2022-2023学年辽宁省大连市中山区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年辽宁省大连市中山区八年级（下）期中数学试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年辽宁省大连市中山区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题2分，共20分)
1．下列各组数据中能作为直角三角形的三边长的是（　　）
A．1，2，2 B．1，1， C．3，4，5 D．4，5，6
2．如图，在平行四边形ABCD中，若∠A＝100°，则∠C等于（　　）

A．120° B．100° C．80° D．60°
3．如图，△ABC中，D，E分别上边AB，AC的中点，若DE＝3，则BC＝（　　）

A． B．9 C．6 D．5
4．如图，▱ABCD中，AB＝8，BC＝6，AE平分∠DAB交DC边于点E，则EC的长为（　　）
​

A．2 B．4 C．6 D．8
5．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（　　）
A．四个角为直角 B．对边平行且相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
6．对于正比例函数y＝﹣5x的图象，下列说法不正确的是（　　）
A．是一条直线 B．y随着x增大而减小
C．经过点（0，0） D．经过第一、第三象限
7．若一次函数y＝x+4的图象上有两点、B（1，y2），则y1与y2的大小关系为（　　）
A．y1＞y2 B．y1≥y2 C．y1＜y2 D．y1≤y2
8．如图是自动测温仪记录的图象，它反映了齐齐哈尔市的春季某天气温T如何随时间t的变化而变化，下列从图象中得到的信息正确的是（　　）

A．0点时气温达到最低
B．最低气温是零下4℃
C．0点到14点之间气温持续上升
D．最高气温是8℃
9．如图所示的四个图象中，y不是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，在矩形ABCD中，动点P从点A开始沿A→B→C→D的路径匀速运动到点D为止，在这个过程中，下列图象可以大致表示△APD的面积S随点P的运动时间t的变化关系的是（　　）

A． B．
C． D．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，则AC＝　 　．
12．将直线y＝2x﹣3沿y轴向上平移6个单位后，所得直线的解析式是 　 　．
13．一次函数y＝2x+4的图象与y轴交点的坐标是　 　．
14．如图，两段公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为2km，则M，C两点间的距离为 　 　km．

15．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，∠ACD＝30°，BD＝2，则AC的长是 　 　．
​

16．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点P是射线BC上一动点，l为矩形的一条对称轴，将△ABP沿AP折叠，当点B的对应点B′落在l上时，BP的长为　 　

三、解答题（本题共4小题，其中17题6分，18题、19题、20题每题各8分，共30分）
17．如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为AD、CD边上的点，DE＝DF，求证：∠1＝∠2．

18．如图，等边△ABC的边长为8，求高AD的长．
​

19．如图，在数轴上作出表示的点（不写作法，要求保留作图痕迹）．

20．已知一次函数y＝kx+b（k为常数，k≠0）的图象经过点A（1，2），B（﹣1，4）．
（Ⅰ）求该一次函数的解析式；
（Ⅱ）判断点P（2，3），Q（3，0）是否在该一次函数的图象上，并说明理由．
四、解答题（本题共2小题，其中21题8分，22题10分，共18分）
21．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号轮船沿北偏东60°方向以每小时16海里的速度航行，“海天”号轮船以每小时12海里的速度沿一定方向航行，它们同时离开港口P一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30海里．求“海天”号轮船的航行方向．
​

22．点P（x，y）在第一象限，且x+y＝8，点A的坐标为（6，0）．设△OPA的面积为S．
（1）用含x的式子表示S，并写出x的取值范围，在如图所示的坐标系中画出函数S的图象；
（2）当点P的横坐标是6时，S＝　 　；
（3）△OPA的面积能否大于24，请说明理由．
​

五、解答题（本题共2小题，其中23题10分，24题12分，共22分）
23．如图1，小明家、食堂、图书馆在同一条直线上．小明从食堂吃完早餐，接着骑自行车去图书馆读书，然后以相同的速度原路返回家．如图2中反映了小明离家的距离y（m）与他所用时间x（min）之间的函数关系．
（1）小明家与图书馆的距离为 　 　m，小明骑自行车速度为 　 　m/min；
（2）求小明从图书馆返回家的过程中，y与x的函数解析式；
（3）请直接写出当小明离家的距离为1200m时x的值：　 　．
​

24．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形．

六、解答题（本题12分）
25．如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE，垂足为F，BF与边CD相交于点G．
（1）求证：CG＝CE；
（2）连接CF，求证：∠BFC＝45°；
（3）如图2，若点G是边DC的中点，求的值．
​


