2023年安徽省芜湖市南陵县中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2023年安徽省芜湖市南陵县中考数学二模试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年安徽省芜湖市南陵县中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，满分40分。）
1．（4分）2023的相反数是（　　）
A． B． C．2023 D．﹣2023
2．（4分）“学习强国”平台上线的某天，全国约有124600000人在平台上学习，将这个数据用科学记数法可表示为（　　）
A．1246×105 B．124.6×106 C．1.246×107 D．1.246×108
3．（4分）下列运算正确的是（　　）
A．a2•a4＝a6 B．a+a2＝a3
C．4a2÷2a2＝2a2 D．（2a2）3＝6a6
4．（4分）如图是由6个相同的小正方体组成的几何体，其俯视图是（　　）

A． B．
C． D．
5．（4分）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（　　）

A．70° B．75° C．80° D．85°
6．（4分）某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x．则所列方程为（　　）
A．30（1+x）2＝50 B．30（1﹣x）2＝50
C．30（1+x2）＝50 D．30（1﹣x2）＝50
7．（4分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝30°，⊙O的半径为2cm，若点P是⊙O上的一点，PB＝AB，则PA的长为（　　）

A．2cm B．2cm C．cm D．2cm
8．（4分）如图，是甲、乙两位同学五次体育测试成绩的折线统计图，下列说法：①甲同学成绩的平均数更小，②乙同学成绩的中位数是90，③甲同学成绩的众数是85，④乙同学成绩的方差更大；其中正确的说法有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）

A． B．
C． D．
10．（4分）如图，△ABC纸板中，AC＝4，BC＝2，AB＝5，P是AC上一点，沿过点P的直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同剪法，那么AP长的取值范围（　　）

A．3＜AP＜4 B．3≤AP＜4 C．2＜AP＜3 D．2≤AP＜3
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分。）
11．（5分）若点（2，m﹣3）在第四象限，则实数m的取值范围是　 　．
12．（5分）双曲线经过点（﹣2，3），则k＝　 　．
13．（5分）如图，△ABC是边长为12的等边三角形，D是BC的中点，E是直线AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E的运动过程中，DF的最小值是　 　．

14．（5分）在平面直角坐标系中，点A（0，4），B（5，4），连接AB，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a经过点C（﹣1，0），且与线段AB恰有一个公共点．
（1）抛物线的对称轴为直线 　 　；
（2）a的取值范围为 　 　．
三、解答题
15．计算：
16．在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，﹣3），B（﹣1，﹣3），C（﹣1，﹣1）．
（1）画出△ABC，并画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1
（2）以O为位似中心，在第一象限内把△ABC扩大到原来的两倍，得到△A2B2C2．

17．《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三问人数、羊价各几何？其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？
18．观察下图中用小黑点摆成的三角形，并根据图中规律回答相关问题．

；；．
（1）第4个图形对应的等式为 　 　；
（2）若第n个图形对应的黑点总数为66个，求n的值．
19．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若直径AD＝10，cosB＝，求FD的长．

20．每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩（最长可伸至20m），且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m．
（1）若∠ABD＝53°，求此时云梯AB的长．
（2）如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．
（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）

21．新角度•概率、几何结合如图（1），线段AE和BD相交于点C，连接AB，DE．四张纸牌除正面分别写着如图（2）所示的四个不同的条件外完全相同，将四张纸牌背面朝上洗匀后放在桌面上．

（1）若小明第一次抽到纸牌③后，再从剩下的三张纸牌中随机抽取一张，则两张纸牌上的条件能证明△ABC≌△DEC成立的概率是 　 　；
（2）若从四张纸牌中随机抽出两张，求两张纸牌上的条件能证明△ABC≌△DEC成立的概率，先补全图（3）中的树状图，再计算．
22．如图1，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝8，点E，F分别为AB，CD的中点．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）如图2，点P是边AD上一点，BP交EF于点O，点A关于BP的对称点为点M，当点M落在线段EF上时，则有OB＝OM．请说明理由；
（3）如图3，若点P是射线AD上一个动点，点A关于BP的对称点为点M，连接AM，DM，当△AMD是等腰三角形时，求AP的长．

