2023年广东省深圳市南山区十校联考中考数学模拟试卷（含答案）

这是一份2023年广东省深圳市南山区十校联考中考数学模拟试卷（含答案），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年广东省深圳市南山区十校联考中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．（3分）（2023•菏泽一模）如图，该几何体的左视图是（　　）

A． B． C． D．
2．（3分）（2023•南山区模拟）国家卫健委网站消息：截至2022年5月27日，31个省（自治区，直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗超过33亿剂次，用科学记数法表示33亿是（　　）
A．3.3×108 B．33×108 C．3.3×109 D．3.3×1010
3．（3分）（2023•南山区模拟）“天宫课堂”第二课3月23日在中国空间站开讲，包括六个项目：太空“冰雪”实验、液桥演示实验、水油分离实验、太空抛物实验、空间科学设施介绍与展示、天地互动环节．若随机选取一个项目写观后感，则恰好选到“实验”项目的概率是（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）（2023•南山区模拟）下列算式中，正确的是（　　）
A．（a+b）2＝a2+b2 B．5a2﹣3a2＝2a2
C． D．
5．（3分）（2021•台州）超市货架上有一批大小不一的鸡蛋，某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡蛋，设货架上原有鸡蛋的质量（单位：g）平均数和方差分别为，s2，该顾客选购的鸡蛋的质量平均数和方差分别为，s12，则下列结论一定成立的是（　　）
A．＜ B．＞ C．s2＞s12 D．s2＜s12
6．（3分）（2023•南山区模拟）实数a在数轴上的对应点的位置如图所示．若实数b满足﹣a＜b＜a，则b的值可以是（　　）

A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．2
7．（3分）（2014•重庆）如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝90°，则∠AOC的大小是（　　）

A．30° B．45° C．60° D．70°
8．（3分）（2023•南山区模拟）如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝8，以D为圆心，任意长为半径画弧，交AD于点P，交CD于点Q，分别以P、Q为圆心，大于PQ为半径画弧交于点M，连接DM并延长，交BC于点E，连接AE，恰好有AE⊥BC，则AE的长（　　）

A．3 B．4 C．5 D．
9．（3分）（2023•南山区模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c均为常数，a≠0）的顶点是P（s，t），且该抛物线经过点A（﹣2，y1），B（4，y2），若y1＞y2＞t，则s的取值范围是（　　）
A．﹣2＜s＜4 B．﹣1＜s＜2 C．s＜1 D．s＞1且s≠4
10．（3分）（2023•南山区模拟）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，BC＝4，tan∠ACB＝3，AD⊥BC于D，若将△ADC绕点D逆时针方向旋转得到△FDE，当点E恰好落在AC上，连接AF．则AF的长为（　　）

A． B． C． D．2
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）（2019•衡阳）因式分解：2a2﹣8＝　 　．
12．（3分）（2023•南山区模拟）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 　 　．
13．（3分）（2023•南山区模拟）一桶油漆能刷1500dm2的面积，用它恰好刷完10个同样的正方体形状盒子的全部外表面．设其中一个盒子的棱长为xdm，则可列出方程：　 　．
14．（3分）（2023•南山区模拟）一个正多边形内接于半径为4的⊙O，AB是它的一条边，扇形OAB的面积为2π，则这个正多边形的边数是 　 　．
15．（3分）（2023•南山区模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝12，点N是AB边上的中点，点M是BC边上的一动点连接MN，将△BMN沿MN折叠，若点B的对应点B'，连接B'C，当△B'MC为直角三角形时，BM的长为 　 　．

三、解答题（本题共7小题，其中第16题5分，第17题6分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题10分，第22题10分.共55分）
16．（5分）（2023•南山区模拟）计算：．
17．（6分）（2023•南山区模拟）化简求值：（+1）•，其中x＝1．
18．（8分）（2023•南山区模拟）如图，AB是垂直于水平面的建筑物，为测量AB的高度，小红从建筑物底端B出发，沿水平方向行走了52米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DC＝BC．在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E点处测得建筑物顶端A点的仰角∠AEF为27°（点A，B，C，D在同一平面内），斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，求建筑物AB的高度．（精确到个位）
（参考数据：sin＝27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）

19．（8分）（2023•南山区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O与BC，AC分别相切于点E，F，BO平分∠ABC，连接OA．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若BE＝AC＝6，⊙O的半径是2，求图中阴影部分的面积．

