2022-2023学年新疆乌鲁木齐实验学校八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年新疆乌鲁木齐实验学校八年级（下）期中数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年新疆乌鲁木齐实验学校八年级（下）期中数学试卷
一、选择题。(共10小题，每小题3分，满分30分）
1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列选项中不是勾股数的是（　　）
A．7，24，25 B．4，5，6 C．3，4，5 D．9，12，15
3．下列二次根式中属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
4．下列说法中，错误的是（　　）
A．菱形的对角线互相垂直
B．矩形的四个内角都相等
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．四个内角都相等的四边形是矩形
5．已知四边形ABCD，下列条件能判断它是平行四边形的是（　　）
A．AB∥CD，AD＝BC B．∠A＝∠D，∠B＝∠C
C．AB∥CD，AB＝CD D．AB＝CD，∠A＝∠C
6．如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF＝3，则菱形ABCD的周长为（　　）

A．24 B．18 C．12 D．9
7．如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝6，BE＝2，则平行四边形ABCD的周长是（　　）

A．16 B．14 C．20 D．24
8．如图，赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形两条直角边长分别为m和n．若mn＝32，大正方形的边长为10，则小正方形的边长为（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点B落在点B′处，则重叠部分△AFC的面积为（　　）

A．12 B．10 C．8 D．6
10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝6，BD＝8，则菱形ABCD的高AH的值是（　　）

A．4 B．5 C． D．
二、填空题。(共6小题，每小题3分，满分18分)
11．计算×的结果是 　 　．
12．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当它把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为　 　m．
13．菱形一条对角线长为12cm，周长为40cm，则菱形的面积为 　 　平方厘米．
14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝3cm，点D为AB的中点，则CD的值是 　 　cm．

15．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，对角线AC、BD相交于点O，则△AOB的周长是　 　．

16．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC、∠BCD的平分线BE、CF分别与AD相交于点E、F，BE与CF相交于点G，若AB＝6，BC＝11，则EF的长为 　 　．

三、解答题。(共7小题，满分52分)
17．（16分）计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
18．先化简，再求值：，其中．
19．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．
（1）证明△ABC是直角三角形；
（2）求BC边上的高．

20．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，过点A作AE∥BC，且AE＝DC，连接CE．
（1）求证：四边形ADCE是矩形：
（2）若AB＝5，BC＝8，求CE的长．

21．如图：四边形ABCD中，AB＝CB＝，CD＝，DA＝1，且AB⊥CB于B．
试求：（1）∠BAD的度数；
（2）四边形ABCD的面积．

22．如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，过点B作BF⊥AE于点H，交AD于点F，连接EF．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）连接CF，若CE＝1，CF＝2，，求菱形ABEF的面积．

23．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B出发向点C运动，点P、Q的速度都是1cm/s．
（1）连接PQ，当运动时间为2秒时，求线段PQ的长．
（2）连接PQ、AC，在运动过程中，当运动时间为多少秒时，PQ⊥AC．



参考答案
一、选择题。(共10小题，每小题3分，满分30分）
1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】化简二次根式，然后根据同类二次根式的概念进行判断．
解：A、＝2，2与不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
B、＝2，2与是同类二次根式，故此选项符合题意；
C、＝3，3与不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
D、＝2，2与不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】此题考查了同类二次根式，以及二次根式的性质与化简，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键．
2．下列选项中不是勾股数的是（　　）
A．7，24，25 B．4，5，6 C．3，4，5 D．9，12，15
【分析】根据勾股数的定义求解即可．
解：A．∵72+242＝252，且7，24，25是正整数，∴7，24，25是勾股数，此选项不符合题意；
B．∵42+52≠62，∴4，5，6不是勾股数，此选项符合题意；
C．∵32+42＝52，且3，4，5是正整数，∴3，4，5是勾股数，此选项不符合题意；
D．∵92+122＝152，且9，12，15是正整数，∴9，12，15是勾股数，此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查勾股数，解题的关键是掌握①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．
②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．
③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13…
3．下列二次根式中属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式逐一判断即可得．
解：A、＝4，不是最简二次根式，不符合题意；
B、＝2x，不是最简二次根式，不符合题意；
C、＝，不是最简二次根式，不符合题意；
D、是最简二次根式，符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式定义是解本题的关键．
4．下列说法中，错误的是（　　）
A．菱形的对角线互相垂直
B．矩形的四个内角都相等
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．四个内角都相等的四边形是矩形
【分析】由菱形的判定与性质、矩形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可．
解：A、菱形的对角线互相垂直，故选项A不符合题意；
B、矩形的四个内角都相等为90°，故选项B不符合题意；
C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故选项C符合题意；
D、四个内角都相等的四边形是矩形，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质和菱形的判定与性质是解题的关键．
5．已知四边形ABCD，下列条件能判断它是平行四边形的是（　　）
A．AB∥CD，AD＝BC B．∠A＝∠D，∠B＝∠C
C．AB∥CD，AB＝CD D．AB＝CD，∠A＝∠C
【分析】根据平行四边形的判定方法即可判断．
解：A、由AB∥CD，AD＝BC，无法判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意；
B、由∠A＝∠D，∠B＝∠C，无法判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意；
C、∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故本选项符合题意；
D、由AB＝CD，∠A＝∠C，无法判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6．如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF＝3，则菱形ABCD的周长为（　　）

