飞机的单价约为65300000元，数据65300000用科学记数法表示为______ ．
13. 已知一元二次方程x2+2x+c=0，随机从−2，−1，1，2四个数中选一个作为c的值.则可以使得该方程有解的概率为______ ．
14. 如图，在半径为4，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，则阴影部分的面积是______ (结果保留π)．
15. 若整数a既使得关于x的分式方程6−ax1−x−2=xx−1有整数解，又使得关于x，y的方程组ax−y=18x−2y=−1的解为正数，则a= ______ ．
16. 已知5个正数x1，x2，x3，x4，x5的标准差为2，则另一组数据3x1+1，3x2+1，3x3+1，3x4+1，3x5+1的方差为______ ．
17. 如图，已知在菱形ABCD，BC=9，∠ABC=60°，点E在BC上，且BE=6，将△ABE沿AE折叠得到△AB′E，其中B′E交CD于点F，则CF= ______ ．
18. 对于一个两位数m(十位和个位均不为0)，将这个两位数m的十位和个位上的数字对调得到新的两位数n，称n为m的“对调数”，将n放在m的左侧得到一个四位数，记为m′，将n放在m的右侧得到一个四位数，记为m″，规定F(m)=|m′−m″|99，例如：34的对调数为43，F(34)=|4334−3443|99=9.则F(29)= ______ ；若p=65+a(a为整数，1≤a≤9)，q=30+2b(b为整数，1≤b≤4)，p和q的十位、个位均不为0，p的对调数与q的对调数之和能被9整除，则F(p)F(q)对最小值为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
(1)计算：(x+1)2+(2x+1)(2x−1)−4x(x+1)．
(2)解方程：2x−3x2−1−1x+1=2x−1．
20. (本小题8.0分)
在四边形ABCD中，连接AC，∠BAC=90°，∠ACD>∠DAC．
(1)用尺规完成以下基本作图：作AC的垂直平分线分别交AD于点E，交BC于点F，连接CE，AF；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)所作的图形中，若BF=AE，证明：四边形AFCE为菱形．
证明：∵EF为AC的垂直平分线，
∴AF=CF，______ ．
∴ ______ =∠FCA．
∵∠BAC=90°，即∠BAF+∠CAF=90°，
∴在Rt△ABC中，______ ．
∴∠B=∠BAF，
∴ ______ ．
∵BF=AE，
∴AE=AF=FC=CE，
∴四边形AFCE为菱形．
21. (本小题10.0分)
某校为调查学生对海洋科普知识的了解情况，从全校学生中随机抽取n名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如图的频数分布直方图和扇形统计图．
请根据图中信息解答下列问题：
(1)补全频数分布直方图；
(2)在扇形统计图中，“70～80”这组的百分比m= ；
(3)已知“80～90”这组的数据如下：83，85，87，81，86，84，88，85，86，86，88，89.这组数据的众数是 分；抽取的n名学生测试成绩的中位数是 分；
(4)若成绩达到80分以上(含80分)为优秀，请你估计全校1200名学生对海洋科普知识了解情况为优秀的学生人数．
22. (本小题10.0分)
随着旅游业的多元化发展，自驾游呈现蓬勃发展的态势，相距50千米的A，B两家人相约开车自驾游，若两车同时出发相向而行，先汇合后再一同前往旅游地，则出发20分钟相遇；若两车同时出发同向而行，沿同一线路前往旅游地，则出发5小时A车可追上B车．
(1)求A，B两车的平均速度分别为多少千米/时；
(2)两家人决定同时出发同向而行，沿同一线路前往旅游地，A车要想在出发后2小时内追上B车，求A车的平均速度要在原速上至少提高多少千米/时？
23. (本小题10.0分)
如图，某大楼的顶部竖有一块宣传牌AB，小明在斜坡的坡脚D处测得宣传牌底部B的仰角为45°，沿斜坡DE向上走到E处测得宣传牌顶部A的仰角为31°，已知斜坡DE的坡度3：4，DE=10米，DC=22米，求宣传牌AB的高度．(测角器的高度忽略不计，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.6)
24. (本小题10.0分)
如图1，E为矩形ABCD的边AD上的一个动点，F为射线DC上的一个动点，BE⊥AF于点G，AB=2，BC=4.设AE=x，CF=y1，y2=4x．
(1)请直接写出y1与x之间的函数关系式及对应的x的取值范围；
(2)在如图2所示的平面直角坐标系中画出y1，y2的图象，并写出函数y1的一条性质；
(3)结合你所画的函数图象，直接写出不等式y1≤y2的解集．
25. (本小题10.0分)
如图，抛物线y=x2+bx+c(b、c是常数)的顶点为C，与x轴交于A、B两点，A(1,0)，AB=4，点P为线段AB上的动点，过P作PQ//BC交AC于点Q．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点D是直线CA上一动点，点E是抛物线上一动点，当P点坐标为(−1,0)且四边形PCDE是平行四边形时，求点D的坐标；
(3)求△CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标．
26. (本小题12.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为斜边AB上一点，连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°，得到CE，连接DE交AC于点F．
(1)如图1，若BC=2 3+2，∠A=30°，D为AB的中点，求CF的长度；
(2)如图2，ED⊥AB于点D，G为DE边上一点，且FG=12AB，求证：CG=AD+EG；
(3)如图3，若BC=2 3+2，∠A=30°，当△DFC为等腰三角形时，直接写出△DFC面积的最大值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：数值相反的两个数互为相反数，
所以−22的相反数是22，
故选：A．
利用相反数的定义即可求解．
本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题关键．
2.【答案】C
【解析】解：某物体如图所示，它的俯视图是：
故选：C．
根据俯视图的定义和画法进行判断即可．
本题考查简单组合体的主视图，俯视图就是从上面看物体所得到的图形．
3.【答案】B
【解析】解：A、b3⋅b3=b6，此选项错误；
B、(−2a)2=4a2，此选项正确；
C、(a+b)2=a2+2ab+b2，此选项错误；
D、(x+2)(x−2)=x2−4，此选项错误；
故选：B．
根据整式的乘法、乘方及完全平方公式、平方差公式计算即可得．
本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握单项式乘法、乘方的运算法则及完全平方公式、平方差公式．
4.【答案】C
【解析】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，
∴△ABC∽△DEF，AB//DE，
∴△ABO∽△DEO，
∴ABDE=OBOD，
∵BO：EO=2：1，
∴AB：DE=2：1，
∴△ABC与△DEF的周长比2：1，
故选：C．
根据位似变换的性质得到△ABC∽△DEF，AB//DE，得到△ABO∽△DEO，根据相似三角形的性质求出AB：DE，再根据相似三角形的周长比等于相似比解答即可．
本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：因为(−3)×2=−6，
所以A正确，不符合题意；