23．如图①，小明和小亮分别站在平地上的C、D两地先后竖直向上抛小球A、B（抛出前两小球在同一水平面上），小球到达最高点后会自由竖直下落到地面．A、B两球到地面的距离y1（m）和y2（m）与小球A离开小明手掌后运动的时间x（s）之间的函数图象分别是图②中的抛物线C1、C2．已知抛物线C1经过点P（0，2），顶点是Q（1，7），抛物线C2经过M（1，2）和N（2，5）两点，两抛物线的开口大小相同．
（1）分别求出y1、y2与x之间的函数表达式．
（2）在小球B离开小亮手掌到小球A落到地面的过程中．
①当x的值为　 　时，两小球到地面的距离相等；
②当x为何值时，两小球到地面的距离之差最大？最大是多少？


2023年安徽省芜湖市南陵县中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，满分40分。）
1．（4分）2023的相反数是（　　）
A． B． C．2023 D．﹣2023
【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
【解答】解：2023的相反数是﹣2023．
故选：D．
2．（4分）“学习强国”平台上线的某天，全国约有124600000人在平台上学习，将这个数据用科学记数法可表示为（　　）
A．1246×105 B．124.6×106 C．1.246×107 D．1.246×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同
【解答】解：124600000＝1.246×108．
故选：D．
3．（4分）下列运算正确的是（　　）
A．a2•a4＝a6 B．a+a2＝a3
C．4a2÷2a2＝2a2 D．（2a2）3＝6a6
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别化简，进而得出答案．
【解答】解：A．a2•a4＝a6，故此选项正确；
B．a+a2无法合并，故此选项不合题意；
C．4a2÷2a2＝2，故此选项不合题意；
D．（2a2）3＝8a6，故此选项不合题意．
故选：A．
4．（4分）如图是由6个相同的小正方体组成的几何体，其俯视图是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】解：由6个相同的小正方体组成的几何体，那么这个几何体的俯视图是：
．
故选：B．

5．（4分）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（　　）

A．70° B．75° C．80° D．85°
【分析】利用三角形内角和定理和平行线的性质解题即可．
【解答】解：如图，

∵∠2＝90°﹣30°＝60°，
∴∠3＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝75°，
故选：B．
6．（4分）某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x．则所列方程为（　　）
A．30（1+x）2＝50 B．30（1﹣x）2＝50
C．30（1+x2）＝50 D．30（1﹣x2）＝50
【分析】若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x，某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，则二月份的口罩产量是30（1+x）万个，三月份的口罩产量是30（1+x）2万个，根据三月份的口罩产量是50万个，列出方程即可．
【解答】解：设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x，
由题意得，30（1+x）2＝50．
故选：A．
7．（4分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝30°，⊙O的半径为2cm，若点P是⊙O上的一点，PB＝AB，则PA的长为（　　）

A．2cm B．2cm C．cm D．2cm
【分析】连接OA、OP，连接OB交AP于H，根据圆周角定理得到∠AOB＝2∠C＝60°，根据正弦的概念计算即可．
【解答】解：连接OA、OP，连接OB交AP于H，
由圆周角定理得，∠AOB＝2∠C＝60°，
∵PB＝AB，
∴∠POB＝60°，OB⊥AP，
∵⊙O的半径为2cm，
∴OP＝2cm，
∴AH＝PH＝OP•sin∠POB＝2×＝（cm），
∴AP＝2AH＝2（cm）．
故选：B．

