7 数学广角——植树问题

本单元主要向学生渗透有关植树问题的一些思想方法。教科书以学生比较熟悉的植树活动为线索，让学生选用自己喜欢的方法来探究植树的棵数和间隔数之间的关系，经历猜想、实验、推理的探索过程，启发学生透过现象发现其中的规律，再利用规律回归生活解决生活实际问题。

本单元安排了三道例题，其中教科书P104的例1和P105的例2是探究线段上的植树问题，教科书P106例3是探究封闭曲线上的植树问题，学生在探究问题的过程中渗透化繁为简的思想，并且重点培养学生借助线段图建立数学模型的能力。在教科书P106例3中通过问题“如果把圆拉直成线段，你能发现什么？”启发学生联系已有的知识找出这种植树问题的规律，渗透转化的数学思想。

由于学生初次接触植树问题，这部分的学习内容学生一定会很感兴趣，学习的热情也会比较高。但根据以往的教学经验，这部分内容对学生来说，是不容易理解和掌握的。学生已经掌握了关于线段的相关知识，也具备了一定的生活经验和分析思考能力与计算能力，因此为了让学生能更好地理解本单元的教学内容，在教学过程中对教科书内容进行适当调整，并充分利用学生原有的知识和生活经验来组织学生开展各个环节的数学活动。

1.经历建模的过程，感悟思想方法。“数学广角”的教学目的主要是让学生体验知识的形成过程和感悟数学思想方法。具体到本单元教学时，教师应从实际问题入手，引导学生在解决问题的分析、思考过程中逐步发现蕴含于不同的情形中的规律，经历抽象出数学模型的过程，体验数学思想方法在解决实际问题中的应用。比如，教科书P104例1的教学，可以让学生经历猜想、实验、归纳、推理的过程，渗透简单的化归、数形结合、对应、推理等数学思想，激发学生学习数学的兴趣。

2.突出画图的策略。在教学过程中，帮助学生养成画图的习惯是非常重要的。本单元通过画示意图或线段图来解决植树问题，可以更直观发现规律、理解规律，建立模型找出解决问题的方法。另外，学生在学习中容易将两端都栽、一端栽另一端不栽，两端都不栽三种情况弄混。事实上，学生不用记每种模型的结论，遇到问题，只要画个线段图，问题就迎刃而解了，从而体会到画图策略的价值。

第1课时 植树问题（1）

▶教学内容

教科书P104例1，完成教科书P105“做一做”第1题和P107“练习二十四”第1、2、4题。

▶教学目标

1.通过猜测、试验等数学活动，初步体会两端都栽的植树问题的规律。

2.经历和体验将复杂问题简单化的解题策略和方法。

3.感受数学知识在日常生活中的广泛应用，尝试用数学的方法来解决实际生活中的简单问题，培养应用意识和解决实际问题的能力。

▶教学重点

发现植树棵数与间隔数之间的关系。

▶教学难点

理解间隔数与棵数之间的规律并运用规律解决问题。

▶教学准备

课件。

▶教学过程

一、创设情境，生成问题

师：同学们，你们喜欢猜谜语吗？我们一起来猜个谜语好不好？（课件出示）

【学情预设】学生们会回答：手。

师：请你们伸出左手并张开手指，仔细观察，大家看到了什么？

【学情预设】学生会回答有5根手指和4个空隙。如果学生只能说出有5根手指，教师要引导学生数一数5根手指之间有几个空隙。

师：这4个“空隙”也可以说成4个“间隔”，5根手指之间有4个间隔，那4根手指之间有几个间隔呢？3根手指之间呢？（学生在自己的手上数一数）

师追问：2根手指之间呢？（全班一起找）

师：通过刚才我们找手指数和间隔数的活动，你们发现了什么？

【学情预设】手指数比间隔数多1或间隔数比手指数少1。

师：你们真聪明，发现了手指数与间隔数之间的关系！像这类隐藏着总数和间隔数之间的关系的问题，我们称为植树问题。今天，我们就一起来研究植树问题。［板书课题：植树问题（1）］

【设计意图】从学生熟悉的事物入手，根据学生已有的认知，创设有趣的猜谜语游戏，激发学生的学习兴趣。同时，充分利用学生已有的生活经验，让学生对间隔现象有初步的认识，逐步学会用数学的眼光观察世界。

二、探索交流，解决问题

师：学校开展“美化校园”的活动，同学们在老师的带领下，正认真地植树呢。在植树的过程中，大家遇到了一些问题。（课件出示教科书P104例1）

1.理解信息。

指名学生读题，并要求学生说出从题中知道的信息。

师：谁能说一说“一边”“两端都要栽”的含义？

【学情预设】学生可能会说“一边”就是一旁，有可能是左边也有可能是右边，“两端都要栽”指的是路的一头一尾都要栽。

师：“每隔5m”是什么意思？

【学情预设】学生可能会说每两棵树之间的距离是5m。

师小结：“全长100m”是指小路的总长；“一边”是小路的一侧，指小路的左边或右边；“每隔5m栽一棵”是指每两棵树之间的距离，简称“间距”；“两端都要栽”指小路的起点与终点处都要栽。

