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考点01 集合6种常见考法归类-备战高考数学一轮复习题型归纳与解题策略（新高考专用）
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这是一份考点01 集合6种常见考法归类-备战高考数学一轮复习题型归纳与解题策略（新高考专用），文件包含考点01集合6种常见考法归类解析版docx、考点01集合6种常见考法归类原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共58页， 欢迎下载使用。
考点01 集合6种常见考法归类
考点一 集合的含义与表示
（一）判断元素与集合的关系
（二） 根据元素与集合的关系求参数
（三）根据集合中元素的个数求参数
（四）利用集合中元素的性质求集合个数
（五）集合元素互异性的应用
（六）集合的表示
考点二 集合间的基本关系
（一）集合间基本关系的判定
（二）空集
（三）（真）子集的列举与个数的计算
（四）根据集合相等求参数
（五）根据集合的包含关系求参数
考点三 集合的基本运算
（一）集合的并集、交集运算
（二）补集的运算
（三）交、并、补的综合运算
（四）根据集合的运算结果求参数
考点四 韦恩图及其应用
考点五 集合的新定义问题
考点六 集合的综合应用
1、与集合中元素有关的问题的求解策略
(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合，要明了集合{x|y＝f(x)}，{y|y＝f(x)}，{(x，y)|y＝f(x)}三者是不同的．
(2)集合元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．
2、集合间基本关系的2种判定方法和1个关键
两种方法：
(1)化简集合，从表达式中寻找两集合的关系；
(2)用列举法(图示法)表示各集合，从元素(图形)中寻找关系
一个关键：
关键是看它们是否具有包含关系，若有包含关系就是子集关系
3、根据两集合的关系求参数的方法
已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论（必须优先考虑空集的情况），做到不漏解，其次是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
(1)若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时应注意集合中元素的互异性；
(2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到．
4、集合基本运算的方法技巧
5、数形结合常使集合间的运算更简捷、直观
对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助韦恩(Venn)图实施；对连续的数集间的运算，常利用数轴进行；对点集间的运算，则往往通过坐标平面内的图形求解．这些在本质上都是数形结合思想的体现和运用．
6、集合运算中参数问题的求解策略
集合运算中的求参数问题，首先要会化简集合，因为在高考中此类问题常与不等式等知识综合考查，以体现综合性，其次注意数形结合(包括用数轴、韦恩(Venn)图等)及端点值的取舍.
具体步骤如下：
(1)化简所给集合；(2)用数轴表示所给集合；(3)根据集合端点的大小关系列出不等式(组)；(4)解不等式(组)；(5)检验．
7、集合新定义问题的求解思路
(1)遇到新定义问题，先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到解题的过程中，这是解答新定义型问题的关键所在；
(2)集合的性质是解答集合新定义问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些条件．
8、韦恩图的应用
韦恩(Venn)图能更直观地表示集合之间的关系，先分析集合关系，化简集合，再由韦恩(Venn)图所表示的集合关系进行运算．对复杂的集合关系问题，或相关的数学应用问题，可通过构造韦恩(Venn)图进行求解．
考点一 集合的含义与表示
（一）判断元素与集合的关系
1．（2023·河北·高三学业考试）给出下列关系：①；②；③；④．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】结合数的分类判断即可.
【详解】是有理数，是无理数，均为实数，①正确，②错误；
，为自然数及有理数，③④正确.
故选：C.
2．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）已知集合下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据元素与集合的关系求解.
【详解】因为，
所以A、C错误，
因为，所以，所以B错误，
又，所以，所以D正确，
故选:D．
3．（2023·新疆·校联考二模）集合，为1~10以内的质数}，记，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】通过质数的概念化简集合B，然后利用交集运算求解集合M，根据选项逐一判断即可.
【详解】因为为1~10以内的质数}，又，
则，对比选项可知，，即D正确，ABC错误.
故选：D.
4．（2023·河北石家庄·统考一模）设全集，若集合满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据元素与集合的关系及补集运算即可.
【详解】由题意可得：，
显然4是中的元素，故ABD错误，C正确.
故选：C
5．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知是同时满足下列条件的集合：①；②若，则；③且，则．下列结论中正确的有（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
【答案】ACD
【分析】根据集合满足的条件对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】（1）由①，则由②，，，由③得，故A正确；
（2）由（1）可知，故B错误；
（3）由①知，，，，，
即，故C正确；
（4），则，由③可得，，，
即，，即，；
由（3）可知当，，，
当，可得，，
故D正确．
故答案为：ACD
（二）根据元素与集合的关系求参数
6．（2023·北京海淀·校考模拟预测）设集合，若，则实数m=（ ）
A．0 B． C．0或 D．0或1
【答案】C
【分析】根据元素与集合的关系，分别讨论和两种情况，求解并检验集合的互异性，可得到答案.
【详解】设集合，若，
，或，
当时，，此时；
当时，，此时；
所以或.
故选：C
7．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】结合元素与集合的关系得到，解不等式即可求出结果.
【详解】由题意可得，解得，
故选：C
8．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知，若，且，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意建立不等式求解即可.
【详解】由题意，且，
解得，
故选：B
（三）根据集合中元素的个数求参数
9．（2023·吉林延边·统考二模）已知集合的元素只有一个，则实数a的值为（ ）
A． B．0 C．或0 D．无解
【答案】C
【分析】集合有一个元素，即方程有一解，分， 两种情况讨论，即可得解.
【详解】集合有一个元素，即方程有一解，
当时，，符合题意，
当时，有一解，
则，解得：，
综上可得：或，
故选：C.
10．（2023·上海·高三专题练习）若集合中有且只有一个元素，则正实数的取值范围是___________
【答案】
【分析】把不等式转化为，转化为，结合二次函数与一次函数的图象，列出不等式组，即可求解.
【详解】由题意，不等式且，即，
令，
所以，
所以是一个二次函数，图象是确定的一条抛物线，
而一次函数，图象是过一定点的动直线，
作出函数和的图象，如图所示，
其中，
又因为，结合图象，
要使得集合中有且只有一个元素，
可得，即，解得.
即正实数的取值范围是.
故答案为：.
11．（2023·全国·高三专题练习）已知集合.
（1）若中有两个元素，求实数的取值范围；
（2）若中至多有一个元素，求实数的取值范围.
【答案】（1）且；（2）或
【分析】（1）转化为关于的方程有两个不等的实数根，用判别式控制范围，即得解；
（2）分，两种情况讨论，当时用判别式控制范围，即得解；
【详解】（1）由于中有两个元素，
∴关于的方程有两个不等的实数根，
∴，且，即，且.
故实数的取值范围是且
（2）当时，方程为，，集合只有一个元素；
当时，若关于的方程有两个相等的实数根，则中只有一个元素，即，，
若关于的方程没有实数根，则中没有元素，即，.
综上可知，实数的取值范围是或
12．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，集合中至少有2个元素，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由于集合中至少有2个元素，所以,从而可求出的取值范围
【详解】解：因为集合中至少有2个元素，
所以，解得，
故选：D
13．（2023秋·重庆璧山·高三校联考阶段练习）已知集合．若中有两个元素，则实数m的不同取值个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】由中有两个元素，得到，由此能求出实数的不同取值个数．
【详解】解：集合，1，，，，
中有两个元素，
，解得，
实数的不同取值个数为1．
故选：B．
14．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，若集合A中所有整数元素之和为18，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【分析】先由二次不等式求出集合，根据已知集合中所有整数的元素和为18可判断的范围.
【详解】解；由可得
①若，则，则，其中所有整数的元素的和不可能是18，舍去
②若，则，不符合题意
③若，则，由知中的整数有3，4，5，6，
∴
故答案为：
15．（2023·高三课时练习）由实数构成的非空集合A满足条件：①；②若，则.试证明：
(1)若，则在集合A中必有另外两个数；
(2)若，则集合A不可能是单元素集合；
(3)若，且，则集合A中至少有三个元素.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据元素与集合关系结合条件即得；
（2）假设集合A是单元素集合，得到矛盾，进而即得；
（3）根据（2）结合条件即得.
【详解】（1）由，得，即，
由，得，即，
所以，若，则集合A中必有另外两个数和；
（2）假设集合A是单元素集合，即，
所以，得，
，该方程无实数根，于是，
所以，若，则集合A不可能是单元素集合；
（3）由，得，
由，得，即，
由（2）知，同理可得，，
所以，集合A中至少有三个元素a，，.
（四）利用集合中元素的性质求集合个数
16．（2023·全国·高三专题练习）由实数所组成的集合，最多可含有（ ）个元素
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】把分别可化为，，，，，，根据集合中元素的互异性，即可得到答案．
【详解】由题意，当时所含元素最多，
此时分别可化为，，，
所以由实数所组成的集合，最多可含有3个元素．
故选：B
17．（2023·全国·高三专题练习）集合的元素个数为_________．
【答案】
【分析】根据集合得表示可知： 是12的因数，即可求解.
