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2022-2023学年广东省广州十六中八年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年广东省广州十六中八年级（下）期中数学试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省广州十六中八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．若在实数范围内有意义，则a的取值范围是（ ）
A．a⩾﹣1 B．a＞﹣1 C．a≠﹣1 D．a⩽﹣1
2．下列各组数中，不是勾股数的是（ ）
A．3，4，5 B．5，12，13 C．7，25，26 D．6，8，10
3．一个四边形的三个相邻内角度数依次如下，那么其中是平行四边形的是（ ）
A．88°，108°，88° B．88°，104°，108°
C．88°，92°，92° D．88°，92°，88°
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，直线AO⊥OB，垂足为O，线段AO＝3，BO＝4，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交直线AO于点C．则OC的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
6．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A．当∠ABC＝90°时，它是矩形
B．当AB＝BC时，它是菱形
C．当AC⊥BD时，它是菱形
D．当AC＝BD时，它是正方形
7．若使算式的运算结果最小，则〇表示的运算符号是（ ）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
8．下列命题的逆命题成立的是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．正方形的对角线相等
C．对顶角相等
D．若a＝b，则
9．如图，是由一系列直角三角形组成的螺旋，则第2023个直角三角形S2023的面积为（ ）
A． B．2023 C． D．1011.5
10．已知，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD为边AB上的中线，若E是线段CA上
任意一点，DF⊥DE，交直线BC于E点．G为EF的中点，连接CG并延长交直线AB
于点H．若AE＝6，CH＝10，则CE的长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．比较大小：2 5（选填“＞”、“＝”、“＜”）．
12．利用平方差公式在实数范围内分解因式：a2﹣6＝ ．
13．在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝30°，则菱形的面积（底×高）是 ．
14．如图，点D、E、F分别是直角△ABC各边的中点，∠C＝90°，EF、DE分别为3cm，5cm，则DF的长为 cm．
15．有一长，宽，高分别为5cm，4cm，3cm的木箱，在它里面放入一根细木条（木条的粗细，形变忽略不计），要求木条不能露出木箱，请你算一算，能放入的细木条的最大长度是 cm．
16．如图，矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝BE＝6，F为BE上一点，且，连接DE、CE、CF．以下说法中：
①BF＝2；
②当点E在AD边上时，则∠DCE＝15°；
③当∠EBC＝60°时，则∠ADE＝30°；
④DE+CF的最小值为5．
正确的有 （填序号即可）
三、解答题（共72分）
17．计算：（1）；（2）．
18．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，AD＝1，且∠ABC＝90°，试求∠A的度数．
19．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O．点E、F分别为OD、OB的中点，连接CE、AF．
求证：CE＝AF．
20．先化简，再求值：，其中．
21．（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：如图，①作线段AC的垂直平分线交AC于点O；②连接BO并延长，在延长线上截取OD＝OB；③连接AD，CD．
（2）证明所作的四边形ABCD是矩形．
22．我国古代数学著作《九章算术》中“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”今译：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落地，离竹子底端3尺处．折断处离地面的高度是多少？（1丈＝10尺）
23．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BE＝5cm，点E是AD边上的一点，AE、DE分别长acm、bcm，满足（a﹣3）2+|2a+b﹣9|＝0．动点P从B点出发，以2cm/s的速度沿B→C→D运动，最终到达点D．设运动时间为t秒．
（1）a＝ cm，b＝ cm；
（2）t＝ 时，EP把四边形BCDE的周长平分；
（3）另有一点Q从点E出发，按照E→D→C的路径运动，且速度为1cm/s，若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．求t为何值时，△BPQ的面积等于6cm2．
24．定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决．
例如：已知，求的值，可以这样解答：
因为，
所以．
（1）已知：，求：①＝ ；
②结合已知条件和第①问的结果，解方程：；
（2）代数式中x的取值范围是 ，最大值是 ，最小值是 ；
（3）计算：．
25．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，以BD为边在BD上方作一△BED，连接AE，且∠EBD＝∠EAD．
（1）填空：∠AEB＝ °；
（2）求证：；
（3）连接CE，设△ADE的周长为l，△BCE的周长为m，求的值．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．若在实数范围内有意义，则a的取值范围是（ ）
A．a⩾﹣1 B．a＞﹣1 C．a≠﹣1 D．a⩽﹣1
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
解：∵在实数范围内有意义，
∴a+1≥0，
∴a≥﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
2．下列各组数中，不是勾股数的是（ ）
A．3，4，5 B．5，12，13 C．7，25，26 D．6，8，10
【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
解：A、32+42＝52，能构成直角三角形，是整数，故是勾股数，此选项不符合题意；
B、52+122＝132，是正整数，同时能构成直角三角形，故是勾股数，此选项不符合题意；
C、72+252≠262，不是勾股数，此选项符合题意；