8．（4分）如图，是甲、乙两位同学五次体育测试成绩的折线统计图，下列说法：①甲同学成绩的平均数更小，②乙同学成绩的中位数是90，③甲同学成绩的众数是85，④乙同学成绩的方差更大；其中正确的说法有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据折线统计图，可得甲5次的成绩，乙5次的成绩，根据众数、中位数，方差以及平均数的定义可得答案．
【解答】解：由题意可知，甲5次的成绩分别为80、85、85、85、90；乙5次的成绩分别为80、85、90、95、100；
①甲同学成绩的平均数更小，说法正确；
②乙同学成绩的中位数是90，说法正确；
③甲同学成绩的众数是85，说法正确；
④乙同学成绩的方差更大，说法正确．
所以正确的说法有4个．
故选：A．
9．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据二次函数图象开口向下得到a＜0，再根据对称轴确定出b，根据与y轴的交点确定出c＜0，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解．
【解答】解：∵二次函数图象开口方向向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线x＝﹣＞0，
∴b＞0，
∵与y轴的负半轴相交，
∴c＜0，
∴y＝bx+c的图象经过第一、三、四象限，
反比例函数y＝图象在第二四象限，
只有D选项图象符合．
故选：D．
10．（4分）如图，△ABC纸板中，AC＝4，BC＝2，AB＝5，P是AC上一点，沿过点P的直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同剪法，那么AP长的取值范围（　　）

A．3＜AP＜4 B．3≤AP＜4 C．2＜AP＜3 D．2≤AP＜3
【分析】分四种情况讨论，依据相似三角形的对应边成比例，即可得到AP的长的取值范围．
【解答】解：如图所示，过P作PD∥AB交BC于D或PE∥BC交AB于E，则△PCD∽△ACB或△APE∽△ACB，
此时0＜AP＜4；

如图所示，过P作∠APF＝∠B交AB于F，则△APF∽△ABC，
此时0＜AP≤4；

如图所示，过P作∠CPG＝∠CBA交BC于G，则△CPG∽△CBA，
此时，△CPG∽△CBA，
当点G与点B重合时，CB2＝CP×CA，即22＝CP×4，
∴CP＝1，AP＝3，
∴此时，3≤AP＜4；

综上所述，AP长的取值范围是3≤AP＜4．
故选：B．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分。）
11．（5分）若点（2，m﹣3）在第四象限，则实数m的取值范围是　m＜3　．
【分析】根据第四象限内点的坐标特点列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【解答】解：∵点（2，m﹣3）在第四象限，
∴m﹣3＜0，解得m＜3．
故答案为：m＜3．
12．（5分）双曲线经过点（﹣2，3），则k＝　﹣7　．
【分析】直接利用待定系数法即可求解．
【解答】解：∵双曲线经过点（﹣2，3），
∴，
∴k＝﹣7．
故答案为：﹣7．
13．（5分）如图，△ABC是边长为12的等边三角形，D是BC的中点，E是直线AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E的运动过程中，DF的最小值是　3　．

【分析】取线段AC的中点G，连接EG，根据等边三角形的性质以及角的计算即可得出CD＝CG以及∠FCD＝∠ECG，由旋转的性质可得出EC＝FC，由此即可利用全等三角形的判定定理SAS证出△FCD≌△ECG，进而即可得出DF＝GE，再根据点G为AC的中点，即可得出EG的最小值，此题得解．
【解答】解：取线段AC的中点G，连接EG，如图所示．
∵△ABC为等边三角形，且AD为△ABC的对称轴，
∴CD＝CG＝AB＝6，∠ACD＝60°，
∵∠ECF＝60°，
∴∠FCD＝∠ECG．
在△FCD和△ECG中，
，
∴△FCD≌△ECG（SAS），
∴DF＝GE．
当EG∥BC时，EG最小，
∵点G为AC的中点，
∴此时EG＝DF＝CD＝3．
故答案为3．

14．（5分）在平面直角坐标系中，点A（0，4），B（5，4），连接AB，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a经过点C（﹣1，0），且与线段AB恰有一个公共点．
（1）抛物线的对称轴为直线 　x＝1　；
（2）a的取值范围为 　a＝﹣1或a＜﹣或a≥　．
【分析】（1）代入对称轴公式即可求出；
（2）当顶点线段AB上时，纵坐标为4，若顶点不在线段AB上时，则A定在抛物线内，列出不等式组解之即可．
【解答】解：（1）对称轴为：，
故答案为：x＝1；
（2）当抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a的顶点在线段AB上时，，
即，
解得：a＝﹣1；
若抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a与线段AB恰有一个公共点，∵A（0，4），B（5，4），
当x＝0时y＝﹣3a；当x＝5时y＝25a﹣10a﹣3a＝12a；
由于对称轴是直线x＝1，所以A定在抛物线内，即可以得到：或
解得：a＜﹣或a≥，
故答案为：a＝﹣1或a＜﹣或a≥．
三、解答题
15．计算：
【分析】分别进行负整数指数幂、零指数幂、二次根式的化简，然后代入特殊角的三角函数值即可
【解答】解：＝﹣3﹣2+﹣1+﹣1＝﹣5
16．在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，﹣3），B（﹣1，﹣3），C（﹣1，﹣1）．
（1）画出△ABC，并画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1
（2）以O为位似中心，在第一象限内把△ABC扩大到原来的两倍，得到△A2B2C2．