【详解】由可知， 是12的因数，故 ，进而可得可取，
故答案为：
18．（2023·全国·高三专题练习）设集合，则集合的元素个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】解出集合中的不等式，得到集合中的元素，利用交集的运算即可得到结果.
【详解】集合，
所以.
故选：B.
19．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知集合，，则中的元素个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】应用并运算求，即可得元素个数.
【详解】由题设，所以，故其中元素共有4个.
故选：B
20．（2023·全国·高三专题练习）集合的元素个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意利用列举法写出集合A中的元素即可得出答案．
【详解】集合，
所以集合的元素个数为9个．
故选：B．
21．（2023·河北·高三学业考试）设集合，，，则中的元素个数为______．
【答案】4
【分析】求出所有的值，根据集合元素的互异性可判断个数.
【详解】因为集合中的元素，，，所以当时，，2，3，此时，6，7．当时，，2，3，此时，7，8．
根据集合元素的互异性可知，，6，7，8．即，共有4个元素．
故答案为：4．
22．（2023·河北·河北衡水中学校考模拟预测）若集合U有71个元素，且各有14，28个元素，则的元素个数最少是（ ）
A．14 B．30 C．32 D．42
【答案】A
【分析】根据集合中的元素以及交并补运算的性质即可求解.
【详解】设中有个元素，则,
所以中的元素个数为，因此中的元素个数为中的元素减去中的元素个数，即为，
由于，所以，故当时，有最小值14
故选：A
（五）集合元素互异性的应用
23．（2023·全国·高三专题练习）集合中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是（ ）
A．等腰三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
【答案】A
【分析】根据集合中元素的互异性可得答案.
【详解】根据集合中元素的互异性得，
故三角形一定不是等腰三角形.
故选：A.
24．（2023·全国·高三专题练习）若，则实数a的取值集合为______．
【答案】
【分析】根据元素的确定性和互异性可求实数a的取值.
【详解】因为，故或或，
当时，，与元素的互异性矛盾，舍；
当时，，符合；
当时，或，根据元素的互异性，符合，
故a的取值集合为.
故答案为：
25．（2023·全国·高三专题练习）已知其，则由的值构成的集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分，讨论，求出，再带入集合看是否满足互异性即可.
【详解】解：，
当，即时，，集合中有相同元素，舍去；
当，即（舍）或时，，符合，
故由的值构成的集合是.
故选：D
【点睛】本题考查元素与集合的关系，以及集合元素的互异性，注意带入验证，是基础题.
（六）集合的表示
26．【多选】（2023·全国·高三专题练习）下面说法中，正确的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据集合的定义，表示方法及集合相等的条件逐个分析判断
【详解】解：方程中x的取值范围为R，所以，同理，所以A正确；
表示直线上点的集合，而，所以，所以B错误；
集合，都表示大于2的实数构成的集合，所以C正确；
由于集合的元素具有无序性，所以，所以D正确．
故选：ACD．
27．（2023·高三课时练习）方程组的解集可表示为______.
【答案】
【分析】求出二元一次方程组的解，然后利用列举法表示即得.
【详解】由，可得，
所以方程的解集为.
故答案为：.
28．（2023·高三课时练习）已知集合，用列举法表示M＝______．
【答案】
【分析】由直接求解.
【详解】根据题意，应该为6 的因数，故可能取值为1，2，3，6，其对应的值分别为：4，3，2，.
又，所以的值分别为：4，3，2.
故集合.
故答案为：
29．（2023春·河北·高三统考学业考试）直角坐标平面中除去两点､可用集合表示为（ ）
A．
B．或
C．
D．
【答案】C
【解析】直角坐标平面中除去两点､，其余的点全部在集合中，逐一排除法．
【详解】直角坐标平面中除去两点、，其余的点全部在集合中，
选项中除去的是四条线；
选项中除去的是或除去或者同时除去两个点，共有三种情况，不符合题意；
选项，则且，即除去两点､，符合题意；
选项，则任意点都不能，即不能同时排除，两点．
故选：C
【点睛】本题考查了集合的基本概念，考查学生对集合的识别，属于中档题．
考点二 集合间的基本关系
（一）集合间基本关系的判定
30．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）设A、B、C是三个集合，若，则下列结论不正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用集合之间的基本关系即可判断.
【详解】,,
,
，故B正确；
，,
,故AD正确；
故选：C
31．（2023·全国·高三专题练习）集合，,则（ ）
A．； B．；
C．； D．．
【答案】B
【分析】化简两个集合，再判断集合间的关系.
【详解】,,
表示奇数，表示整数，所以.
故选：B
32．（2023·高三课时练习）已知集合，，，则M、N、P的关系满足（ ）
A．Ü B．Ü C．ÜÜ D．ÜÜ
【答案】B
【分析】先将集合M、N、P化简成统一形式，然后判断即可．
【详解】，
，
，
所以Ü.
故选：B．
33．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分析可得，由此可得出结论.
【详解】任取，则，其中，所以，，故，
因此，.
故选：C.
（二）空集
34．（2023·河北·高三学业考试）下列集合中，结果是空集的是( )
A．{x∈R|x2-1=0} B．{x|x>6或x<1}
C．{(x，y)|x2+y2=0} D．{x|x>6且x<1}
【答案】D
【分析】分析是否有元素在各选项的集合中，再作出判断.
【详解】A选项：，不是空集；B选项：{x|x>6或x<1}，不是空集；
C选项：(0,0)∈{(x，y)|x2+y2=0}，不是空集；D选项：不存在既大于6又小于1的数，
即：{x|x>6且x<1}=.
故选：D
35．（2023春·新疆乌鲁木齐·高三乌鲁木齐市十二中校考阶段练习）已知集合，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．集合是有限集
【答案】A
【解析】根据题意，由元素与集合的含义、元素与集合的关系是属于和不属于，集合与集合的基本关系，依次分析选项可得答案．
【详解】解：根据题意，依次分析选项可得：
对于选项、2.5是集合的元素，则，则正确；
对于选项、0是集合的元素，应有，而不是，错误；
对于选项、空集是任何集合的子集，应有，错误；
对于选项、集合为无限集，错误；
故选：A．
【点睛】本题考查集合、元素间关系的判断，是简单题，解题时注意分清与区别即可．
36．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则或 D．若时，则或
【答案】ABC
【分析】求出集合，根据集合包含关系，集合相等的定义和集合的概念求解判断．
【详解】，若，则，且，故A正确.
时，，故D不正确.
若，则且，解得，故B正确.
当时，，解得或，故C正确.
故选：ABC．
（三）（真）子集的列举与个数的计算
37．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知集合，则集合的子集个数为（ ）
A．3 B．4 C．8 D．16
【答案】C
【分析】解一元二次不等式，并结合已知用列举法表示集合A作答.
【详解】解不等式，得，因此，
所以集合的子集个数为.
故选：C
38．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知集合的所有非空子集的元素之和等于12，则等于（ ）
A．1 B．3 C．4 D．6
【答案】D
【分析】首先列出集合的非空子集，即可得到方程，解得即可.
【详解】解：集合的非空子集有、、，
所以，
解得.
故选：D
39．（2023·湖南怀化·统考二模）已知集合，则的真子集共有（ ）
A．3个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】C
【分析】先利用交集运算求解交集，再根据交集的元素个数来求解答案.
【详解】因为，
所以，
所以的真子集共有个.
故选：C.
40．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值有（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
【答案】BCD
【分析】根据条件可知集合中仅有一个元素，由此分析方程为一元一次方程、一元二次方程的情况，从而求解出的值.
【详解】因为集合仅有个子集，所以集合中仅有一个元素，
当时，，所以，所以，满足要求；
当时，因为集合中仅有一个元素，所以，所以，此时或，满足要求，
故选：BCD.
41．（2023·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测）已知集合满足，那么这样的集合M的个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】根据集合的包含关系一一列举出来即可.
【详解】因为，
所以集合可以为：，
共8个，
故选：C.
42．（2023·全国·高三专题练习）集合满足Ü，则集合的个数有________个.
【答案】3
【分析】根据题意求出所有的集合，即可解出.
【详解】因为Ü，即Ü，所以，，，即集合的个数有3个.
故答案为：3.
（四）根据集合相等求参数
43．（2023·江西·金溪一中校联考模拟预测）已知集合，，若，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】根据，可得两集合元素全部相等，分别求和，再根据集合元素的互异性可确定，的值，进而得出答案.