D、62+82＝102，三边是整数，同时能构成直角三角形，故是勾股数，此选项不符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．
3．一个四边形的三个相邻内角度数依次如下，那么其中是平行四边形的是（ ）
A．88°，108°，88° B．88°，104°，108°
C．88°，92°，92° D．88°，92°，88°
【分析】两组对角分别相等的四边形是平行四边形，根据所给的三个角的度数可以求出第四个角，然后根据平行四边形的判定方法验证即可．
解：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故B不是；
当三个内角度数依次是88°，108°，88°时，第四个角是76°，故A不是；
当三个内角度数依次是88°，92°，92°，第四个角是88°，而C中相等的两个角不是对角故C错，D中满足两组对角分别相等，因而是平行四边形．
故选：D．
【点评】此题主要考查平行四边形的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．注意角的对应的位置关系，并不是有两组角相等的四边形就是平行四边形，错选C．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的加法，减法，乘法，除法法则进行计算，逐一判断即可解答．
解：A、3与2不能合并，故A不符合题意；
B、÷＝，故B符合题意；
C、5×2＝30，故C不符合题意；
D、4﹣3＝，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
5．如图，直线AO⊥OB，垂足为O，线段AO＝3，BO＝4，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交直线AO于点C．则OC的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】由垂直的定义得到∠AOB＝90°，根据勾股定理得到AB＝5，得到AC＝AB＝5，即可得到结论．
解：∵AO⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∵AO＝3，BO＝4，
∴AB＝＝＝5，
∴AC＝AB＝5，
∴OC＝2．
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理，圆的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
6．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A．当∠ABC＝90°时，它是矩形
B．当AB＝BC时，它是菱形
C．当AC⊥BD时，它是菱形
D．当AC＝BD时，它是正方形
【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定逐个判断即可．
解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，不一定是正方形，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了对矩形的判定、菱形的判定，正方形的判定的应用，能正确运用判定定理进行判断是解此题的关键，难度适中．
7．若使算式的运算结果最小，则〇表示的运算符号是（ ）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
【分析】分别把四个选项中的符号代入计算，再比较结果的大小即可．
解：+＝3+2＝5，
﹣＝3﹣2＝，
×＝3＝12，
÷＝3÷2＝，
∵12＞5＞＞，
∴〇表示的运算符号是“﹣”时，运算结果最小，
故选：B．
【点评】此题主要考查了实数的运算，关键是掌握二次根式的计算法则．
8．下列命题的逆命题成立的是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．正方形的对角线相等
C．对顶角相等
D．若a＝b，则
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再分析逆命题是否成立，需要分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形的逆命题是平行四边形的对角线互相平分，逆命题是真命题，符合题意；
B、正方形的对角线相等的逆命题是对角线相等的四边形是正方形，逆命题是假命题，不符合题意；
C、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是假命题，不符合题意；
D、若a＝b，则的逆命题是若，则a＝b，逆命题是假命题，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题，熟知相关知识是解答的关键．
9．如图，是由一系列直角三角形组成的螺旋，则第2023个直角三角形S2023的面积为（ ）
A． B．2023 C． D．1011.5
【分析】根据勾股定理，可以求得OAn的值，然后根据三角形的面积，可以发现面积的变化特点，然后即可得到S2023的值．
解：由图可得，
OA2＝＝，OA3＝＝，OA4＝＝，…，OAn＝，
S1＝＝，
S2＝＝，
S3＝＝
…，
则Sn＝，
∴S2023＝．
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理、图形的变化类、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，发现三角形面积的变化特点．
10．已知，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD为边AB上的中线，若E是线段CA上
任意一点，DF⊥DE，交直线BC于E点．G为EF的中点，连接CG并延长交直线AB
于点H．若AE＝6，CH＝10，则CE的长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】连接DG，易证G是Rt△DCH的斜边CH的中点，可得CG＝5，进一步可知EF＝10，证明△ADE≌△CDF（ASA），可得CF＝AE＝6，根据勾股定理，可得CE＝8即可．
解：连接DG，如图所示：
∵DF⊥DE，
∴∠EDF＝90°，
∵∠ACB＝90°，G是EF的中点，
∴CG＝DG，
在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，且CD为边AB上的中线，
∴CD⊥AB，CD＝AD，
∴∠CDG+∠HDG＝90°，∠DCH+∠DHC＝90°，
∵CG＝DG，
∴∠HCD＝∠CDG，
∴∠CHD＝∠HDG，
∴GH＝GD，
∴H是CH的中点，
∵CH＝10，
∴CG＝5，
∴EF＝10，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠A＝45°，∠ACD＝45°，∠DCF＝45°，
∴∠A＝∠DCF，
∵∠EDF＝∠ADC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴CF＝AE＝6，
在△ECF中，根据勾股定理得CE＝8，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质等相关知识，本题综合性较强．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．比较大小：2 ＜ 5（选填“＞”、“＝”、“＜”）．