因为反比例函数y=−6x，
所以图象分别位于第二、四象限内；在每个象限内y的值随x的值增大而增大；
所以B、C正确，不符合题意；
当x≥−1时，y≥6或y<0，
所以D错误，符合题意，
故选：D．
根据反比例函数的性质逐一判断即可．
本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的基本性质是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵第1个图案中的“”的个数=1×3+1=4(个)，
第2个图案中的“”的个数=2×3+1=7(个)，
第3个图案中的“”的个数=3×3+1=10(个)，
⋅⋅⋅
第2023个图案中的“”的个数=3×2023+1=6070(个)，
故选：C．
根据题意可得第n个图案中的“”的个数为(3n+1)个，即可求解．
本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出规律．
7.【答案】B
【解析】解：由函数图象可得，
乙比甲提前40−28=12(分钟)到达，故①正确，
甲的平均速度是：10÷4060=15(千米/小时)，故②错误，
设l1对应的函数解析式为S=kt，则
40k=10，得k=14，
即l1对应的函数解析式为S=14t，
设l2对应的函数解析式为S=at+b，
18a+b=028a+b=10，得a=1b=−18，
即l2对应的函数解析式为S=t−18，
S=14tS=t−18，得S=6t=24，
∴甲乙相遇时，乙走了6千米，故③正确，
乙出发24−18=6(分钟)追上甲，故④正确，
故选：B．
根据题意和函数图象中的数据可以求得l1，l2对应的函数解析式，然后根据图象中的数据即可判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
8.【答案】B
【解析】解：∵(a−1a)2+4a×1a=(a+1a)2，a−1a=2 2，
∴8+4=(a+1a)2，
∴a+1a=±2 3，
故选：B．
根据完全平方公式即可求出答案．
本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．
9.【答案】B
【解析】解：连接OH、DE，
∵AB是⊙O的切线，切点为点H，
∴OH⊥AB，
∴∠AHO=∠BHO=90°，
∵∠A=30°，
∴OH=12OA，∠AOH=60°，
∵OH=2，
∴OA=4，
在Rt△AHO中，AH= OA2−OH2= 42−22=2 3，
∵∠DCE=52.5°，
∴∠DOE=2∠DCE=105°，
∴∠BOH=∠DOE−∠AOH=105°−60°=45°，
∵∠BHO=90°，
∴BH=OH=2，
∴AB=AH+BH=2 3+2，
故选B．
连接OH、DE，根据切线的性质，得到∠AHO=∠BHO=90°，再根据30度角所对的直角边等于斜边一半和三角形内角和定理，得到OH=12OA，∠AOH=60°，利用勾股定理求出AH=2 3，然后利用圆周角定理得到∠DOE=105°，从而得到∠BOH=45°，推出BH=OH=2，即可求出AB的长．
本题考查了切线的性质，掌握圆的相关性质，三角形内角和定理，勾股定理，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：(1)若f(x)+g(y)=0，即|x−3|+|y+4|=0，
解得：x=3，y=−4，
则2x−3y=6+12=18，结论正确；
(2)若x<−4，则f(x)+g(x)=|x−3|+|x+4|=3−x−x−4=−1−2x，结论错误；
(3)若f(x)=g(x)，则|x−3|=|x+4|，即x−3=x+4或x−3=−x−4，
解得：x=−0.5，即能使已知等式成立的x的值存在，故原结论错误；
(4)当−5≤x≤4时，式子f(x−1)+g(x+1)=|x−4|+|x+5|有最小值是9，结论正确．
正确的结论有(1)(4)．
故选：C．
根据题中的规定判断出各选项的正确与否即可．
此题考查了有理数的混合运算，整式的加减，解一元一次方程以及绝对值，弄清题中的新定义是解本题的关键．
11.【答案】 2−1
【解析】解：原式=2× 22−1
= 2−1．
直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
12.【答案】6.53×107
【解析】解：65300000=6.53×107．
故答案为：6.53×107．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
本题考查了科学记数法的表示方法，掌握形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数是关键．
13.【答案】34
【解析】解：Δ=22−4c≥0，解得c≤1，
即c≤1时，方程有解，
因为共有4种等可能的结果数，其中满足c≤1的结果数为3，
所以可以使得该方程有解的概率为34．
故答案为：34．
先利用根的判别式的意义得到c<1，然后根据概率公式求解．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2−4ac：当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．也考查了概率公式．
14.【答案】4π−4
【解析】解：连接CD，
在Rt△ACB中，AB= 42+42=4 2，
∵BC是半圆的直径，
∴∠CDB=90°，
在等腰Rt△ACB中，CD垂直平分AB，CD=BD=2 2，
∴D为半圆的中点，
∴S阴影部分=S扇形ACB−S△ADC=14π×42−12×(2 2)2=4π−4．
故答案为：4π−4．
已知BC为直径，则∠CDB=90°，在等腰直角三角形ABC中，CD垂直平分AB，CD=DB，D为半圆的中点，阴影部分的面积可以看作是扇形ACB的面积与△ADC的面积之差．
本题主要考查扇形面积的计算，在解答此题时要注意不规则图形面积的求法，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
15.【答案】5
【解析】解：解方程6−ax1−x−2=xx−1得，
x=4a−3，
∵分式方程有整数解，且x≠1，
∴a−3=−4或−2或−1或1或2或4，且a≠7，
∴a=−1或1或2或4或5，
解方程组ax−y=18x−2y=−1得，
x=32a−8y=a+82a−8，
∵方程组的解为正数，
∴2a−8>0a+8>0，
解得a>4，
综上，a=5．
故答案为：5．
先解分式方程得x关于a的代数式，根据分式方程有整数解和不能为增根，求出a的取值，再解方程组，根据方程组的解为正数，列出a的不等式组求得a的取值范围，进而综合求得a的取值个数．
本题主要考查了解分式方程，二元一次方程组，解不等式组，整数解的应用，容易忽略分式方程增根的限制条件．
16.【答案】36
【解析】解：∵5个正数x1，x2，x3，x4，x5的标准差为2，
∴5个正数x1，x2，x3，x4，x5的方差为：22=4，
∴另一组数据3x1+1，3x2+1，3x3+1，3x4+1，3x5+1的方差为：32×4=36；
故答案为：36．
根据标准差求出5个正数x1，x2，x3，x4，x5的方差，再根据数据经过ax2+b变形后的方差是原来数据的方差的a2倍，进行求解即可．
本题考查方差．熟练掌握标准差是方差的算术平方根，以及一组数据经过ax2+b变形后的方差是原来数据的方差的a2倍，是解题的关键．
17.【答案】95
【解析】解：过点A作AG⊥BC交BC于G，取HG使HG=GE，过H作HM⊥AE于H，过F作FN⊥BC交BC延长线于N，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=9，
在Rt△ABG中，∠B=60°，
∴sinB=sin60°=AGAB= 32，
∴AG= 32AB=9 32，
∵cosB=cos60°=BGAB=12，
∴BG=12AB=92，