2.试算。

师：一共要栽多少棵树，谁来算一算？

学生独立完成后，汇报算法。

【学情预设】学生很可能根据100÷5=20，猜测要栽20棵树；也有学生认为小路的两端都要栽，应该是20+2＝22，所以是22棵；还有学生猜是19棵或21棵。

师：实践是检验真理的唯一标准。我们该怎样确定谁的猜测正确呢？

【学情预设】引导学生回答通过验证来寻求答案。

师：对，验证是检验答案的最好方法，下面我们就一起想办法来验证一下。但100m的路太长了，我们可以先在短距离的路上试一试，看一看要栽的棵数是多少。我们可以把这条路看成较短的20m、25m、30m……通过画图得出规律，再根据规律求100m的路要植树的棵数，这在数学上是常用的一种方法——化繁为简法。

3.简单验证，发现规律。

师：现在，我们就以20m为例，看一看20m的路可以栽几棵树。如果这条路的一边用一条线段来表示，每隔5m栽1棵树，一共要栽多少棵树？

指名学生上台板演画图并解答。

【学情预设】指导学生作图如下：

师：每个间隔长度是几米？有几段间隔？栽了几棵树？

【学情预设】间隔长度是5m，有4段间隔，栽了5棵树。

师：观察间隔数和栽树棵数之间的关系，大家发现了什么？

【学情预设】因为两端都要栽树，所以棵数比间隔数多1。

师：这样一来，虽然不能直接验证，但可以从简单例子入手，给我们发现间隔数和棵数之间的关系提供一个方向。

师：一个事例还不能确定植树问题的规律，我们还需要别的例子来帮助发现规律。大家再看看25m的路的一侧可以栽几棵？

学生独立思考，小组交流。

根据交流结果，完成表格。

课件出示表格。

教师巡视，观察学生完成情况，对于有困难的小组，教师及时给予帮助。（课件出示正确结果）

师：观察表格，你有什么发现？把你的结论在小组内说一说。

【学情预设】学生会说棵数比间隔数多1，也有学生会说间隔数比棵数少1。

师：同学们做得非常好，通过猜测、讨论、验证，可以发现植树问题中一个非常重要的规律，那就是在一条路的一边植树，如果两端都要栽的话，那么栽树的棵数比间隔数多1。

师：现在，我们用研究出的这个规律再来做一做教科书P104例1，看看你们之前的猜测对不对。

【学情预设】指导学生得出算式：100÷5=20，20+1=21（棵）。

师生交流并板书。

师：通过探究，我们找出了间隔数和棵数之间的关系。现在请你们仔细观察表格，你们还有什么发现？

【学情预设】学生会说发现：路长÷间隔长=间隔数。

【设计意图】向学生渗透一些重要的数学思想方法，教学时通过现实生活中的一些常见的实际问题，让学生构建出其中的数学模型，从中发现规律。

三、应用规律，解决问题

师：在日常生活中，也有很多类似于植树问题的例子。下面就请同学们应用我们今天发现的规律，去解决身边的一些问题吧。

1.完成教科书P105“做一做”第1题。

学生独立思考后，全班交流。

2.完成教科书P107“练习二十四”第1、2题。

学生独立完成，全班交流。

3.完成教科书P107“练习二十四”第4题。

师：这一题和教科书P104例1有什么不同之处吗？

【学情预设】学生可能回答例1是知道了路线长度求栽树的棵数，而这一题是知道树的棵数求路线长度。

师：根据“种了36棵”这个条件可以知道什么？

【学情预设】学生可能回答，可以知道间隔数共有：36-1=35（个）。

师：“每隔6m”是什么意思？路线长多少米呢？

【学情预设】每个间隔是6m。路线长为35×6=210（m）。

【设计意图】通过基本问题使学生进一步掌握在公路一侧两端都栽树的情况下，树的棵数和间隔数之间的关系，深化学生对规律的理解，培养学生灵活运用知识解决问题的能力。

四、课堂小结

师：通过这节课的学习，你们有什么收获？

▶板书设计

植树问题（1）

两端要栽

100÷5=20

20+1=21（棵）

棵树=间隔数+1

▶教学反思

本节课学生弄懂了棵数与间隔数之间的关系之后，不一定就代表能解决植树问题了。因为教科书P104例1是给了道路全长和间距求棵数，但有的习题却是给了间距和棵数求道路全长，属于逆向思维，所以有很多同学就不知从何下手，导致出错。在教学过程中，注意加强发现规律与运用规律之间的联系，加强对规律的扩散教学，比如得出两端要栽的规律时，可以总结一下“间隔数=棵数-1，路长=间隔数×间隔长”等知识。

▶作业设计

见“状元成才路”系列丛书《创优作业100分》对应课时作业。

一、列式计算。

1.在一条长50m的小路的一边，每隔10m栽一棵树(两端都要栽)，一共要种几棵树？

列式：________________________________

2. 在一条小路的一边栽树，每隔8 m栽一棵,一共栽了7棵树，这条小路长多少米？

列式：________________________________      

二、学校的林荫大道的一边摆了26盆鲜花，相邻两盆之间的距离是4 m。如果两端的鲜花不动，现在要多摆25盆，相邻两盆鲜花之间的距离应改为多少米?

三、张叔叔在马路边散步，从第1根电线杆处走到第12根处共用了22分钟。张叔叔走了40分钟，此时他走到了第几根电线杆处?（假设相邻两根电线杆之间距离相等)

参考答案

一、1.50÷10+1=6(棵)

2.8×(7-1)=48(m)

二、(26-1)×4=100(m)

26+25=51(盆)

100÷(51-1)=2(m)

三、22÷(12-1)=2(分钟)

40÷2+1=21(根)