【分析】先把两数值化成带根号的形式，再根据实数的大小比较方法即可求解．
解：∵2＝，5＝，
而24＜25，
∴2＜5．
故填空答案：＜．
【点评】此题主要考查了实数的大小的比较，当一个带根号的无理数和一个有理数进行比较时，首选的方法就是把它们还原成带根号的形式，然后比较被开方数即可解决问题．
12．利用平方差公式在实数范围内分解因式：a2﹣6＝ ．
【分析】利用平方差公式进行因式分解解决此题．
解：a2﹣6＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查因式分解，熟练掌握利用平方差公式进行因式分解是解决本题的关键．
13．在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝30°，则菱形的面积（底×高）是 2 ．
【分析】根据菱形的性质以及直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半得出DE的长，即可得出菱形的面积．
【解答】解；如图所示：过点D作DE⊥BC于点E，
在菱形ABCD中，AB＝AD＝2，∠A＝30°，
∴DE＝AD＝1，
∴菱形ABCD的面积S＝AB×DE＝2×1＝2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了菱形的面积以及其性质，得出DE的长是解题关键．
14．如图，点D、E、F分别是直角△ABC各边的中点，∠C＝90°，EF、DE分别为3cm，5cm，则DF的长为 4 cm．
【分析】由三角形中位线定理，得到DF∥BC，EF∥AC，由平行线的性质推出∠DFE＝90°，由勾股定理即可求出DF的长．
解：∵点D、E、F分别是直角△ABC各边的中点，
∴DF，EF是△ABC的中位线，
∴DF∥BC，EF∥AC，
∴∠ADF＝∠C＝90°，∠DFE＝∠ADF，
∴∠DFE＝90°，
∵FE＝3cm，DE＝5cm，
∴DF＝＝＝4（cm）．
故答案为：4．
【点评】本题考查三角形中位线定理，平行线的性质，勾股定理，关键是由三角形中位线定理，平行线的性质，证明△DEF是直角三角形．
15．有一长，宽，高分别为5cm，4cm，3cm的木箱，在它里面放入一根细木条（木条的粗细，形变忽略不计），要求木条不能露出木箱，请你算一算，能放入的细木条的最大长度是 cm．
【分析】长方体对角线是最长的，当木条在木箱里对角放置的时候露在外面的长度最小，这样就是求出木箱的对角线长度即可．
解：木箱底面对角线长：＝cm，
则木箱对角线长：＝5cm，
放入的细木条的最大长度是5cm．
【点评】本题重点考查学生的空间想象能力及勾股定理的应用．
16．如图，矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝BE＝6，F为BE上一点，且，连接DE、CE、CF．以下说法中：
①BF＝2；
②当点E在AD边上时，则∠DCE＝15°；
③当∠EBC＝60°时，则∠ADE＝30°；
④DE+CF的最小值为5．
正确的有 ①②④ （填序号即可）
【分析】由线段的数量关系可求BF＝2，EF＝4，故①正确；由直角三角形的可求AB＝AH＝BH＝3，可证△ABH是等边三角形，可得∠ABE＝60°，由等腰三角形的性质可求∠DCE＝15°，故②正确；由等边三角形的性质和直角三角形的性质可求AG＝DH＝，EH＝GH＝6﹣2，可得∠ADE≠30°；故③错误；由“SAS”可证△BFC≌△BME，可得CF＝EM，由三角形的三边关系和勾股定理可求DE+CF的最小值为5，故④正确，即可求解．
解：∵BE＝6，BF＝EF，
∴BF＝2，EF＝4，故①正确；
如图1，当点E在AD上时，取BE的中点H，连接AH，
∵点H是BE的中点，∠BAE＝90°，
∴AH＝BH＝HE＝3，
∴AB＝AH＝BH＝3，
∴△ABH是等边三角形，
∴∠ABE＝60°，
∴∠EBC＝30°，
∵BE＝BC，
∴∠BCE＝∠BEC＝75°，
∴∠DCE＝15°，故②正确；
如图2，当∠EBC＝60°时，设AD与CE交于H，与BE交于点G，
∵∠EBC＝60°，BC＝BE，
∴△EBC是等边三角形，
∴∠EBC＝∠ECB＝60°＝∠BEC，
∴∠ABG＝∠DCE＝30°，
∴AB＝AG，CD＝DH，
∴AG＝DH＝，
∴GH＝6﹣2，
∵AD∥BC，
∴∠EGH＝∠EBC＝60°，∠GHE＝∠BCE＝60°，
∴△GEH是等边三角形，
∴EH＝GH＝6﹣2≠DH，
∴∠ADE≠∠DEH，
∴∠ADE≠30°；故③错误；
如图3，在BC上截取BM＝BF＝2，连接EM，DM，
∵BE＝BC，∠EBM＝∠CBF，
∴△BFC≌△BME（SAS），
∴CF＝EM，
∴DE+CF＝DE+EM，
∴当点E，点D，点M三点共线时，DE+CF有最小值，最小值为DM的长，
∵CM＝BC﹣BM＝4，CD＝AB＝3，
∴DM＝＝＝5，
∴DE+CF的最小值为5，故④正确；
故答案为：①②④．
【点评】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
三、解答题（共72分）
17．计算：（1）；（2）．
【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先利用二次根式的乘法和除法法则运算，然后化简即可．
解：（1）原式＝3﹣4+
＝0；
（2）原式＝
＝3．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．
18．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，AD＝1，且∠ABC＝90°，试求∠A的度数．
【分析】连接AC，根据勾股定理求出AC，再△ADC中利用勾股定理逆定理得到∠CAD＝90°，进而求出∠A的度数．
解：
连接AC，∵AB＝BC＝2，且∠ABC＝90°，
∴且∠CAB＝45°，
又∵AD＝1，CD＝3，
∴AD2+AC2＝CD2
∴∠CAD＝90°，
∴∠A＝∠CAD+∠CAB＝135°．
【点评】本题考查了勾股定理和其逆定理的运用，解题的关键是连接AC，构造直角三角形．
19．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O．点E、F分别为OD、OB的中点，连接CE、AF．
求证：CE＝AF．
【分析】根据平行四边形的性质的AO＝CO，BO＝DO，根据线段中点的定义得到EO＝FO，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵E，F分别为OD，OB的中点，
∴EO＝FO，
在△AFO和△CEO中，
，
∴△AFO≌△CEO（SAS），
∴CE＝AF．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质、正确应用全等三角形的判定方法是解题关键．
20．先化简，再求值：，其中．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把x的值代入计算即可．
解：原式＝（﹣）•
＝﹣•
＝1﹣x，
当x＝﹣1时，原式＝1﹣（﹣1）＝2﹣．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