A．24 B．18 C．12 D．9
【分析】由三角形的中位线定理可得BC＝2EF＝6，即可求解．
解：∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴BC＝2EF＝6，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，
∴菱形ABCD的周长＝4×6＝24，
故选：A．
【点评】本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，是基础题．
7．如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝6，BE＝2，则平行四边形ABCD的周长是（　　）

A．16 B．14 C．20 D．24
【分析】根据角平分线的定义以及两直线平行，内错角相等求出∠CDE＝∠CED，再根据等角对等边的性质可得CE＝CD，然后利用平行四边形对边相等求出CD、BC的长度，再求出▱ABCD的周长．
解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∵▱ABCD中，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CED，
∴∠CDE＝∠CED，
∴CE＝CD，
在▱ABCD中，AD＝6，BE＝2，
∴AD＝BC＝6，
∴CE＝BC﹣BE＝6﹣2＝4，
∴CD＝AB＝4，
∴▱ABCD的周长＝6+6+4+4＝20．
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形对边平行，对边相等的性质，角平分线的定义，等角对等边的性质，是基础题，准确识图并熟练掌握性质是解题的关键．
8．如图，赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形两条直角边长分别为m和n．若mn＝32，大正方形的边长为10，则小正方形的边长为（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】根据题意和图形，可以计算出小正方形的面积，然后即可计算出小正方形的边长．
解：由题意可得，
小正方形的面积为：10×10﹣×4＝100﹣2×32＝100﹣64＝36，
∴小正方形的边长为：＝6，
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是求出小正方形的面积．
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点B落在点B′处，则重叠部分△AFC的面积为（　　）

A．12 B．10 C．8 D．6
【分析】由矩形的性质和折叠的性质得出∠FCA＝∠FAC，证出AF＝CF，设AF＝CF＝x，DF＝8﹣x，在Rt△ADF中，根据勾股定理得出方程，解方程求出AF，△AFC的面积＝CF×AD，即可得出结果．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴DC＝AB＝8，AD＝BC＝4，∠D＝90°，AB∥DC，
∴∠BAC＝∠FCA，
由折叠的性质得：∠FAC＝∠BAC，
∴∠FCA＝∠FAC，
∴AF＝CF，
设AF＝CF＝x，DF＝8﹣x，
在Rt△ADF中，根据勾股定理得：AD2+DF2＝AF2，
即42+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝5，
∴△AFC的面积＝CF×AD＝×5×4＝10；
故选：B．
【点评】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝6，BD＝8，则菱形ABCD的高AH的值是（　　）

A．4 B．5 C． D．
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，再求出OB、OC，然后利用勾股定理列式求出BC，然后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半和底边乘以高两种方法列方程求解即可．
解：∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，
OB＝BD＝×8＝4，
OC＝AC＝×6＝3，
由勾股定理得，BC＝＝＝5，
S菱形ABCD＝AC•BD＝BC•AH，
即×6×8＝5AH，
解得AH＝．
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分以及菱形的面积的两种求法．
二、填空题。(共6小题，每小题3分，满分18分)
11．计算×的结果是 　7　．
【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算，进而得出答案．
解：×＝7．
故答案为：7．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确化简二次根式是解题关键．
12．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当它把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为　12　m．
【分析】根据题意设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高．
解：设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m．
在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，
∴x2+52＝（x+1）2，
解得x＝12，
∴AB＝12．
∴旗杆的高12m．
故答案是：12．

