初中北师大版2 矩形的性质与判定第3课时教案

这是一份初中北师大版2 矩形的性质与判定第3课时教案，共8页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学用具，教学过程设计等内容，欢迎下载使用。

第3课时
一、教学目标
1.进一步巩固应用矩形的性质定理和判定定理，提升学生的应用能力.
2.能够运用矩形的性质和判定定理进行证明和计算；提高实际动手操作能力
3.经历矩形性质定理及判定定理的应用过程，体会数形结合、转化等思想方法.
4.通过学生独立完成证明的过程，让学生体会数学是严谨的科学，增强学生对待科学的严谨治学态度，从而养成良好的习惯.
二、教学重难点
重点：巩固应用矩形的性质定理和判定定理.
难点：运用矩形的性质和判定定理进行证明和计算.
三、教学用具
电脑、多媒体、课件、教学用具等
四、教学过程设计
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
环节一
创设情境
【复习回顾】
教师活动：先提出问题让学生自由说一说，并填写表格，动画出示图形和符号语言.
问题1：什么是矩形？矩形的性质有哪些？
预设答案：
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
矩形的性质：①具有平行四边形的所有性质，既是轴对称图形，又是中心对称图形.
②矩形的四个角都是直角.
③矩形的对角线互相平分且相等.
追问： 矩形的判定方法有哪些？
预设答案：
矩形的判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形②三个角是直角的四边形是矩形 ③对角线相等的平行四边形是矩形
【试一试】
如图所示：在ABCD 中添加一个条件使其成为矩形：
添加方式1：_________________ .
添加方式2：_________________ .
预设答案：
方式1：有一个角是直角；
方式2：AC= BD
学生回忆并回答,为本课的学习提供迁移或类比方法.
学生自主完成
通过复习使学生更好的掌握矩形的性质和判定方法，同时为本节课的学习做铺垫.
强化复习矩形的判定.
环节二 探究新知
【合作探究】
教师活动：探究一般的四边形各边中点连线所组成的四边形(中点四边形)，是平行四边形，再探究添加对角线垂直的条件，得出中点四边形是矩形.一方面，加深了对矩形判定方法的理解，另一方面拓展知识面.
问题：如图，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH是什么四边形？