21．（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：如图，①作线段AC的垂直平分线交AC于点O；②连接BO并延长，在延长线上截取OD＝OB；③连接AD，CD．
（2）证明所作的四边形ABCD是矩形．
【分析】（1）利用基本作图作AC的垂直平分线得到AC的中点O，然后在BO的延长线上截取OD＝OB，从而得到四边形ABCD；
（2）利用对角线互相平分判断四边形ABCD为平行四边形，所以利用∠ABC＝90°判断四边形ABCD为矩形．
【解答】（1）解：如图，
（2）证明：∵O点为AC的垂直平分线与AC的交点，
∴OA＝OC，
∵OB＝OD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD为矩形．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和矩形的判定．
22．我国古代数学著作《九章算术》中“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”今译：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落地，离竹子底端3尺处．折断处离地面的高度是多少？（1丈＝10尺）
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，利用勾股定理解题即可．
解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2．
解得：x＝4.55，
答：折断处离地面的高度为4.55尺．
【点评】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
23．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BE＝5cm，点E是AD边上的一点，AE、DE分别长acm、bcm，满足（a﹣3）2+|2a+b﹣9|＝0．动点P从B点出发，以2cm/s的速度沿B→C→D运动，最终到达点D．设运动时间为t秒．
（1）a＝ 3 cm，b＝ 3 cm；
（2）t＝ 2s 时，EP把四边形BCDE的周长平分；
（3）另有一点Q从点E出发，按照E→D→C的路径运动，且速度为1cm/s，若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．求t为何值时，△BPQ的面积等于6cm2．
【分析】（1）由非负性可求a，b的值；
（2）先求出C四边形BCDE＝18cm，可得BE+BP＝9cm，可求BP＝4cm，即可求解；
（3）分三种情况讨论，由三角形的面积公式可求解．
解：（1）∵（a﹣3）2+|2a+b﹣9|＝0，
∴a﹣3＝0，2a+b﹣9＝0，
∴a＝3，b＝3；
故答案为：3，3；
（2）∵AE＝3cm，DE＝3cm，
∴AD＝6cm＝BC，
∴C四边形BCDE＝BC+CD+DE+EB＝18cm，
∵EP把四边形BCDE的周长平分，
∴BE+BP＝9cm，
∴点P在BC上，BP＝4cm，
∴t＝＝2s，
故答案为：2s；
（3）①点P在BC上（0＜t≤3），
∵S△BPQ＝×2t×4＝6，
∴t＝；
②相遇前，点P在CD上（3＜t≤），
∵S△BPQ＝×[（4﹣（t﹣3）﹣（2t﹣6）]×6＝6，
∴t＝；
③相遇后，点P在CD上（＜t≤5），
∵S△BPQ＝×[（t﹣3）+（2t﹣6）﹣4]×6＝6，
∴t＝5；
综上所述，当t＝s或s或5s时，△BPQ的面积等于6cm2．
【点评】本题考查了矩形的性质，非负性，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
24．定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决．
例如：已知，求的值，可以这样解答：
因为，
所以．
（1）已知：，求：①＝ 2 ；
②结合已知条件和第①问的结果，解方程：；
（2）代数式中x的取值范围是 2≤x≤10 ，最大值是 4 ，最小值是 2 ；
（3）计算：．
【分析】（1）①根据平方差公式可解答；
②两边同时平方将根号化去，解方程并进行检验；
（2）根据被开方数大于等于0，列不等式组可得结论；
（3）分别进行分母有理化可解答．
解：（1）①∵（+）×（﹣）＝（）2﹣（）2＝20﹣x﹣4+x＝16，且，
∴﹣＝2；
故答案为：2；
②，
＝8﹣，
两边同时平方得：20﹣x＝64﹣16+4﹣x，
＝3，
两边同时平方得：4﹣x＝9，
∴x＝﹣5，
经检验：x＝﹣5是原方程的解；
（2）由题意得：，
解得：2≤x≤10，
当x＝2时，＝＝2，
当x＝6时，＝2+2＝4，
∴最大值是4，最小值是2；
故答案为：2≤x≤10，4，2；
（3）
＝+++…+
＝﹣+﹣+﹣+…+﹣
＝﹣
＝．
【点评】本题考查二次根式的化简求值，同时考查了二次根式的性质和分母有理化，计算量较大．
25．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，以BD为边在BD上方作一△BED，连接AE，且∠EBD＝∠EAD．
（1）填空：∠AEB＝ 45 °；
（2）求证：；
（3）连接CE，设△ADE的周长为l，△BCE的周长为m，求的值．
【分析】（1）由三角形的外角性质可求解；
（2）由等腰直角三角形的性质可得EF＝AE，由“SAS”可证△EAD≌△FAB，可得BF＝DE，即可求解；
（3）由“SAS”可证△ADE≌△CDM，可得AE＝CM，则CE＝AE+DE，由三角形的周长公式可求解．
【解答】（1）解：如图，设AD与BE的交点为O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB＝∠ABD＝45°，AD＝AB，
∵∠EBD＝∠EAD，∠AOB＝∠AEB+∠EAD＝∠ADB+∠DBE，
∴∠AEB＝∠ADB＝45°，
故答案为：45；
（2）证明：如图，过点A作AF⊥AE，交BE于F，
∴∠AEB＝∠AFE＝45°，
∴AE＝AF，
∴EF＝AE，
∵∠BAD＝∠EAF＝90°，
∴∠EAD＝∠FAB，
又∵AE＝AF，AB＝AD，
∴△EAD≌△FAB（SAS），
∴BF＝DE，
∴BE＝BF+EF＝AE+DE；
（3）解：如图，连接AC，连接EN，过点D作DM⊥ED，交EC于M，
∵△EAD≌△FAB，
∴∠ADE＝∠ABF，
又∵∠AOB＝∠DOE，
∴∠BAO＝∠DEB＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AN＝CN＝DN＝BN，
又∵∠BED＝90°，
∴EN＝BN＝DN＝AN＝NC，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠BED＝90°，
∴∠AEB＝∠CED＝45°，
∵DM⊥DE，
∴∠DEM＝∠EMD＝45°，
∴DE＝DM，
∴EM＝DE，
∵∠EDM＝∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDM，
又∵DE＝DM，AD＝CD，
∴△ADE≌△CDM（SAS），
∴AE＝CM，
∴CE＝AE+DE，
设DE＝a，AE＝b，
∴BE＝b+a，CE＝a+b，
∴△ADE的周长为l＝AD+DE+AE＝2+a+b，
△BCE的周长为m＝BC+EC+BE＝2+a+b+b+a＝2+（+1）（a+b），
