初中数学北师大版九年级上册4 探索三角形相似的条件第3课时教学设计

教学环节

教师活动

学生活动

设计意图

环节一

创设情境

【复习回顾】

教师活动：引导学生回忆上节课学习的内容，提问学生回答下面问题.

问题1：什么叫相似三角形?

预设：三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.

问题2：我们已经学习了哪些相似三角形的判定方法？

预设：三角分别相等、三边成比例.

两角分别相等的两个三角形相似.

两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.

3.这些判定方法有没有什么共同特点?

都要有角的相等关系，至少要有一个角是相等的.

教师活动：进一步提出思考：如果没有角相等的条件，要如何判定两个三角形相似？类似于判定三角形全等的 SSS 方法，有两个三角形的三边成比例，那么这两个三角形一定相似吗？

回忆相似三角形的定义及判定定理1、2，并踊跃回答问题1、2、3.

在上一节的基础上，引出本节课内容，继续探究三角形相似的判别方法.

环节二 探究新知

【做一做】

 画△ABC与△A′B′C′，使

都等于给定的值2.设法比较∠A与∠A′的大小，△A′B′C′与△ABC相似吗？说明你的理由.   

改变比值的大小，再试一试.

预设：两个三角形相似

教师活动：引导学生自主画图探索，让学生展示画出的图形，并说明测量结果及结论.

然后演示两个三角形相似的动画，说明两个三角形相似.

【探究】

 画△ABC与△A′B′C′，使

都等于给定的值k.设法比较∠A与∠A′的大小，△ABC与△A′B′C′相似吗？说说你的理由.  

    改变k值的大小，再试一试.

教师活动：播放已知三边成比例，测量其中一角的演示动画，观察任意改变角度值及k值，另一角仍然相等，指导学生注意观察，判断两个三角形是否相似.

    预设：两个三角形相似.

    【归纳】

相似三角形的判定定理3：

三边成比例的两个三角形相似.

符号语言：

已知 △ABC与△A′B′C′，若则有△ABC∽△A′B′C′.

教师活动：说明这个判定定理可以进行证明，会在后面章节的内容中学习.

【想一想】

 我们学习了哪些判断三角形相似的方法？它们各自有哪些特点？

【归纳】

教师活动：以提问学生回答的形式总结三角形相似的判别方法.并指出定理间的条件相似性.

    【议一议】

如图，△ABC与△A′B′C′相似吗？你有哪些判断方法？

教师活动：指导学生从学习过的相似三角形判定定理出发，强调方法的不唯一性.

预设：

方法1：通过勾股定理分别计算两个三角形三边的长度，并计算对应边的比值，利用判定定理3判断.

方法2：通过图形可以看出∠A与∠A′均等于45°，计算AB、A′B′、AC、A′C′的长度，求出的值，利用判定定理2判断.

方法3：借助辅助线，先证明∠C=∠C′，再结合∠A=∠A′，利用判定定理1判断.

【拓展】

教师总结判定两个三角形相似的思路，重点说明不同条件联想不同的判别方法，寻找不同的条件，灵活运用条件和定理解决问题.

具体内容如下：

(1)已知一条边平行于另一三角形的一边，找相等的两个角；

(2)已知一角对应相等，找另一角对应相等，或夹这个角的两边对应成比例；

(3)已知两边对应成比例，找夹角相等，或与第三边对应成比例；

(4)已知等腰三角形，找顶角相等，或底角相等，或底、腰对应成比例；

(5)已知直角三角形，找一组锐角相等，或两组直角边对应成比例，或斜边、一组直角边对应成比例(利用勾股定理可以转化成三边成比例)．

【做一做】

如图，D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，请你添加一个条件，使△ADE∽△ABC.

预设：①再加一个相等角的条件：∠ADE=∠ABC或∠AED=∠ACB

②再加一个边成比例的条件：

教师活动：帮助学生分析已知条件∠DAE=∠CAB.提醒应利用已知一角相等的条件的判定定理.

作图，并想办法验证一组对应角相等，小组讨论后展示并回答问题.

结合前面的画一画，改变k值再画出三角形，再次判断思考问题.

认真观察演示动画，判断一般情况下，三边成比例的两个三角形是否相似.