20．（8分）（2023•南山区模拟）端午节前夕，某大型超市采购了一批礼盒进行销售，这批礼盒有甲型和乙型两种共600个，其进价与标价如表所示（单位：元）：

进价
标价
甲型
90
120
乙型
50
60
（1）该超市将甲型礼盒按标价的九折销售，乙型礼盒按标价进行销售，当销售完这批礼盒后可获利9200
元，求该商场购进甲型、乙型这两种礼盒各多少个？
（2）这批礼盒销售完毕后，该超市计划再次按原进价购进甲、乙两种礼盒共200个，且均按标价进行销
售，请问如何进货能保证这批礼盒销售完之后获得利润最大，且利润不能超过成本的25%．
21．（10分）（2023•南山区模拟）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式一一利用函数图象研究其性质一一运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义．
结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题：
在函数y＝|kx﹣3|+b中，当x＝2时，y＝﹣4；当x＝0时，y＝﹣1．
（1）求这个函数的表达式；
（2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质；
（3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集．
（4）若方程|x2﹣6x|﹣a＝0有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 　 　．

22．（10分）（2023•南山区模拟）（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC，AB上，DQ⊥AE于点O，点G，F分别在边CD，AB上，GF⊥AE．求证：AE＝FG；
（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD中，＝k（k为常数）．将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP，当时k＝，若tan∠CGP＝，GF＝2，求CP的长．


2023年广东省深圳市南山区十校联考中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．（3分）（2023•菏泽一模）如图，该几何体的左视图是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据左视图是从左边看，得出结论即可．
【解答】解：由题意知，原几何体的左视图为一个矩形，矩形的内部有一条横向的虚线．
故选：D．
【点评】本题主要考查简单组合体的三视图，熟练掌握三视图的知识是解题的关键．
2．（3分）（2023•南山区模拟）国家卫健委网站消息：截至2022年5月27日，31个省（自治区，直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗超过33亿剂次，用科学记数法表示33亿是（　　）
A．3.3×108 B．33×108 C．3.3×109 D．3.3×1010
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：33亿＝33×108＝3.3×109．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）（2023•南山区模拟）“天宫课堂”第二课3月23日在中国空间站开讲，包括六个项目：太空“冰雪”实验、液桥演示实验、水油分离实验、太空抛物实验、空间科学设施介绍与展示、天地互动环节．若随机选取一个项目写观后感，则恰好选到“实验”项目的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：
①符合条件的情况数目；
②全部情况的总数．
二者的比值就是其发生的概率的大小．
【解答】解：∵共6个项目，“实验”项目有太空“冰雪”实验、液桥演示实验、水油分离实验、太空抛物实验共4个，
∴随机选取一个项目写观后感，则恰好选到“实验”项目的概率是＝，
故选：C．
【点评】本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
4．（3分）（2023•南山区模拟）下列算式中，正确的是（　　）
A．（a+b）2＝a2+b2 B．5a2﹣3a2＝2a2
C． D．
【分析】根据完全平方公式、合并同类项法则、积的乘方以及负整数指数幂的意义即可求出答案．
【解答】解：A、原式＝a2+2aab+b2，故A不符合题意．
B、原式＝2a2，故B符合题意．
C、原式＝，故C不符合题意．
D、原式＝﹣，故D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查完全平方公式、合并同类项法则、积的乘方以及负整数指数幂的意义，本题属于基础题型．
5．（3分）（2021•台州）超市货架上有一批大小不一的鸡蛋，某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡蛋，设货架上原有鸡蛋的质量（单位：g）平均数和方差分别为，s2，该顾客选购的鸡蛋的质量平均数和方差分别为，s12，则下列结论一定成立的是（　　）
A．＜ B．＞ C．s2＞s12 D．s2＜s12
【分析】根据方差的意义求解．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
【解答】解：∵超市货架上有一批大小不一的鸡蛋，某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡蛋，
∴货架上原有鸡蛋的质量的方差s2＞该顾客选购的鸡蛋的质量方差s12，而平均数无法比较．
故选：C．
【点评】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
6．（3分）（2023•南山区模拟）实数a在数轴上的对应点的位置如图所示．若实数b满足﹣a＜b＜a，则b的值可以是（　　）

A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．2
【分析】根据点b在数轴上的位置可求．
【解答】解：将﹣a，b在数轴上表示出来如下：

∵﹣a＜b＜a．
∴b在﹣a和a之间．
选项中只有﹣1符合条件．
故选：C．
【点评】本题考查实数与数轴上的点的对应关系．找到﹣a的位置是求解本题的关键．
7．（3分）（2014•重庆）如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝90°，则∠AOC的大小是（　　）

