初中数学北师大版九年级上册7 相似三角形的性质第2课时教案

教学环节

教师活动

学生活动

设计意图

环节一

创设情境

【复习回顾】

教师活动：引导学生回忆前面课程学习的内容，提问学生回答下面问题.

问题：结合上节课的学习，总结一下相似三角形有哪些性质？

预设：相似三角形的对应角相等.

相似三角形的对应边成比例.

相似三角形的对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比.

【情景引入】

如图，是一块三角形木板，工人师傅要把它切割成：一块为三角形，另一块为梯形，且要使切割出的三角形与梯形的面积之比为4∶5，那么该怎么切割呢？

   教师活动：引导学生思考，并明确如果知道相似三角形的面积之间的关系就容易解决这个问题了.

结合上节课学习，回忆总结相似三角形的性质

思考并解决实际问题

帮助学生回忆巩固上节课内容，本节课继续探索三角形相似的性质.

设置生活情境中的例子，让学生体会三角形相似的性质可以解决实际问题.

环节二 探究新知

【合作探究】

     问题1:如果△ABC∽△A'B'C' ，相似比为2，那么△ABC与△A'B'C'周长比是多少？面积比呢？

教师活动：带领学生一起分析题目，梳理解题思路，然后让学生独立完成.最后总结三角形的性质.

预设：周长比是2，面积比为4.

证明：由已知，得

∴

分别作△ABC 与△A'B'C'的高AD和A'D'

∵△ABC∽△A'B'C'

∴

∴

问题2：如果△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，那么你能求△ABC与△A'B'C'周长比和面积比吗？

预设：对应周长比为k，对应面积比为k2.

证明：由已知，得

∴

分别作△ABC与△A'B'C'的高AD和A'D'

∵△ABC∽△A'B'C'

∴

∴

【归纳】

相似三角形的性质定理： 

相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.

若△ABC∽△A'B'C'，且相似比为k，

则，

【做一做】

工人师傅若想把三角形木板切割出的三角形与梯形的面积之比为4∶5，该怎么切割呢？

    教师活动：帮助学生分析三角形与梯形的面积之比为4∶5，可以转化为切割出的三角形与原三角形面积比为4∶9；若两三角形相似，则相似比为2∶3.分析后让学生独立做出解答.

预设：

将三角形木板标记为△ABC，先在AB边上取点D，使得AD∶AB=2∶3，过D点作DE平行于BC，与AC边相交于点E，DE就是所求的切割线.

理由是：△ADE∽△ABC，AD：AB=2∶3，则，即△ADE与梯形BDEC的面积比为4∶5.

【归纳】

教师和学生一起总结相似三角形的性质:

【议一议】

教师活动：带领学生仿照前面的相似三角形的性质推导来分析题目，梳理解题思路，然后让学生独立完成解答.最后总结相应的性质.

问题一：

如图，四边形A1B1C1D1∽四边形A2B2C2D2，相似比为k.

(1)四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2的周长比是多少？

预设：

解：由已知，得

∴

总结要点：两个相似四边形的周长比等于相似比.

(2)连接相应的对角线A1C1，A2C2，所得的A1B1C1与△A2B2C2相似吗？△A1C1D1与△A2C2D2呢？如果相似，它们的相似比各是多少？为什么？

预设：相似，且相似比都是k.

证明：由已知，得，∠B1=∠B2.

∴△A1B1C1∽△A2B2C2，同理可证△A1C1D1∽△A2C2D2，它们的相似比都是k.

(3)      设△A1B1C1，△A1C1D1，△A2B2C2，△A2C2D2的面积分别为                                                    ，那么各是多少？四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2的面积比呢？

预设：

解：由(2)得 △A1B1C1∽△ A2B2C2，且相似比为k.

∴

同理 .

则

总结： 两个相似四边形的面积比等于相似比的平方.