预设答案：四边形EFGH是平行四边形.
追问：你能证明吗？
证明：
连接AC.
∵点E、F、G、H为各边中点，
∴EF= AC，EF∥AC，HG=AC，HG∥AC
∴EF=HG，EF∥HG
∴四边形EFGH是平行四边形
【思考】
在上述问题条件下，要使四边形EFGH是矩形还需要添加什么条件？
预设答案：对角线互相垂直，即AC⊥BD.
追问：你能证明吗？
证明：∵点E、F、G、H为各边中点，
∴EF= AC，EF∥AC，HG=AC，HG∥AC，EH∥BD.
∴EF=HG，EF∥HG
∴四边形EFGH是平行四边形
当AC⊥BD时，BD⊥EF，∴EH⊥EF，
∴四边形EFGH为矩形
追问：你发现了什么？
【归纳】
顺次连接四边形的各边中点，得到四边形是平行四边形，若四边形的对角线垂直，则得到的四边形是矩形.
学生思考，猜测.
学生思考，动笔尝试证明.
学生思考回答
学生思考，动笔尝试证明.
通过探究中点四边形是平行四边形和矩形的条件，培养学生探究问题和解决问题的能力，整个探究过程，遵循从一般到特殊，从简单到难的发展规律.进一步强化对矩形的判定的方法的理解及掌握.
通过归纳进一步熟悉中点四边形是平行四边形和矩形的条件，培养学生归纳概括的能力.
环节三 应用新知
【典型例题】
教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.
例3 如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，求AE的长.
分析：在矩形ABCD中，∠BAD=90°，AC=BD，
AO=BO=CO=DO，由AE⊥BD，ED=3BE，易证△ABO是等边三角形，继而求得∠ABO=60°，在△ABD中，可得∠ADB=30°，再由△ADE是直角三角形及30°角所对的直角边是斜边的一半求得AE的长为3.
解：∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴∠BAD = 90°(矩形的四个都是直角)，
AO = BO = DO =BD(矩形的对角线相等且互相平分).
∵ED = 3BE，∴BE = OE.
又∵AE⊥BD，∴AB = AO.
∴AB = AO = BO，即 △ABO是等边三角形.
∴∠ABO = 60°.
∴∠ADB = 90°-∠ABO = 90°-60°= 30°.
∴AE =AD =×6 = 3.
例4 如图，在△ABC 中，AB = AC，AD 为∠BAC 的平分线，AN 为△ABC 外角∠CAM 的平分线，CE⊥AN，垂足为 E. 求证：四边形 ADCE 是矩形.
分析：由AD 平分∠BAC，AN 平分∠CAM，
∠BAC+∠CAM=180°，可得∠DAE=90°.在△ABC中，由AB = AC，AD为∠BAC 的平分线，可得∠ADC=90°，再由CE⊥AN，可得∠AEC=90°，从而得证四边形ADCE是矩形.
证明：∵AD 平分∠BAC，AN 平分∠CAM，
∴∠CAD =∠BAC，∠CAN =∠CAM.
∴∠DAE =∠CAD +∠CAN
= (∠BAC +∠CAM) =×180°= 90°.
在△ABC中，∵AB = AC，AD为∠BAC 的平分线，
∴AD⊥BC. ∴∠ADC = 90°.
又∵CE⊥AN，∴∠CEA = 90° .
∴四边形 ADCE 为矩形(有三个角是直角的四边形是矩形).
【想一想】
教师活动：提出两个问题，让学生从图形中发现一些结论，并自己尝试证明.
在例题4 中，若连接 DE，交 AC 于点 F.
(1)试判断四边形 ABDE 的形状，并证明你的结论；
(2)线段 DF 与 AB 有怎样的关系？请证明你的结论.
预设：(1)四边形 ABDE 是平行四边形.
(2)DF∥AB，且DF = AB.
思考：说一说你的理由？
展示证明过程：
证明：(1)∵△ABC 是等腰三角形且AD⊥BC，
∴BD = CD,
又∵四边形ADCE是矩形，
∴AE = CD，AE∥CD，
∴BD=AE, BD∥AE,
∴四边形 ABDE 是平行四边形.
(2)四边形 ABDE 是平行四边形，
∴AC = DE, ∴DF = AC.
又∵AB = AC，∴ DF = AB.
∵四边形 ABDE 是平行四边形.
∴DF∥AB，且DF = AB.
明确例题的做法
观察思考
自主证明，再说一说.
让学生在应用的过程中进一步加深对矩形的性质和判定定理的认识和理解，培养学生的应用意识.
让学生从图形中发现结论，提高他们发现问题和解决问题的能力.
环节四 巩固新知
教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.
1.已知：如图，四边形 ABCD 由两个全等的等边三角形 ABD 和 CBD 组成，M，N 分别是 BC 和 AD 的中点. 求证：四边形BMDN是矩形.
2.如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，∠ACB = 30°，BD = 4，求矩形 ABCD 的面积.

3. 已知：如图，在△ABC中，AB = AC ，D 为 BC 的中点，四边形 ABDE 是平行四边形. 求证：四边形 ADCE 是矩形.

答案：
1.证明:∵ △ABD ≌ △CBD ,且△ABD ，△CBD 为等边三角形，M ，N 分别为 BC，AD 中点，
∴ MD ⊥BC，BN ⊥AD .
∴∠DMB＝ 90°，∠DNB ＝ 90°.
∴∠DBM ＝60°，∠DBN ＝30°.
∴∠NBM ＝90°.
∴四边形 BMDN 是矩形．
2. 解：在矩形ABCD中，
∠ABC=90°，AC=BD
又∵∠ACB ＝ 30°，
∴AC＝BD ＝4，AB＝2.
∴在Rt△ABC中，

∴S矩形ABCD ＝AB·BC =．
3. 证明: 在△ABC 中, AB＝AC, D 为 BC 的中点,
∴∠ADC ＝ 90°, BD ＝ CD ．
又∵四边形 ABDE 是平行四边形，
∴四边形 ADCE 为平行四边形．
又∵∠ADC ＝ 90°,
∴四边形 ADCE 为矩形．
自主完成练习，然后集体交流评价.
通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
环节五 课堂小结
思维导图的形式呈现本节课的主要内容：
学生尝试回顾本节课所讲的内容
通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.
环节六
布置作业
教科书第19页
习题1.6 第2、4题
学生课后自主完成.
通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.