参考答案
一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的)
1．下列各组数据中能作为直角三角形的三边长的是（　　）
A．1，2，2 B．1，1， C．3，4，5 D．4，5，6
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
解：A、因为12+22≠22，不能构成直角三角形，此选项不符合题意；
B、因为12+12≠（）2，不能构成直角三角形，此选项不符合题意；
C、因为32+42＝52，能构成直角三角形，此选项符合题意；
D、因为42+52≠62，不能构成直角三角形，此选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
2．如图，在平行四边形ABCD中，若∠A＝100°，则∠C等于（　　）
​

A．120° B．100° C．80° D．60°
【分析】根据平行四边形的对角相等，即可求得答案．
解：在▱ABCD中，∠A＝100°，且∠A＝∠C，
∴∠C＝∠A＝100°．
故选：B．
【点评】此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键．
3．如图，△ABC中，D，E分别上边AB，AC的中点，若DE＝3，则BC＝（　　）

A． B．9 C．6 D．5
【分析】由已知条件得出DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理即可得出BC＝2DE．
解：∵D，E分别上边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC＝2DE＝6；
故选：C．
【点评】本题考查了三角形中位线的定义和性质定理；熟练掌握三角形中位线定理，证明三角形中位线是解决问题的关键．
4．如图，▱ABCD中，AB＝8，BC＝6，AE平分∠DAB交DC边于点E，则EC的长为（　　）
​

A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】首先根据平行四边形的性质可得AB＝CD＝8，DC∥AB，AD＝BC＝5，然后证明AD＝DE＝5，进而可得EC长，即可得出答案．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝8，DC∥AB，AD＝BC＝6，
∴∠DEA＝∠EAB，
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠EAB，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴AD＝DE＝6，
∴EC＝CD﹣DE＝8﹣6＝2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定；证出DE＝AD是解决问题的关键．
5．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（　　）
A．四个角为直角 B．对边平行且相等
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
【分析】利用正方形的性质和矩形的性质可直接求得．
解：∵矩形的性质有四个角为直角，对边平行且相等，对角线互相平分且相等，正方形的性质有四个角为直角，对边平行且相等，对角线互相垂直平分且相等，
故选：D．
【点评】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，掌握正方形的性质是解题的关键．
6．对于正比例函数y＝﹣5x的图象，下列说法不正确的是（　　）
A．是一条直线 B．y随着x增大而减小
C．经过点（0，0） D．经过第一、第三象限
【分析】根据正比例函数的图象和性质分别判断即可．
解：正比例函数y＝﹣5x是一条过原点的直线，
故A，C不符合题意；
∵﹣5＜0，
∴y随着x增大而减小，
故B不符合题意；
∵﹣5＜0，
∴正比例函数y＝﹣5x图象经过第二、四象限，
故D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了正比例函数的图象和性质，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握这些知识是解题的关键．
7．若一次函数y＝x+4的图象上有两点、B（1，y2），则y1与y2的大小关系为（　　）
A．y1＞y2 B．y1≥y2 C．y1＜y2 D．y1≤y2
【分析】根据一次函数的增减性与系数的关系可得y随着x的增大而增大，进一步比较即可．
解：在一次函数y＝x+4中，k＝1＞0，
∴y随着x的增大而增大，
∵＜1，
∴y1＜y2，
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质与系数的关系，熟练掌握这些知识是解题的关键．
8．如图是自动测温仪记录的图象，它反映了齐齐哈尔市的春季某天气温T如何随时间t的变化而变化，下列从图象中得到的信息正确的是（　　）