问题二：由前面两个相似四边形的周长比及面积比的求解，猜想一下两个相似五边形的周长比及面积比是怎样的？两个相似的n边形呢？                            

分析：从五边形一个顶点能引2条对角线,将五边形分割成3个三角形；从n边形一个顶点能引n-3条对角线，将n边形分割成n-2个三角形.

预设：两个相似五边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.

两个相似n边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.

和老师一起分析解题思路.

思考并独立写出问题答案.

结合前面相似比为2的问题的解答过程和老师的分析，独立解答问题.

理解记忆三角形的性质定理.

应用三角形相似的性质定理思考并解答问题.

归纳总结相似三角形的性质.

思考并回答问题

思考并回答问题，可以小组讨论后进行解答证明.

思考并回答问题，可以小组讨论后进行解答.

思考并归纳总结相似n边形的周长和面积比.

从相似比为2的两个相似三角形入手，再到相似比为k的两个相似三角形，问题从特殊推广到一般.

求周长比时，引导学生应用比例的等比性质；求面积时引导学生作出三角形的高.培养学生综合分析思考问题的能力.

教学时可在鼓励学生独立思考的基础上，对有困难的学生进行适当的引导，并重视学生间的相互交流与启发.

通过合作探究归纳相似三角形的性质定理

    应用性质定理解决前面遗留的实际问题.

培养学生总结归纳的能力.

以四边形为例进行研究相似多边形的性质；由于周长的推导相对比较简单，而面积比的推导过程则要复杂一些，因此采用问题串的形式引导、启发学生思考.

把问题由相似三角形进一步推广到相似四边形、相似五边形、……、相似n变形，这个推广的过程，也是由特殊到一般的过程.

环节三 应用新知

【典型例题】

教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.

 如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分(图中阴影部分)的面积是△ABC的面积的一半.已知BC=2，求△ABC平移的距离.                                                       

教师分析：△ABC平移的距离是BE，求出EC的长度即可求出BE，易证得△EGC∽△ABC，而由△EGC的面积是△ABC的面积的一半可求得△EGC与△ABC的相似比，再通过BC长可求出EC的长，从而算出平移距离BE.

展示完整解题过程：

解：根据题意，可知EG∥AB.                          

∴∠GEC=∠B.又有∠C=∠C，

∴△GEC∽△ABC(两角分别相等的两个

三角形相似).

∴ (相似三角形的面积比等于相似比的平方)，

即 

∴EC2=2.  

∴

∴

即  △ABC平移的距离为         

明确例题的解法，尝试独立解答，并交流讨论.

通过解决例题让学生体会应用相似三角形的性质的具体情境，注意引导学生阅读、理解题意.

环节四 巩固新知

教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.

    1.判断正误：

(1)如果把一个三角形三边的长同时扩大为原来的10倍，那么它的周长也扩大为原来的10倍；  (   )

(2)如果把一个三角形的面积扩大为原来的9倍，那么它三边的长都扩大为原来的9倍.      (    )                                              

2.已知△ABC∽△A'B'C'，他们的周长分别为72cm和60cm，且AB=18cm，B'C'=20cm，则BC=            、AC=               ．

3.如图在等边三角形ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，且DE∥BC，如果BC=8cm，AD:AB=1:4，那么△ADE的周长等于______cm，面积等于      cm2.

答案：

1. (1)√   (2) ×

解析：(1)正确，相似三角形周长的比等于相似比；                                              

(2)错误，相似三角形面积的比等于相似比的平方，所以边长应该是扩大为原来的3倍.           

2.  24 cm、30 cm
3.  6、

自主完成练习，然后集体交流评价.

通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.

环节五 课堂小结

思维导图的形式呈现本节课的主要内容：

学生尝试归纳总结本节所学内容及收获.

回顾知识点形成知识体系，养成回顾梳理知识的习惯.

环节六

布置作业

教科书第111页习题4.12第2、3题.

学生课后自主完成.

加深认识，深化提高.