四川省成都市武侯区棕北中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试卷

2022-2023学年四川省成都市武侯区棕北中学八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本题共8小题，共32分）

1.  下列图形中，既是轴对你图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列从左到右的变形是因式分解的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  已知，则下列各式成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列代数式变形正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图，将绕点逆时针旋转一定角度，得到若，，且，的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，一次函数的图象经过点和点，一次函数的图象过点，则不等式的解集为(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，的坐标分别为，若将线段平移至，，的坐标分别为，，则的值为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，在中，边的中垂线，分别与、边交于点、两点，边的中垂线，分别与、边交于点、两点，连接、若的周长为，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本题共10小题，共40分）

9.  若分式的值为，则          ．

10.  若等式恒成立，则 ______ ．

11.  平面直角坐标系中，若点，关于原点对称，则 ______ ．

12.  已知关于的不等式组的解集为，则______．

13.  如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交边、于点、，分别以点、为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于点，射线交于点，若，，则的面积为______．

14.  已知，，则代数式 ______ ．

15.  已知，则分式的值为______ ．

16.  关于的不等式组恰有两个整数解，且的值为正整数，则整数的值为______ ．

17.  在“互联网”时代，有一种用“因式分解法”生产密码的方法：将一个多项式因式分解如：将多项式分解结果为当时，，，此时可得到数字密码，或者是将多项式因式分解后，利用题目中所示的方法，当时可以得到密码，则 ______ ， ______ ．

18.  如图，在边长为的等边中，点从出发沿方向以的速度运动，点从出发沿方向以的速度运动，、两点同时出发，当点到达时，、两点停止运动，以为边作等边，点为线段上一动点，点为的中点，连、，当最小时，线段的长度为______．

三、解答题（本题共8小题，共78分）

19.  因式分解：；
化简：；
解不等式组：．

20.  先化简，再求值：，从，，，中选择适当的数代入计算．

21.  如图，三个顶点的坐标分别为，，．
点关于原点的对称点的坐标为______ ；
画出绕原点逆时针旋转的；
求中点到点所经过的路径长．

22.  若关于、的二元一次方程组的解满足求出满足条件的的所有正整数值．
已知，，是的三边长，满足，且是中最长的边求的取值范围．

23.  如图，在中，，，点为线段延长线上一点，以为腰作等腰直角三角形，使，连接．
请判断与的位置关系，并说明理由；
若，，求线段的长；
如图，在的条件下，将沿线段翻折，使点与点重合，连接，求线段的长．
 

24.  为了全面推进素质教育增强学生体质，丰富校园文化生活，我校将举行春季特色运动会，需购买，两种奖品，经市场调查，若购买种奖品件和种奖品件，共需元；若购买种奖品件和种奖品件，共需元．
求、两种奖品的单价各是多少元；
运动会组委会计划购买、两种奖品共件，购买费用不超过元，且种奖品的数量不大于种奖品数量的倍，运动会组委会共有几种购买方案？并求出最小总费用．

25.  如图，在中，，，，把绕点旋转，在整个旋转过程中，过点作，垂足为，直线交于．

如图，当在内部时，求证：；
如图，当在外部时，求证：；
在的条件下，若，，求的长．直接写结果

26.  在平面直角坐标系中，直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，，作线段的垂直平分线交轴于点，交轴于点．

如图，求直线的解析式和点坐标；
如图，过点作轴的平行线，是上一点，若，求点坐标；
如图，点是轴的一个动点，连接、，将沿翻折得到，当是等腰三角形时，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、本选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、本选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、本选项图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
D、本选项图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
故选：．
观察四个选项中的图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合，找出既是轴对称图形又是中心对称图形的那个即可得出结论．
本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，仔细观察图形根据定义正确判断是解答本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是因式分解的意义，掌握因式分解概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式是解题的关键．因此要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定即可．
【解答】
解：、结果不是积的形式，因而不是因式分解，中不是整式，因而不是因式分解，
满足定义的只有，
故选D．  

3.【答案】 

【解析】解：，当时，，故A不成立；
B.，，故B不成立；
C.，，故C不成立；
D.，，故D成立；
故选：．
根据不等式的性质逐一判断即可解题．
本题考查了不等式的性质，注意不等式的两边都乘或除以一个负数，不等号的方向改变．
 