A．30° B．45° C．60° D．70°
【分析】先根据圆周角定理得到∠ABC＝∠AOC，由于∠ABC+∠AOC＝90°，所以∠AOC+∠AOC＝90°，然后解方程即可．
【解答】解：∵∠ABC＝∠AOC，
而∠ABC+∠AOC＝90°，
∴∠AOC+∠AOC＝90°，
∴∠AOC＝60°．
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
8．（3分）（2023•南山区模拟）如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝8，以D为圆心，任意长为半径画弧，交AD于点P，交CD于点Q，分别以P、Q为圆心，大于PQ为半径画弧交于点M，连接DM并延长，交BC于点E，连接AE，恰好有AE⊥BC，则AE的长（　　）

A．3 B．4 C．5 D．
【分析】利用基本作图得到∠ADE＝∠CDE，再根据平行四边形的性质得到CD＝AB＝5，AD∥BC，接着证明CE＝CD＝5，然后利用勾股定理计算AE．
【解答】解：由作法得DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD＝AB＝5，AD∥BC，
∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CED，
∴∠CED＝∠CDE，
∴CE＝CD＝5，
∴BE＝BC﹣CE＝8﹣5＝3，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∴AE＝＝＝4．
故选：B．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了平行四边形的性质．
9．（3分）（2023•南山区模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c均为常数，a≠0）的顶点是P（s，t），且该抛物线经过点A（﹣2，y1），B（4，y2），若y1＞y2＞t，则s的取值范围是（　　）
A．﹣2＜s＜4 B．﹣1＜s＜2 C．s＜1 D．s＞1且s≠4
【分析】根据抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c均为常数，a≠0）的顶点是P（s，t），且该抛物线经过点A（﹣2，y1），B（4，y2），y1＞y2＞t，可以得到该抛物线的开口向上，s＞且s≠4，然后即可得到s的取值范围．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c均为常数，a≠0）的顶点是P（s，t），且该抛物线经过点A（﹣2，y1），B（4，y2），y1＞y2＞t，
∴该抛物线的开口向上，s＞且s≠4，
∴s＞1且s≠4，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
10．（3分）（2023•南山区模拟）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，BC＝4，tan∠ACB＝3，AD⊥BC于D，若将△ADC绕点D逆时针方向旋转得到△FDE，当点E恰好落在AC上，连接AF．则AF的长为（　　）

A． B． C． D．2
【分析】过点D作DH⊥AF于点H，由锐角三角函数的定义求出CD＝1，AD＝3，由勾股定理求出AC的长，由旋转的性质得出DC＝DE，DA＝DF＝3，∠CDE＝∠ADF，证出∠DCE＝∠DAF，设AH＝a，DH＝3a，由勾股定理得出a2+（3a）2＝32，求出a可得出答案．
【解答】解：过点D作DH⊥AF于点H，

∵∠ABC＝45°，AD⊥BC，
∴AD＝BD，
∵tan∠ACB＝＝3，
设CD＝x，
∴AD＝3x，
∴BC＝3x+x＝4，
∴x＝1，
∴CD＝1，AD＝3，
∴AC＝＝＝，
∵将△ADC绕点D逆时针方向旋转得到△FDE，
∴DC＝DE，DA＝DF＝3，∠CDE＝∠ADF，
∴∠DCE＝∠DAF，
∴tan∠DAH＝3，
设AH＝a，DH＝3a，
∵AH2+DH2＝AD2，
∴a2+（3a）2＝32，
∴a＝，
∴AH＝，
∴AF＝2AH＝．
故选：A．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，锐角三角函数的定义，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）（2019•衡阳）因式分解：2a2﹣8＝　2（a+2）（a﹣2）　．
【分析】首先提取公因式2，进而利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：2a2﹣8＝2（a2﹣4）＝2（a+2）（a﹣2）．
故答案为：2（a+2）（a﹣2）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．
12．（3分）（2023•南山区模拟）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 　x≤　．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：1﹣2x≥0，
解得：x≤，
故答案为：x≤．
【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
13．（3分）（2023•南山区模拟）一桶油漆能刷1500dm2的面积，用它恰好刷完10个同样的正方体形状盒子的全部外表面．设其中一个盒子的棱长为xdm，则可列出方程：　10×6x2＝1500　．
【分析】根据已知得出每个正方体形状的盒子的表面积，再利用正方体棱长与面积关系即可得出答案．
【解答】解：∵设其中一个盒子的棱长为xdm，则这个盒子的表面积为6x2平方分米，
∴根据一桶油漆可刷的面积，列出方程：
10×6x2＝1500，
故答案为：10×6x2＝1500．
【点评】本题考查立方体表面积公式，根据已知得出每个正方体的表面积是解题关键．
14．（3分）（2023•南山区模拟）一个正多边形内接于半径为4的⊙O，AB是它的一条边，扇形OAB的面积为2π，则这个正多边形的边数是 　8　．
【分析】设∠AOB＝α，根据扇形的面积列方程即可得到结论．
【解答】解：设∠AOB＝α，
根据题意得，＝2π，
∴α＝45°，
∴这个正多边形的边数是＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查了正多边形与圆，扇形面积的计算，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．
15．（3分）（2023•南山区模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝12，点N是AB边上的中点，点M是BC边上的一动点连接MN，将△BMN沿MN折叠，若点B的对应点B'，连接B'C，当△B'MC为直角三角形时，BM的长为 　5或　．

