2023届山东省威海市高三下学期5月第二次模拟考试数学试题（word版）

威海市2023届高三下学期5月第二次模拟

数  学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集，集合A满足，则（    ）

A． B． C． D．

2．若复数z满足，则（    ）

A． B．5 C． D．6

3．已知，则（    ）

A． B． C． D．

4．已知，，则（    ）

A． B．2 C．6 D．9

5．云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长．已知某科技公司2018年至2022年云计算市场规模数据，且市场规模y（单位：千万元）与年份代码x的关系可以用模型（其中e＝2.71828…）拟合，设，得到数据统计如下表：

由上表可得回归方程，则m的值约为（    ）

A．2 B．7.4 C．1.96 D．6.9

6．已知直线x＋ay－1＝0过定点P，线段MN是圆的直径，则（    ）

A． B．3 C．7 D．9

7．已知等边三角形SAB为圆锥的轴截面，AB为圆锥的底面直径，O，C分别是AB，SB的中点，过OC且与平面SAB垂直的平面记为，若点S到平面的距离为，则该圆锥的侧面积为（    ）

A． B． C． D．

8．已知函数，，若总存在两条不同的直线与曲线，均相切，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． 

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．

9．以下说法正确的是（    ）

A．将4封不同的信全部投入3个邮筒，共有64种不同的投法

B．将4本不同的数学书和2本不同的物理书排成一排，且物理书不相邻的排法有480种

C．若随机变量，且，则

D．若随机变量，则

10．将函数图象上的所有点向左平移个单位，得到函数的图象，则（    ）

A． B．在上单调递减

C．在上有3个极值点 D．直线是曲线的切线

11．已知数列的首项，前n项和为．设与k是常数，若对任意，均有成立，则称此数列为“”数列．若数列是“”数列，且，则（    ）

A．  B．为等比数列

C．的前n项和为 D．为等差数列

12．已知双曲线E：的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线l与E的右支交于点P，若，则（    ）

A．E的离心率为  B．E的渐近线方程为

C．P到直线x＝1的距离为 D．以实轴为直径的圆与l相切

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知向量，，，若，则t＝______．

14．若函数是奇函数，则实数a＝______．

15．已知抛物线C：的焦点为F，过F的直线与C交于A，B两点，且，O为坐标原点，直线AO交C的准线于点D，则与的面积之比为______．

16．在棱长为2的正方体中，点P满足，其中，．当直线平面时，P的轨迹被以为球心，R为半径的球面截得的长度为2，则R＝______；当时，经过A，，P的平面与棱交于点Q，则直线PQ与平面所成角的正切值的取值范围为______．（本题第一空2分，第二空3分）

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（10分）

已知偶函数的部分图象如图所示，A，B，C为该函数图象与x轴的交点，且D为图象的一个最高点．

（1）证明：；

（2）若，CD＝2，，求的解析式．

18．（12分）

如图，在四棱台中，平面ABCD，下底面ABCD是菱形，∠ABC＝120°，，．

（1）求四棱锥的体积；

（2）求平面与平面所成角的余弦值．

19．（12分）

已知2n＋2个数排列构成以为公比的等比数列，其中第1个数为1，第2n＋2个数为8，设．

（1）证明：数列是等差数列；

（2）设，求数列的前100项和．

20．（12分）

乒乓球被称为中国的“国球”．20世纪60年代以来，中国乒乓球选手取得世界乒乓球比赛的大部分冠军，甚至多次包揽整个赛事的所有冠军．乒乓球比赛每局采用11分制，每赢一球得1分，一局比赛开始后，先由一方发2球，再由另一方发2球，依次每2球交换发球权，若其中一方先得11分且至少领先2分即为胜方，该局比赛结束；若双方比分打成平后，发球权的次序仍然不变，但实行每球交换发球权，先连续多得2分的一方为胜方，该局比赛结束．现有甲、乙两人进行乒乓球单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立，已知某局比赛甲先发球．

（1）求该局比赛中，打完前4个球时甲得3分的概率；

（2）求该局比赛结束时，双方比分打成且甲获胜的概率；

（3）若在该局双方比分打成平后，两人又打了X个球该局比赛结束，求事件“”的概率．

21．（12分）

已知椭圆E：的三个顶点构成边长为4的等边三角形．

（1）求E的标准方程；

（2）已知直线l的倾斜角为锐角，l分别与x轴、y轴相交于点M，N，与E相交于A，B两点，且N为线段MB的中点，B关于x轴的对称点为C，直线CN与E的一个交点为D．

（i）证明：直线CD与l的斜率之比为定值；

（ii）当直线AD的倾斜角最小时，求l的方程．

22．（12分）

已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）证明：方程在上有且只有一个解；

（3）设点，，，若对任意，，都有经过A，B的直线斜率大于a，求实数a的取值范围．