【点评】此题考查了学生利用勾股定理解决实际问题的能力，难度不大．
13．菱形一条对角线长为12cm，周长为40cm，则菱形的面积为 　96　平方厘米．
【分析】画出图形，可得边长AB＝10cm，由于AC⊥BD，由勾股定理可得OA及AC的值，再由菱形的面积等于两对角线的积的一半求得．
解：如图，BD＝12cm，
∵菱形的周长为40cm，
∴AB＝10cm，
∵菱形的对角线互相垂直平分，
∴OB＝6cm，
∴OA＝＝＝8cm，
∴AC＝2OA＝16cm，
∴菱形的面积＝AC•BD＝×16×12＝96（平方厘米）．
故答案为：96．

【点评】此题考查了菱形的性质及勾股定理，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解题的关键．
14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝3cm，点D为AB的中点，则CD的值是 　3　cm．

【分析】根据30°角的直角三角形的性质得到AB＝6cm，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得到结果．
解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝3cm，
∴AB＝2BC＝6cm，
又∵D为AB的中点，
∴CD＝AB＝3cm．
故答案为：3．
【点评】本题考查了直角三角形的性质及30°角的直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形各性质定理是解题的关键．
15．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，对角线AC、BD相交于点O，则△AOB的周长是　8　．

【分析】由题意根据勾股定理求出AC＝BD＝5，即可得到OA＝OB＝2.5，即可得出结果．
解：∵矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，
∴AC＝BD＝＝＝5，
∴OA＝OB＝2.5，
∴△AOB的周长＝3+2.5+2.5＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质是关键．
16．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC、∠BCD的平分线BE、CF分别与AD相交于点E、F，BE与CF相交于点G，若AB＝6，BC＝11，则EF的长为 　1　．

【分析】证出∠ABE＝∠AEB，则AB＝AE，同理DF＝CD，则AE＝DF，进而得出EF的长．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝6，AD∥BC，AD＝BC＝11，
∴∠AEB＝∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB＝6，
同理DF＝CD，
∴AE＝DF，
即AE﹣EF＝DF﹣EF，
∴AF＝DE，
∵AB＝6，BC＝11，
∴DE＝AD﹣AE＝11﹣6＝5，
∴EF＝DF﹣DE＝6﹣5＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证出AE＝DF是解此题的关键．
三、解答题。(共7小题，满分52分)
17．（16分）计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先利用平方差公式和零指数幂的意义计算，然后合并即可；
（3）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（4）先根据二次根式的乘法和除法法则运算，然后化简即可．
解：（1）原式＝4+3﹣2+4
＝7+2；
（2）原式＝3﹣1+2﹣2
＝4+2；
（3）原式＝6﹣4+
＝；
（4）原式＝2××
＝×3
＝．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则、零指数幂是解决问题的关键．
18．先化简，再求值：，其中．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
解：原式＝÷
＝÷
＝•
＝，
当a＝时，
原式＝
＝﹣2﹣．
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
19．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．
（1）证明△ABC是直角三角形；
（2）求BC边上的高．

【分析】（1）根据勾股定理逆定理求解即可；
（2）根据三角形面积公式求解即可．
【解答】（1）证明：根据题意得，AB2＝12+22＝5，AC2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，

由（1）知，AB＝，AC＝2，BC＝5，∠BAC＝90°，
∵AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝AB•AC，
∴AD＝＝＝2，
即BC边上的高为2．
【点评】此题考查了勾股定理逆定理，熟记勾股定理逆定理是解题的关键．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，过点A作AE∥BC，且AE＝DC，连接CE．
（1）求证：四边形ADCE是矩形：
（2）若AB＝5，BC＝8，求CE的长．