【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或，又根据集合互异性，可知，解得(舍)，和(舍)，所以，，则，
故选：A
44．（2023·全国·高三专题练习）含有3个实数的集合既可表示成，又可表示成，则 _____．
【答案】1
【分析】根据集合相等，则元素完全相同，分析参数，列出等式，即可求得结果.
【详解】因为，
显然，故，则；
此时两集合分别是，
则，解得或.
当时，不满足互异性，故舍去；
当时，满足题意.
所以
故答案为：.
45．（2023·上海·高三专题练习）已知集合且，定义集合，若，给出下列说法：①；②；③；其中所有正确序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【分析】由集合的新定义结合，可得，由此即可求解
【详解】因为集合且，
若，
则中也包含四个元素，即，
剩下的，
对于①：由得，故①正确；
对于②：由得，故②正确；
对于③：由得，故③正确；
故选：D
（五）根据集合的包含关系求参数
46．（2023·全国·高三专题练习）设，，，若，则（ ）
A． B． C．2 D．0
【答案】D
【分析】根据集合的包含关系，结合集合的性质求参数a、b，即可求.
【详解】由知：，即，得，
∴.
故选：D.
47．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，若，则实数a＝（ ）
A．2 B．1 C．0 D．-1
【答案】B
【分析】对于集合，元素对应的是一元二次方程的解，根据判别式得出必有两个不相等的实数根，又根据韦达定理以及，可确定出其中的元素，进而求解.
【详解】对于集合N，因为，
所以N中有两个元素，且乘积为-2，
又因为，所以，
所以．即a＝1．
故选：B.
48．（2023·广东茂名·统考二模）已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先解出集合,再根据列不等式直接求解.
【详解】集合，.
要使，只需，解得：.
故选：A
49．（2023春·北京海淀·高三首都师范大学附属中学校考开学考试）集合或，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分、和三种情况讨论，分别求出集合，再根据集合的包含关系求出参数的取值范围.
【详解】因为或，，
当时，此时，符合题意；
当时，
若则，因为，
所以，解得，又，所以，
若则，因为，
所以，解得，又，所以，
综上可得，即实数的取值范围是.
故选：C
50．（2023·江苏常州·常州市第三中学校考模拟预测）设集合，，．若，，则（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】B
【分析】根据包含关系结合交集的结果可求的值.
【详解】因为，故，故或，
若，则，，此时，符合；
若，则，，此时，不符合；
故选：B
51．（2023秋·陕西咸阳·高三武功县普集高级中学校考阶段练习）已知M = {x |－3 ≤ x ≤5}， N = {x | a ≤ x ≤ a+1}，若，求实数a的取值范围.
【答案】
【分析】先分析集合，再根据建立不等式然后解之即可.
【详解】因为，所以集合.
因此，时，应满足，解得.
52．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，且，则实数m的取值范围是___________.
【答案】
【分析】分B为空集和不是空集两种情况，根据集合建的包含关系得到不等式（组）求解.
【详解】解：分两种情况考虑：
①若B不为空集，可得：，
解得：，
，
且，
解得：，所以,
②若B为空集，符合题意，可得：，
解得：.
综上，实数m的取值范围是.
故答案为：.
考点三 集合的基本运算
（一）集合的并集、交集运算
53．（2023春·广东揭阳·高三校联考阶段练习）已知集合，，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先用列举法表示集合，再用交集的定义求出结果即可.
【详解】解：因为，
又有，所以.
故选：B
54．（2023春·安徽·高三安徽省临泉第一中学校联考阶段练习）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据对数不等式、一元一次不等式的解法求出集合A、B，结合交集的概念和运算即可求解.
【详解】由题意得，，
所以，，
所以.
故选：A.
55．（2023·陕西宝鸡·统考三模）已知集合，集合，则等于（ ）
A． B． C．． D．
【答案】B
【分析】求出两直线的交点坐标，即可得解.
【详解】由，解得，
因为集合，集合，
所以.
故选：B
56．（2023·宁夏银川·银川一中校考二模）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由对数函数的定义域求得B，再根据并集的定义求得结果.
【详解】由题意可得：
故选：D
57．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考二模）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出集合、，利用并集的定义可求得集合.
【详解】因为，
由可得，解得，则，
因此，.
故选：D.
58．（2023·重庆九龙坡·统考二模）已知集合，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用交集和补集的定义逐一判断即可.
【详解】集合，，
对于A：，A错误；
对于B：，B错误；
对于C：，C正确；
对于D：，D错误.
故选：C.
（二）补集的运算
59．（2023·内蒙古呼和浩特·统考二模）已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】计算，再计算补集得到答案.
【详解】，则.
故选：B
60．（2023·全国·高三专题练习）已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】化简集合M，根据补集定义计算即可.
【详解】，.
故选：C.
61．（2023春·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考阶段练习）已知全集，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】解不等式求出集合，再求补集可得答案.
【详解】因为，
所以．
故选：C.
（三）交、并、补的综合运算
62．（2023·河北张家口·统考一模）已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先化简集合A，再利用并集和补集的运算求解.
【详解】解：由，得，故，
所以，，．
故选：B．
63．（2023·江西九江·瑞昌市第一中学校联考模拟预测）已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先解出，根据补集的运算求出，然后根据交集的运算，即可得出答案.
【详解】解可得，，所以.
又，所以.
所以.
故选：B.
64．（2023·河北张家口·统考二模）已知集合，，则（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】由已知求出，然后根据补集的运算得出，根据并集的运算求解即可得出答案.
【详解】，，
即，，
所以，，，
所以，.
故选：C.
65．（2023·天津·校联考一模）已知全集，集合，则集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】计算出，从而根据交集，并集和补集概念计算出四个选项，得到正确答案.
【详解】由题意知，
，
A选项，，A错误；
B选项，，B错误；
C选项，，故，C错误；
所以.
故选：D.
（四）根据集合的运算结果求参数
66．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，若，则实数的取值的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据，列式分类讨论计算，然后将计算所得的结果代入集合验证.
【详解】集合，，
又∴或，解得或或，
当时，，，，符合题意
当时，，，，不符合题意
当时，，，不满足集合元素的互异性，不符合题意.
，则实数的取值的集合为.
故选：D.
67．（2023·内蒙古包头·二模）设集合，且，则（ ）
A． B． C．8 D．6
【答案】C
【分析】化简集合A、B，根据交集的结果求参数即可.
【详解】由，可得或，
即或，而，
∵，
∴，可得.
故选：C
68．（2023·高三课时练习）已知全集为，集合，，若，求实数a的取值范围.
【答案】.
【分析】由可得，由此列出不等式求出的取值范围．
【详解】若，则，
∵，，
∴，解得，
∴实数的取值范围是.
69．（2023·上海青浦·统考二模）已知集合，若，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【分析】求函数的定义域求得集合，根据求得的取值范围.
【详解】由解得，所以，
由于，所以，
所以的取值范围是.
故答案为：
70．（2023·高三课时练习）已知集合，，且，则实数m的取值范围是______．
【答案】
【分析】分析可知，分、两种情况讨论，根据可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围.
【详解】因为，则.
当时，即当时，，满足题意；
当时，即当时，，
由可得，解得，此时.
综上所述，.
故答案为：.
71．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校联考模拟预测）已知集合，，若中有且仅有三个整数，则正数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意化简集合，根据中有且仅有三个整数列不等式求解，可得答案.
【详解】由题意可得，，
若中有且仅有三个整数，则只能是，
故，解得，
故选：B．
72．（2023春·上海闵行·高三上海市七宝中学校考阶段练习）已知集合，且，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【分析】根据集合并集运算，结合数轴即可得到结果.
【详解】由题意知，可得.
故答案为：
73．（2023·陕西商洛·校考三模）设全集，集合，，则实数的值为（ ）
A．0 B．-1 C．2 D．0或2
【答案】A
【分析】利用给定条件，结合元素的互异性直接列式计算作答.
【详解】由集合知，，即，而，全集，
因此，，解得，经验证满足条件，
所以实数的值为0.
故选：A
74．（2023·全国·高三专题练习）设集合，，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先求出，依题意可得，即可得到不等式，解得即可.
【详解】因为，所以，
又，所以，
又，所以，解得，即实数的取值范围为.
故选：A
75．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）设集合或，若，则的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C． D．
【答案】B
【分析】先求出，根据，可求得结果.
【详解】由集合或，得，又集合且，则2或，即或.
故选：B.
考点四 韦恩图及其应用
76．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知集合，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由图象可知阴影部分对应的集合为且，根据集合和集合即可求出结果.
【详解】因为，
易知图中阴影部分对应的集合为且，选项D正确，
故选：D
77．（2023·全国·高三专题练习）设集合，则韦恩图中阴影部分表示的集合的真子集个数是（ ）
A．4 B．3
C．2 D．1
【答案】B
【分析】根据图形求出集合中的元素，再根据真子集个数公式求解即可.
