2019年黑龙江省龙东地区中考数学试卷【含答案】

2019年黑龙江省龙东地区中考数学试卷

一、填空题（每题3分，满分30分）

1．2019年政府工作报告中公布了总额近20000亿元的大规模减税降费系列举措．将数据20000亿用科学记数法表示为　         　．

2．函数中，自变量x的取值范围是 　      　．

3．如图，在平行四边形ABCD中，在不添加任何辅助线的情况下，请添加一个条件　                 　，使平行四边形ABCD是矩形．

4．在不透明的盒子中，装有除颜色外完全相同的2个白球、3个黄球，从盒中随机摸出1个球，则摸出的球是黄球的概率是　                　．

5．关于x的一元一次不等式组的解集为　      　．

6．如图，在直径为10cm的⊙O中，BC是弦，半径OA⊥BC于点D，AD＝2cm，则BC的长为　   　cm．

7．若一个圆锥底面圆的周长是4πcm，母线长是6cm，则该圆锥的侧面展开图圆心角度数是　      　度．

8．如图，正方形ABCD的边长为4，点P是对角线AC上一动点，点E是边BC的中点，则PB+PE的最小值为　              　．

9．一张直角三角形纸片ABC，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点D为BC边上的任一点，沿过点D的直线折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，当△BDE是直角三角形时，则CD的长为　                  　．

10．如图，四边形OAA1B1是边长为1的正方形，以对角线OA1为边作第二个正方形OA1A2B2．连接AA2，得到△AA1A2；再以对角线OA2为边作第三个正方形OA2A3B3，连接A1A3，得到△A1A2A3；再以对角线OA3为边作第四个正方形，连接A2A4，得到△A2A3A4……记△AA1A2、△A1A2A3、△A2A3A4的面积分别为S1、S2、S3，如此下去，则Sn＝　       　．

二、选择题（每题3分，满分30分）

11．下列各运算中，计算正确的是（　　）

A．a2+2a2＝3a4 B．a10÷a2＝a5 

C．（a﹣b）2＝a2﹣b2            D．（﹣2a2）3＝﹣8a6

12．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，其中是中心对称图形的是（　　）

A． B． 

C． D．

13．如图是由若干个相同的小正方体搭成一个几何体的主视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最多是（　　）

A．6 B．5 C．4 D．3

14．某班在阳光体育活动中，测试了五位学生的“一分钟跳绳”成绩，得到五个各不相同的数据．在统计时，出现了一处错误：将最低成绩写得更低了，则计算结果不受影响的是（　　）

A．平均数 B．中位数 C．方差 D．极差

15．为提高人民生活幸福指数，某药厂决定降低药品的价格，已知某药品2016年的售价是100元，2018年的售价是81元，若年平均降低率相同，则年平均降价率是（　　）

A．10% B．11% C．12% D．8.1%

16．如图，已知函数y1＝ax+b和y2＝kx图象交于点P（﹣4，﹣2），当y1＜y2时，根据图象可得x的取值范围是（　　）

A．x＜﹣4 B．x＞﹣4 C．﹣4＜x＜0 D．x＜0

17．已知关于x的分式方程＝1的解是正数，则m的取值范围是（　　）

A．m≤3 B．m＜3 C．m＞﹣1 D．m≥﹣1

18．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB：BC＝2：1，且BE∥AC，CE∥DB，连接DE，则tan∠EDC＝（　　）

A． B． C． D．

19．某学校计划用17件同样的奖品全部用于奖励在“扫黑除恶宣传”活动中表现突出的班级，一等奖奖励3件，二等奖奖励2件，则分配一、二等奖个数的方案有（　　）

A．1种 B．2种 C．3种 D．4种

20．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在直线y＝﹣2x+8上，且点P的横坐标是2，过点P分别向x轴、y轴作垂线，交反比例函数y＝的图象于点A、点B，则四边形OAPB的面积是（　　）

A．4 B． C． D．5

三、解答题（满分60分）

21．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝6sin30°．

22．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点O（0，0）、A（4，1）、B（4，4）均在格点上．

（1）画出△OAB关于y轴对称的△OA1B1，并写出点A1的坐标；

（2）画出△OAB绕原点O顺时针旋转90°后得到的△OA2B2，并写出点A2的坐标；

（3）在（2）的条件下，求线段OA在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．

23．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A（﹣1，0）和B（2，3）两点，抛物线与y轴交于点C．