A．0点时气温达到最低
B．最低气温是零下4℃
C．0点到14点之间气温持续上升
D．最高气温是8℃
【分析】根据齐齐哈尔市某一天内的气温变化图，分析变化趋势和具体数值，即可求出答案．
解：A、由函数图象知4时气温达到最低，此选项错误；
B、最低气温是零下3℃，此选项错误；
C、4点到14点之间气温持续上升，此选项错误；
D、最高气温是8℃，此选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了函数图象，由纵坐标看出气温，横坐标看出时间是解题关键．
9．如图所示的四个图象中，y不是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，由此即可判断．
解：由函数的定义：在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，
因此选项A、C、D中的图象，y是x的函数，故A、C、D不符合题意；
选项B中的图象，y不是x的函数，故B符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查函数的概念，关键是掌握函数的定义．
10．如图，在矩形ABCD中，动点P从点A开始沿A→B→C→D的路径匀速运动到点D为止，在这个过程中，下列图象可以大致表示△APD的面积S随点P的运动时间t的变化关系的是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】设点P的运动速度为v，然后分点P在AB、BC、CD上三种情况根据三角形的面积公式列式表示出S与t的函数关系式，然后选择答案即可．
解：设点P的运动速度为v，
点P在AB上时，S＝AD•AP＝vt，
点P在BC上时，S＝AD•AB，S是定值，
点P在CD上时，S＝（AB+BC+CD﹣vt）＝（AB+BC+CD）﹣vt，
所以，随着时间的增大，S先匀速变大至矩形的面积的一半，然后一段时间保持不变，再匀速变小至0，
纵观各选项，只有D选项图象符合．
故选：D．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，根据点P的位置的不同，分三段讨论求解是解题的关键．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，则AC＝　6　．
【分析】直接根据勾股定理求解即可．
解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，
∴AC＝＝＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
12．将直线y＝2x﹣3沿y轴向上平移6个单位后，所得直线的解析式是 　y＝2x+3　．
【分析】直接根据“上加下减”的平移规律求解即可．
解：将直线y＝2x﹣3沿y轴向上平移6个单位后，所得直线的解析式是y＝2x﹣3+6，即y＝2x+3．
故答案为：y＝2x+3．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的规律是解答此题的关键．
13．一次函数y＝2x+4的图象与y轴交点的坐标是　（0，4）　．
【分析】令•1x＝0，求出y的值即可．
解：∵令x＝0，则y＝4，
∴一次函数y＝2x+4的图象与y轴交点的坐标是（0，4）．
故答案为：（0，4）．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知y轴上点的坐标特点是解答此题的关键．
14．如图，两段公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为2km，则M，C两点间的距离为 　1　km．

【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CM＝AB，解答即可．
解：∵M是公路AB的中点，
∴AM＝BM，
∵AC⊥BC，
∴CM＝AB＝1km，
∴M，C两点间的距离为1km．
故答案为：1．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
15．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，∠ACD＝30°，BD＝2，则AC的长是 　2　．
​

【分析】由菱形的性质得出OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD＝1，AC⊥BD，在Rt△OCD中，由含30°角的直角三角形的性质求出CD＝2OD＝2，由勾股定理求出OC，得出AC的长．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD＝1，AC⊥BD，
在Rt△OCD中，
∵∠ACD＝30°，
∴CD＝2OD＝2，
∴OC＝＝＝，
∴AC＝2OC＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理；熟练掌握菱形的性质，求出AC是解决问题的关键．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点P是射线BC上一动点，l为矩形的一条对称轴，将△ABP沿AP折叠，当点B的对应点B′落在l上时，BP的长为　或15　

【分析】分两种情形画出图形分别求解即可．
解：如图，当点P在线段BC上时，设直线l交AD于E，交BC于F．

由题意：AE＝ED＝3，AB′＝AB＝5，
∵∠AEB′＝90°，
∴EB′＝＝＝4，
设PB＝B′P＝x，
在Rt△PFB′中，则有：x2＝12+（3﹣x）2，
∴x＝，
∴PB＝，
当点P在BC的延长线上时，设PB＝B′P＝x，
在Rt△PFB′中，则有：x2＝92+（x﹣3）2，

解得x＝15，
∴PB＝15，
故答案为或15．
【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，轴对称等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本题共4小题，其中17题6分，18题、19题、20题每题各8分，共30分）
17．如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为AD、CD边上的点，DE＝DF，求证：∠1＝∠2．

【分析】由菱形的性质得出AD＝CD，由SAS证明△ADF≌△CDE，即可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，
在△ADF和△CDE中，，
∴△ADF≌△CDE（SAS），
∴∠1＝∠2．
【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
18．如图，等边△ABC的边长为8，求高AD的长．
​

【分析】根据等边三角形三线合一的性质可得D为BC的中点，即BD＝CD，在直角三角形ABD中，已知AB、BD，根据勾股定理即可求得AD的长．
解：∵AD⊥BC，由等边三角形三线合一，
∴D为BC的中点，
∴BD＝DC＝4，
在Rt△ABD中，AB＝8，BD＝4，
∴AD＝＝＝4．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理三角形的面积的计算，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
19．如图，在数轴上作出表示的点（不写作法，要求保留作图痕迹）．