∵BE=6，
∴HE=2GE=2(BE−BG)=2×(6−92)=3，
在Rt△AGE中，
AE= AG2+GE2= 2434+94= 63=3 7，
∵S△AHE=12×HE×AG=12×AE×HM，
∴12×3× 32=12×3 7×HM，
解得，HM=9 2114，
∵HG=GE，AG⊥HE，
∴△AHE是等腰三角形，
∴AH=AE，∠AHE=∠HEA，
在Rt△AHM中，
AM= AH2−HM2= AE2−HM2= 63−(9 2114)2= 10647196=39 714，
∵AB//CD，
∴∠FCN=∠B=60°，
∴FNCN=tan60°= 3，
∵折叠，
∴∠AEB′=∠HEA，
在Rt△AHE中，
∵∠HAE=180°−∠HEA−∠AHE=180°−2∠HEA，
又∠FEN=180°−∠HEA−∠AEB′=180°−2∠HEA，
∴∠HAE=∠FEN，
设CN=x，FN= 3x，
∵tan∠FEC=tan∠HAM=FNEN=HMAM，
∴ 3x3+x=9 211439 714，
∴ 3x3+x=3 313，
∴x=910，
∴CN=910FN=9 310，
∴CF= CN2+FN2=1810=95．
故答案为：95．
过点A作AG⊥BC交BC于G，取HG使HG=GE，过H作HM⊥AE于H，过F作FN⊥BC交BC延长线于N，通过直角三角形求出BG、AE，由三角形的面积球池HM，再通过折叠求出CF．
本题考查了翻折求线段，综合利用了等腰三角形和直角三角形等性质以及三角函数关系求线段，综合难度较高，是一道很好的综合问题．
18.【答案】63 1
【解析】解：m=29时，n=92，m′=9229，m″=2992，
∴F(29)=|9229−2992|99=63；
∵p=65+a(a为整数，1≤a≤9)，q=30+2b(b为整数，1≤b≤4)，
∴66≤p≤74且p≠0，32≤q≤38，
∴p的对调个位数为6或7，q的对调个位数为3，
∴17+23≤p，q的对调数的和≤96+83，且和的个位数为0或9，
∵p的对调数与q的对调数之和能被9整除，
∴p、q对调数的和可为90或99，
①和可为90时，p=71，q=37或p=72，q=36或p=73，q=35，
∵q=30+2b是偶数，
∴p=72，q=36，
∴b=3，a=7，
∴F(p)F(q)
=F(72)F(36)
=|2772−7227|99|6336−3663|99
=4527
=53，
②和可为99时，p=67，q=32，
∴F(p)F(q)=F(67)F(36)
=|7667−6776|99|2332−3223|99
=891891
=1，
综上所述：最小值为F(p)F(q)=1．
故答案为：63，1．
根据题意写出m=29时，n=92，m′=9229，m″=2992，代入公式F(m)=|m′−m″|99进行计算．
本题考查了因式分解的应用，掌握对调数的含义是解题关键．
19.【答案】解：(1)(x+1)2+(2x+1)(2x−1)−4x(x+1)
=x2+2x+1+4x2−1−4x2−4x
=x2−2x；
(2)2x−3x2−1−1x+1=2x−1，
方程两边都乘(x+1)(x−1)，得2x−3−(x−1)=2(x+1)，
解得：x=−4，
检验：当x=−4时，(x+1)(x−1)≠0，
所以x=−4是分式方程的解，
即分式方程的解是x=−4．
【解析】(1)先根据完全平方公式，平方差公式和单项式乘多项式进行计算，再合并同类项即可；
(2)方程两边都乘(x+1)(x−1)得出2x−3−(x−1)=2(x+1)，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了整式的混合运算和解分式方程，能正确根据整式的运算法则进行化简是解(1)的关键，能把分式方程转化成整式方程是解(2)的关键．
20.【答案】AE=CE ∠FAC ∠B+∠ACF=90° BF=AF
【解析】解：(1)根据基本作图的要领，作图如下：
则直线EF即为所求．
(2)∵EF为AC的垂直平分线，
∴AF=CF，AE=CE．
∴∠FAC=∠FCA．
∵∠BAC=90°，即∠BAF+∠CAF=90°，
在Rt△ABC中，∠B+∠ACF=90°．
∴∠B=∠BAF，
∴BF=AF．
∵BF=AE，
∴AE=AF=FC=CE，
∴四边形AFCE为菱形．
(1)根据线段垂直平分线的基本作图步骤完成即可．
(2)根据线段垂直平分线的性质，等量代换，菱形的判断证明即可．
本题考查了线段的垂直平分线的基本作图，线段的垂直平分线的性质，余角的性质，菱形的判定，熟练掌握基本作图，线段的垂直平分线的性质，菱形的判断是解题的关键．
21.【答案】20% 86 84.5
【解析】解：(1)8÷16%=50(人)，50−4−8−10−12=16(人)，
补全频数分布直方图如下：
(2)m=1050×100%=20%；
故答案为：20%；
(3)将“80～90”这组数据进行排序：
81，83，84，85，85，86，86，86，87，88，88，89，出现次数最多的为86，
∴众数为86分，
故答案为：86；
∵“50～80”分的人数已有22人，
∴第25和26名的成绩分别是是84分，85分，
∴中位数是84+852=84.5分；
故答案为：84.5；
(4)1200×12+1650=672(人)．
∴优秀人数是672人．
(1)先求出样本容量，再用样本容量减去已知各部分的频数，即可求出“90～100”这组的频数，从而补全频数分布直方图；
(2)用“70～80”这组的频数除以样本容量即可；
(3)根据众数和中位数的定义求解即可；
(4)用1200乘以80分以上人数所占的比例即可．
本题主要考查了频数分布直方图、扇形统计图的综合和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了利用样本估计总体，求数据的众数与中位数．
22.【答案】解：(1)可设A车的平均速度为x千米/时，B车的平均速度为y千米/时，依题意有：
2060(x+y)=505(x−y)=50，
解得x=80y=70．
故A车的平均速度为80千米/时，B车的平均速度为70千米/时；
(2)设A车的平均速度要在原速上提高m千米/时，依题意有：
2(80+m−70)≥50，
解得m≥15．
故A车的平均速度要在原速上至少提高15千米/时．
【解析】(1)可设A车的平均速度为x千米/时，B车的平均速度为y千米/时，根据若两车同时出发相向而行，先汇合后再一同前往旅游地，则出发20分钟相遇；若两车同时出发同向而行，沿同一线路前往旅游地，则出发5小时A车可追上B车；列出方程组求解即可；
(2)设A车的平均速度要在原速上提高m千米/时，根据两家人决定同时出发同向而行，沿同一线路前往旅游地，A车要想在出发后2小时内追上B车，列出不等式求解即可．
本题考查一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用、路程、速度、时间的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
23.【答案】解：过E分别作CD、AC的垂线，设垂足为F、G，
则CF=EG，CG=EF，
在Rt△EFD中，∵斜坡DE的坡度3：4，DE=10米，
∴设EF=3x米，DF=4x米，
∴DE= EF2+DF2=5x=10，
∴x=2，
∴EF=6米，DF=8米，
在Rt△BCD中，∠BDC=45°，
∴BC=CD=22米，
∴BG=BC−CG=22−6=16(米)，
在Rt△AEG中，AG=EG⋅tan31°=30×0.6=18(米)，
∴AB=AG−BG=18−16=2(米)，
答：宣传牌AB的高度为2米．
【解析】过E分别作CD、AC的垂线，设垂足为F、G，于是得到CF=EG，CG=EF，解直角三角形即可得到结论．
此题考查了解直角三角形的应用−仰角、俯角问题，解直角三角形的应用−坡角坡度问题，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．