【分析】（1）根据关于x轴对称点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）把A、B、C点的横纵坐标都乘以2得到A2、B2、C2的坐标，然后描点即可．
【解答】解：（1）如图，△ABC和△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作．

17．《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三问人数、羊价各几何？其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？
【分析】设合伙买羊的有x人，羊价为y钱，根据“若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设合伙买羊的有x人，羊价为y钱，
依题意，得：，
解得：．
答：合伙买羊的有21人，羊价为150钱．
18．观察下图中用小黑点摆成的三角形，并根据图中规律回答相关问题．

；；．
（1）第4个图形对应的等式为 　　；
（2）若第n个图形对应的黑点总数为66个，求n的值．
【分析】（1）根据图形规律第四个图形多一行5个的点，直接列式即可得到答案；
（2）根据题意找到图形点数规律列式求解即可得到答案．
【解答】解：（1）（1）由题意可得，
第四个图形总点数可列为：，
故答案为：；
（2）由题意可得，
每一个图形的行数比个数多1，每行的数字从1开始逐渐加1，
∴第n个图形的点数为：，
∴，
整理得n2+3n﹣130＝0，解得n1＝10，n2＝﹣13（舍去），
∴n的值为10．
19．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若直径AD＝10，cosB＝，求FD的长．

【分析】（1）根据切线的判定，连接OC，证明出OC⊥FC即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案；
（2）由cosB＝，根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得CD：AC：AD＝3：4：5，再根据相似三角形的性质可求出答案．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∴∠ADC+∠CAD＝90°，
又∵OC＝OD，
∴∠ADC＝∠OCD，
又∵∠DCF＝∠CAD．
∴∠DCF+∠OCD＝90°，
即OC⊥FC，
∴FC是⊙O的切线；
（2）解：∵∠B＝∠ADC，cosB＝，
∴cos∠ADC＝，
在Rt△ACD中，
∵cos∠ADC＝＝，AD＝10，
∴CD＝AD•cos∠ADC＝10×＝6，
∴AC＝＝8，
∴＝，
∵∠FCD＝∠FAC，∠F＝∠F，
∴△FCD∽△FAC，
∴＝＝＝，
设FD＝3x，则FC＝4x，AF＝3x+10，
又∵FC2＝FD•FA，
即（4x）2＝3x（3x+10），
解得x＝（取正值），
∴FD＝3x＝．

20．每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB可伸缩（最长可伸至20m），且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m．
（1）若∠ABD＝53°，求此时云梯AB的长．
（2）如图2，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．
（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）

【分析】（1）在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，即可解答；
（2）根据题意可得DE＝BC＝2m，从而求出AD＝17m，然后在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，进行比较即可解答．
【解答】解：（1）在Rt△ABD中，∠ABD＝53°，BD＝9m，
∴AB＝≈＝15（m），
∴此时云梯AB的长为15m；
（2）在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处，
理由：由题意得：
DE＝BC＝2m，
∵AE＝19m，
∴AD＝AE﹣DE＝19﹣2＝17（m），
在Rt△ABD中，BD＝9m，
∴AB＝＝＝（m），
∵m＜20m，
∴在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处．
21．新角度•概率、几何结合如图（1），线段AE和BD相交于点C，连接AB，DE．四张纸牌除正面分别写着如图（2）所示的四个不同的条件外完全相同，将四张纸牌背面朝上洗匀后放在桌面上．