【分析】根据勾股定理，作出以2和3为直角边的直角三角形，则其斜边的长即是；再以原点为圆心，以为半径画弧与数轴的正半轴的交点即为所求．
解：所画图形如下所示，其中点A即为所求；
．
【点评】本题考查勾股定理及实数与数轴的知识，要求能够正确运用数轴上的点来表示一个无理数，解题关键是构造直角三角形，并灵活运用勾股定理．
20．已知一次函数y＝kx+b（k为常数，k≠0）的图象经过点A（1，2），B（﹣1，4）．
（Ⅰ）求该一次函数的解析式；
（Ⅱ）判断点P（2，3），Q（3，0）是否在该一次函数的图象上，并说明理由．
【分析】（Ⅰ）用待定系数法可得解析式；
（Ⅱ）结合（1），设x＝2，算出y值，即可判断P是否在图象上，同理可判断Q．
解：（Ⅰ）将A（1，2），B（﹣1，4）代入y＝kx+b得：
，
解得，
∴y＝﹣x+3；
（Ⅱ）在y＝﹣x+3中，令x＝2得y＝1，
∴P（2，3）不在直线y＝﹣x+3上，
在y＝﹣x+3中，令x＝3得y＝0，
∴Q（3，0）在直线y＝﹣x+3上．
【点评】本题考查待定系数法求一次函数解析式和一次函数图象上点坐标的特征，解题的关键是掌握待定系数法．
四、解答题（本题共2小题，其中21题8分，22题10分，共18分）
21．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号轮船沿北偏东60°方向以每小时16海里的速度航行，“海天”号轮船以每小时12海里的速度沿一定方向航行，它们同时离开港口P一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30海里．求“海天”号轮船的航行方向．
​

【分析】先根据两艘轮船的航行速度和时间求出PQ、PR的长，再根据勾股定理的逆定理证明△PQR是直角三角形，得∠QPR＝90°，即可求出∠SPR的度数，从而得出“海天”轮船的航行方向．
解：由题意得PQ＝16×1.5＝24（海里），PR＝12×1.5＝18（海里），QR＝30海里，
∵PQ2+PR2＝242+182＝900，QR2＝302＝900，
∴PQ2+PR2＝QR2，
∴△PQR是直角三角形，且∠QPR＝90°，
∵∠SPQ＝60°，
∴∠SPR＝∠QPR﹣∠SPQ＝90°﹣60°＝30°，
答：“海天”轮船的航行方向是北偏西30°．
【点评】此题重点考查勾股定理的逆定理的应用、方向角等知识，根据勾股定理的逆定理证明△PQR是直角三角形，从而求得∠QPR＝90°是解题的关键．
22．点P（x，y）在第一象限，且x+y＝8，点A的坐标为（6，0）．设△OPA的面积为S．
（1）用含x的式子表示S，并写出x的取值范围，在如图所示的坐标系中画出函数S的图象；
（2）当点P的横坐标是6时，S＝　6　；
（3）△OPA的面积能否大于24，请说明理由．
​

【分析】（1）根据三角形的面积公式列式，即可用含x的解析式表示S，然后根据S＞0及已知条件，可求出x的取值范围，根据一次函数的性质可画出函数S的图象；
（2）将x＝6代入（1）中所求解析式，即可求出△OPA的面积．
解：（1）∵A和P点的坐标分别是（6，0）、（x，y），
∴△OPA的面积＝OA•|yP|，
∴S＝×6×|y|＝3y．
∵x+y＝8，
∴y＝8﹣x．
∴S＝3（8﹣x）＝24﹣3x；
∵S＝﹣3x+24＞0，
解得：x＜8；
又∵点P在第一象限，
∴x＞0，
即x的范围为：0＜x＜8；
∵S＝﹣3x+24，S是x的一次函数，
∴函数图象经过点（8，0），（0，24）．
所画图象如下：

（2）∵S＝﹣3x+24，
∴当x＝6时，S＝﹣3×6+24＝6．
即当点P的横坐标为6时，△OPA的面积为6，
故答案为：6；
（3）不能，理由如下：
当△OPA的面积大于24时，即S＝﹣3x+24＞24，
∴x＜0，
∵0＜x＜8，
∴△OPA的面积不能大于24．
【点评】此题考查了一次函数的图象与性质及三角形的面积，正确地求出S与x的关系，另外作图的时候要运用两点作图法，并且注意自变量的取值范围是解答本题的关键．
五、解答题（本题共2小题，其中23题10分，24题12分，共22分）
23．如图1，小明家、食堂、图书馆在同一条直线上．小明从食堂吃完早餐，接着骑自行车去图书馆读书，然后以相同的速度原路返回家．如图2中反映了小明离家的距离y（m）与他所用时间x（min）之间的函数关系．
（1）小明家与图书馆的距离为 　2000　m，小明骑自行车速度为 　200　m/min；
（2）求小明从图书馆返回家的过程中，y与x的函数解析式；
（3）请直接写出当小明离家的距离为1200m时x的值：　40或2　．
​

