北师大版九年级上册5 相似三角形判定定理的证明教案及反思

教学环节

教师活动

学生活动

设计意图

环节一

知识回顾

【复习回顾】

教师活动：引导学生回忆上节课学习的内容，提问学生回答下面问题:

提出问题：相似三角形的判定方法有哪些？

预设：

定义法：三角分别相等、三边成比例.

判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似.

判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.

判定定理3：三边成比例的两个三角形相似.

引出本节课内容的学习：请你试着证明这三个判定定理.

回忆学过的相似三角形的判定方法，并踊跃回答问题.

在上一节的基础上，引出本节课内容，证明三角形相似的判定定理.

环节二 典例探究

【合作探究】

定理1：两角分别相等的两个三角形相似.

教师活动：引导学生将定理1的内容翻译成几何问题，想办法解决，并帮助学生一起分析证明思路.

已知：如图，在△ABC 和△A'B'C'中，∠A =∠A'，∠B=∠B'.    

求证：△ABC ∽△A'B'C'．

证明思路：先在△ABC的边AB(或它的延长线)上截取AD=A′B′，作BC的平行线，交AC于点E，然后根据相似三角形的定义证明△ADE∽△ABC；接着证明△ADE ≌△A′B′C′，即可得证.

展示完整证明过程：

证明：在△ABC 的边AB（或它的延长线）上截取AD =A'B'，过点D作BC的平行线，交AC于点E，则

∠1=∠B，∠2 =∠C，

(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例).

过点D作AC的平行线，交BC于点F，则

(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例).

∴

∵ DE∥BC，DF∥AC，  

∴ 四边形DFCE是平行四边形．

∴ DE = CF.∴

∴                         

而 ∠1 = ∠B，∠DAE = ∠BAC，∠2=∠C，

∴ △ADE ∽ △ABC.

∵ ∠A = ∠A'，∠ADE = ∠B =∠B'，AD = A'B'，

∴ △ADE ≌△A'B'C'．            

∴ △ABC ∽△A'B'C'.

定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.

教师活动：引导学生将定理2的内容翻译成几何问题，小组讨论想办法解决，并帮助学生一起分析证明思路.

已知：如图，在△ABC和△A'B'C'中，∠A =∠A'，求证：△ABC ∽ △A'B'C'.

证明思路：先在△ABC的边AB(或它的延长线)上截取AD=A′B′，作DE∥BC，然后根据相似三角形的定义证明△ADE∽△ABC；接着证明△ADE ≌△A'B'C' .

展示完整证明过程：

证明：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取 AD = A'B'，过点D作BC的平行线，交AC于点E，则

∠B =∠1，∠C =∠2，

∴ △ABC ∽ △ADE(两角分别相等的两个三角形相似).      

∴

∵ ，AD = A'B'，

∴   

∴ 

∴ AE =A'C'.而∠A=∠A'，

∴ △ADE ≌△A'B'C'．            

∴ △ABC ∽△A'B'C'.

定理3:三边成比例的两个三角形相似..

教师活动：引导学生将定理3的内容翻译成几何问题，小组讨论想办法解决，并帮助学生一起分析证明思路.

已知：如图，在 △ABC 和△A'B'C'中，

求证：△ABC ∽ △A'B'C' .

证明思路：先在△ABC的边AB、AC(或它们的延长线)上截取AD=A′B′，AE=A'C'，连接DE.然后根据已经证明的定理“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明△ADE∽△ABC；接着证明△ADE ≌△A'B'C' .

展示完整证明过程：

证明：在△ABC的边AB，AC(或它们的延长线)上分别截取AD = A'B'，AE=A'C'，连接DE.

∵，AD = A'B'，AE = A'C'，

∴

而∠BAC =∠DAE，

∴ △ABC∽△ADE(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似).

∴ 

又，AD = A'B'，

∴

∴ 

∴DE = B'C'.         

∴ △ADE ≌△A'B'C'．            

∴ △ABC ∽△A'B'C'.

尝试将定理内容转化为几何语言.

思考判定定理1的证明方法，小组内讨论并尝试证明.

跟随老师梳理证明思路完成证明.

尝试将定理转化成几何语言.

思考判定定理2的证明方法，小组内讨论并尝试证明.