理解记忆判定定理3.

归纳总结三角形相似的判定方法.

使用直尺、量角器的数学工具测量计算，并和同伴讨论解答，并向同学展示说明.

跟随老师一起总结记忆方法.

结合上面的相关判断方法，思考选择增加合适的条件.

类比三角形全等(边边边)的判定定理，探索三角形相似的另一个判定方法.

引导学生通过画图、动手操作，借助几何直观对结论进行初步猜测，然后转入下一环节进行验证.

在学生实际动手验证的基础上，用多媒体课件进行演示，可以使学生对这一结论确认不疑.

帮助学生在理解的基础上记忆判定定理3.

培养学生分类讨论的思想及归纳总结的能力.

考察相似三角形判定方法的灵活使用，强调解决问题的灵活多样性.

三角形相似问题证明的一般思路总结.帮助学生总结规律,灵活运用条件和定理解决问题.

巩固上面总结的规律，选择合理的条件.

环节三 应用新知

【典型例题】

教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.

 如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD=20°，求∠CAE的度数．

分析：由已知条件易得 △ABC∽△ADE，则∠BAC=∠DAE.而∠DAC为两等角内都包含的部分角，由此可得∠BAD=∠CAE，从而结合已知求出∠CAE的度数.

展示完整解题过程：

解：∵        

∴△ABC∽△ADE（三边成比例的两个三角形相似）.

∴∠BAC =∠DAE.

∴∠BAC－∠DAC =∠DAE －∠DAC ，

 即∠BAD =∠CAE.

 ∵∠BAD=20°，    ∴ ∠CAE=20°.

【归纳】

三边成比例的两个三角形相似，应用这一定理判定两个三角形相似的方法：

首先把两个三角形的边分别按照从小到大的顺序排列，找出两个三角形的对应边；

再分别计算小、中、大边的比；

最后看三个比是否相等，若相等，则两个三角形相似，否则不相似．

特别地，若三个比相等且等于1，则两个三角形全等．

可简记为：“一排(排顺序)、二算(算对应边比值)、三判(判断三个比是否是相等)”．

明确例题的解法，尝试独立解答，并交流讨论.

跟随老师讲解，体会并理解定理3的应用.

通过解决例题让学生体会应用相似三角形判定定理3的具体情境，注意要引导学生阅读理解题意.

帮助学生进一步了解判定定理3的使用场景和方法.

环节四 巩固新知

教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.

1.如图，每组中的两个三角形是否相似？为什么？

2.如图，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，下列结论正确的是  (        )
A. △PAB∽△PCA      B. △PAB∽△PDA
C. △ABC∽△DBA     D. △ABC∽△DCA                    

3.一个三角形三边的长分别是3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，则其他两边的和是(　　)

A．19    B．17     C．24     D．21

4.如图，△ABC中，点 D，E，F分别是 AB，BC，CA的中点，求证：△ABC∽△EFD．

5.如图，在 Rt△ABC与 Rt△A′B′C′中，∠C =∠C′= 90°，且                     求证：△A′B′C′∽△ABC.

答案：

1.(1)不相似，因为三边不成比例；

(2)相似，因为三边成比例.

2.C

3.C

4.证明：在△ABC中，点D，E，F分

别是AB，BC，CA的中点，

∴

∴

∴ △ABC∽△EFD.

5.证明：由已知条件得 AB = 2 A′B′，AC = 2A′C′，

∴ BC2 = AB2－AC2 = ( 2 A′B′ )2－( 2 A′C′ )2 = 4 A′B′2－4 A′C′2  = 4 (A′B′2－A′C′2 ) = 4 B′C′2  = ( 2 B′C′ )2.

∴ BC=2 B′C′，

∴ △A′B′C′∽△ABC (三边对应成比例的两个三角形相似)

自主完成练习，然后集体交流评价.

通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.

环节五 课堂小结

思维导图的形式呈现本节课的主要内容：

学生尝试归纳总结本节所学内容及收获.

回顾知识点形成知识体系，养成回顾梳理知识的习惯.

环节六

布置作业

教科书第95页习题4.7第1、3题

学生课后自主完成.

加深认识，深化提高.