∴（1+）l﹣m＝（1+）（2+a+b）﹣[2+（+1）（a+b）]＝2．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
2022-2023学年广东省广州十六中八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．若在实数范围内有意义，则a的取值范围是（ ）
A．a⩾﹣1 B．a＞﹣1 C．a≠﹣1 D．a⩽﹣1
2．下列各组数中，不是勾股数的是（ ）
A．3，4，5 B．5，12，13 C．7，25，26 D．6，8，10
3．一个四边形的三个相邻内角度数依次如下，那么其中是平行四边形的是（ ）
A．88°，108°，88° B．88°，104°，108°
C．88°，92°，92° D．88°，92°，88°
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，直线AO⊥OB，垂足为O，线段AO＝3，BO＝4，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交直线AO于点C．则OC的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
6．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A．当∠ABC＝90°时，它是矩形
B．当AB＝BC时，它是菱形
C．当AC⊥BD时，它是菱形
D．当AC＝BD时，它是正方形
7．若使算式的运算结果最小，则〇表示的运算符号是（ ）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
8．下列命题的逆命题成立的是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．正方形的对角线相等
C．对顶角相等
D．若a＝b，则
9．如图，是由一系列直角三角形组成的螺旋，则第2023个直角三角形S2023的面积为（ ）
A． B．2023 C． D．1011.5
10．已知，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD为边AB上的中线，若E是线段CA上
任意一点，DF⊥DE，交直线BC于E点．G为EF的中点，连接CG并延长交直线AB
于点H．若AE＝6，CH＝10，则CE的长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．比较大小：2 5（选填“＞”、“＝”、“＜”）．
12．利用平方差公式在实数范围内分解因式：a2﹣6＝ ．
13．在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝30°，则菱形的面积（底×高）是 ．
14．如图，点D、E、F分别是直角△ABC各边的中点，∠C＝90°，EF、DE分别为3cm，5cm，则DF的长为 cm．
15．有一长，宽，高分别为5cm，4cm，3cm的木箱，在它里面放入一根细木条（木条的粗细，形变忽略不计），要求木条不能露出木箱，请你算一算，能放入的细木条的最大长度是 cm．
16．如图，矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝BE＝6，F为BE上一点，且，连接DE、CE、CF．以下说法中：
①BF＝2；
②当点E在AD边上时，则∠DCE＝15°；
③当∠EBC＝60°时，则∠ADE＝30°；
④DE+CF的最小值为5．
正确的有 （填序号即可）
三、解答题（共72分）
17．计算：（1）；（2）．
18．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，AD＝1，且∠ABC＝90°，试求∠A的度数．
19．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O．点E、F分别为OD、OB的中点，连接CE、AF．
求证：CE＝AF．
20．先化简，再求值：，其中．
21．（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：如图，①作线段AC的垂直平分线交AC于点O；②连接BO并延长，在延长线上截取OD＝OB；③连接AD，CD．
（2）证明所作的四边形ABCD是矩形．
22．我国古代数学著作《九章算术》中“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”今译：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落地，离竹子底端3尺处．折断处离地面的高度是多少？（1丈＝10尺）
23．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BE＝5cm，点E是AD边上的一点，AE、DE分别长acm、bcm，满足（a﹣3）2+|2a+b﹣9|＝0．动点P从B点出发，以2cm/s的速度沿B→C→D运动，最终到达点D．设运动时间为t秒．
（1）a＝ cm，b＝ cm；
（2）t＝ 时，EP把四边形BCDE的周长平分；
（3）另有一点Q从点E出发，按照E→D→C的路径运动，且速度为1cm/s，若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．求t为何值时，△BPQ的面积等于6cm2．
24．定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决．
例如：已知，求的值，可以这样解答：
因为，
所以．
（1）已知：，求：①＝ ；
②结合已知条件和第①问的结果，解方程：；
（2）代数式中x的取值范围是 ，最大值是 ，最小值是 ；
（3）计算：．
25．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，以BD为边在BD上方作一△BED，连接AE，且∠EBD＝∠EAD．
（1）填空：∠AEB＝ °；
（2）求证：；
（3）连接CE，设△ADE的周长为l，△BCE的周长为m，求的值．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．若在实数范围内有意义，则a的取值范围是（ ）
A．a⩾﹣1 B．a＞﹣1 C．a≠﹣1 D．a⩽﹣1
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
解：∵在实数范围内有意义，
∴a+1≥0，
∴a≥﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
2．下列各组数中，不是勾股数的是（ ）
A．3，4，5 B．5，12，13 C．7，25，26 D．6，8，10
【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
解：A、32+42＝52，能构成直角三角形，是整数，故是勾股数，此选项不符合题意；
B、52+122＝132，是正整数，同时能构成直角三角形，故是勾股数，此选项不符合题意；
C、72+252≠262，不是勾股数，此选项符合题意；
D、62+82＝102，三边是整数，同时能构成直角三角形，故是勾股数，此选项不符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2＝c2，则△ABC是直角三角形．
3．一个四边形的三个相邻内角度数依次如下，那么其中是平行四边形的是（ ）