【详解】由图可知，韦恩图中阴影部分表示的集合中的元素属于集合，但不属于，
因为，
所以阴影部分表示的集合为，
所以其真子集个数为.
故选：B.
78．（2023·全国·高三专题练习）已知全集是实数集，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】B
【分析】解不等式求得集合，然后求得，进而求得，从而确定正确答案.
【详解】，解得或，
所以或，
图中白色区域为或，
则阴影部分表示的集合为.
故选：B
79．（2023·全国·高三专题练习）如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据Venn图表示的集合运算作答．
【详解】阴影部分在集合的公共部分，但不在集合内，表示为，
故选：C．
80．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）某班一个课外调查小组调查了该班同学对物理和历史两门学科的兴趣爱好情况，其中该班同学对物理或历史感兴趣的同学占90％，对物理感兴趣的占56％，对历史感兴趣的占74％，则既对物理感兴趣又对历史感兴趣的同学占该班学生总数的比例是（ ）
A．70％ B．56％ C．40％ D．30％
【答案】C
【分析】根据公式列方程求解即可.
【详解】对物理感兴趣的同学占56％，对历史感兴趣的同学占74％，
这两组的比例数据都包含了既对物理感兴趣又对历史感兴趣的同学的比例，
设既对物理感兴趣又对历史感兴趣的同学占该班学生总数的比例为x，
则对物理或历史感兴趣的同学的比例是56％＋74％－x，
所以56％＋74％－x＝90％，
解得％，
故选：C.
81．（2023·全国·高三专题练习）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元1世纪左右．该书内容十分丰富，全书总结了战国、秦汉时期的数学成就．某数学兴趣小组在研究《九章算术》时，结合创新，给出下面问题：现有100人参加有奖问答，一共5道题，其中91人答对第一题，87人答对第二题，81人答对第三题，78人答对第四题，88人答对第五题，其中答对三道题以上（包括三道题）的人可以获得奖品，则获得奖品的人数至少为（ ）
A．70 B．75 C．80 D．85
【答案】B
【分析】由题意求出回答错误的题共有9＋13＋19＋22＋12＝75道．而答错3道题及以上的人没有奖品，所以最多会有人没有奖品，由此可求得答案.
【详解】解：由题意知，一共回答了500道题，其中回答错误的题共有9＋13＋19＋22＋12＝75道．
由于答对3道题以上（包括3道题）的人可以获得奖品，即答错3道题及以上的人没有奖品，
故最多会有人没有奖品，故获得奖品的人数至少为75．
故选：B.
82．（2023·全国·高三专题练习）高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少25人，这三门学科均不选的有8人.这三门课程均选的8人，三门中任选两门课程的均至少有15人.三门中只选物理与只选化学均至少有6人，那么该班选择物理与化学但未选生物的学生至多有______人.
【答案】9
【分析】根据题意，设学生54人看成集合，选择物理的人组成集合，选择化学的人组成集合，选择生物的人组成集合，选择物理与化学但未选生物的人组成集合，结合Venn图可知，要使区域的人数最多，其他区域人数最少即可，进而可求解.
【详解】把学生54人看成集合，选择物理的人组成集合，选择化学的人组成集合，选择生物的人组成集合，选择物理与化学但未选生物的人组成集合.
要使选择物理与化学但未选生物的学生人数最多，除这三门课程都不选的8人，则结合Venn图可知，其他区域人数均为最少，即得到只选物理与只选化学均至少6人，只选生物的最少25人，做出下图，得该班选择物理与化学但未选生物的学生至多有9人.
故答案为：9.
83．（2023·全国·高三专题练习）建党百年之际，影片《》《长津湖》《革命者》都已陆续上映，截止年月底，《长津湖》票房收入已超亿元，某市文化调查机构，在至少观看了这三部影片中的其中一部影片的市民中随机抽取了人进行调查，得知其中观看了《》的有人，观看了《长津湖》的有人，观看了《革命者》的有人，数据如图，则图中___________；___________；___________.
【答案】
【分析】根据韦恩图，结合看每部电影的人数可构造方程组求得结果.
【详解】由题意得：，解得：.
故答案为：；；.
考点五 集合的新定义问题
84．（2023·全国·高三专题练习）定义集合且，已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据集合新定义即可求解.
【详解】因为集合且，，
所以
故选：C
85．（2023·全国·高三专题练习）定义集合运算，若集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可得，从而可得或，或，再根据新定义得，再代入验证即可得答案.
【详解】解：因为，
所以或
所以或，
或
所以或，
，
代入验证，
故.
故选：D.
86．（2023·全国·高三专题练习）定义集合，设集合，，则中元素的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据集合的新定义求得，从而确定正确答案.
【详解】因为，，
所以，
故中元素的个数为.
故选：B.
87．（2023春·四川内江·高三四川省内江市第六中学校考阶段练习）设集合的全集为，定义一种运算，，若全集，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】解不等式求得集合M，求得，根据集合运算新定义，即可求得答案.
【详解】由题意得，或，
则，
故选：C
88．（2023·全国·高三专题练习）设P和Q是两个集合，定义集合且，如果，，那么（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由对数函数的性质可得P，由一元二次不等式可得Q，根据题意可得出结果.
【详解】∵，，
∴.
故选：B.
89．（2023·全国·模拟预测）已知集合A，B满足，若，且，表示两个不同的“AB互衬对”，则满足题意的“AB互衬对”个数为（ ）
A．9 B．4 C．27 D．8
【答案】C
【分析】直接列举可得.
【详解】当时，集合B可以为；
当时，集合B可以为；
当时，集合B可以为；
当时，集合B可以为；
当时，集合B可以为；
当时，集合B可以为；
当时，集合B可以为；
当时，集合B可以为.
故满足题意的“AB互衬对”个数为27.
故选：C
90．（2023·全国·高三专题练习）设U为全集，对集合X，Y，定义运算“*”，．对于任意集合，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用，得到．
【详解】由题意知：∵．
∴对于任意集合，，，则．
故选：．
考点六 集合的综合应用
91．（2023·全国·高三专题练习）若，则，就称集合是“和谐集合”.任选集合的一个非空子集是“和谐集合”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意写出的所有非空子集中的所有和谐集合，求出的所有非空子集的个数，即可知任选集合的一个非空子集是“和谐集合”的概率.
【详解】∵集合，∴满足题意的集合为，，，，，，，∴集合的所有非空子集中“和谐集合”的个数为7.
又集合的所有非空子集的个数为，故所求概率为.
故选:B.
92．（2023·高三课时练习）已知集合，对它的非空子集，将中每个元素都乘以再求和，如，可求得和为，则对的所有非空子集，这些和的总和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分析出对的所有非空子集中，、、、出现的次数，再结合题中定义可求得结果.
【详解】因为，
所以，集合中所有非空子集中含有的有类：
（1）单元素的集合只有，即出现了次；
（2）双元素的集合含有的有、、、，即出现了次；
（3）三元素的集合中出现的次数等同于集合中含有个元素的子集个数，此时出现了次；
以此类推可知，元素的集合中出现的次数为集合中含有个元素的子集个数，
即出现了次.
因此，出现的次数为，
同理可知，、、、都出现了次，
因此，对的所有非空子集，这些和的总和为.
故选：D.
