北师大版九年级上册5 一元二次方程的根与系数的关系教学设计及反思

这是一份北师大版九年级上册5 一元二次方程的根与系数的关系教学设计及反思，共7页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学用具，教学过程设计等内容，欢迎下载使用。

一、教学目标
1.了解一元二次方程的根与系数的关系.
2.利用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题.
3.经历观察、猜想、验证一元二次方程根与系数的关系的过程，体会从特殊到一般的思想.
4.增强学习的信心，培养科学探究精神.
二、教学重难点
重点：了解一元二次方程的根与系数的关系.
难点：利用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题.
三、教学用具
电脑、多媒体、课件、教学用具等
四、教学过程设计
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
环节一
创设情境
【复习回顾】
教师活动：先让学生尝试说出一元二次方程的一般式及求根公式，并提出问题，加深对判别式的理解，为新课的学习打下基础.
想一想：一元二次方程的一般形式是怎样的？
预设：ax2 + bx + c = 0 ( a≠0 )
追问：你知道它的求根公式是什么吗？
预设：
强调适用的条件：Δ= b2–4ac≥0.
想一想：当Δ＞0，Δ=0，Δ＜0 根的情况如何？
预设：Δ> 0 时，方程有两个不相等的实数根；
Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根；
Δ< 0 时，方程没有实数根.
思考并举手回答.
复习回顾已学知识，为新课的学习做准备.
环节二 探究新知
教师活动：先让学生选择自己喜欢的方法解方程完成表格填写，再观察表格找到根与系数之间的关系，并将其推广到一般式，探究一般式的根与系数的关系.
【做一做】
同学们，选择自己喜欢的方法解下列方程，并完成下表：
(1) x2–2x+1=0 (2) x2 – x–1=0 (3) 2x2–3x +1=0
预设：选择自己喜欢的方法解一元二次方程，
观察上述表格，回答下列问题：
(1)每个方程的两根之和与它的系数a、b、c有什么关系？
预设：
(2)每个方程的两根之积与它的系数a、b、c有什么关系？
预设：
思考：对于任何一个一元二次方程，这种关系都成立吗？
【猜想】
如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2–4ac ≥ 0 时，有两个根分别为x1，x2，那么：
【证明】
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2–4ac ≥ 0 时，有两个根分别为：
归纳：根与系数的关系：
如果方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根为x1，x2，那么：
.
强调：两个实数根的前提条件为b2–4ac≥0.
根与系数的关系实际上就是我们经常所说的韦达定理，它是由法国数学家韦达发现的.
独立完成，并交流讨论，完成表格填写
观察与思考
并说一说
尝试说一说
试着写出证明过程
交流讨论，与教师一起归纳总结
通过做一做，一方面复习一元二次方程的解法，另一方面为探究一元二次方程根与系数的关系打下基础.
让学生经历观察、猜想、验证的过程，从特殊到一般，得出两根之和与系数之间的关系、两根之积与系数之间的关系.
环节三 应用新知
【典型例题】
教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.
例 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：

(1) x2 +7x +6 = 0 ;

(2) 2x2 – 3x–2 = 0 .

分析：(1) ①找对应系数
a=1，b=7，c=6；
②判断b2 – 4ac≥0；
③确定方程根的情况；
④根据根与系数的关系求解.
(2) ①找对应系数
a=2，b=–3，c=–2；
②判断b2 – 4ac≥0；
③确定方程根的情况；
④根据根与系数的关系求解.
解：(1)这里 a = 1，b =7，c =6.
Δ =b2–4ac = 72–4×1×6 = 49–24 = 25 > 0
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是x1，x2，那么.
x1+x2=–7，x1x2 =6.
(2)这里 a=2，b=–3，c=–2.
Δ =b2–4ac = (–3)2–4×2×(–2) = 9+16 = 25 > 0，
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是x1，x2，那么.
x1+x2=，x1x2 =–1.
想一想：应用根与系数的关系需注意什么？
预设：①方程必须是一元二次方程的一般形式；
②判断b2–4ac≥0；
③使用x1+x2时， 注意“－ ”不要漏写.
明确例题的做法
自由说一说
让学生在探究过程中进一步熟练根与系数的关系，并学会应用其解决简单的问题，培养学生的应用意识.
明确应用根与系数关系时应注意的问题.
环节四 巩固新知
教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.
1.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：
(1)x2–3x–1=0；
(2) 3x2+2x–5=0.
2.小明和小华分别求出了方程 9x2+6x–1=0 的根.小明：x1 = x2 =；小华：x1 =，x2 = .他们的答案正确吗？说说你的判断方法.
3.已知方程 5x2+kx–6 = 0 的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值.
4.如果一个三角形两边的长分别等于一元二次方程 x2–17x+66 = 0 的两个实数根，那么这个三角形的第三边的长可能是 20 吗？为什么？
答案：
1.解：(1)这里 a = 1，b = –3，c = –1.
Δ =b2–4ac = (–3)2–4×1×(–1) = 9+4 = 13 > 0，
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是x1，x2，那么.
x1+x2=3 ，x1x2 = –1.
(2)这里 a = 3，b = 2，c = –5.
Δ =b2–4ac = 22–4×3×(–5) = 4+60 = 64 > 0，
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是x1，x2，那么.
x1+x2= ，x1x2 =.
2. 解：由题意，可得
x1+x2=，x1x2 =.
小明和小华求得的根与算式都不符合.
∴小明和小华的答案都不正确.
3. 解：根据根与系数的关系，得
∵其中一个根为2，因此可以设 x1= 2，
解这个方程组得
所以另一个根为，k的值为–7.
4.解：由题意，可得 x1+x2= 17，
即两边长之和为17，17小于20，
所以这个三角形的第三边的长不可能是20.
自主完成练习，然后集体交流评价.
通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
环节五 课堂小结
思维导图的形式呈现本节课的主要内容：
学生尝试回顾本节课所讲的内容
通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.
环节六
布置作业
教科书第51页 习题2.8 第1、2题.
学生课后自主完成.
通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.