新教材高二第二学期5月段考数学试题（原卷版+答案解析）

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新教材第二学期5月段考试卷高二数学注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮檫干净后，再选涂其他答案.3. 非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上；如需改动，划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 在数学测验中，某校学生的成绩服从正态分布，则下列结论中不正确的是（    ）（参考数据：若，则，，.）A. 这次测试的平均成绩为110B. 越小，测试成绩在内的概率越大C. 测试成绩小于100分和大于120分的概率相等D. 当时，测试成绩小于130分的概率为0.68272. 曲线在处的切线方程为（    ）A.  B.  C.  D. 3. 已知等比数列的公比为q，且，，成等差数列，则q的值是（    ）A. 5 B. 4 C. 3 D. 24. 有7件产品，其中4件正品，3件次品，现不放回从中取2件产品，每次一件，则在第一次取得次品的条件下，第二次取得正品的概率为（    ）A.  B.  C.  D. 5. 已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占80%，乙厂产品占20%，甲厂产品的合格率是75%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是（    ）A. 0.95 B. 0.8 C. 0.76 D. 0.75  6. 现要从A，B，C，D，E这5人中选出4人，安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，如果A不能安排在甲岗位上，则安排的方法有（    ）A. 56种 B. 64种 C. 72种 D. 96种7. 若，是函数的导函数的两个不同零点，且，，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则（    ）A.  B.  C.  D. 48. 已知当时，关于x的不等式恒成立，则实数a的值不可能是（    ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.）9. 已知的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则（    ）A.   B. 的展开式中项的系数为56C. 奇数项的二项式系数和为128 D. 的展开式中项的系数为5610. 袋子中装有大小、形状完全相同的6个白球和4个黑球，现从中有放回地随机取球3次，每次取一个球，每次取到白球得0分，黑球得5分，设3次取球总得分为X，则（    ）A. 3次中恰有2次取得白球的概率为 B. C.   D. 11. 已知数列满足，，则下列说法正确的是（    ）A.  B.  C.  D. 12. 设函数，则（    ）A. B. 函数的图象过点的切线方程为C. 函数既存在极大值又存在极小值，且其极大值大于其极小值D. 方程有两个不等实根，则实数k的取值范围为第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13. 已知在备选的10道题中，甲能答对其中的5道题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2道题才算合格，则甲合格的概率为______.14. 将8个人分成三组，其中一组由2人组成，另外两组都由3人组成，则不同的分组方法种数为______.15. 若前n项和为的等差数列满足，则______.16. 已知函数，函数，若函数恰有三个零点，则a的取值范围是______.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，的面积为.（1）求A；（2）若，求的周长.     18. 已知各项都是正数的数列，前n项和满足.（1）求数列的通项公式.（2）记是数列的前n项和，是数列的前n项和.①求和；②当时，试比较与的大小.        19. 如图，在正三棱柱中，，D是棱AB的中点.（1）证明：平面平面；（2）若，求平面与平面的夹角余弦值的取值范围.       20. 课外体育活动中，甲、乙两名同学进行投篮游戏，每人投3次，投进一次得2分，否则得0分.已知甲每次投进的概率为，且每次投篮相互独立；乙第一次投篮，投进的概率为，从第二次投篮开始，若前一次投进，则这次投进的概率为，若前一次没投进，则这次投进的概率为.（1）求甲3次投篮的得分超过3分的概率；（2）乙3次投篮的得分为X，求X的分布列和期望.              21. 已知椭圆C：的离心率为，左、右焦点分别为、，P为C的上顶点，且的周长为.（1）求椭圆C的方程；（2）设过定点的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，且为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围.           22. 已知函数.（1）若，求的极值；（2），若函数有两个零点，，且，求证：.         新教材下学期5月段考高二数学答案一、选择题1.【答案】D【详解】对于A选项：正态分布中，括号里面表示随机变量服从均值为，方差为的正态分布，因为成绩服从正态分布，所以A是正确的.对于B选项：正态分布中根据密度曲线特点，数据集中在均值附近，方差（或标准差）越小越稳定，曲线越“瘦高”，数据越集中，所以越小，测试成绩在内的概率越大，所以B是正确的.对于C选项：根据正态曲线对称特点，测试成绩小于100分和大于120分的概率相等，所以C是正确的.对于D选项：当时，测试成绩小于130分的概率为0.84135，所以D错误.2.【答案】C【详解】由题意，解得.由，得，则，又，∴曲线在处的切线方程为.3.【答案】B【详解】等比数列的公比为q，，，成等差数列，则，即，整理得，解得，所以q的值是4.4.【答案】B【详解】设第一次取得次品为事件A，第二次取得正品为事件B，则，，所以.5.【答案】C【详解】设买到的灯泡是甲厂产品为事件A，买到的灯泡是乙厂产品为事件B，则，，记事件C：从该地市场上买到一个合格灯泡，则，，所以.6.【答案】D【分析】根据A是否入选进行分类讨论即可求解.【详解】由题意可知：根据A是否入选进行分类：若A入选：则先给A从乙、丙、丁3个岗位上安排一个岗位有种，再给剩下三个岗位安排人有种，共有种方法；若A不入选：则4个人4个岗位全排有种方法，所以共有种不同的安排方法.7.