93．（2023·全国·高三专题练习）等差数列中，. 若集合中仅有2个元素，则实数的取值范围是______．
【答案】
【分析】设等差数列的公差为，由题设列出与的方程组，解出与，从而可得到，令，得出的单调性，即可求出的取值范围．
【详解】解：设等差数列的公差为，
由题设可知：，
解得：，，
，
，
令，则，
当时，，
当时，，
（1）（2）（3）（4），
又（1），（2），（3），（4），
集合中有2个元素，
即集合中有2个元素，
，．
故答案为：．
94．（2023·上海·高三专题练习）定义全集的子集的特征函数，对于两个集合，定义集合，已知集合，并用表示有限集的元素个数，则对于任意有限集的最小值为________．
【答案】4
【分析】通过新定义及集合的并集与补集的运算求解计算即得结论．
【详解】由M*N的定义可知，fM（x）+fN（x）＝1 ，则M*N∈{x|x∈M∪N，且x∉ M∩N }
即M*A＝{x|x∈M∪A，且x∉M∩A}，M*B＝{x|x∈M∪B，且x∉M∩B}
要使Card（M*A）+Card（M*B）的值最小，
则2，4，8一定属于集合M，且M不能含有A∪B以外的元素，
所以集合M为{6，10，1，16}的子集与集合{2，4，8}的并集，
要使的值最小，M={2，4，8}，
此时，的最小值为4，
故答案为4
【点睛】本题考查对集合运算的理解以及新定义的应用，考查计算能力．注意解题方法的积累，属于中档题．
考点01 集合6种常见考法归类
考点一 集合的含义与表示
（一）判断元素与集合的关系
（二） 根据元素与集合的关系求参数
（三）根据集合中元素的个数求参数
（四）利用集合中元素的性质求集合个数
（五）集合元素互异性的应用
（六）集合的表示
考点二 集合间的基本关系
（一）集合间基本关系的判定
（二）空集
（三）（真）子集的列举与个数的计算
（四）根据集合相等求参数
（五）根据集合的包含关系求参数
考点三 集合的基本运算
（一）集合的并集、交集运算
（二）补集的运算
（三）交、并、补的综合运算
（四）根据集合的运算结果求参数
考点四 韦恩图及其应用
考点五 集合的新定义问题
考点六 集合的综合应用
1、与集合中元素有关的问题的求解策略
(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合，要明了集合{x|y＝f(x)}，{y|y＝f(x)}，{(x，y)|y＝f(x)}三者是不同的．
(2)集合元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．
2、集合间基本关系的2种判定方法和1个关键
两种方法：
(1)化简集合，从表达式中寻找两集合的关系；
(2)用列举法(图示法)表示各集合，从元素(图形)中寻找关系
一个关键：
关键是看它们是否具有包含关系，若有包含关系就是子集关系
3、根据两集合的关系求参数的方法
已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论（必须优先考虑空集的情况），做到不漏解，其次是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
(1)若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时应注意集合中元素的互异性；
(2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到．
4、集合基本运算的方法技巧
5、数形结合常使集合间的运算更简捷、直观
对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助韦恩(Venn)图实施；对连续的数集间的运算，常利用数轴进行；对点集间的运算，则往往通过坐标平面内的图形求解．这些在本质上都是数形结合思想的体现和运用．
6、集合运算中参数问题的求解策略
集合运算中的求参数问题，首先要会化简集合，因为在高考中此类问题常与不等式等知识综合考查，以体现综合性，其次注意数形结合(包括用数轴、韦恩(Venn)图等)及端点值的取舍.
具体步骤如下：
(1)化简所给集合；(2)用数轴表示所给集合；(3)根据集合端点的大小关系列出不等式(组)；(4)解不等式(组)；(5)检验．
7、集合新定义问题的求解思路
(1)遇到新定义问题，先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到解题的过程中，这是解答新定义型问题的关键所在；
(2)集合的性质是解答集合新定义问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些条件．
8、韦恩图的应用
韦恩(Venn)图能更直观地表示集合之间的关系，先分析集合关系，化简集合，再由韦恩(Venn)图所表示的集合关系进行运算．对复杂的集合关系问题，或相关的数学应用问题，可通过构造韦恩(Venn)图进行求解．
考点一 集合的含义与表示
（一）判断元素与集合的关系
1．（2023·河北·高三学业考试）给出下列关系：①；②；③；④．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】结合数的分类判断即可.
【详解】是有理数，是无理数，均为实数，①正确，②错误；
，为自然数及有理数，③④正确.
故选：C.
2．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）已知集合下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据元素与集合的关系求解.
【详解】因为，
所以A、C错误，
因为，所以，所以B错误，
又，所以，所以D正确，
故选:D．
3．（2023·新疆·校联考二模）集合，为1~10以内的质数}，记，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】通过质数的概念化简集合B，然后利用交集运算求解集合M，根据选项逐一判断即可.
【详解】因为为1~10以内的质数}，又，
则，对比选项可知，，即D正确，ABC错误.
故选：D.
4．（2023·河北石家庄·统考一模）设全集，若集合满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据元素与集合的关系及补集运算即可.
【详解】由题意可得：，
显然4是中的元素，故ABD错误，C正确.
故选：C
5．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知是同时满足下列条件的集合：①；②若，则；③且，则．下列结论中正确的有（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
【答案】ACD
【分析】根据集合满足的条件对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】（1）由①，则由②，，，由③得，故A正确；
（2）由（1）可知，故B错误；
（3）由①知，，，，，
即，故C正确；
（4），则，由③可得，，，
即，，即，；
由（3）可知当，，，
当，可得，，
故D正确．
故答案为：ACD
（二）根据元素与集合的关系求参数
6．（2023·北京海淀·校考模拟预测）设集合，若，则实数m=（ ）
A．0 B． C．0或 D．0或1
【答案】C
【分析】根据元素与集合的关系，分别讨论和两种情况，求解并检验集合的互异性，可得到答案.
【详解】设集合，若，
，或，
当时，，此时；
当时，，此时；
所以或.
故选：C
7．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】结合元素与集合的关系得到，解不等式即可求出结果.
【详解】由题意可得，解得，
故选：C
8．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知，若，且，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意建立不等式求解即可.
【详解】由题意，且，
解得，
故选：B
（三）根据集合中元素的个数求参数
9．（2023·吉林延边·统考二模）已知集合的元素只有一个，则实数a的值为（ ）
A． B．0 C．或0 D．无解
【答案】C
【分析】集合有一个元素，即方程有一解，分， 两种情况讨论，即可得解.
【详解】集合有一个元素，即方程有一解，
当时，，符合题意，
当时，有一解，
则，解得：，
综上可得：或，
故选：C.
10．（2023·上海·高三专题练习）若集合中有且只有一个元素，则正实数的取值范围是___________
【答案】
【分析】把不等式转化为，转化为，结合二次函数与一次函数的图象，列出不等式组，即可求解.
【详解】由题意，不等式且，即，
令，
所以，
所以是一个二次函数，图象是确定的一条抛物线，
而一次函数，图象是过一定点的动直线，
作出函数和的图象，如图所示，
其中，
又因为，结合图象，
要使得集合中有且只有一个元素，
可得，即，解得.
即正实数的取值范围是.
故答案为：.
11．（2023·全国·高三专题练习）已知集合.
（1）若中有两个元素，求实数的取值范围；
（2）若中至多有一个元素，求实数的取值范围.
【答案】（1）且；（2）或
【分析】（1）转化为关于的方程有两个不等的实数根，用判别式控制范围，即得解；
（2）分，两种情况讨论，当时用判别式控制范围，即得解；
【详解】（1）由于中有两个元素，
∴关于的方程有两个不等的实数根，
∴，且，即，且.
故实数的取值范围是且
（2）当时，方程为，，集合只有一个元素；
当时，若关于的方程有两个相等的实数根，则中只有一个元素，即，，
若关于的方程没有实数根，则中没有元素，即，.
综上可知，实数的取值范围是或
12．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，集合中至少有2个元素，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由于集合中至少有2个元素，所以,从而可求出的取值范围
【详解】解：因为集合中至少有2个元素，
所以，解得，
故选：D
13．（2023秋·重庆璧山·高三校联考阶段练习）已知集合．若中有两个元素，则实数m的不同取值个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】由中有两个元素，得到，由此能求出实数的不同取值个数．
【详解】解：集合，1，，，，
中有两个元素，
，解得，
实数的不同取值个数为1．
故选：B．
14．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，若集合A中所有整数元素之和为18，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【分析】先由二次不等式求出集合，根据已知集合中所有整数的元素和为18可判断的范围.
【详解】解；由可得
①若，则，则，其中所有整数的元素的和不可能是18，舍去
②若，则，不符合题意
③若，则，由知中的整数有3，4，5，6，
∴
故答案为：
15．（2023·高三课时练习）由实数构成的非空集合A满足条件：①；②若，则.试证明：
(1)若，则在集合A中必有另外两个数；
(2)若，则集合A不可能是单元素集合；
(3)若，且，则集合A中至少有三个元素.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据元素与集合关系结合条件即得；
（2）假设集合A是单元素集合，得到矛盾，进而即得；
（3）根据（2）结合条件即得.
【详解】（1）由，得，即，
由，得，即，
所以，若，则集合A中必有另外两个数和；
（2）假设集合A是单元素集合，即，
所以，得，
，该方程无实数根，于是，
所以，若，则集合A不可能是单元素集合；
（3）由，得，
由，得，即，
由（2）知，同理可得，，
所以，集合A中至少有三个元素a，，.
（四）利用集合中元素的性质求集合个数
16．（2023·全国·高三专题练习）由实数所组成的集合，最多可含有（ ）个元素
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】把分别可化为，，，，，，根据集合中元素的互异性，即可得到答案．
【详解】由题意，当时所含元素最多，
此时分别可化为，，，
所以由实数所组成的集合，最多可含有3个元素．
故选：B
17．（2023·全国·高三专题练习）集合的元素个数为_________．
【答案】
【分析】根据集合得表示可知： 是12的因数，即可求解.