24.【答案】解：(1)当点F在线段CD上时，如图1，
由题意得：AE=x，AD=4，AB=2，DF=4−y1，
∵BE⊥AF，即∠AGB=90°，
∴∠EAG+∠AEG=90°，
∵∠AEG+∠ABE=90°，
∴∠EAG=∠ABE，
∴tan∠EAG=tan∠ABE，
∴AEAB=DFAD，即x2=4−y14，
解得：y1=−2x+2(0≤x≤1)，
当点F在点C下方时，
同理可得：tan∠EAG=tan∠ABE，
∴AEAB=DFAD，即2+y14=x2，
y1=2x−2(x>1)，
则y1=−2x+2(0≤x≤1)2x−2(x>1)；
(2)对于y1，当x=0时，y1=2，当x=1时，y1=0，当x=2时，y1=2，
对于y2，当x=1时，y2=4，当x=2时，y2=2，当x=4时，y2=1，
通过对上述点描点、连线绘制图象如下：
从y1的图象看，当0≤x≤1时，y1随x的增大而减小，当x>1时，y1随x的增大而增大(答案不唯一)；
(3)从函数图象看，不等式y1≤y2的解集为：0
(2)通过对上述点描点、连线绘制图象，进而求解；
(3)观察函数图象即可求解．
本题为反比例函数综合运用，涉及到函数作图、一次函数和反比例函数的基本性质、解直角三角形等，有一定能够的综合性，难度适中．
25.【答案】解：(1)∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，A(1,0)，AB=4，
∴B(−3,0)，
将A(1,0)，B(−3,0)代入y=x2+bx+c，得1+b+c=09−3b+c=0，
∴b=2c=−3，
∴抛物线的解析式为y=x2+2x−3；
(2)∵抛物线解析式为y=x2+2x−3=(x+1)2−4，
∴点C的坐标为(−1,−4)，
∵P(−1,0)，
∴CP=4，
设直线AC的解析式为y=kx+b1，
∴k+b1=0−k+b1=−4，
∴k=2b1=−2，
∴直线AC的解析式为y=2x−2，
∵四边形PCDE是平行四边形，
∴PC=DE=4，PC//DE，
设点D的坐标为(m,2m−2)，则点P的坐标为(m,m2+2m−3)，
∴PD=|m2+2m−3−(2m−2)|=4，
∴|m2−1|=4，
∴m2−1=4或m2−1=−4(舍去)，
解得：m=± 5，
∴点D的坐标为( 5,2 5−2)或(− 5,−2 5−2)；
(3)如图，过Q作QE⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F，
设P(t,0)，则PA=1−t，
∵C(−1,−4)，
∴CF=4，
∴S△PCA=12PA⋅CF=12(1−t)⋅4=2−2t
∵PQ//BC，
∴△PQA∽△BCA，
∴AQAC=APAB=1−t4，
∵CF//QE，
∴△AEQ∽△AFC
∴AQAC=QECF，
∴QECF=1−t4，
即QE4=1−t4，
∴QE=1−t，
∵S△PQA=12PA⋅QE=12(1−t)(1−t)
∴S△CPQ=S△PCA−S△PQA=2−2t−12(1−t)(1−t)=−12(t+1)2+2，
∵−3≤t≤1，
∴当t=−1时S△CPQ有最大值2，
∴△CPQ面积的最大值为2，此时P点坐标为(−1,0)．
【解析】(1)先根据A(1,0)，AB=4，求出B点坐标，再将A，B点坐标代入y=x2+bx+c求解；
(2)先求出点C的坐标，进而求出CP=4，求出直线AC的解析式为y=2x−2，由平行四边形的性质得到PC=DE=4，PC//DE，设点D的坐标为(m,2m−2)，则点P的坐标为(m,m2+2m−3)，即可得到PD=|m2+2m−3−(2m−2)|=4，解方程即可得到答案；
(3)如图，过Q作QE⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F，设P(t,0)，则PA=1−t，CF=4，求出S△PCA=2−2t，证明△PQA∽△BCA，△AEQ∽△AFC推出QECF=1−t4，求得QE=1−t，再由S△PQA=12(1−t)(1−t)，得到S△CPQ=S△PCA−S△PQA=−12(t+1)2+2，利用二次函数的性质即可得到答案．
本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，平行四边形的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
26.【答案】(1)解：如图1中，过点C作CH⊥DE于点H，在CH上取一点P，使得CP=PF，连接PF．
∵∠ACB=90°，AD=DB，
∴CD=AD=DB，
∴∠ACD=∠A=30°，
∵BC=2 3+2，
∴AB=2BC=4 3+4，
∴CD=CE=12AB=2 3+2，
∵∠ECD=90°，
∴DE= 2CD=2 6+2 2，
∵CH⊥DE，
∴DH=EH，
∴CH=DH=EH= 6+ 2，
∵∠DCH=45°，
∴∠HCF=45°−30°=15°，
∵PC=PF，
∴∠PFC=∠PCF=15°，
∴∠FPH=∠PFC+∠PCF=30°，
设FH=m，则PF=CP=2m，PH= 3m，
∴2m+ 3m= 6+ 2，
∴m= 6− 2，
∴FH= 6− 2，
∴CF= FH2+CH2= ( 6− 2)2+( 6+ 2)2=4；
(2)证明：如图2中，取AB的中点T，连接CT，过点C作CM⊥AB于点M，CN⊥DE于点N．
∵∠ACB=90°，AT=TB，
∴CT=12AB，
∵CG=12AB，
∴CT=CG，
∵DE⊥AB，
∴∠CDE=∠CDB=45°，
∵CM⊥DB，CN⊥DE，
∴CM=CN，
∴Rt△CMT≌Rt△CNG(HL)，
∴MT=NG，
∵△CDM，△CDN都是等腰直角三角形，
∴DM=CM=CN=DN，
∴四边形DMCN是菱形，
∵∠MDN=90°，
∴四边形DMCN是正方形，
∴DM=DN=NE，
∵MT=NG，
∴DT=EG，
∴CG=AT=AD+DT=AD+EG；
(3)解：如图3−1中，当DF=CF时，∠CDF=∠DCF=45°，
∴∠DFC=90°，
设DF=CF=a，则AF= 3a，
∴a+ 3a= 3BC=6+2 3，
∴a=2 3，
∴△CDF的面积=12×2 3×2 3=6；
如图3−2中，DANG DF=DC时，过点D作DK⊥AC于点K，DJ⊥BC于点J，在CJ上取一点L.使得DL=CL，连接DL．
∵∠DJC=∠JCK=∠DKC=90°，
∴四边形DJCK是矩形，
∴DJ=CK，DK=CJ，
∵∠CDF=45°，DF=DC，
∴∠DCF=∠DFC=67.5°，
∴∠DCL=22.5°，
∵DL=LC，
∴∠LDC=∠LCD=22.5°，
∴∠DLJ=45°，
∴DJ=JL，
设BJ=k，则DJ=JL=CK=KF= 3k，DL=CL= 6k，
∴k+ 3k+ 6k=2 3+2，
∴k=3 3+5−2 6−3 2，
∴CF=18+10 3−12 2−6 6，
∴CJ=DK=3 2+2 6− 3−3，
∴△DCF的面积=12⋅CF⋅DK=24 2+48 6−114−54 3．
∴当△DFC为等腰三角形时，△DFC面积的最大值为24 2+48 6−114−54 3．
【解析】(1)如图1中，过点C作CH⊥DE于点H，在CH上取一点P，使得CP=PF，连接PF.求出FH，利用勾股定理求解即可；
(2)如图2中，取AB的中点T，连接CT，过点C作CM⊥AB于点M，CN⊥DE于点N.证明Rt△CMT≌Rt△CNG(HL)，推出MT=NG，再证明四边形DMCN是正方形，可得结论；
(3)分两种情形分别求出△CDF的面积即可．
本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
2022-2023学年重庆市渝北区六校联考九年级（下）第一次月考数学试卷
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 有理数−22的相反数是( )
A. 22 B. −22 C. 122 D. −122
2. 某物体如图所示，它的俯视图是( )