【分析】（1）根据图象中的数据，可以直接写出小明家与图书馆的距离，然后根据图象中的数据，即可计算出小明步行的速度；
（2）先求出小明从图书馆回到家用的时间，然后即可得到函数图象与x轴的交点，再设出函数解析式，根据点（36，2000）和图象与x轴的交点，即可计算出y与x的函数解析式；
（3）令（2）中的函数值等于1200，求出x的值即可．
解：（1）由图象可得，
小明家与图书馆的距离为2000m，小明步行的速度为：（2000﹣800）÷6＝200（m/min），
故答案为：2000，200；

（2）小明从图书馆回到家用的时间为：2000÷200＝10（min），
36+10＝46（min），
小明从图书馆返回家的过程中，设y与x的函数解析式为y＝kx+b，
∵点（36，2000），（46，0）在该函数图象上，
∴．
解得．
即小明从图书馆返回家的过程中，y与x的函数解析式为y＝﹣200x+9200（36≤x≤46）；

（3）小明从图书馆返回家的过程中，当y＝1200时，
1200＝﹣200x+9200，
解得x＝40，
即当小明离家的距离为1200m时，x的值为40．
小明从食堂出来后，设y与x的函数解析式为y＝kx+b，
将（0，800）（6，2000）代入，得，
解得：
∴y＝200x+800，当y＝1200时，x＝2．
故答案为：40或2．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形．

【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，由平行线的性质得出∠ABE＝∠CDF，证出BE＝DF，由SAS证明△ABE≌△CDF即可；
（2）证出AB＝OA，由等腰三角形的性质得出AG⊥OB，∠OEG＝90°，同理：CF⊥OD，得出EG∥CF，由三角形中位线定理得出OE∥CG，EF∥CG，得出四边形EGCF是平行四边形，即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴BE＝OB，DF＝OD，
∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）证明：∵AC＝2OA，AC＝2AB，
∴AB＝OA，
∵E是OB的中点，
∴AG⊥OB，
∴∠OEG＝90°，
同理：CF⊥OD，
∴AG∥CF，
∴EG∥CF，
∵EG＝AE，OA＝OC，
∴OE是△ACG的中位线，
∴OE∥CG，
∴EF∥CG，
∴四边形EGCF是平行四边形，
∵∠OEG＝90°，
∴四边形EGCF是矩形．
【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
六、解答题（本题12分）
25．如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE，垂足为F，BF与边CD相交于点G．
（1）求证：CG＝CE；
（2）连接CF，求证：∠BFC＝45°；
（3）如图2，若点G是边DC的中点，求的值．
​
【分析】（1）把CG和CE分别放在Rt△BCG和Rt△DCE中，说明它们全等即可得证；
（2）连接CF，过点C作MC⊥CF交BG于M，说明△MCF为等腰三角形即可得证；
（3）过点C作CN⊥BF于N，构造△CNG≌△DFG，即可求出DF＝NC，再利用线段和差即可求出EF的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD，∠BCG＝∠DCE，
∵BF⊥DE，
∴∠E+∠CBG＝∠E+∠EDC，
∴∠CBG＝∠EDC，
在Rt△BCG与Rt△DCE中，

∴Rt△BCG≌Rt△DCE（ASA），
∴CG＝CE．
（2）证明：作CM⊥CF交BF于点M，

∵△BCG≌△DCE，
∴∠E＝∠BGC，
∵∠MCG+∠FCG＝∠ECF+∠FCG＝90°，
∴∠MCG＝∠FCE，
在△MCG和△FCE中，
，
∴△MCG≌△FCE（ASA），
∴MG＝FE，MC＝FC，
∴△MCF为等腰直角三角形，
∴∠BFC＝45°．
（3）解：作CN⊥BF于点N，

∴△CNF为等腰直角三角形，CN＝NF，
∵G为CD中点，正方形ABCD的边长为2a，
∴CG＝DG＝CE＝a，
∴BG＝DE＝＝a，
∴BC•CG＝BG•CN，
∴CN＝＝＝a，
在△CNG和△DFG中，
，
∴△CNG≌△DFG（AAS），
∴DF＝CN＝a，
∴EF＝DE﹣DF＝a﹣a＝a，
∴＝．
【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，构造特殊三角形和三角形全等是解题的关键．