【详解】由可知， 是12的因数，故 ，进而可得可取，
故答案为：
18．（2023·全国·高三专题练习）设集合，则集合的元素个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】解出集合中的不等式，得到集合中的元素，利用交集的运算即可得到结果.
【详解】集合，
所以.
故选：B.
19．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知集合，，则中的元素个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】应用并运算求，即可得元素个数.
【详解】由题设，所以，故其中元素共有4个.
故选：B
20．（2023·全国·高三专题练习）集合的元素个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意利用列举法写出集合A中的元素即可得出答案．
【详解】集合，
所以集合的元素个数为9个．
故选：B．
21．（2023·河北·高三学业考试）设集合，，，则中的元素个数为______．
【答案】4
【分析】求出所有的值，根据集合元素的互异性可判断个数.
【详解】因为集合中的元素，，，所以当时，，2，3，此时，6，7．当时，，2，3，此时，7，8．
根据集合元素的互异性可知，，6，7，8．即，共有4个元素．
故答案为：4．
22．（2023·河北·河北衡水中学校考模拟预测）若集合U有71个元素，且各有14，28个元素，则的元素个数最少是（ ）
A．14 B．30 C．32 D．42
【答案】A
【分析】根据集合中的元素以及交并补运算的性质即可求解.
【详解】设中有个元素，则,
所以中的元素个数为，因此中的元素个数为中的元素减去中的元素个数，即为，
由于，所以，故当时，有最小值14
故选：A
（五）集合元素互异性的应用
23．（2023·全国·高三专题练习）集合中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是（ ）
A．等腰三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
【答案】A
【分析】根据集合中元素的互异性可得答案.
【详解】根据集合中元素的互异性得，
故三角形一定不是等腰三角形.
故选：A.
24．（2023·全国·高三专题练习）若，则实数a的取值集合为______．
【答案】
【分析】根据元素的确定性和互异性可求实数a的取值.
【详解】因为，故或或，
当时，，与元素的互异性矛盾，舍；
当时，，符合；
当时，或，根据元素的互异性，符合，
故a的取值集合为.
故答案为：
25．（2023·全国·高三专题练习）已知其，则由的值构成的集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分，讨论，求出，再带入集合看是否满足互异性即可.
【详解】解：，
当，即时，，集合中有相同元素，舍去；
当，即（舍）或时，，符合，
故由的值构成的集合是.
故选：D
【点睛】本题考查元素与集合的关系，以及集合元素的互异性，注意带入验证，是基础题.
（六）集合的表示
26．【多选】（2023·全国·高三专题练习）下面说法中，正确的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据集合的定义，表示方法及集合相等的条件逐个分析判断
【详解】解：方程中x的取值范围为R，所以，同理，所以A正确；
表示直线上点的集合，而，所以，所以B错误；
集合，都表示大于2的实数构成的集合，所以C正确；
由于集合的元素具有无序性，所以，所以D正确．
故选：ACD．
27．（2023·高三课时练习）方程组的解集可表示为______.
【答案】
【分析】求出二元一次方程组的解，然后利用列举法表示即得.
【详解】由，可得，
所以方程的解集为.
故答案为：.
28．（2023·高三课时练习）已知集合，用列举法表示M＝______．
【答案】
【分析】由直接求解.
【详解】根据题意，应该为6 的因数，故可能取值为1，2，3，6，其对应的值分别为：4，3，2，.
又，所以的值分别为：4，3，2.
故集合.
故答案为：
29．（2023春·河北·高三统考学业考试）直角坐标平面中除去两点､可用集合表示为（ ）
A．
B．或
C．
D．
【答案】C
【解析】直角坐标平面中除去两点､，其余的点全部在集合中，逐一排除法．
【详解】直角坐标平面中除去两点、，其余的点全部在集合中，
选项中除去的是四条线；
选项中除去的是或除去或者同时除去两个点，共有三种情况，不符合题意；
选项，则且，即除去两点､，符合题意；
选项，则任意点都不能，即不能同时排除，两点．
故选：C
【点睛】本题考查了集合的基本概念，考查学生对集合的识别，属于中档题．
考点二 集合间的基本关系
（一）集合间基本关系的判定
30．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）设A、B、C是三个集合，若，则下列结论不正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用集合之间的基本关系即可判断.
【详解】,,
,
，故B正确；
，,
,故AD正确；
故选：C
31．（2023·全国·高三专题练习）集合，,则（ ）
A．； B．；
C．； D．．
【答案】B
【分析】化简两个集合，再判断集合间的关系.
【详解】,,
表示奇数，表示整数，所以.
故选：B
32．（2023·高三课时练习）已知集合，，，则M、N、P的关系满足（ ）
A．Ü B．Ü C．ÜÜ D．ÜÜ
【答案】B
【分析】先将集合M、N、P化简成统一形式，然后判断即可．
【详解】，
，
，
所以Ü.
故选：B．
33．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分析可得，由此可得出结论.
【详解】任取，则，其中，所以，，故，
因此，.
故选：C.
（二）空集
34．（2023·河北·高三学业考试）下列集合中，结果是空集的是( )
A．{x∈R|x2-1=0} B．{x|x>6或x<1}
C．{(x，y)|x2+y2=0} D．{x|x>6且x<1}
【答案】D
【分析】分析是否有元素在各选项的集合中，再作出判断.
【详解】A选项：，不是空集；B选项：{x|x>6或x<1}，不是空集；
C选项：(0,0)∈{(x，y)|x2+y2=0}，不是空集；D选项：不存在既大于6又小于1的数，
即：{x|x>6且x<1}=.
故选：D
35．（2023春·新疆乌鲁木齐·高三乌鲁木齐市十二中校考阶段练习）已知集合，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．集合是有限集
【答案】A
【解析】根据题意，由元素与集合的含义、元素与集合的关系是属于和不属于，集合与集合的基本关系，依次分析选项可得答案．
【详解】解：根据题意，依次分析选项可得：
对于选项、2.5是集合的元素，则，则正确；
对于选项、0是集合的元素，应有，而不是，错误；
对于选项、空集是任何集合的子集，应有，错误；
对于选项、集合为无限集，错误；
故选：A．
【点睛】本题考查集合、元素间关系的判断，是简单题，解题时注意分清与区别即可．
36．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则或 D．若时，则或
【答案】ABC
【分析】求出集合，根据集合包含关系，集合相等的定义和集合的概念求解判断．
【详解】，若，则，且，故A正确.
时，，故D不正确.
若，则且，解得，故B正确.
当时，，解得或，故C正确.
故选：ABC．
（三）（真）子集的列举与个数的计算
37．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知集合，则集合的子集个数为（ ）
A．3 B．4 C．8 D．16
【答案】C
【分析】解一元二次不等式，并结合已知用列举法表示集合A作答.
【详解】解不等式，得，因此，
所以集合的子集个数为.
故选：C
38．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知集合的所有非空子集的元素之和等于12，则等于（ ）
A．1 B．3 C．4 D．6
【答案】D
【分析】首先列出集合的非空子集，即可得到方程，解得即可.
【详解】解：集合的非空子集有、、，
所以，
解得.
故选：D
39．（2023·湖南怀化·统考二模）已知集合，则的真子集共有（ ）
A．3个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】C
【分析】先利用交集运算求解交集，再根据交集的元素个数来求解答案.
【详解】因为，
所以，
所以的真子集共有个.
故选：C.
40．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值有（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
【答案】BCD
【分析】根据条件可知集合中仅有一个元素，由此分析方程为一元一次方程、一元二次方程的情况，从而求解出的值.
【详解】因为集合仅有个子集，所以集合中仅有一个元素，
当时，，所以，所以，满足要求；
当时，因为集合中仅有一个元素，所以，所以，此时或，满足要求，
故选：BCD.
41．（2023·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测）已知集合满足，那么这样的集合M的个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】根据集合的包含关系一一列举出来即可.
【详解】因为，
所以集合可以为：，
共8个，
故选：C.
42．（2023·全国·高三专题练习）集合满足Ü，则集合的个数有________个.
【答案】3
【分析】根据题意求出所有的集合，即可解出.
【详解】因为Ü，即Ü，所以，，，即集合的个数有3个.
故答案为：3.
（四）根据集合相等求参数
43．（2023·江西·金溪一中校联考模拟预测）已知集合，，若，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】根据，可得两集合元素全部相等，分别求和，再根据集合元素的互异性可确定，的值，进而得出答案.
【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或，又根据集合互异性，可知，解得(舍)，和(舍)，所以，，则，
故选：A
44．（2023·全国·高三专题练习）含有3个实数的集合既可表示成，又可表示成，则 _____．
【答案】1
【分析】根据集合相等，则元素完全相同，分析参数，列出等式，即可求得结果.