A. B. C. D.
3. 下列计算正确的是( )
A. b3⋅b3=2b3 B. (−2a)2=4a2
C. (a+b)2=a2+b2 D. (x+2)(x−2)=x2−2
4. 如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O为位似中心，已知BO：EO=2：1，则△ABC与△DEF的周长比是( )
A. 4：1 B. 3：1 C. 2：1 D. 3：2
5. 已知反比例函数y=−6x，下列说法不正确的是( )
A. 图象经过点(−3,2) B. 图象分别位于第二、四象限内
C. 在每个象限内y的值随x的值增大而增大 D. x≥−1时，y≥6
6. 观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第2023个图案中的“”的个数是( )
A. 6074 B. 6072 C. 6070 D. 6068
7. 如图，甲乙两人以相同的路线前往距离学校10km的文博中心参加学习，图中l1和l2分别表示甲乙两人前往目的地所走的路程(千米)随时间(分)变化的函数图象，以下说法：
①乙比甲提前12分钟到达；
②甲平均速度为0.25千米/小时；
③甲、乙相遇时，乙走了6千米；
④乙出发6分钟后追上甲；
其中正确的是( )
A. ②③④ B. ①③④ C. ③④ D. ①②
8. 已知a−1a=2 2，那么a+1a的值是( )
A. 2 3 B. ±2 3 C. −2 3 D. ± 6
9. 如图，AB是⊙O的切线，切点为点H，连接OA、OB分别与圆相交于点D、E，点C为圆上一点且∠DCE=52.5°，若⊙O的半径长为2，且∠A=30°，则AB的长为( )
A. 6
B. 2 3+2
C. 4 3
D. 3 2+2
10. 规定f(x)=|x−3|，g(y)=|y+4|，例如f(−4)=|−4−3|=7，g(−4)=|−4+4|=0，下列结论中，正确的是(填写正确选项的序号)( )
(1)若f(x)+g(y)=0，则2x−3y=18；(2)若x<−4，则f(x)+g(x)=1=2x；
(3)能使f(x)=g(x)成立的x的值不存在；(4)式子f(x−1)+g(x+1)的最小值是9．
A. (1)(2)(3) B. (1)(2)(4) C. (1)(4) D. (1)(2)(3)(4)
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11. 计算：2cos45°−( 3+π)0= ______ ．
12. 2022年5月14日，编号为B−001J的C919大飞机首飞成功.数据显示，C919大飞机的单价约为65300000元，数据65300000用科学记数法表示为______ ．
13. 已知一元二次方程x2+2x+c=0，随机从−2，−1，1，2四个数中选一个作为c的值.则可以使得该方程有解的概率为______ ．
14. 如图，在半径为4，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，则阴影部分的面积是______ (结果保留π)．
15. 若整数a既使得关于x的分式方程6−ax1−x−2=xx−1有整数解，又使得关于x，y的方程组ax−y=18x−2y=−1的解为正数，则a= ______ ．
16. 已知5个正数x1，x2，x3，x4，x5的标准差为2，则另一组数据3x1+1，3x2+1，3x3+1，3x4+1，3x5+1的方差为______ ．
17. 如图，已知在菱形ABCD，BC=9，∠ABC=60°，点E在BC上，且BE=6，将△ABE沿AE折叠得到△AB′E，其中B′E交CD于点F，则CF= ______ ．
18. 对于一个两位数m(十位和个位均不为0)，将这个两位数m的十位和个位上的数字对调得到新的两位数n，称n为m的“对调数”，将n放在m的左侧得到一个四位数，记为m′，将n放在m的右侧得到一个四位数，记为m″，规定F(m)=|m′−m″|99，例如：34的对调数为43，F(34)=|4334−3443|99=9.则F(29)= ______ ；若p=65+a(a为整数，1≤a≤9)，q=30+2b(b为整数，1≤b≤4)，p和q的十位、个位均不为0，p的对调数与q的对调数之和能被9整除，则F(p)F(q)对最小值为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
(1)计算：(x+1)2+(2x+1)(2x−1)−4x(x+1)．
(2)解方程：2x−3x2−1−1x+1=2x−1．
20. (本小题8.0分)
在四边形ABCD中，连接AC，∠BAC=90°，∠ACD>∠DAC．
(1)用尺规完成以下基本作图：作AC的垂直平分线分别交AD于点E，交BC于点F，连接CE，AF；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)所作的图形中，若BF=AE，证明：四边形AFCE为菱形．
证明：∵EF为AC的垂直平分线，
∴AF=CF，______ ．
∴ ______ =∠FCA．
∵∠BAC=90°，即∠BAF+∠CAF=90°，
∴在Rt△ABC中，______ ．
∴∠B=∠BAF，
∴ ______ ．
∵BF=AE，
∴AE=AF=FC=CE，
∴四边形AFCE为菱形．
21. (本小题10.0分)
某校为调查学生对海洋科普知识的了解情况，从全校学生中随机抽取n名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如图的频数分布直方图和扇形统计图．
请根据图中信息解答下列问题：
(1)补全频数分布直方图；
(2)在扇形统计图中，“70～80”这组的百分比m= ；
(3)已知“80～90”这组的数据如下：83，85，87，81，86，84，88，85，86，86，88，89.这组数据的众数是 分；抽取的n名学生测试成绩的中位数是 分；
(4)若成绩达到80分以上(含80分)为优秀，请你估计全校1200名学生对海洋科普知识了解情况为优秀的学生人数．
22. (本小题10.0分)
随着旅游业的多元化发展，自驾游呈现蓬勃发展的态势，相距50千米的A，B两家人相约开车自驾游，若两车同时出发相向而行，先汇合后再一同前往旅游地，则出发20分钟相遇；若两车同时出发同向而行，沿同一线路前往旅游地，则出发5小时A车可追上B车．
(1)求A，B两车的平均速度分别为多少千米/时；
(2)两家人决定同时出发同向而行，沿同一线路前往旅游地，A车要想在出发后2小时内追上B车，求A车的平均速度要在原速上至少提高多少千米/时？
23. (本小题10.0分)
如图，某大楼的顶部竖有一块宣传牌AB，小明在斜坡的坡脚D处测得宣传牌底部B的仰角为45°，沿斜坡DE向上走到E处测得宣传牌顶部A的仰角为31°，已知斜坡DE的坡度3：4，DE=10米，DC=22米，求宣传牌AB的高度．(测角器的高度忽略不计，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.6)
24. (本小题10.0分)
如图1，E为矩形ABCD的边AD上的一个动点，F为射线DC上的一个动点，BE⊥AF于点G，AB=2，BC=4.设AE=x，CF=y1，y2=4x．
(1)请直接写出y1与x之间的函数关系式及对应的x的取值范围；
(2)在如图2所示的平面直角坐标系中画出y1，y2的图象，并写出函数y1的一条性质；
(3)结合你所画的函数图象，直接写出不等式y1≤y2的解集．
25. (本小题10.0分)
如图，抛物线y=x2+bx+c(b、c是常数)的顶点为C，与x轴交于A、B两点，A(1,0)，AB=4，点P为线段AB上的动点，过P作PQ//BC交AC于点Q．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点D是直线CA上一动点，点E是抛物线上一动点，当P点坐标为(−1,0)且四边形PCDE是平行四边形时，求点D的坐标；
(3)求△CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标．
26. (本小题12.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为斜边AB上一点，连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°，得到CE，连接DE交AC于点F．
(1)如图1，若BC=2 3+2，∠A=30°，D为AB的中点，求CF的长度；