【答案】A【详解】∵，∴，，所以，为两个不等的负数，不妨设，则必有，，2成等差数列，，2，成等比数列，故有，，解得，，可得，，.8.【答案】D【分析】化为恒成立，构造函数，求导后讨论a，当时，，符合题意；当时，求出的最小值，化为，再构造函数，利用导数可得结果.【详解】当时，关于x的不等式恒成立，即恒成立，令，则，当，即时，由，得，所以，所以在上为增函数，所以，符合题意；当，即时，由，得，由，得，所以在上为减函数，在上为增函数，所以，所以只需即可，设，则，当时，，所以，所以在上为减函数，因为，，所以存在，使得，当时，，当时，，要使，只需，结合选项可知，实数a的值不可能是3.二、多项选择题9.【答案】AC【详解】因为的展开式通项为，所以的展开式的第项的二项式系数为，所以，解得，A正确；的系数为，B错误；奇数项的二项式系数和为，C正确；根据二项式定理，表示8个相乘，所以中有1个选择x，1个选择，6个选择1，所以的展开式中项的系数为，D错误.10.【答案】BC【详解】设3次取球取到白球的个数为，每次取到白球的概率，由题意可得：，且，对于A：，故A错误；对于B：令，解得，故或，所以，故B正确；对于C：因为，所以，故C正确；对于D：因为，所以，故D错误.11.【答案】ABD【详解】，，故选项A正确；对于，有，，两式相加，得，则，故选项B正确；由，知，则，故选项C错误；由偶数项均为－1，可得n为偶数时，，则，则，故选项D正确.12.【答案】AD【详解】由题意可知，对于A，由，得，故A正确；对于B，设切点为，，切线方程，代入点，得，化简整理得，令，，所以函数在的切线方程为，因为，，函数图象连续不断，所以存在，使得，所以过点的直线与函数在之间存在切点，过点的切线不止一条，故B错误；对于C，的定义域为，令，即，解得，或，当时，，当时，，所以在和上单调递增，在和上单调递减.当时，取得极大值为，当时，取得极小值为，因为，所以极大值小于极小值，故C错误；对于D，由C选项知，作出的图象如图所示，要使方程有两个不等实根，只需要与有两个交点，由图可知，，所以实数k的取值范围为.故D正确.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题13.【答案】【详解】从10道题中抽取3道题的取法有种，至少抽到甲能答对的5道题中的两道题的取法有，所以概率为.14.【答案】280【详解】先从8个人中选出3人为一组，再从5人中选出3人为一组，剩余两人为一组.满足条件的分组方法种数为.15.【答案】68【详解】解：由等差数列的性质知，因为前n项和为的等差数列满足，所以，即，所以，所以.16.【答案】【详解】①当时，，所以，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，且，，，当时，，当时，，当时，与一次函数相比，函数呈爆炸性增长，从而，，②当时，，，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，且，，当时，，当时，，当时，与对数函数相比，一次函数呈爆炸性增长，从而，，当，且时，，根据以上信息，可作出函数的大致图象如下：函数的零点个数与方程的解的个数一致，方程，可化为，所以或，由图象可得没有解，方程的解的个数与方程解的个数相等，而方程的解的个数与函数的图象与函数的图象的交点个数相等，由图可知：当时，函数的图象与函数的图象有3个交点.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.【答案】（1）；（2）【详解】（1）由正弦定理得，，，∴，由可得，又，∴.……5分（2）由题意可得，∴，又，∴，由余弦定理得，∴.∴的周长为.……5分18.【详解】（1）当时，，所以或（舍去），当时，有，两式相减得，整理得，因为的各项都是正数，所以，所以是首项为1，公差为1的等差数列，所以；……5分（2）由（1）得，则，所以，由（1）得，所以，……10分因为，所以，故，所以当时，.……12分19.【详解】（1）证明：在正三棱柱中，平面ABC，平面ABC，所以.因为，且D是棱AB的中点，所以.因为AB，平面，且，所以平面.又因为平面，所以平面平面.……5分（2）解：分别取AC，的中点O，E，连接OE，OB，由正三棱柱性质得，，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面ABC，所以平面ABC，因为AC，平面ABC，所以，，因为在等边三角形ABC中，，所以OB，OC，OE两两垂直，如图建立空间直角坐标系，……7分设，则，，，，，设平面的法向量，则，令，，，得，……9分平面的一个法向量，设平面与平面夹角为，则，……11分因为，所以.……12分20.【详解】（1）甲3次投篮投进的次数为，则，故甲3次投篮的得分超过3分的概率.……4分（2）记“乙第次投篮投进”为事件，，由题意可得：X的可能取值为0，2，4，6，则有：，，，，所以X的分布列为：X0246P故X的期望.……12分21.【分析】（1）由椭圆的定义以及离心率可得出a、c的值，进而可求得b的值，由此可得出椭圆C的方程；（2）分析可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为，设，，将直线l的方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定理，由结合可求得k的取值范围.【详解】（1）设椭圆C的半焦距为c.因为的周长为，①因为椭圆C的离心率为，所以，②由①②解得，.则，所以椭圆C的方程为.……4分（2）若直线轴，此时，直线l为y轴，则A、O、B三点共线，不合乎题意，设直线l的方程为，设，，联立，，解得，由韦达定理可得，，……8分则，又为锐角，A、O、B不共线，则，即，解得，所以，，解得或，所以实数k的取值范围为.……12分22.【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数求出的极值作答.（2）根据函数零点的意义，转化为线与函数图象有两个交点，求出，再借助零点建立两个方程消去a，构造函数证明即可作答.【详解】（1）当时，定义域为，求导得，令，求导得，当时，，当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，当时，取得极大值，无极小值，所以的极大值为，无极小值.……4分（2）依题意，，，因为函数有两个零点，，且，而，则，因此函数的两个零点，，分别是直线与函数图象的两个交点横坐标，，当时，，当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减，，而，时，恒有，于是，即.……8分令，显然有，则有，令，，，即函数在上单调递增，，即有，从而，又，所以.……12分