【详解】因为，
显然，故，则；
此时两集合分别是，
则，解得或.
当时，不满足互异性，故舍去；
当时，满足题意.
所以
故答案为：.
45．（2023·上海·高三专题练习）已知集合且，定义集合，若，给出下列说法：①；②；③；其中所有正确序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【分析】由集合的新定义结合，可得，由此即可求解
【详解】因为集合且，
若，
则中也包含四个元素，即，
剩下的，
对于①：由得，故①正确；
对于②：由得，故②正确；
对于③：由得，故③正确；
故选：D
（五）根据集合的包含关系求参数
46．（2023·全国·高三专题练习）设，，，若，则（ ）
A． B． C．2 D．0
【答案】D
【分析】根据集合的包含关系，结合集合的性质求参数a、b，即可求.
【详解】由知：，即，得，
∴.
故选：D.
47．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，若，则实数a＝（ ）
A．2 B．1 C．0 D．-1
【答案】B
【分析】对于集合，元素对应的是一元二次方程的解，根据判别式得出必有两个不相等的实数根，又根据韦达定理以及，可确定出其中的元素，进而求解.
【详解】对于集合N，因为，
所以N中有两个元素，且乘积为-2，
又因为，所以，
所以．即a＝1．
故选：B.
48．（2023·广东茂名·统考二模）已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先解出集合,再根据列不等式直接求解.
【详解】集合，.
要使，只需，解得：.
故选：A
49．（2023春·北京海淀·高三首都师范大学附属中学校考开学考试）集合或，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分、和三种情况讨论，分别求出集合，再根据集合的包含关系求出参数的取值范围.
【详解】因为或，，
当时，此时，符合题意；
当时，
若则，因为，
所以，解得，又，所以，
若则，因为，
所以，解得，又，所以，
综上可得，即实数的取值范围是.
故选：C
50．（2023·江苏常州·常州市第三中学校考模拟预测）设集合，，．若，，则（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】B
【分析】根据包含关系结合交集的结果可求的值.
【详解】因为，故，故或，
若，则，，此时，符合；
若，则，，此时，不符合；
故选：B
51．（2023秋·陕西咸阳·高三武功县普集高级中学校考阶段练习）已知M = {x |－3 ≤ x ≤5}， N = {x | a ≤ x ≤ a+1}，若，求实数a的取值范围.
【答案】
【分析】先分析集合，再根据建立不等式然后解之即可.
【详解】因为，所以集合.
因此，时，应满足，解得.
52．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，且，则实数m的取值范围是___________.
【答案】
【分析】分B为空集和不是空集两种情况，根据集合建的包含关系得到不等式（组）求解.
【详解】解：分两种情况考虑：
①若B不为空集，可得：，
解得：，
，
且，
解得：，所以,
②若B为空集，符合题意，可得：，
解得：.
综上，实数m的取值范围是.
故答案为：.
考点三 集合的基本运算
（一）集合的并集、交集运算
53．（2023春·广东揭阳·高三校联考阶段练习）已知集合，，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先用列举法表示集合，再用交集的定义求出结果即可.
【详解】解：因为，
又有，所以.
故选：B
54．（2023春·安徽·高三安徽省临泉第一中学校联考阶段练习）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据对数不等式、一元一次不等式的解法求出集合A、B，结合交集的概念和运算即可求解.
【详解】由题意得，，
所以，，
所以.
故选：A.
55．（2023·陕西宝鸡·统考三模）已知集合，集合，则等于（ ）
A． B． C．． D．
【答案】B
【分析】求出两直线的交点坐标，即可得解.
【详解】由，解得，
因为集合，集合，
所以.
故选：B
56．（2023·宁夏银川·银川一中校考二模）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由对数函数的定义域求得B，再根据并集的定义求得结果.
【详解】由题意可得：
故选：D
57．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考二模）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出集合、，利用并集的定义可求得集合.
【详解】因为，
由可得，解得，则，
因此，.
故选：D.
58．（2023·重庆九龙坡·统考二模）已知集合，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用交集和补集的定义逐一判断即可.
【详解】集合，，
对于A：，A错误；
对于B：，B错误；
对于C：，C正确；
对于D：，D错误.
故选：C.
（二）补集的运算
59．（2023·内蒙古呼和浩特·统考二模）已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】计算，再计算补集得到答案.
【详解】，则.
故选：B
60．（2023·全国·高三专题练习）已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】化简集合M，根据补集定义计算即可.
【详解】，.
故选：C.
61．（2023春·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考阶段练习）已知全集，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】解不等式求出集合，再求补集可得答案.
【详解】因为，
所以．
故选：C.
（三）交、并、补的综合运算
62．（2023·河北张家口·统考一模）已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先化简集合A，再利用并集和补集的运算求解.
【详解】解：由，得，故，
所以，，．
故选：B．
63．（2023·江西九江·瑞昌市第一中学校联考模拟预测）已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先解出，根据补集的运算求出，然后根据交集的运算，即可得出答案.
【详解】解可得，，所以.
又，所以.
所以.
故选：B.
64．（2023·河北张家口·统考二模）已知集合，，则（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】由已知求出，然后根据补集的运算得出，根据并集的运算求解即可得出答案.
【详解】，，
即，，
所以，，，
所以，.
故选：C.
65．（2023·天津·校联考一模）已知全集，集合，则集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】计算出，从而根据交集，并集和补集概念计算出四个选项，得到正确答案.
【详解】由题意知，
，
A选项，，A错误；
B选项，，B错误；
C选项，，故，C错误；
所以.
故选：D.
（四）根据集合的运算结果求参数
66．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，，若，则实数的取值的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据，列式分类讨论计算，然后将计算所得的结果代入集合验证.
【详解】集合，，
又∴或，解得或或，
当时，，，，符合题意
当时，，，，不符合题意
当时，，，不满足集合元素的互异性，不符合题意.
，则实数的取值的集合为.
故选：D.
67．（2023·内蒙古包头·二模）设集合，且，则（ ）
A． B． C．8 D．6
【答案】C
【分析】化简集合A、B，根据交集的结果求参数即可.
【详解】由，可得或，
即或，而，
∵，
∴，可得.
故选：C
68．（2023·高三课时练习）已知全集为，集合，，若，求实数a的取值范围.
【答案】.
【分析】由可得，由此列出不等式求出的取值范围．
【详解】若，则，
∵，，
∴，解得，
∴实数的取值范围是.
69．（2023·上海青浦·统考二模）已知集合，若，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【分析】求函数的定义域求得集合，根据求得的取值范围.
【详解】由解得，所以，
由于，所以，
所以的取值范围是.
故答案为：
70．（2023·高三课时练习）已知集合，，且，则实数m的取值范围是______．
【答案】
【分析】分析可知，分、两种情况讨论，根据可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围.
【详解】因为，则.
当时，即当时，，满足题意；
当时，即当时，，
由可得，解得，此时.
综上所述，.
故答案为：.
71．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校联考模拟预测）已知集合，，若中有且仅有三个整数，则正数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意化简集合，根据中有且仅有三个整数列不等式求解，可得答案.
【详解】由题意可得，，
若中有且仅有三个整数，则只能是，
故，解得，
故选：B．
72．（2023春·上海闵行·高三上海市七宝中学校考阶段练习）已知集合，且，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【分析】根据集合并集运算，结合数轴即可得到结果.
【详解】由题意知，可得.
故答案为：
73．（2023·陕西商洛·校考三模）设全集，集合，，则实数的值为（ ）
A．0 B．-1 C．2 D．0或2
【答案】A
【分析】利用给定条件，结合元素的互异性直接列式计算作答.
【详解】由集合知，，即，而，全集，
因此，，解得，经验证满足条件，
所以实数的值为0.
故选：A
74．（2023·全国·高三专题练习）设集合，，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先求出，依题意可得，即可得到不等式，解得即可.
【详解】因为，所以，
又，所以，
又，所以，解得，即实数的取值范围为.
故选：A
75．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）设集合或，若，则的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C． D．
【答案】B
【分析】先求出，根据，可求得结果.
【详解】由集合或，得，又集合且，则2或，即或.
故选：B.
考点四 韦恩图及其应用
76．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知集合，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由图象可知阴影部分对应的集合为且，根据集合和集合即可求出结果.
【详解】因为，
易知图中阴影部分对应的集合为且，选项D正确，
故选：D
77．（2023·全国·高三专题练习）设集合，则韦恩图中阴影部分表示的集合的真子集个数是（ ）
A．4 B．3
C．2 D．1
【答案】B
【分析】根据图形求出集合中的元素，再根据真子集个数公式求解即可.