A．88°，108°，88° B．88°，104°，108°
C．88°，92°，92° D．88°，92°，88°
【分析】两组对角分别相等的四边形是平行四边形，根据所给的三个角的度数可以求出第四个角，然后根据平行四边形的判定方法验证即可．
解：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故B不是；
当三个内角度数依次是88°，108°，88°时，第四个角是76°，故A不是；
当三个内角度数依次是88°，92°，92°，第四个角是88°，而C中相等的两个角不是对角故C错，D中满足两组对角分别相等，因而是平行四边形．
故选：D．
【点评】此题主要考查平行四边形的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．注意角的对应的位置关系，并不是有两组角相等的四边形就是平行四边形，错选C．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的加法，减法，乘法，除法法则进行计算，逐一判断即可解答．
解：A、3与2不能合并，故A不符合题意；
B、÷＝，故B符合题意；
C、5×2＝30，故C不符合题意；
D、4﹣3＝，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
5．如图，直线AO⊥OB，垂足为O，线段AO＝3，BO＝4，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交直线AO于点C．则OC的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】由垂直的定义得到∠AOB＝90°，根据勾股定理得到AB＝5，得到AC＝AB＝5，即可得到结论．
解：∵AO⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∵AO＝3，BO＝4，
∴AB＝＝＝5，
∴AC＝AB＝5，
∴OC＝2．
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理，圆的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
6．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A．当∠ABC＝90°时，它是矩形
B．当AB＝BC时，它是菱形
C．当AC⊥BD时，它是菱形
D．当AC＝BD时，它是正方形
【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定逐个判断即可．
解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形，不一定是正方形，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了对矩形的判定、菱形的判定，正方形的判定的应用，能正确运用判定定理进行判断是解此题的关键，难度适中．
7．若使算式的运算结果最小，则〇表示的运算符号是（ ）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
【分析】分别把四个选项中的符号代入计算，再比较结果的大小即可．
解：+＝3+2＝5，
﹣＝3﹣2＝，
×＝3＝12，
÷＝3÷2＝，
∵12＞5＞＞，
∴〇表示的运算符号是“﹣”时，运算结果最小，
故选：B．
【点评】此题主要考查了实数的运算，关键是掌握二次根式的计算法则．
8．下列命题的逆命题成立的是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．正方形的对角线相等
C．对顶角相等
D．若a＝b，则
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再分析逆命题是否成立，需要分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形的逆命题是平行四边形的对角线互相平分，逆命题是真命题，符合题意；
B、正方形的对角线相等的逆命题是对角线相等的四边形是正方形，逆命题是假命题，不符合题意；
C、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是假命题，不符合题意；
D、若a＝b，则的逆命题是若，则a＝b，逆命题是假命题，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题，熟知相关知识是解答的关键．
9．如图，是由一系列直角三角形组成的螺旋，则第2023个直角三角形S2023的面积为（ ）
A． B．2023 C． D．1011.5
【分析】根据勾股定理，可以求得OAn的值，然后根据三角形的面积，可以发现面积的变化特点，然后即可得到S2023的值．
解：由图可得，
OA2＝＝，OA3＝＝，OA4＝＝，…，OAn＝，
S1＝＝，
S2＝＝，
S3＝＝
…，
则Sn＝，
∴S2023＝．
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理、图形的变化类、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，发现三角形面积的变化特点．
10．已知，△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD为边AB上的中线，若E是线段CA上
任意一点，DF⊥DE，交直线BC于E点．G为EF的中点，连接CG并延长交直线AB
于点H．若AE＝6，CH＝10，则CE的长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】连接DG，易证G是Rt△DCH的斜边CH的中点，可得CG＝5，进一步可知EF＝10，证明△ADE≌△CDF（ASA），可得CF＝AE＝6，根据勾股定理，可得CE＝8即可．
解：连接DG，如图所示：
∵DF⊥DE，
∴∠EDF＝90°，
∵∠ACB＝90°，G是EF的中点，
∴CG＝DG，
在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，且CD为边AB上的中线，
∴CD⊥AB，CD＝AD，
∴∠CDG+∠HDG＝90°，∠DCH+∠DHC＝90°，
∵CG＝DG，
∴∠HCD＝∠CDG，
∴∠CHD＝∠HDG，
∴GH＝GD，
∴H是CH的中点，
∵CH＝10，
∴CG＝5，
∴EF＝10，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠A＝45°，∠ACD＝45°，∠DCF＝45°，
∴∠A＝∠DCF，
∵∠EDF＝∠ADC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴CF＝AE＝6，
在△ECF中，根据勾股定理得CE＝8，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质等相关知识，本题综合性较强．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．比较大小：2 ＜ 5（选填“＞”、“＝”、“＜”）．
【分析】先把两数值化成带根号的形式，再根据实数的大小比较方法即可求解．