(2)如图2，ED⊥AB于点D，G为DE边上一点，且FG=12AB，求证：CG=AD+EG；
(3)如图3，若BC=2 3+2，∠A=30°，当△DFC为等腰三角形时，直接写出△DFC面积的最大值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：数值相反的两个数互为相反数，
所以−22的相反数是22，
故选：A．
利用相反数的定义即可求解．
本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题关键．
2.【答案】C
【解析】解：某物体如图所示，它的俯视图是：
故选：C．
根据俯视图的定义和画法进行判断即可．
本题考查简单组合体的主视图，俯视图就是从上面看物体所得到的图形．
3.【答案】B
【解析】解：A、b3⋅b3=b6，此选项错误；
B、(−2a)2=4a2，此选项正确；
C、(a+b)2=a2+2ab+b2，此选项错误；
D、(x+2)(x−2)=x2−4，此选项错误；
故选：B．
根据整式的乘法、乘方及完全平方公式、平方差公式计算即可得．
本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握单项式乘法、乘方的运算法则及完全平方公式、平方差公式．
4.【答案】C
【解析】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，
∴△ABC∽△DEF，AB//DE，
∴△ABO∽△DEO，
∴ABDE=OBOD，
∵BO：EO=2：1，
∴AB：DE=2：1，
∴△ABC与△DEF的周长比2：1，
故选：C．
根据位似变换的性质得到△ABC∽△DEF，AB//DE，得到△ABO∽△DEO，根据相似三角形的性质求出AB：DE，再根据相似三角形的周长比等于相似比解答即可．
本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：因为(−3)×2=−6，
所以A正确，不符合题意；
因为反比例函数y=−6x，
所以图象分别位于第二、四象限内；在每个象限内y的值随x的值增大而增大；
所以B、C正确，不符合题意；
当x≥−1时，y≥6或y<0，
所以D错误，符合题意，
故选：D．
根据反比例函数的性质逐一判断即可．
本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的基本性质是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵第1个图案中的“”的个数=1×3+1=4(个)，
第2个图案中的“”的个数=2×3+1=7(个)，
第3个图案中的“”的个数=3×3+1=10(个)，
⋅⋅⋅
第2023个图案中的“”的个数=3×2023+1=6070(个)，
故选：C．
根据题意可得第n个图案中的“”的个数为(3n+1)个，即可求解．
本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出规律．
7.【答案】B
【解析】解：由函数图象可得，
乙比甲提前40−28=12(分钟)到达，故①正确，
甲的平均速度是：10÷4060=15(千米/小时)，故②错误，
设l1对应的函数解析式为S=kt，则
40k=10，得k=14，
即l1对应的函数解析式为S=14t，
设l2对应的函数解析式为S=at+b，
18a+b=028a+b=10，得a=1b=−18，
即l2对应的函数解析式为S=t−18，
S=14tS=t−18，得S=6t=24，
∴甲乙相遇时，乙走了6千米，故③正确，
乙出发24−18=6(分钟)追上甲，故④正确，
故选：B．
根据题意和函数图象中的数据可以求得l1，l2对应的函数解析式，然后根据图象中的数据即可判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
8.【答案】B
【解析】解：∵(a−1a)2+4a×1a=(a+1a)2，a−1a=2 2，
∴8+4=(a+1a)2，
∴a+1a=±2 3，
故选：B．
根据完全平方公式即可求出答案．
本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．
9.【答案】B
【解析】解：连接OH、DE，
∵AB是⊙O的切线，切点为点H，
∴OH⊥AB，
∴∠AHO=∠BHO=90°，
∵∠A=30°，
∴OH=12OA，∠AOH=60°，
∵OH=2，
∴OA=4，
在Rt△AHO中，AH= OA2−OH2= 42−22=2 3，
∵∠DCE=52.5°，
∴∠DOE=2∠DCE=105°，
∴∠BOH=∠DOE−∠AOH=105°−60°=45°，
∵∠BHO=90°，
∴BH=OH=2，
∴AB=AH+BH=2 3+2，
故选B．
连接OH、DE，根据切线的性质，得到∠AHO=∠BHO=90°，再根据30度角所对的直角边等于斜边一半和三角形内角和定理，得到OH=12OA，∠AOH=60°，利用勾股定理求出AH=2 3，然后利用圆周角定理得到∠DOE=105°，从而得到∠BOH=45°，推出BH=OH=2，即可求出AB的长．
本题考查了切线的性质，掌握圆的相关性质，三角形内角和定理，勾股定理，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：(1)若f(x)+g(y)=0，即|x−3|+|y+4|=0，
解得：x=3，y=−4，
则2x−3y=6+12=18，结论正确；
(2)若x<−4，则f(x)+g(x)=|x−3|+|x+4|=3−x−x−4=−1−2x，结论错误；
(3)若f(x)=g(x)，则|x−3|=|x+4|，即x−3=x+4或x−3=−x−4，
解得：x=−0.5，即能使已知等式成立的x的值存在，故原结论错误；
(4)当−5≤x≤4时，式子f(x−1)+g(x+1)=|x−4|+|x+5|有最小值是9，结论正确．
正确的结论有(1)(4)．
故选：C．
根据题中的规定判断出各选项的正确与否即可．
此题考查了有理数的混合运算，整式的加减，解一元一次方程以及绝对值，弄清题中的新定义是解本题的关键．
11.【答案】 2−1
【解析】解：原式=2× 22−1
= 2−1．
直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
12.【答案】6.53×107
【解析】解：65300000=6.53×107．
故答案为：6.53×107．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
本题考查了科学记数法的表示方法，掌握形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数是关键．
13.【答案】34
【解析】解：Δ=22−4c≥0，解得c≤1，
即c≤1时，方程有解，
因为共有4种等可能的结果数，其中满足c≤1的结果数为3，
所以可以使得该方程有解的概率为34．
故答案为：34．
先利用根的判别式的意义得到c<1，然后根据概率公式求解．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2−4ac：当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．也考查了概率公式．
14.【答案】4π−4
【解析】解：连接CD，
在Rt△ACB中，AB= 42+42=4 2，
∵BC是半圆的直径，
∴∠CDB=90°，
在等腰Rt△ACB中，CD垂直平分AB，CD=BD=2 2，
∴D为半圆的中点，
∴S阴影部分=S扇形ACB−S△ADC=14π×42−12×(2 2)2=4π−4．
故答案为：4π−4．
已知BC为直径，则∠CDB=90°，在等腰直角三角形ABC中，CD垂直平分AB，CD=DB，D为半圆的中点，阴影部分的面积可以看作是扇形ACB的面积与△ADC的面积之差．
本题主要考查扇形面积的计算，在解答此题时要注意不规则图形面积的求法，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
15.【答案】5
【解析】解：解方程6−ax1−x−2=xx−1得，
x=4a−3，
∵分式方程有整数解，且x≠1，
∴a−3=−4或−2或−1或1或2或4，且a≠7，
∴a=−1或1或2或4或5，
解方程组ax−y=18x−2y=−1得，
x=32a−8y=a+82a−8，
∵方程组的解为正数，
∴2a−8>0a+8>0，
解得a>4，
综上，a=5．