【详解】由图可知，韦恩图中阴影部分表示的集合中的元素属于集合，但不属于，
因为，
所以阴影部分表示的集合为，
所以其真子集个数为.
故选：B.
78．（2023·全国·高三专题练习）已知全集是实数集，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】B
【分析】解不等式求得集合，然后求得，进而求得，从而确定正确答案.
【详解】，解得或，
所以或，
图中白色区域为或，
则阴影部分表示的集合为.
故选：B
79．（2023·全国·高三专题练习）如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据Venn图表示的集合运算作答．
【详解】阴影部分在集合的公共部分，但不在集合内，表示为，
故选：C．
80．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）某班一个课外调查小组调查了该班同学对物理和历史两门学科的兴趣爱好情况，其中该班同学对物理或历史感兴趣的同学占90％，对物理感兴趣的占56％，对历史感兴趣的占74％，则既对物理感兴趣又对历史感兴趣的同学占该班学生总数的比例是（ ）
A．70％ B．56％ C．40％ D．30％
【答案】C
【分析】根据公式列方程求解即可.
【详解】对物理感兴趣的同学占56％，对历史感兴趣的同学占74％，
这两组的比例数据都包含了既对物理感兴趣又对历史感兴趣的同学的比例，
设既对物理感兴趣又对历史感兴趣的同学占该班学生总数的比例为x，
则对物理或历史感兴趣的同学的比例是56％＋74％－x，
所以56％＋74％－x＝90％，
解得％，
故选：C.
81．（2023·全国·高三专题练习）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元1世纪左右．该书内容十分丰富，全书总结了战国、秦汉时期的数学成就．某数学兴趣小组在研究《九章算术》时，结合创新，给出下面问题：现有100人参加有奖问答，一共5道题，其中91人答对第一题，87人答对第二题，81人答对第三题，78人答对第四题，88人答对第五题，其中答对三道题以上（包括三道题）的人可以获得奖品，则获得奖品的人数至少为（ ）
A．70 B．75 C．80 D．85
【答案】B
【分析】由题意求出回答错误的题共有9＋13＋19＋22＋12＝75道．而答错3道题及以上的人没有奖品，所以最多会有人没有奖品，由此可求得答案.
【详解】解：由题意知，一共回答了500道题，其中回答错误的题共有9＋13＋19＋22＋12＝75道．
由于答对3道题以上（包括3道题）的人可以获得奖品，即答错3道题及以上的人没有奖品，
故最多会有人没有奖品，故获得奖品的人数至少为75．
故选：B.
82．（2023·全国·高三专题练习）高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少25人，这三门学科均不选的有8人.这三门课程均选的8人，三门中任选两门课程的均至少有15人.三门中只选物理与只选化学均至少有6人，那么该班选择物理与化学但未选生物的学生至多有______人.
【答案】9
【分析】根据题意，设学生54人看成集合，选择物理的人组成集合，选择化学的人组成集合，选择生物的人组成集合，选择物理与化学但未选生物的人组成集合，结合Venn图可知，要使区域的人数最多，其他区域人数最少即可，进而可求解.
【详解】把学生54人看成集合，选择物理的人组成集合，选择化学的人组成集合，选择生物的人组成集合，选择物理与化学但未选生物的人组成集合.
要使选择物理与化学但未选生物的学生人数最多，除这三门课程都不选的8人，则结合Venn图可知，其他区域人数均为最少，即得到只选物理与只选化学均至少6人，只选生物的最少25人，做出下图，得该班选择物理与化学但未选生物的学生至多有9人.
故答案为：9.
83．（2023·全国·高三专题练习）建党百年之际，影片《》《长津湖》《革命者》都已陆续上映，截止年月底，《长津湖》票房收入已超亿元，某市文化调查机构，在至少观看了这三部影片中的其中一部影片的市民中随机抽取了人进行调查，得知其中观看了《》的有人，观看了《长津湖》的有人，观看了《革命者》的有人，数据如图，则图中___________；___________；___________.
【答案】
【分析】根据韦恩图，结合看每部电影的人数可构造方程组求得结果.
【详解】由题意得：，解得：.
故答案为：；；.
考点五 集合的新定义问题
84．（2023·全国·高三专题练习）定义集合且，已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据集合新定义即可求解.
【详解】因为集合且，，
所以
故选：C
85．（2023·全国·高三专题练习）定义集合运算，若集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可得，从而可得或，或，再根据新定义得，再代入验证即可得答案.
【详解】解：因为，
所以或
所以或，
或
所以或，
，
代入验证，
故.
故选：D.
86．（2023·全国·高三专题练习）定义集合，设集合，，则中元素的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据集合的新定义求得，从而确定正确答案.
【详解】因为，，
所以，
故中元素的个数为.
故选：B.
87．（2023春·四川内江·高三四川省内江市第六中学校考阶段练习）设集合的全集为，定义一种运算，，若全集，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】解不等式求得集合M，求得，根据集合运算新定义，即可求得答案.
【详解】由题意得，或，
则，
故选：C
88．（2023·全国·高三专题练习）设P和Q是两个集合，定义集合且，如果，，那么（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由对数函数的性质可得P，由一元二次不等式可得Q，根据题意可得出结果.
【详解】∵，，
∴.
故选：B.
89．（2023·全国·模拟预测）已知集合A，B满足，若，且，表示两个不同的“AB互衬对”，则满足题意的“AB互衬对”个数为（ ）
A．9 B．4 C．27 D．8
【答案】C
【分析】直接列举可得.
【详解】当时，集合B可以为；
当时，集合B可以为；
当时，集合B可以为；
当时，集合B可以为；
当时，集合B可以为；
当时，集合B可以为；
当时，集合B可以为；
当时，集合B可以为.
故满足题意的“AB互衬对”个数为27.
故选：C
90．（2023·全国·高三专题练习）设U为全集，对集合X，Y，定义运算“*”，．对于任意集合，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用，得到．
【详解】由题意知：∵．
∴对于任意集合，，，则．
故选：．
考点六 集合的综合应用
91．（2023·全国·高三专题练习）若，则，就称集合是“和谐集合”.任选集合的一个非空子集是“和谐集合”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意写出的所有非空子集中的所有和谐集合，求出的所有非空子集的个数，即可知任选集合的一个非空子集是“和谐集合”的概率.
【详解】∵集合，∴满足题意的集合为，，，，，，，∴集合的所有非空子集中“和谐集合”的个数为7.
又集合的所有非空子集的个数为，故所求概率为.
故选:B.
92．（2023·高三课时练习）已知集合，对它的非空子集，将中每个元素都乘以再求和，如，可求得和为，则对的所有非空子集，这些和的总和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分析出对的所有非空子集中，、、、出现的次数，再结合题中定义可求得结果.
【详解】因为，
所以，集合中所有非空子集中含有的有类：
（1）单元素的集合只有，即出现了次；
（2）双元素的集合含有的有、、、，即出现了次；
（3）三元素的集合中出现的次数等同于集合中含有个元素的子集个数，此时出现了次；
以此类推可知，元素的集合中出现的次数为集合中含有个元素的子集个数，
即出现了次.
因此，出现的次数为，
同理可知，、、、都出现了次，
因此，对的所有非空子集，这些和的总和为.
故选：D.
93．（2023·全国·高三专题练习）等差数列中，. 若集合中仅有2个元素，则实数的取值范围是______．
【答案】
【分析】设等差数列的公差为，由题设列出与的方程组，解出与，从而可得到，令，得出的单调性，即可求出的取值范围．
【详解】解：设等差数列的公差为，
由题设可知：，
解得：，，
，
，
令，则，
当时，，
当时，，
（1）（2）（3）（4），
又（1），（2），（3），（4），
集合中有2个元素，
即集合中有2个元素，
，．
故答案为：．
94．（2023·上海·高三专题练习）定义全集的子集的特征函数，对于两个集合，定义集合，已知集合，并用表示有限集的元素个数，则对于任意有限集的最小值为________．
【答案】4
【分析】通过新定义及集合的并集与补集的运算求解计算即得结论．
【详解】由M*N的定义可知，fM（x）+fN（x）＝1 ，则M*N∈{x|x∈M∪N，且x∉ M∩N }
即M*A＝{x|x∈M∪A，且x∉M∩A}，M*B＝{x|x∈M∪B，且x∉M∩B}
要使Card（M*A）+Card（M*B）的值最小，
则2，4，8一定属于集合M，且M不能含有A∪B以外的元素，
所以集合M为{6，10，1，16}的子集与集合{2，4，8}的并集，
要使的值最小，M={2，4，8}，
此时，的最小值为4，
故答案为4
【点睛】本题考查对集合运算的理解以及新定义的应用，考查计算能力．注意解题方法的积累，属于中档题．
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