（1）若小明第一次抽到纸牌③后，再从剩下的三张纸牌中随机抽取一张，则两张纸牌上的条件能证明△ABC≌△DEC成立的概率是 　　；
（2）若从四张纸牌中随机抽出两张，求两张纸牌上的条件能证明△ABC≌△DEC成立的概率，先补全图（3）中的树状图，再计算．
【分析】（1）根据全等三角形的判定得到能证明△ABC≌△DEC成立的结果数，利用概率公式即可求解；
（2）补全树状图，共有12个可能的结果，根据全等三角形的判定得到能证明△ABC≌△DEC成立的结果数，即可得求出概率．
【解答】解：∵AB＝DE，∠ACB＝∠DCE，
∴当抽中∠A＝∠D时，由AAS能判断△ABC≌△DEC，①符合题意；
当抽中∠B＝∠E时，由AAS能判断△ABC≌△DEC，②符合题意；
当抽中BC＝CE时，由SSA不能判断△ABC≌△DEC，④不符合题意；
∴共有三种等可能结果，其中能证明△ABC≌△DEC成立的情况有2种
能证明△ABC≌△DEC概率是，
故答案为：；
（2）补全树状图，如图，

∵∠ACB＝∠DCE，
∴当抽中①∠A＝∠D，②∠B＝∠E，不能判断△ABC≌△DEC；
当抽中①∠A＝∠D，③AB＝DE，能判断△ABC≌△DEC；
当抽中①∠A＝∠D，④BC＝CE，能判断△ABC≌△DEC；
当抽中②∠B＝∠E，①∠A＝∠D，不能判断△ABC≌△DEC；
当抽中②∠B＝∠E，③AB＝DE，能判断△ABC≌△DEC；
当抽中②∠B＝∠E，④BC＝CE，能判断△ABC≌△DEC；
当抽中③AB＝DE，①∠A＝∠D，能判断△ABC≌△DEC；
当抽中③AB＝DE，②∠B＝∠E，能判断△ABC≌△DEC；
当抽中③AB＝DE，④BC＝CE，不能判断△ABC≌△DEC；
当抽中④BC＝CE，①∠A＝∠D，能判断△ABC≌△DEC；
当抽中④BC＝CE，②∠B＝∠E，能判断△ABC≌△DEC；
当抽中④BC＝CE，③AB＝DE，不能判断△ABC≌△DEC；
共有12个可能的结果，两张纸牌上的条件能证明△ABC≌△DEC成立的结果有8个，
∴摸出两张纸牌上的条件能证明△ABC≌△DEC成立的概率＝．
22．如图1，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝8，点E，F分别为AB，CD的中点．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）如图2，点P是边AD上一点，BP交EF于点O，点A关于BP的对称点为点M，当点M落在线段EF上时，则有OB＝OM．请说明理由；
（3）如图3，若点P是射线AD上一个动点，点A关于BP的对称点为点M，连接AM，DM，当△AMD是等腰三角形时，求AP的长．

【分析】（1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可．
（2）根据直角三角形斜边中线的性质证明即可．
（3）分四种情形：如图3﹣1中，当MA＝MD时．如图3﹣2中，当AM＝AD时．如图3﹣3中，当DA＝DM时，此时点P与D重合．如图3﹣4中，当MA＝MD时，分别求解即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∠A＝90°，
∵AE＝EB，DF＝FC，
∴AE＝DF，AE∥DF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵∠A＝90°，
∴四边形AEFD是矩形．

（2）证明：如图2中，连接PM．BM．

∵四边形AEFD是矩形，
∴EF∥AD，
∵BE＝AE，
∴BO＝OP，
由翻折可知，∠PMB＝∠A＝90°，
∴OM＝OB＝OP．

（3）解：如图3﹣1中，当MA＝MD时，连接BM，过点M作MH⊥AD于H交BC于F．

∵MA＝MD，MH⊥AD，
∴AH＝HD＝4，
∵∠BAH＝∠ABF＝∠AHF＝90°，
∴四边形ABFH是矩形，
∴BF＝AH＝4，AB＝FH＝5，
∴∠BFM＝90°，
∵BM＝BA＝5，
∴FM＝＝＝3，
∴HM＝HF﹣FM＝5﹣3＝2，
∵∠ABP+∠APB＝90°，∠MAH+∠APB＝90°，
∴∠ABP＝∠MAH，
∵∠BAP＝∠AHM＝90°，
∴△ABP∽△HAM，
∴＝，
∴＝，
∴AP＝．
如图3﹣2中，当AM＝AD时，连接BM，设BP交AM于F．