故答案为：5．
先解分式方程得x关于a的代数式，根据分式方程有整数解和不能为增根，求出a的取值，再解方程组，根据方程组的解为正数，列出a的不等式组求得a的取值范围，进而综合求得a的取值个数．
本题主要考查了解分式方程，二元一次方程组，解不等式组，整数解的应用，容易忽略分式方程增根的限制条件．
16.【答案】36
【解析】解：∵5个正数x1，x2，x3，x4，x5的标准差为2，
∴5个正数x1，x2，x3，x4，x5的方差为：22=4，
∴另一组数据3x1+1，3x2+1，3x3+1，3x4+1，3x5+1的方差为：32×4=36；
故答案为：36．
根据标准差求出5个正数x1，x2，x3，x4，x5的方差，再根据数据经过ax2+b变形后的方差是原来数据的方差的a2倍，进行求解即可．
本题考查方差．熟练掌握标准差是方差的算术平方根，以及一组数据经过ax2+b变形后的方差是原来数据的方差的a2倍，是解题的关键．
17.【答案】95
【解析】解：过点A作AG⊥BC交BC于G，取HG使HG=GE，过H作HM⊥AE于H，过F作FN⊥BC交BC延长线于N，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=9，
在Rt△ABG中，∠B=60°，
∴sinB=sin60°=AGAB= 32，
∴AG= 32AB=9 32，
∵cosB=cos60°=BGAB=12，
∴BG=12AB=92，
∵BE=6，
∴HE=2GE=2(BE−BG)=2×(6−92)=3，
在Rt△AGE中，
AE= AG2+GE2= 2434+94= 63=3 7，
∵S△AHE=12×HE×AG=12×AE×HM，
∴12×3× 32=12×3 7×HM，
解得，HM=9 2114，
∵HG=GE，AG⊥HE，
∴△AHE是等腰三角形，
∴AH=AE，∠AHE=∠HEA，
在Rt△AHM中，
AM= AH2−HM2= AE2−HM2= 63−(9 2114)2= 10647196=39 714，
∵AB//CD，
∴∠FCN=∠B=60°，
∴FNCN=tan60°= 3，
∵折叠，
∴∠AEB′=∠HEA，
在Rt△AHE中，
∵∠HAE=180°−∠HEA−∠AHE=180°−2∠HEA，
又∠FEN=180°−∠HEA−∠AEB′=180°−2∠HEA，
∴∠HAE=∠FEN，
设CN=x，FN= 3x，
∵tan∠FEC=tan∠HAM=FNEN=HMAM，
∴ 3x3+x=9 211439 714，
∴ 3x3+x=3 313，
∴x=910，
∴CN=910FN=9 310，
∴CF= CN2+FN2=1810=95．
故答案为：95．
过点A作AG⊥BC交BC于G，取HG使HG=GE，过H作HM⊥AE于H，过F作FN⊥BC交BC延长线于N，通过直角三角形求出BG、AE，由三角形的面积球池HM，再通过折叠求出CF．
本题考查了翻折求线段，综合利用了等腰三角形和直角三角形等性质以及三角函数关系求线段，综合难度较高，是一道很好的综合问题．
18.【答案】63 1
【解析】解：m=29时，n=92，m′=9229，m″=2992，
∴F(29)=|9229−2992|99=63；
∵p=65+a(a为整数，1≤a≤9)，q=30+2b(b为整数，1≤b≤4)，
∴66≤p≤74且p≠0，32≤q≤38，
∴p的对调个位数为6或7，q的对调个位数为3，
∴17+23≤p，q的对调数的和≤96+83，且和的个位数为0或9，
∵p的对调数与q的对调数之和能被9整除，
∴p、q对调数的和可为90或99，
①和可为90时，p=71，q=37或p=72，q=36或p=73，q=35，
∵q=30+2b是偶数，
∴p=72，q=36，
∴b=3，a=7，
∴F(p)F(q)
=F(72)F(36)
=|2772−7227|99|6336−3663|99
=4527
=53，
②和可为99时，p=67，q=32，
∴F(p)F(q)=F(67)F(36)
=|7667−6776|99|2332−3223|99
=891891
=1，
综上所述：最小值为F(p)F(q)=1．
故答案为：63，1．
根据题意写出m=29时，n=92，m′=9229，m″=2992，代入公式F(m)=|m′−m″|99进行计算．
本题考查了因式分解的应用，掌握对调数的含义是解题关键．
19.【答案】解：(1)(x+1)2+(2x+1)(2x−1)−4x(x+1)
=x2+2x+1+4x2−1−4x2−4x
=x2−2x；
(2)2x−3x2−1−1x+1=2x−1，
方程两边都乘(x+1)(x−1)，得2x−3−(x−1)=2(x+1)，
解得：x=−4，
检验：当x=−4时，(x+1)(x−1)≠0，
所以x=−4是分式方程的解，
即分式方程的解是x=−4．
【解析】(1)先根据完全平方公式，平方差公式和单项式乘多项式进行计算，再合并同类项即可；
(2)方程两边都乘(x+1)(x−1)得出2x−3−(x−1)=2(x+1)，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了整式的混合运算和解分式方程，能正确根据整式的运算法则进行化简是解(1)的关键，能把分式方程转化成整式方程是解(2)的关键．
20.【答案】AE=CE ∠FAC ∠B+∠ACF=90° BF=AF
【解析】解：(1)根据基本作图的要领，作图如下：
则直线EF即为所求．
(2)∵EF为AC的垂直平分线，
∴AF=CF，AE=CE．
∴∠FAC=∠FCA．
∵∠BAC=90°，即∠BAF+∠CAF=90°，
在Rt△ABC中，∠B+∠ACF=90°．
∴∠B=∠BAF，
∴BF=AF．
∵BF=AE，
∴AE=AF=FC=CE，
∴四边形AFCE为菱形．
(1)根据线段垂直平分线的基本作图步骤完成即可．
(2)根据线段垂直平分线的性质，等量代换，菱形的判断证明即可．
本题考查了线段的垂直平分线的基本作图，线段的垂直平分线的性质，余角的性质，菱形的判定，熟练掌握基本作图，线段的垂直平分线的性质，菱形的判断是解题的关键．
21.【答案】20% 86 84.5
【解析】解：(1)8÷16%=50(人)，50−4−8−10−12=16(人)，
补全频数分布直方图如下：
(2)m=1050×100%=20%；
故答案为：20%；
(3)将“80～90”这组数据进行排序：
81，83，84，85，85，86，86，86，87，88，88，89，出现次数最多的为86，
∴众数为86分，
故答案为：86；
∵“50～80”分的人数已有22人，
∴第25和26名的成绩分别是是84分，85分，
∴中位数是84+852=84.5分；
故答案为：84.5；
(4)1200×12+1650=672(人)．
∴优秀人数是672人．
(1)先求出样本容量，再用样本容量减去已知各部分的频数，即可求出“90～100”这组的频数，从而补全频数分布直方图；
(2)用“70～80”这组的频数除以样本容量即可；
(3)根据众数和中位数的定义求解即可；
(4)用1200乘以80分以上人数所占的比例即可．
本题主要考查了频数分布直方图、扇形统计图的综合和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了利用样本估计总体，求数据的众数与中位数．
22.【答案】解：(1)可设A车的平均速度为x千米/时，B车的平均速度为y千米/时，依题意有：
2060(x+y)=505(x−y)=50，
解得x=80y=70．
故A车的平均速度为80千米/时，B车的平均速度为70千米/时；
(2)设A车的平均速度要在原速上提高m千米/时，依题意有：
2(80+m−70)≥50，
解得m≥15．
故A车的平均速度要在原速上至少提高15千米/时．
【解析】(1)可设A车的平均速度为x千米/时，B车的平均速度为y千米/时，根据若两车同时出发相向而行，先汇合后再一同前往旅游地，则出发20分钟相遇；若两车同时出发同向而行，沿同一线路前往旅游地，则出发5小时A车可追上B车；列出方程组求解即可；
(2)设A车的平均速度要在原速上提高m千米/时，根据两家人决定同时出发同向而行，沿同一线路前往旅游地，A车要想在出发后2小时内追上B车，列出不等式求解即可．
本题考查一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用、路程、速度、时间的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
23.【答案】解：过E分别作CD、AC的垂线，设垂足为F、G，
则CF=EG，CG=EF，