（1）求一次函数和二次函数的解析式；

（2）求△ABC的面积．

24．“世界读书日”前夕，某校开展了“读书助我成长”的阅读活动．为了了解该校学生在此次活动中课外阅读书籍的数量情况，随机抽取了部分学生进行调查，将收集到的数据进行整理，绘制出两幅不完整的统计图，请根据统计图信息解决下列问题：

（1）求本次调查中共抽取的学生人数；

（2）补全条形统计图；

（3）在扇形统计图中，阅读2本书籍的人数所在扇形的圆心角度数是　      　；

（4）若该校有1200名学生，估计该校在这次活动中阅读书籍的数量不低于3本的学生有多少人？

25．小明匀速跑步从甲地到乙地，在途中因故停留了一段时间后，仍按原速跑步，小强骑自行车比小明晚出发一段时间，以400米/分的速度匀速从乙地到甲地，两人距离乙地的路程y（米）与小明出发后所用时间x（分钟）之间的函数图象如图所示，

（1）求小明跑步的速度；

（2）求小明停留结束后y与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围；

（3）求小明与小强相遇时x的值．

26．如图，BD是正方形ABCD的对角线，线段BC在其所在的直线上平移，将平移得到的线段记为PQ，连接PA，过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP．

（1）如图①所示，求证：AP＝OA；

（2）如图②所示，PQ在BC的延长线上，如图③所示，PQ在BC的反向延长线上，猜想线段AP、OA之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．

27．为庆祝中华人民共和国七十周年华诞，某广场舞团队准备购买甲、乙两种道具参加演出，已知购买2件甲种道具、1件乙种道具共需35元；购买1件甲种道具、3种乙种道具共需花费30元．

（1）求购买一件甲种道具，一件乙种道具各需多少元？

（2）若该团体计划购买这两种道具共120件，投入资金不少于956元又不多于1000元，设购买甲种道具x件，求有多少种购买方案？

（3）设投入资金为W元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要投入的资金最少？最少资金是多少元？

28．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB在x轴上，AB、BC的长分别是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根（BC＞AB），OA＝2OB，边CD交y轴于点E，动点P以每秒1个单位长度的速度，从点A出发沿折线段AD﹣DE向点E运动，运动的时间为t（0≤t≤6）秒，设△BPE的面积为S．

（1）求点D的坐标；

（2）求S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（3）在点P运动的过程中，是否存在点P，使△BEP是以BE为腰的等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