4.【答案】 

【解析】解：，选项不合题意；
，选项符合题意；
，选项不合题意；
，选项不合题意；
故选：．
利用分式的基本性质计算后判断正误．
本题考查了分式的基本性质，解题的关键是掌握分式的基本性质．
 

5.【答案】 

【解析】解：绕点逆时针旋转得到，
，，
，
，
，
，
．
故选：．
先根据旋转的性质得，，再根据垂直的定义得，则利用互余计算出，所以，于是得到．
本题考查了旋转的性质，正确记忆旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由图象可知：正比例函数和一次函数的图的交点是，
不等式的解集是．
故选：．
根据图象知正比例函数和一次函数的图象的交点，即可得出不等式的解集．
本题考查一次函数和一元一次不等式，能利用数形结合，找到不等式与一次函数图象的关系是解答此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：由的对应点的坐标为知，线段向上平移了个单位，
由的对应点的坐标为知，线段向右平移了个单位，
则，，
，
故选：．
由已知得出线段向右平移了个单位，向上平移了个单位，即可得出、的值，从而得出答案．
此题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
 

8.【答案】 

【解析】解：是线段的中垂线，是线段的中垂线，
，，
周长为，
，
，
，
，
，
，
故选：．
利用线段的垂直平分线的性质以及线段的和差关系即可解决问题．
本题考查线段的垂直平分线，三角形的周长等知识，解决问题的关键掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．分式的值为的条件是：分子为；分母不为两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【解答】
解：由分式的值为，得
且，
解得且，
．
故答案为：．  

10.【答案】 

【解析】解：等式恒成立，
，
，，
，，
．
故答案为：．
先把整式的右边展开，求出，的值，代入进行计算即可．
本题考查的是因式分解，根据题意得出关于，的式子是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：点，关于原点对称，
，
解得，
．
故答案为：．
直接利用关于原点对称的点的坐标特点，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反进而得出，的值．
本题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
所以不等式组的解集是，
关于的不等式组的解集为，
，，
，，
，
故答案为：．
先求出不等式组的解集，根据已知不等式组的解集是得出，，求出、，再求出即可．
本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式组的解集得出和是解此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查基本作图、角平分线的性质定理、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．作于，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】
解：作于，

由基本作图可知，平分，
平分，，，
，
的面积，
故答案为：．  

14.【答案】解：原式

；
原式
；
，
由得：，
由得：，
不等式组的解集为． 

【解析】原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
原式利用除法法则变形，约分即可得到结果；
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
此题考查了分式的乘除法，提公因式法与公式法的综合运用，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则及不等式组的解法是解本题的关键．
 

15.【答案】解：


，
要使分式有意义，且且，
所以不能为，和，
取，
当时，原式． 

【解析】先根据分式的加减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，根据分式有意义的条件求出不能为，和，取，最后代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
点关于原点的对称点的坐标为．
故答案为：．
如图，即为所求．
由勾股定理得，，
点到点所经过的路径长为．
关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，由此可得答案．
根据旋转的性质作图即可．
利用弧长公式计算即可．
本题考查作图旋转变换、中心对称、弧长公式，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质、弧长公式是解答本题的关键．
 

17.【答案】解：，
得：，即，
代入已知不等式得：，
解得：，
则满足条件的的所有正整数值为，，；
已知等式移项得：，即，
，，
，，
解得：，，
，，为三边，且为最长边，
． 

【解析】方程组两方程相加表示出，代入已知不等式求出解集，即可确定出正整数解；
已知等式移项配方后，利用非负数的性质及三角形三边关系求出的范围即可．
此题考查了配方法的应用，非负数的性质，二元一次方程组的解，以及三角形三边关系，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

18.【答案】解：．
理由如下：等腰直角中，，
，
，
在与中，
，
≌，
，
，，
，
，
，
；
过作于，如图，

，，
，
，
，
；
解：过作于，过作于，于，如图所示：

由可知，，
将沿线段翻折，，
，，
，，，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
在与中，
，
≌，
，，
，
． 

【解析】证出，推出≌，根据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的性质可得到结论；
过作于，由等腰直角三角形的性质得出，由勾股定理可得出答案；
过作于，过作于，证明≌，推出，，推出，即可解决问题．
本题考是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，余角的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 