尝试将定理转化成几何语言.

思考判定定理2的证明方法，小组内讨论并尝试证明.

判定定理1的证明，学会构造三角形，利用平行线分线段成比例定理的推论来解决相似的问题.

定理2的证明与前一个证明过程有一些相似之处，有了前一个定理的证明作基础，证明本定理时可引导学生自主探索证明思路和证明方法.利用证明过的定理进行证明，也体现了转化的思想.

学习了前两个定理的证明之后，容易理解定理3的证明思路.定理3的证明过程中要运用比例变换和等量代换，恒等变形的难度有所增加.

环节三 总结归纳

【方法归纳】

教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，最后总结归纳出三个判定定理的证明方法.

相似三角形判定定理的证明方法：

构造法---全等+“A”型（或“X”型）相似.

    证明相似三角形的判定定理1、2、3的基本思路都是作平行线构造新的三角形，再证构造的三角形与原三角形全等，往往用平行线分线段成比例证明线段的比例关系相等.

【想一想】

相似三角形的判定方法和全等三角形的判定方法有什么不同？

预设：全等三角形的判定方法一般需要三个条件，而相似三角形可以有2个条件；全等三角形判定方法中必须有一边对应相等，而相似三角形的判定方法中没有此条件．

【拓展】

教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.

例:直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似.

已知：如图，在Rt△ABC中，CD是斜边上的高.

求证：△ABC∽ △CBD∽△ACD

证明思路：由已知条件“直角三角形中斜边的高”，可以得到三个三角形中均有一个直角.再由公共角相等，利用判定定理1，可以证明大三角形分别与两个小三角形相似，由相似的传递性，可证三个三角形相似.

    证明：∵∠ACB=90°，CD⊥AB

∵∠CDA=∠ACB=90°

∵∠A=∠A

∵△ACD∽△ABC

同理△CBD∽△ABC

∴△ACD∽△ABC∽△ACD.

【方法归纳】

教师活动：和学生一起归纳如何判定三角形相似、相似三角形判定方法的选择、解决相似三角形相关问题的注意点三方面内容，梳理解题的一般思路，建议提问学生回答后进行梳理补充.

判定三角形相似的思路方法

1.条件中若有一对等角，可找一对等角或找夹这对等角的两边成比例．

2.条件中若有两边成比例，可找夹角相等．

3.条件中若有等腰三角形，可找顶角相等或找一对底角相等或找两个三角形底和腰的比对应相等．

4.条件中若有平行线，如图所示，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC.

5.已知直角三角形，找一组锐角相等，或两组直角边对应成比例，或斜边、一组直角边对应成比例.

先自我总结三个判定定理的证明方法，再小组内讨论回答提出的问题.

回忆全等三角形证明的方法，积极回答问题.

明确例题的解法，尝试独立解答，并交流讨论.

学生在老师的指导下归纳判定三角形相似的思路方法.

总结归纳3个定理的证明思路，为后续解决相似问题提供思路.

类比三角形全等的证明，区分记忆相似三角形的判定方法.

通过解决实际问题让学生体会证明相似三角形的方法，注意引导学生要先阅读、理解题意.

通过归纳总结判定三角形相似的思路方法，让学生更深入理解三角形相似的相关问题.

环节四 巩固练习

教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.

1.如下图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是(        )

2.如图，在△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为(      )

A．4     B．    C．6    D．

3.如图1，点E，F分别在矩形ABCD的边DC，BC上，∠AEF=90°，∠AFB=2∠DAE=72°，则图中甲、乙、丙三个三角形中相似的是(    )                                                                                               

  A. 只有甲与乙      B. 只有乙与丙

C. 只有甲与丙      D. 甲与乙与丙

4.已知：如图，求证：AB=AE.

答案：

1.①③

2. B

3. D

4.证明：∵

∴△ADE∽△CAB

∴∠AED=∠B

∴AB=AE.

自主完成练习，然后集体交流评价.

通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.

环节五 课堂小结

思维导图的形式呈现本节课的主要内容：

学生尝试归纳总结本节所学内容及收获.

回顾知识点形成知识体系，养成回顾梳理知识的习惯.

环节六

布置作业

教科书第102页练习 4.9  第 3、4  题.

学生课后自主完成.

加深认识，深化提高.