1．2×1012．2．x≥3．3．∠ABC＝90°．4．．5．x＞5．

6．8．7．120．8．2．9．3或．

10．解：∵四边形OAA1B1是正方形，

∴OA＝AA1＝A1B1＝1，

∴S1＝×1×1＝＝21﹣2，

∵∠OAA1＝90°，

∴OA12＝12+12＝2，

∴OA1＝，

∴OA2＝A2A3＝OA1＝2，

∴A2B1＝2﹣1＝1，

∴S2＝×2×1＝1＝22﹣2，

同理可求：S3＝×2×2＝2＝23﹣2，S4＝4＝24﹣2，…，

∴Sn＝2n﹣2，

11．D．12．D．13．A．14．B．15．A．

16．B．17．C．18．B．19．C．20．A．

21．解：原式＝•

＝•

＝，

当x＝6×＝3时，原式＝＝2．

22．解：（1）如右图所示，

点A1的坐标是（﹣4，1）；

（2）如右图所示，

点A2的坐标是（1，﹣4）；

（3）∵点A（4，1），

∴OA＝，

∴线段OA在旋转过程中扫过的面积是：＝．

23．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A（﹣1，0）和B（2，3）两点

∴，

解得：，

∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，

设直线AB的解析式为y＝mx+n（m≠0），则

，

解得，

∴直线AB的解析式为y＝x+1；

（2）令x＝0，则y＝﹣x2+2x+3＝3，

∴C（0，3），

则OC＝3，BC＝2，BC∥x轴，

∴S△ABC＝×BC×OC＝＝3．

24．解：（1）本次调查中共抽取的学生人数为15÷30%＝50（人）；

（2）3本人数为50×40%＝20（人），

则2本人数为50﹣（15+20+5）＝10（人），

补全图形如下：

（3）在扇形统计图中，阅读2本书籍的人数所在扇形的圆心角度数是360°×＝72°，

故答案为：72°；

（4）估计该校在这次活动中阅读书籍的数量不低于3本的学生有1200×＝600（人）．

25．解：（1）（1200﹣600）÷4＝600÷4＝150（米/分钟）

答：小明跑步的速度是150米/分钟；

（2）点D的横坐标为：6+4＝10，

则点D的坐标为（10，0）

设小明停留结束后y与x之间的函数解析式是y＝kx+b，

，得，

即小明停留结束后y与x之间的函数解析式是y＝﹣150x+1500（6≤x≤10）；

（3）小强从乙地到甲地的时间为：1200÷400＝3（分钟），

则点F的坐标为（9，1200），

设线段EF对应的函数解析式为y＝mx+n，

得，

即线段EF对应的函数解析式为y＝400x﹣2400，

令﹣150x+1500＝400x﹣2400，

解得，x＝

答：当x＝时，小明与小强相遇．

26．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBD＝45°，

∵QO⊥BD，

∴∠BOQ＝90°，

∴∠BQO＝∠CBD＝45°，

∴OB＝OQ，

∵PQ＝BC，

∴AB＝PQ，

在△ABO和△PQO中，，

∴△ABO≌△PQO（SAS），

∴OA＝OP，∠AOB＝∠POQ，

∵∠BOP+∠POQ＝90°，

∴∠BOP+∠AOB＝90°，即∠AOP＝90°，

∴△AOP是等腰直角三角形，

∴AP＝OA；

（2）解：PQ在BC的延长线上，线段AP、OA之间的数量关系为：AP＝OA；理由如下：

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBD＝45°，

∵QO⊥BD，

∴∠BOQ＝90°，

∴∠BQO＝∠CBD＝45°，

∴OB＝OQ，

∵PQ＝BC，

∴AB＝PQ，

在△ABO和△PQO中，，

∴△ABO≌△PQO（SAS），

∴OA＝OP，∠AOB＝∠POQ，

∵∠BOP+∠POQ＝90°，

∴∠BOP+∠AOB＝90°，即∠AOP＝90°，

∴△AOP是等腰直角三角形，

∴AP＝OA；

PQ在BC的反向延长线上，线段AP、OA之间的数量关系为：AP＝OA；理由如下：

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBD＝45°，

∵QO⊥BD，

∴∠BOQ＝90°，

∴∠BQO＝∠CBD＝∠OBQ＝45°，

∴OB＝OQ，∠ABO＝∠PQO＝135°，

∵PQ＝BC，

∴AB＝PQ，

在△ABO和△PQO中，，

∴△ABO≌△PQO（SAS），

∴OA＝OP，∠AOB＝∠POQ，

∵∠BOP﹣∠POQ＝90°，

∴∠BOP﹣∠AOB＝90°，即∠AOP＝90°，

∴△AOP是等腰直角三角形，

∴AP＝OA．

27．解：（1）设购买一个甲种文具a元，一个乙种文具b元，由题意得：

，解得，

答：购买一个甲种文具15元，一个乙种文具5元；

（2）根据题意得：

956≤15x+5（120﹣x）≤1000，

解得35.6≤x≤40，

∵x是整数，

∴x＝36，37，38，39，40．

∴有5种购买方案；

（3）W＝15x+5（120﹣x）＝10x+600，

∵10＞0，

∴W随x的增大而增大，

当x＝36时，W最小＝10×36+600＝960（元），

∴120﹣36＝84．

答：购买甲种文具36个，乙种文具84个时需要的资金最少，最少资金是960元．

28．解：（1）∵x2﹣7x+12＝0，

∴x1＝3，x2＝4，

∵BC＞AB

∴BC＝4，AB＝3，

∵OA＝2OB，

∴OA＝2，OB＝1，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC＝4，

∴点D（﹣2，4）

（2）如图，

当0≤t＜4时，AP＝t，DP＝4﹣t，

∴S＝3×4﹣×3×t﹣×2×（4﹣t）﹣×1×4＝﹣+6；

当4≤t＜6时，PE＝6﹣t，

∴S＝×PE×OE＝×（6﹣t）×4＝12﹣2t；

综上所述：S＝

（3）∵OB＝1，OE＝4，

∴BE＝＝＝，

若BE＝EP＝，

∴DE2+DP2＝EP2＝17，

∴4+DP2＝17，

∴DP＝，

∴点P（﹣2，4﹣）

若BE＝BP＝，

∴AB2+AP2＝BP2＝17，

∴9+AP2＝17

∴AP＝2，

∴点P（﹣2，），

综上所述：当点P坐标为（﹣2，4﹣）或（﹣2，）时，使△BEP是以BE为腰的等腰三角形．