解：∵2＝，5＝，
而24＜25，
∴2＜5．
故填空答案：＜．
【点评】此题主要考查了实数的大小的比较，当一个带根号的无理数和一个有理数进行比较时，首选的方法就是把它们还原成带根号的形式，然后比较被开方数即可解决问题．
12．利用平方差公式在实数范围内分解因式：a2﹣6＝ ．
【分析】利用平方差公式进行因式分解解决此题．
解：a2﹣6＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查因式分解，熟练掌握利用平方差公式进行因式分解是解决本题的关键．
13．在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝30°，则菱形的面积（底×高）是 2 ．
【分析】根据菱形的性质以及直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半得出DE的长，即可得出菱形的面积．
【解答】解；如图所示：过点D作DE⊥BC于点E，
在菱形ABCD中，AB＝AD＝2，∠A＝30°，
∴DE＝AD＝1，
∴菱形ABCD的面积S＝AB×DE＝2×1＝2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了菱形的面积以及其性质，得出DE的长是解题关键．
14．如图，点D、E、F分别是直角△ABC各边的中点，∠C＝90°，EF、DE分别为3cm，5cm，则DF的长为 4 cm．
【分析】由三角形中位线定理，得到DF∥BC，EF∥AC，由平行线的性质推出∠DFE＝90°，由勾股定理即可求出DF的长．
解：∵点D、E、F分别是直角△ABC各边的中点，
∴DF，EF是△ABC的中位线，
∴DF∥BC，EF∥AC，
∴∠ADF＝∠C＝90°，∠DFE＝∠ADF，
∴∠DFE＝90°，
∵FE＝3cm，DE＝5cm，
∴DF＝＝＝4（cm）．
故答案为：4．
【点评】本题考查三角形中位线定理，平行线的性质，勾股定理，关键是由三角形中位线定理，平行线的性质，证明△DEF是直角三角形．
15．有一长，宽，高分别为5cm，4cm，3cm的木箱，在它里面放入一根细木条（木条的粗细，形变忽略不计），要求木条不能露出木箱，请你算一算，能放入的细木条的最大长度是 cm．
【分析】长方体对角线是最长的，当木条在木箱里对角放置的时候露在外面的长度最小，这样就是求出木箱的对角线长度即可．
解：木箱底面对角线长：＝cm，
则木箱对角线长：＝5cm，
放入的细木条的最大长度是5cm．
【点评】本题重点考查学生的空间想象能力及勾股定理的应用．
16．如图，矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝BE＝6，F为BE上一点，且，连接DE、CE、CF．以下说法中：
①BF＝2；
②当点E在AD边上时，则∠DCE＝15°；
③当∠EBC＝60°时，则∠ADE＝30°；
④DE+CF的最小值为5．
正确的有 ①②④ （填序号即可）
【分析】由线段的数量关系可求BF＝2，EF＝4，故①正确；由直角三角形的可求AB＝AH＝BH＝3，可证△ABH是等边三角形，可得∠ABE＝60°，由等腰三角形的性质可求∠DCE＝15°，故②正确；由等边三角形的性质和直角三角形的性质可求AG＝DH＝，EH＝GH＝6﹣2，可得∠ADE≠30°；故③错误；由“SAS”可证△BFC≌△BME，可得CF＝EM，由三角形的三边关系和勾股定理可求DE+CF的最小值为5，故④正确，即可求解．
解：∵BE＝6，BF＝EF，
∴BF＝2，EF＝4，故①正确；
如图1，当点E在AD上时，取BE的中点H，连接AH，
∵点H是BE的中点，∠BAE＝90°，
∴AH＝BH＝HE＝3，
∴AB＝AH＝BH＝3，
∴△ABH是等边三角形，
∴∠ABE＝60°，
∴∠EBC＝30°，
∵BE＝BC，
∴∠BCE＝∠BEC＝75°，
∴∠DCE＝15°，故②正确；
如图2，当∠EBC＝60°时，设AD与CE交于H，与BE交于点G，
∵∠EBC＝60°，BC＝BE，
∴△EBC是等边三角形，
∴∠EBC＝∠ECB＝60°＝∠BEC，
∴∠ABG＝∠DCE＝30°，
∴AB＝AG，CD＝DH，
∴AG＝DH＝，
∴GH＝6﹣2，
∵AD∥BC，
∴∠EGH＝∠EBC＝60°，∠GHE＝∠BCE＝60°，
∴△GEH是等边三角形，
∴EH＝GH＝6﹣2≠DH，
∴∠ADE≠∠DEH，
∴∠ADE≠30°；故③错误；
如图3，在BC上截取BM＝BF＝2，连接EM，DM，
∵BE＝BC，∠EBM＝∠CBF，
∴△BFC≌△BME（SAS），
∴CF＝EM，
∴DE+CF＝DE+EM，
∴当点E，点D，点M三点共线时，DE+CF有最小值，最小值为DM的长，
∵CM＝BC﹣BM＝4，CD＝AB＝3，
∴DM＝＝＝5，
∴DE+CF的最小值为5，故④正确；
故答案为：①②④．
【点评】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
三、解答题（共72分）
17．计算：（1）；（2）．
【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先利用二次根式的乘法和除法法则运算，然后化简即可．
解：（1）原式＝3﹣4+
＝0；
（2）原式＝
＝3．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．
18．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，AD＝1，且∠ABC＝90°，试求∠A的度数．
【分析】连接AC，根据勾股定理求出AC，再△ADC中利用勾股定理逆定理得到∠CAD＝90°，进而求出∠A的度数．
解：
连接AC，∵AB＝BC＝2，且∠ABC＝90°，
∴且∠CAB＝45°，
又∵AD＝1，CD＝3，
∴AD2+AC2＝CD2
∴∠CAD＝90°，
∴∠A＝∠CAD+∠CAB＝135°．
【点评】本题考查了勾股定理和其逆定理的运用，解题的关键是连接AC，构造直角三角形．
19．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O．点E、F分别为OD、OB的中点，连接CE、AF．
求证：CE＝AF．
【分析】根据平行四边形的性质的AO＝CO，BO＝DO，根据线段中点的定义得到EO＝FO，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵E，F分别为OD，OB的中点，
∴EO＝FO，
在△AFO和△CEO中，
，
∴△AFO≌△CEO（SAS），
∴CE＝AF．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质、正确应用全等三角形的判定方法是解题关键．
20．先化简，再求值：，其中．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把x的值代入计算即可．
解：原式＝（﹣）•
＝﹣•
＝1﹣x，
当x＝﹣1时，原式＝1﹣（﹣1）＝2﹣．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
21．（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：如图，①作线段AC的垂直平分线交AC于点O；②连接BO并延长，在延长线上截取OD＝OB；③连接AD，CD．
（2）证明所作的四边形ABCD是矩形．