∵AD＝AM＝8，BA＝BM＝5，BF⊥AM，
∴AF＝FM＝4，
∴BF＝＝＝3，
∵tan∠ABF＝＝，
∴＝，
∴AP＝，
如图3﹣3中，当DA＝DM时，因为BD是线段AM的垂直平分线，BP也是线段AM的垂直平分线，所以，BP与BD重合，所以点P与点D重合，AP＝8．


如图3﹣4中，当MA＝MD时，连接BM，过点M作MH⊥AD于H交BC于F．

∵BM＝5，BF＝4，
∴FM＝3，MH＝3+5＝8，
由△ABP∽△HAM，可得＝，
∴＝，
∴AP＝10，
综上所述，满足条件的PA的值为或或8或10．
23．如图①，小明和小亮分别站在平地上的C、D两地先后竖直向上抛小球A、B（抛出前两小球在同一水平面上），小球到达最高点后会自由竖直下落到地面．A、B两球到地面的距离y1（m）和y2（m）与小球A离开小明手掌后运动的时间x（s）之间的函数图象分别是图②中的抛物线C1、C2．已知抛物线C1经过点P（0，2），顶点是Q（1，7），抛物线C2经过M（1，2）和N（2，5）两点，两抛物线的开口大小相同．
（1）分别求出y1、y2与x之间的函数表达式．
（2）在小球B离开小亮手掌到小球A落到地面的过程中．
①当x的值为　　时，两小球到地面的距离相等；
②当x为何值时，两小球到地面的距离之差最大？最大是多少？

【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）①令y1＝y2，即可求解；
②在小球B离开小亮手掌到小球A落到地面这个过程中，1≤x≤1+．当1≤x≤时，两球到地面的距离之差y1﹣y2＝﹣8x+13，进而求解；当≤x≤1+时，同理可得；当x＝1+时，y2﹣y1有最大值，最大值是﹣5，进而求解．
【解答】解：（1）设y1与x之间的函数表达式为y1＝a（x+m）2+k．
∵顶点Q的坐标是（1，7），
∴y1＝a（x﹣1）2+7，
因为点P（0，2）在抛物线C1上，
所以点P（0，2）的坐标满足y1＝a（x﹣1）2+7，即2＝a（0﹣1）2+7．
解得a＝﹣5，
∴y1＝﹣5（x﹣1）2+7，
∵两抛物线的开口大小相同，
∴设y2与x之间的函数表达式为y2＝﹣5x2+bx+c，
因为点M（1，2）和N（2，5）都在抛物线C2上，
所以点M（1，2）和N（2，5）的坐标满足y2＝﹣5x2+bx+c，
即，解得，
∴y2＝﹣5x2+18x﹣11；

（2）①令y1＝y2，则﹣5（x﹣1）2+7＝﹣5x2+18x﹣11，解得x＝，
故答案为：；

②令y1＝0，则0＝﹣5（x﹣1）2+7．
解方程得x1＝1+，x2＝1﹣（不合题意，舍去），
在小球B离开小亮手掌到小球A落到地面这个过程中，1≤x≤1+．
当1≤x≤时，两球到地面的距离之差y1﹣y2＝﹣8x+13，
∵﹣8＜0，
∴y1﹣y2随x的增大而减小．
∴当x＝1时，y1﹣y2有最大值，最大值是5，
当≤x≤1+时，两球到地面的距离之差y2﹣y1＝8x﹣13，
∵8＞0，
∴y2﹣y1随x的增大而增大．
∴当x＝1+时，y2﹣y1有最大值，最大值是﹣5，
∵﹣5＜5．
∴当x的值为1时，两球到地面的距离之差最大，最大是5m．