【分析】（1）由AB＝AC，D为BC的中点，得AD⊥BC，由AE∥BC，AE＝DC，证明四边形ADCE是平行四边形，而∠ADC＝90°，则四边形ADCE是矩形；
（2）根据等腰三角形的性质，由BC＝8，得BD＝4，由勾股定理得AD＝＝3，由矩形的性质得CE＝AD＝3，所以CE的长是3．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵AE∥BC
∴AE∥DC，
∵AE＝DC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵∠ADC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形．
（2）解：∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴∠ADB＝90°，
∵BC＝8，
∴BD＝4，
∴AD＝＝＝3，
∵四边形ADCE是矩形，
∴CE＝AD＝3，
∴CE的长是3．
【点评】此题重点考查矩形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”、锐角三角函数与解直角三角形、勾股定理等知识，证明∠ADB＝∠ADC＝90°是解题的关键．
21．如图：四边形ABCD中，AB＝CB＝，CD＝，DA＝1，且AB⊥CB于B．
试求：（1）∠BAD的度数；
（2）四边形ABCD的面积．

【分析】连接AC，则在直角△ABC中，已知AB，BC可以求AC，根据AC，AD，CD的长可以判定△ACD为直角三角形，
（1）根据∠BAD＝∠CAD+∠BAC，可以求解；
（2）根据四边形ABCD的面积为△ABC和△ACD的面积之和可以解题．
解：（1）连接AC，
∵AB⊥CB于B，
∴∠B＝90°，
在△ABC中，∵∠B＝90°，
∴AB2+BC2＝AC2，
又∵AB＝CB＝，
∴AC＝2，∠BAC＝∠BCA＝45°，
∵CD＝，DA＝1，
∴CD2＝5，DA2＝1，AC2＝4．
∴AC2+DA2＝CD2，
由勾股定理的逆定理得：∠DAC＝90°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝45°+90°＝135°；

（2）∵∠DAC＝90°，AB⊥CB于B，
∴S△ABC＝，S△DAC＝，
∵AB＝CB＝，DA＝1，AC＝2，
∴S△ABC＝1，S△DAC＝1
而S四边形ABCD＝S△ABC+S△DAC，
∴S四边形ABCD＝2．

【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了根据勾股定理逆定理判定直角三角形，考查了直角三角形面积的计算，本题中求证△ACD是直角三角形是解题的关键．
22．如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，过点B作BF⊥AE于点H，交AD于点F，连接EF．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）连接CF，若CE＝1，CF＝2，，求菱形ABEF的面积．

【分析】（1）先证明△ABE是等腰三角形，再证明△ABF是等腰三角形，得出平行四边形ABEF，由此即可解决问题．
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵∠EAF＝∠EAB，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴BA＝BE，
∵BF⊥AE，
∴∠ABF＝∠FBE，∠AFB＝∠FBE，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AB＝AF，
∴AF＝BE，
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF，
∴四边形ABEF是菱形．
（2）连接CF，
CE＝1，CF＝2，AB＝，
∵AB＝EF＝，
CE2+CF2＝EF2，
∴CF⊥BC，
∴菱形ABEF的面积＝×2＝．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定，等腰三角形的判定，通过等量代换推出角相等推出等腰三角形是解决问题的关键．
23．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B出发向点C运动，点P、Q的速度都是1cm/s．
（1）连接PQ，当运动时间为2秒时，求线段PQ的长．
（2）连接PQ、AC，在运动过程中，当运动时间为多少秒时，PQ⊥AC．

【分析】（1）过P作PH⊥BC于H，在Rt△PQH中，根据勾股定理即可求出PQ；
（2）PQ⊥AC时，四边形AQCP为菱形，可得AQ＝CQ，即＝8﹣t，解之即可求出结论．
解：设点P、Q运动的时间为t （s），则PD＝BQ＝tcm，
在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，
∴AP＝CQ＝（8﹣t）cm，AB＝CD＝4cm，
（1）当t＝2是，则PD＝BQ＝2
∴AP＝CQ＝6，

过P作PH⊥BC于H，
则四边形CDPH是矩形，
∴CH＝PD＝2，PH＝CD＝4，
∴QH＝BC﹣BQ﹣CH＝4，
在Rt△PQH中，
PQ＝＝＝4（cm），
答：当运动时间为2秒时，线段PQ的长为4cm；
（2）设t秒后，PQ⊥AC，

∵AP＝CQ，AP∥CQ，
∴四边形AQCP是平行四边形，
当PQ⊥AC时，四边形AQCP为菱形，
∴AQ＝CQ，
即＝8﹣t，
解得：t＝3．
答：当t＝3时，PQ⊥AC．
【点评】本题考查了菱形、矩形的判定与性质、勾股定理．解决此题注意结合方程的思想解题．