【分析】分情况讨论，当∠B'CM＝90°时，当∠B'MC＝90°时，当∠MB'C＝90°时，再分别利用翻折的性质和勾股定理求解即可．
【解答】解：由翻折可得BN＝B'N，
当∠B'CM＝90°时，
∵N为AB的中点，AB＝10，
∴AN＝BN＝B'N＝5，
∵B'N＜AD，即5＜12，
点B的对应点B'不能落在CD所在的直线上，
∴∠B'CM＝90°的情况不存在；
当∠B'MC＝90°时，∠B'MB＝90°，如图．

由翻折可得∠BMN＝∠B'MN＝45°，
∵∠B＝90°，
∴∠BNM＝∠B'NM＝45°，
∴BM＝BN＝AB＝5；
当∠MB'C＝90°时，如图．

则∠NB'M＝90°，
∴点N，B'，C三点在同一条直线上，
设BM＝B'M＝x，则CM＝12﹣x，
在Rt△BNC中，
NC＝＝13，
∴B'C＝CN﹣NB'＝13﹣5＝8，
在Rt△B'MC中，
由勾股定理可得x2+82＝（12﹣x）2，
解得x＝，
∴BM＝．
综上所述，满足条件的BM的值为5或．
故答案为：5或．
【点评】本题考查翻折变换（折叠问题）、勾股定理，根据题意画出图形并分情况讨论是解题的关键．
三、解答题（本题共7小题，其中第16题5分，第17题6分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题10分，第22题10分.共55分）
16．（5分）（2023•南山区模拟）计算：．
【分析】根据绝对值的性质、立方根的定义、特殊角的锐角三角函数、负整数指数幂的意义即可求出答案．
【解答】解：原式＝﹣+2﹣﹣
＝﹣．
【点评】本题考查绝对值的性质、立方根的定义、特殊角的锐角三角函数、负整数指数幂的意义，本题属于基础题型．
17．（6分）（2023•南山区模拟）化简求值：（+1）•，其中x＝1．
【分析】根据分式的运算法则进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝，
当x＝1时，
原式＝1．
【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
18．（8分）（2023•南山区模拟）如图，AB是垂直于水平面的建筑物，为测量AB的高度，小红从建筑物底端B出发，沿水平方向行走了52米到达点C，然后沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DC＝BC．在点D处放置测角仪，测角仪支架DE高度为0.8米，在E点处测得建筑物顶端A点的仰角∠AEF为27°（点A，B，C，D在同一平面内），斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，求建筑物AB的高度．（精确到个位）
（参考数据：sin＝27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）

【分析】过点E作EM⊥AB与点M，根据斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4可设DG＝x，则CG＝2.4x，利用勾股定理求出x的值，进而可得出CG与DG的长，故可得出EG的长．由矩形的判定定理得出四边形EGBM是矩形，故可得出EM＝BG，BM＝EG，再由锐角三角函数的定义求出AM的长，进而可得出结论．
【解答】解：过点E作EM⊥AB与点M，延长ED交BC于G，
∵斜坡CD的坡度（或坡比）i＝1：2.4，BC＝CD＝52米，
∴设DG＝x，则CG＝2.4x．
在Rt△CDG中，
∵DG2+CG2＝DC2，即x2+（2.4x）2＝522，解得x＝20，
∴DG＝20米，CG＝48米，
∴EG＝20+0.8＝20.8米，BG＝52+48＝100米．
∵EM⊥AB，AB⊥BG，EG⊥BG，
∴四边形EGBM是矩形，
∴EM＝BG＝100米，BM＝EG＝20.8米．
在Rt△AEM中，
∵∠AEM＝27°，
∴AM＝EM•tan27°≈100×0.51＝51米，
∴AB＝AM+BM＝51+20.8≈72（米）．
答：建筑物AB的高度约为72米．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
19．（8分）（2023•南山区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O与BC，AC分别相切于点E，F，BO平分∠ABC，连接OA．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若BE＝AC＝6，⊙O的半径是2，求图中阴影部分的面积．