19.【答案】 

【解析】解：

，
把，代入原式，
则原式

．
故答案为：．
将代数式分解后，代入已知条件即可．
本题考查了因式分解的应用，准确代入并计算是解题关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：已知等式整理得：，即，
则原式．
故答案为：．
已知等式整理得到关系式，代入原式计算即可求出值．
此题考查了分式的加减法及分式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：不等式组的解集为：，
关于的不等式组恰有两个整数解，
．
，
整数的值为，，，
当时，的值为正整数，
整数的值为．
故答案为：．
解不等式组求得解集，从而确定的值，代入分式验证即可．
本题主要考查了分式的值，一元一次不等式组的整数解，准确求得不等式组的解集是解题的关键．
 

22.【答案】   

【解析】解：
，
当时得到密码，
分解结果应为，
即，
，，
．
故答案为：；．
将分解，根据密码得，分解结果应为，即，得到对应项，，即可解答．
本题考查了因式分解的应用，还原分解项，利用对应项相等列方程是解题关键．
 

23.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于，连接．

由题可得：，，，
，，
，
，
．
是等边三角形，
，．
，，
．
在和中，
，
≌，
，
点运动的路径为过点垂直于的一条线段，
作点关于的对称点，连接，过点作于，
，
当点与重合，点在上时，的值最小，此时，
，，
，
，
故答案为：．
如图，过点作于，连接证明≌，推出，推出点运动的路径为过点垂直于的一条线段，作点关于的对称点，连接，过点作于，，解直角三角形求出即可解决问题．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

24.【答案】解：设种奖品的单价为元，种奖品的单价为元，
依题意，得：，
解得：．
答：种奖品的单价为元，种奖品的单价为元．
设运动会组委会购进件种奖品，则购进件种奖品，
依题意，得：，
解得：，
种．
答：运动会组委会共有种购买方案．
，
种奖品的单价较低，
当时，购买奖品总费用最少，最少费用为元．
答：购买件种奖品，件种奖品时，购买奖品总费用最少，最少费用为元． 

【解析】设种奖品的单价为元，种奖品的单价为元，根据“若购买种奖品件和种奖品件，共需元：若购买种奖品件和种奖品件，共需元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设运动会组委会购进件种奖品，则购进件种奖品，根据购买费用不超过元且种奖品的数量不大于种奖品数量的倍，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为正整数即可得出购买方案的个数；由，两种奖品单价间的关系，可找出购买奖品总费用最少的方案，再利用总价单价数量可求出最小总费用．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；根据两种奖品单价间的关系，找出购买奖品总费用最少的方案．
 

25.【答案】解：如图，延长到，连接，使，

，
，
，
，
又，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
即；

如图，在上截取，

，
，
，
，
，
又，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
即；

，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
． 

【解析】延长到，连接，使，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，再求出，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形的即可证明，从而得证；
在上截取，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，再求出，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形的即可证明，从而得到；
根据等腰直角三角形的性质求出，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出，然后求出的长，再根据代入数据进行计算即可得解．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
 

26.【答案】解：，，
，，
，
解得：，
设为，
，解得：，
，
垂直平分，
的中点的坐标为：，，

过作于，则，
，
，
．
在轴上取一点，使得．
，
，
解得，，
，．
，，
同理可得：的解析式为：，
作交于，
，
，即，

同理，
．
综上：，．
如图，当时，
由轴对称的性质可得：，
，
，
由垂直平分线的判定定理可得：，互相垂直平分，
在轴上，且，
设，
，解得：，
，

．
当时，如图，

由，
为等边三角形，
此时，重合，
；
当时，在直线上，如图，

，
，，，
作，在轴上，
，，
，，
；
同理：如图，当在的位置，在的位置，
此时．
综上：或或． 

【解析】证明，，利用勾股定理求解，再利用待定系数法求解的解析式，求解的中点的坐标为：，，过作于，则，可得，从而可得的坐标；
在轴上取一点，使得可得，求解的解析式为：，作交于，则，同理，从而可得答案；
分三种情况讨论：如图，当时，当时，当时，在直线上，再结合图形解得即可．
本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，线段的垂直平分线的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，二次根式的运算，等腰三角形的定义，坐标与图形面积，本题难度大，清晰的分类讨论，利用数形结合的方法解题是关键．