在Rt△EFD中，∵斜坡DE的坡度3：4，DE=10米，
∴设EF=3x米，DF=4x米，
∴DE= EF2+DF2=5x=10，
∴x=2，
∴EF=6米，DF=8米，
在Rt△BCD中，∠BDC=45°，
∴BC=CD=22米，
∴BG=BC−CG=22−6=16(米)，
在Rt△AEG中，AG=EG⋅tan31°=30×0.6=18(米)，
∴AB=AG−BG=18−16=2(米)，
答：宣传牌AB的高度为2米．
【解析】过E分别作CD、AC的垂线，设垂足为F、G，于是得到CF=EG，CG=EF，解直角三角形即可得到结论．
此题考查了解直角三角形的应用−仰角、俯角问题，解直角三角形的应用−坡角坡度问题，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．
24.【答案】解：(1)当点F在线段CD上时，如图1，
由题意得：AE=x，AD=4，AB=2，DF=4−y1，
∵BE⊥AF，即∠AGB=90°，
∴∠EAG+∠AEG=90°，
∵∠AEG+∠ABE=90°，
∴∠EAG=∠ABE，
∴tan∠EAG=tan∠ABE，
∴AEAB=DFAD，即x2=4−y14，
解得：y1=−2x+2(0≤x≤1)，
当点F在点C下方时，
同理可得：tan∠EAG=tan∠ABE，
∴AEAB=DFAD，即2+y14=x2，
y1=2x−2(x>1)，
则y1=−2x+2(0≤x≤1)2x−2(x>1)；
(2)对于y1，当x=0时，y1=2，当x=1时，y1=0，当x=2时，y1=2，
对于y2，当x=1时，y2=4，当x=2时，y2=2，当x=4时，y2=1，
通过对上述点描点、连线绘制图象如下：
从y1的图象看，当0≤x≤1时，y1随x的增大而减小，当x>1时，y1随x的增大而增大(答案不唯一)；
(3)从函数图象看，不等式y1≤y2的解集为：0
(2)通过对上述点描点、连线绘制图象，进而求解；
(3)观察函数图象即可求解．
本题为反比例函数综合运用，涉及到函数作图、一次函数和反比例函数的基本性质、解直角三角形等，有一定能够的综合性，难度适中．
25.【答案】解：(1)∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，A(1,0)，AB=4，
∴B(−3,0)，
将A(1,0)，B(−3,0)代入y=x2+bx+c，得1+b+c=09−3b+c=0，
∴b=2c=−3，
∴抛物线的解析式为y=x2+2x−3；
(2)∵抛物线解析式为y=x2+2x−3=(x+1)2−4，
∴点C的坐标为(−1,−4)，
∵P(−1,0)，
∴CP=4，
设直线AC的解析式为y=kx+b1，
∴k+b1=0−k+b1=−4，
∴k=2b1=−2，
∴直线AC的解析式为y=2x−2，
∵四边形PCDE是平行四边形，
∴PC=DE=4，PC//DE，
设点D的坐标为(m,2m−2)，则点P的坐标为(m,m2+2m−3)，
∴PD=|m2+2m−3−(2m−2)|=4，
∴|m2−1|=4，
∴m2−1=4或m2−1=−4(舍去)，
解得：m=± 5，
∴点D的坐标为( 5,2 5−2)或(− 5,−2 5−2)；
(3)如图，过Q作QE⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F，
设P(t,0)，则PA=1−t，
∵C(−1,−4)，
∴CF=4，
∴S△PCA=12PA⋅CF=12(1−t)⋅4=2−2t
∵PQ//BC，
∴△PQA∽△BCA，
∴AQAC=APAB=1−t4，
∵CF//QE，
∴△AEQ∽△AFC
∴AQAC=QECF，
∴QECF=1−t4，
即QE4=1−t4，
∴QE=1−t，
∵S△PQA=12PA⋅QE=12(1−t)(1−t)
∴S△CPQ=S△PCA−S△PQA=2−2t−12(1−t)(1−t)=−12(t+1)2+2，
∵−3≤t≤1，
∴当t=−1时S△CPQ有最大值2，
∴△CPQ面积的最大值为2，此时P点坐标为(−1,0)．
【解析】(1)先根据A(1,0)，AB=4，求出B点坐标，再将A，B点坐标代入y=x2+bx+c求解；
(2)先求出点C的坐标，进而求出CP=4，求出直线AC的解析式为y=2x−2，由平行四边形的性质得到PC=DE=4，PC//DE，设点D的坐标为(m,2m−2)，则点P的坐标为(m,m2+2m−3)，即可得到PD=|m2+2m−3−(2m−2)|=4，解方程即可得到答案；
(3)如图，过Q作QE⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F，设P(t,0)，则PA=1−t，CF=4，求出S△PCA=2−2t，证明△PQA∽△BCA，△AEQ∽△AFC推出QECF=1−t4，求得QE=1−t，再由S△PQA=12(1−t)(1−t)，得到S△CPQ=S△PCA−S△PQA=−12(t+1)2+2，利用二次函数的性质即可得到答案．
本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，平行四边形的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
26.【答案】(1)解：如图1中，过点C作CH⊥DE于点H，在CH上取一点P，使得CP=PF，连接PF．
∵∠ACB=90°，AD=DB，
∴CD=AD=DB，
∴∠ACD=∠A=30°，
∵BC=2 3+2，
∴AB=2BC=4 3+4，
∴CD=CE=12AB=2 3+2，
∵∠ECD=90°，
∴DE= 2CD=2 6+2 2，
∵CH⊥DE，
∴DH=EH，
∴CH=DH=EH= 6+ 2，
∵∠DCH=45°，
∴∠HCF=45°−30°=15°，
∵PC=PF，
∴∠PFC=∠PCF=15°，
∴∠FPH=∠PFC+∠PCF=30°，
设FH=m，则PF=CP=2m，PH= 3m，
∴2m+ 3m= 6+ 2，
∴m= 6− 2，
∴FH= 6− 2，
∴CF= FH2+CH2= ( 6− 2)2+( 6+ 2)2=4；
(2)证明：如图2中，取AB的中点T，连接CT，过点C作CM⊥AB于点M，CN⊥DE于点N．
∵∠ACB=90°，AT=TB，
∴CT=12AB，
∵CG=12AB，
∴CT=CG，
∵DE⊥AB，
∴∠CDE=∠CDB=45°，
∵CM⊥DB，CN⊥DE，
∴CM=CN，
∴Rt△CMT≌Rt△CNG(HL)，
∴MT=NG，
∵△CDM，△CDN都是等腰直角三角形，
∴DM=CM=CN=DN，
∴四边形DMCN是菱形，
∵∠MDN=90°，
∴四边形DMCN是正方形，
∴DM=DN=NE，
∵MT=NG，
∴DT=EG，
∴CG=AT=AD+DT=AD+EG；
(3)解：如图3−1中，当DF=CF时，∠CDF=∠DCF=45°，
∴∠DFC=90°，
设DF=CF=a，则AF= 3a，
∴a+ 3a= 3BC=6+2 3，
∴a=2 3，
∴△CDF的面积=12×2 3×2 3=6；
如图3−2中，DANG DF=DC时，过点D作DK⊥AC于点K，DJ⊥BC于点J，在CJ上取一点L.使得DL=CL，连接DL．
∵∠DJC=∠JCK=∠DKC=90°，
∴四边形DJCK是矩形，
∴DJ=CK，DK=CJ，
∵∠CDF=45°，DF=DC，
∴∠DCF=∠DFC=67.5°，
∴∠DCL=22.5°，
∵DL=LC，
∴∠LDC=∠LCD=22.5°，
∴∠DLJ=45°，
∴DJ=JL，
设BJ=k，则DJ=JL=CK=KF= 3k，DL=CL= 6k，
∴k+ 3k+ 6k=2 3+2，
∴k=3 3+5−2 6−3 2，
∴CF=18+10 3−12 2−6 6，
∴CJ=DK=3 2+2 6− 3−3，
∴△DCF的面积=12⋅CF⋅DK=24 2+48 6−114−54 3．
∴当△DFC为等腰三角形时，△DFC面积的最大值为24 2+48 6−114−54 3．
【解析】(1)如图1中，过点C作CH⊥DE于点H，在CH上取一点P，使得CP=PF，连接PF.求出FH，利用勾股定理求解即可；
(2)如图2中，取AB的中点T，连接CT，过点C作CM⊥AB于点M，CN⊥DE于点N.证明Rt△CMT≌Rt△CNG(HL)，推出MT=NG，再证明四边形DMCN是正方形，可得结论；
(3)分两种情形分别求出△CDF的面积即可．
本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
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