【分析】（1）连接OE，过点O作OG⊥AB于点G，利用角平分线的性质和圆的切线的定义解答即可；
（2）连接OE，OF，过点O作OG⊥AB于点G，证明四边形OECF为正方形，则BC＝8，利用勾股定理求得AB，利用角平分线的定义，直角三角形的两个锐角互余三角形的内角和定理求出圆心角∠AOB的度数，依据S阴影＝S△OAB﹣S扇形OMN即可求得结论．
【解答】（1）证明：连接OE，过点O作OG⊥AB于点G，如图，

∵BC为⊙O的切线，
∴OE⊥BC．
∵BO平分∠ABC，OG⊥AB，OE⊥BC，
∴OE＝OG．
这样，直线AB经过半径OG的外端G，且垂直于半径OG，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：连接OE，OF，过点O作OG⊥AB于点G，如图，

∵⊙O与BC，AC分别相切于点E，F，
∴OE⊥BC，OF⊥AC，
∵∠ACB＝90°，
∴四边形OECF为矩形，
∵OE＝OF，
∴四边形OECF为正方形．
∴EC＝FC＝OE＝OF＝2．
∵BE＝AC＝6，
∴BC＝8，
∴AB＝＝10．
由（1）知：OG＝OE＝2，
∴OG＝OF，
∵OG⊥AB，OF⊥AC，
∴AO平分∠BAC，
∴∠OAB＝∠BAC．
∵BO平分∠ABC，
∴∠OBA＝∠ABC．
∵∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠BAC＝90°，
∴∠OAB+∠OBC＝（∠ABC+∠BAC）＝45°，
∴∠AOB＝135°．
∴S阴影＝S△OAB﹣S扇形OMN＝AB•OG﹣＝10﹣．
【点评】本题主要考查了圆的切线的定义，圆的切线的性质，角平分线的定义与性质，勾股定理，三角形的内角和定理，直角三角形的性质，正方形的判定与性质，扇形、三角形的面积，熟练应用圆的切线的性质是解题的关键．
20．（8分）（2023•南山区模拟）端午节前夕，某大型超市采购了一批礼盒进行销售，这批礼盒有甲型和乙型两种共600个，其进价与标价如表所示（单位：元）：

进价
标价
甲型
90
120
乙型
50
60
（1）该超市将甲型礼盒按标价的九折销售，乙型礼盒按标价进行销售，当销售完这批礼盒后可获利9200
元，求该商场购进甲型、乙型这两种礼盒各多少个？
（2）这批礼盒销售完毕后，该超市计划再次按原进价购进甲、乙两种礼盒共200个，且均按标价进行销
售，请问如何进货能保证这批礼盒销售完之后获得利润最大，且利润不能超过成本的25%．
【分析】（1）设该商场购进A型礼盒x个，B型音箱的礼盒y个，利用该商场购进这两种礼盒共600个和销售完这批礼盒后可以获利9200元列方程组，然后解方程组即可；
（2）设该商场购进A型礼盒a个，则B型音箱的礼盒为（200﹣a）个，根据题意可得a的不等式，再解不等式即可．
【解答】解：（1）设该商场购进A型礼盒x个，B型音箱的礼盒y个，根据题意得：
，
解得，
答：该商场购进A型礼盒400个，B型音箱的礼盒为200个；
（2）设该商场购进A型礼盒a个，则B型音箱的礼盒为（200﹣a）个，根据题意得：
（120﹣90）a+（60﹣50）（200﹣a）≤25%×[90a+50（200﹣a）]，
解得a≤50，
因为每个A型礼盒的利润比B型礼盒的利润高，
所以当a＝50时利润最大，
此时200﹣50＝150（个），
答：该商场购进A型礼盒50个，B型礼盒150个时，能保证这批礼盒销售完之后获得利润最大，且利润不能超过成本的25%．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，根据题意找出等量关系，列出方程组和不等式是解答本题的关键．
21．（10分）（2023•南山区模拟）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式一一利用函数图象研究其性质一一运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义．
结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题：
在函数y＝|kx﹣3|+b中，当x＝2时，y＝﹣4；当x＝0时，y＝﹣1．
（1）求这个函数的表达式；
（2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质；
（3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集．
（4）若方程|x2﹣6x|﹣a＝0有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 　0＜a＜9　．