【分析】（1）利用基本作图作AC的垂直平分线得到AC的中点O，然后在BO的延长线上截取OD＝OB，从而得到四边形ABCD；
（2）利用对角线互相平分判断四边形ABCD为平行四边形，所以利用∠ABC＝90°判断四边形ABCD为矩形．
【解答】（1）解：如图，
（2）证明：∵O点为AC的垂直平分线与AC的交点，
∴OA＝OC，
∵OB＝OD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD为矩形．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和矩形的判定．
22．我国古代数学著作《九章算术》中“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”今译：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落地，离竹子底端3尺处．折断处离地面的高度是多少？（1丈＝10尺）
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，利用勾股定理解题即可．
解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2．
解得：x＝4.55，
答：折断处离地面的高度为4.55尺．
【点评】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
23．如图，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BE＝5cm，点E是AD边上的一点，AE、DE分别长acm、bcm，满足（a﹣3）2+|2a+b﹣9|＝0．动点P从B点出发，以2cm/s的速度沿B→C→D运动，最终到达点D．设运动时间为t秒．
（1）a＝ 3 cm，b＝ 3 cm；
（2）t＝ 2s 时，EP把四边形BCDE的周长平分；
（3）另有一点Q从点E出发，按照E→D→C的路径运动，且速度为1cm/s，若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．求t为何值时，△BPQ的面积等于6cm2．
【分析】（1）由非负性可求a，b的值；
（2）先求出C四边形BCDE＝18cm，可得BE+BP＝9cm，可求BP＝4cm，即可求解；
（3）分三种情况讨论，由三角形的面积公式可求解．
解：（1）∵（a﹣3）2+|2a+b﹣9|＝0，
∴a﹣3＝0，2a+b﹣9＝0，
∴a＝3，b＝3；
故答案为：3，3；
（2）∵AE＝3cm，DE＝3cm，
∴AD＝6cm＝BC，
∴C四边形BCDE＝BC+CD+DE+EB＝18cm，
∵EP把四边形BCDE的周长平分，
∴BE+BP＝9cm，
∴点P在BC上，BP＝4cm，
∴t＝＝2s，
故答案为：2s；
（3）①点P在BC上（0＜t≤3），
∵S△BPQ＝×2t×4＝6，
∴t＝；
②相遇前，点P在CD上（3＜t≤），
∵S△BPQ＝×[（4﹣（t﹣3）﹣（2t﹣6）]×6＝6，
∴t＝；
③相遇后，点P在CD上（＜t≤5），
∵S△BPQ＝×[（t﹣3）+（2t﹣6）﹣4]×6＝6，
∴t＝5；
综上所述，当t＝s或s或5s时，△BPQ的面积等于6cm2．
【点评】本题考查了矩形的性质，非负性，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
24．定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决．
例如：已知，求的值，可以这样解答：
因为，
所以．
（1）已知：，求：①＝ 2 ；
②结合已知条件和第①问的结果，解方程：；
（2）代数式中x的取值范围是 2≤x≤10 ，最大值是 4 ，最小值是 2 ；
（3）计算：．
【分析】（1）①根据平方差公式可解答；
②两边同时平方将根号化去，解方程并进行检验；
（2）根据被开方数大于等于0，列不等式组可得结论；
（3）分别进行分母有理化可解答．
解：（1）①∵（+）×（﹣）＝（）2﹣（）2＝20﹣x﹣4+x＝16，且，
∴﹣＝2；
故答案为：2；
②，
＝8﹣，
两边同时平方得：20﹣x＝64﹣16+4﹣x，
＝3，
两边同时平方得：4﹣x＝9，
∴x＝﹣5，
经检验：x＝﹣5是原方程的解；
（2）由题意得：，
解得：2≤x≤10，
当x＝2时，＝＝2，
当x＝6时，＝2+2＝4，
∴最大值是4，最小值是2；
故答案为：2≤x≤10，4，2；
（3）
＝+++…+
＝﹣+﹣+﹣+…+﹣
＝﹣
＝．
【点评】本题考查二次根式的化简求值，同时考查了二次根式的性质和分母有理化，计算量较大．
25．如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，以BD为边在BD上方作一△BED，连接AE，且∠EBD＝∠EAD．
（1）填空：∠AEB＝ 45 °；
（2）求证：；
（3）连接CE，设△ADE的周长为l，△BCE的周长为m，求的值．
【分析】（1）由三角形的外角性质可求解；
（2）由等腰直角三角形的性质可得EF＝AE，由“SAS”可证△EAD≌△FAB，可得BF＝DE，即可求解；
（3）由“SAS”可证△ADE≌△CDM，可得AE＝CM，则CE＝AE+DE，由三角形的周长公式可求解．
【解答】（1）解：如图，设AD与BE的交点为O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB＝∠ABD＝45°，AD＝AB，
∵∠EBD＝∠EAD，∠AOB＝∠AEB+∠EAD＝∠ADB+∠DBE，
∴∠AEB＝∠ADB＝45°，
故答案为：45；
（2）证明：如图，过点A作AF⊥AE，交BE于F，
∴∠AEB＝∠AFE＝45°，
∴AE＝AF，
∴EF＝AE，
∵∠BAD＝∠EAF＝90°，
∴∠EAD＝∠FAB，
又∵AE＝AF，AB＝AD，
∴△EAD≌△FAB（SAS），
∴BF＝DE，
∴BE＝BF+EF＝AE+DE；
（3）解：如图，连接AC，连接EN，过点D作DM⊥ED，交EC于M，
∵△EAD≌△FAB，
∴∠ADE＝∠ABF，
又∵∠AOB＝∠DOE，
∴∠BAO＝∠DEB＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AN＝CN＝DN＝BN，
又∵∠BED＝90°，
∴EN＝BN＝DN＝AN＝NC，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠BED＝90°，
∴∠AEB＝∠CED＝45°，
∵DM⊥DE，
∴∠DEM＝∠EMD＝45°，
∴DE＝DM，
∴EM＝DE，
∵∠EDM＝∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDM，
又∵DE＝DM，AD＝CD，
∴△ADE≌△CDM（SAS），
∴AE＝CM，
∴CE＝AE+DE，
设DE＝a，AE＝b，
∴BE＝b+a，CE＝a+b，
∴△ADE的周长为l＝AD+DE+AE＝2+a+b，
△BCE的周长为m＝BC+EC+BE＝2+a+b+b+a＝2+（+1）（a+b），
∴（1+）l﹣m＝（1+）（2+a+b）﹣[2+（+1）（a+b）]＝2．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
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