【分析】（1）把x＝2，y＝﹣4；x＝0，y＝﹣1代入y＝|kx﹣3|+b求解即可；
（2）由y＝|﹣3|﹣4，得出，再根据函数的图象写出函数的性质；
（3）根据题意画出图象，再根据图象得出不等式的解集；
（4）根据题意画出图象，再根据方程|x2﹣6x|﹣a＝0有四个不相等的实数根，得出结果．
【解答】解：（1）∵在函数y＝|kx﹣3|+b中，当x＝2时，y＝﹣4；当x＝0时，y＝﹣1，
∴，
解得，
∴这个函数的表达式是y＝|﹣3|﹣4；
（2）∵y＝|﹣3|﹣4，
∴，
∴函数y＝x﹣7过点（2，﹣4）和点（4，﹣1）；
函数y＝﹣x﹣1过点（0，﹣1）和点（﹣2，2），
该函数的图象如图所示，性质：当x＞2时，y的值随x的增大而增大；

（3）由函数的图象可得，不等式的解集是：1≤x≤4；
（4）由|x2﹣6x|﹣a＝0得a＝|x2﹣6x|，作出y＝|x2﹣6x|的图象，

由图象可知，要使方程|x2﹣6x|﹣a＝0有四个不相等实数根，则0＜a＜9，
故答案为：0＜a＜9．
【点评】本题考查了一次函数的图象和性质及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意准确画出图象．
22．（10分）（2023•南山区模拟）（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC，AB上，DQ⊥AE于点O，点G，F分别在边CD，AB上，GF⊥AE．求证：AE＝FG；
（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD中，＝k（k为常数）．将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP，当时k＝，若tan∠CGP＝，GF＝2，求CP的长．

【分析】（1）先证△ABE≌△DAH，可得AE＝DQ．再证四边形DQFG是平行四边形，即可解决问题．
（2）过G作GM⊥AB于M．证明△ABE∽△GMF，即可解决问题．
（3）过P作PM⊥BC交BC的延长线于M．利用相似三角形的性质求出PM，CM，即可解决问题．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAQ，
∴∠QAO+∠OAD＝90°，
∵AE⊥DQ，
∴∠ADO+∠OAD＝90°，
∴∠QAO＝∠ADO，
∴△ABE≌△DAQ（ASA），
∴AE＝DQ，
∵DQ⊥AE，GF⊥AE，
∴DQ∥GF，
∵FQ∥DG，
∴四边形DQFG是平行四边形，
∴GF＝DQ，
∵AE＝DQ，
∴AE＝FG；
（2）结论：＝k．理由如下：
如图2中，过G作GM⊥AB于M，
∵AE⊥GF，
∴∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°，
∴∠BAE+∠AFO＝90°，∠AFO+∠FGM＝90°，
∴∠BAE＝∠FGM，
∴△ABE∽△GMF，
∴，
∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90°，
∴四边形AMGD是矩形，
∴GM＝AD，
∴＝k；
（3）解：如图3中，过点P作PM⊥BC交BC的延长线于M．
∵FB∥GC，FE∥GP，
∴∠CGP＝∠BFE，
∴tan∠CGP＝tan∠BFE＝＝，
∴可以假设BE＝4t，BF＝3t，EF＝AF＝5t，
∵，FG＝2，
∴AE＝，
∴（4t）2+（8t）2＝（）2，
∴t＝或﹣（舍弃），
∴BE＝，AB＝，EF＝AF＝，BF＝2，
∵BC：AB＝3：4，
∴BC＝4，
∴CE＝BC﹣BE＝4﹣＝，AD＝PE＝BC＝4，
∵∠EBF＝∠FEP＝∠PME＝90°，
∴∠FEB＝∠EPM，
∴△FEB∽△EPM，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴EM＝，PM＝，
∴CM＝EM﹣CE＝﹣＝，
∴CP＝＝＝．



【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
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