初中数学3 反比例函数的应用教案及反思

教学

环节

教师活动

学生活动

设计意图

环节一

创设情景

【复习回顾】

 教师活动：先提出问题，学生思考后回答问.

问题：还记得反比例函数的图象吗？

预设：

反比例函数 的图象是双曲线.

提问1：反比例函数的图象的位置与k有怎样的关系？

预设：

  当k>0时,两支曲线分别位于第一、三象限内；

当k<0时,两支曲线分别位于第二、四象限内.

提问2：反比例函数图象的性质是怎样的呢？

预设：反比例函数 的图象，当k>0时，在每一个象限内，y的值随x值的增大而减少；当k＜0时，在每一个象限内，y的值随x值的增大而增大.

学生思考后回答.

通过复习已学的反比例函数的图象及性质，为本节课学习反比例函数的应用做好准备.

环节二

探究新知

【合作探究】

教师活动：将实际问题转化为数学问题，建立反比例函数模型，再根据反比例函数的相关知识解决问题.

问题1：某科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地，你能解释他们这样做的道理吗？当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积 S(m2)的变化，人和木板对地面的压强 p(Pa)将如何变化？

如果人和木板对湿地地面的压力合计600N，那么

(1)用含S的代数式表示p，p是S的反比例函数吗?

为什么？

(2)当木板面积为0.2m2时，压强是多少？

(3)如果要求压强不超过6000Pa，木板面积至少要多大？

(4)在平面直角坐标系中，作出相应的函数图象.

(5)请利用图象对(2)和(3)作出直观解释，并与同伴交流.

预设：（1），满足且k≠0的条件，所以p是S的反比例函数.

（2）当S=0.2时，

（3）当p≤6000时，

所以木板面积至少要0.1m2.

（4）函数图象：

  （5）问题(2)是已知图象上的某点的横坐标为0.2，求该点的纵坐标；问题(3)是已知图象上点的纵坐标不大于6000，求这些点所处位置及它们横坐标的取值范围.实际上这些点都在直线p=6000下方的图象上.

【做一做】

1.蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I(A)与电阻R(Ω)之间的函数关系如图所示.

(1)蓄电池的电压是多少？你能写出这一函数的表达式吗？

(2)如果以此蓄电池为电源的用电器电流不得超过10A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内？

预设：（1）因为IR=U (U为定值)，把图象上的点A的坐标(9，4)代入，得U=36.则这一函数的表达式为:；

  （2）当I≤10A时，解得R≥3.6 (Ω).所以可变电阻应不小于3.6Ω.

2.如图，正比例函数y＝k1x的图象与反比例函数 的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为( ，).

(1)分别写出这两个函数的表达式；

(2)你能求出点B的坐标吗？你是怎样求的？

预设：（1）把A点坐标( ， )分别

代入y＝k1x和 ,解得k1=2，k2=6.

所以所求的函数表达式为：y=2x 和.

(2)      B点的坐标是两个函数组成的方程组的另一个解.

解得：.

.

合作探究，交流讨论.

学生独立思考，然后进行讨论、交流.

通过教师引导,给学生提供解决此类问题的思路,让学生在问题解决的过程中体会反比例函数与实际问题的关系.解决实际问题首先建立函数模型,从两个变量的相依关系和变化规律,借助函数的图像,利用函数意义或性质解决问题,体会数学建模思想和数形结合思想的应用,培养学生的应用意识.

通过物理学科中已学过的密度公式,建立公式与反比例函数之间的联系,用反比例函数知识解决跨学科问题,感受数学在现实生活中的应用,激发学生学习数学的兴趣,提高学生应用数学、解决问题的能力.

环节三

应用新知

【典型例题】

教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.

例 码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物，把轮船装载完毕恰好用了8天时间.

(1)轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度v(单位：吨/天)与卸货天数t(单位：天)之间有怎样的函数关系？

(2)由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨？

分析：根据题意确定等量关系，再确定函数关系，最后解决实际问题.

解：(1)∵，

∴.

∴函数关系式为.

（2）∵要求船上的货物不超过5天卸载完毕

∴

∴

∴平均每天至少要卸载48吨.

归纳：应用反比例函数解决实际问题的一般步骤：

(1)审题:弄清题意,分析问题中的等量关系;

(2)建模:根据等量关系,将实际问题转化为数学问题,利用反比例函数知识建立数学模型;

(3)解模:根据反比例函数的图像和性质解决问题.

明确例题的做法.

交流讨论，并说一说.

通过解决例题进一步熟悉将实际问题转化为数学问题，建立反比例函数模型求解，培养学生的应用意识.

明确应用反比例函数解决实际问题的一般步骤.

环节四

巩固新知

【随堂练习】

教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.

1. 某蓄水池的排水管每时排水8m3/h，6h可将满池水全部排空.

(1)蓄水池的容积是多少？

(2)如果增加排水管，使每时的排水量达到Q(m3)，

那么将满池水排空所需的时间t(h)将如何变化?

(3)写出t与Q之间的函数关系式；

(4)如果准备在5h内将满池水排空，那么每时的排水量至少为多少？

(5)已知排水管的最大排水量为每时12m3/h，那么最少多长时间可将满池水全部排空？

2.一个用电器的电阻是可调节的，其范围为 110～220 Ω.已知电压为 220 V.

(1)功率 P 与电阻 R 有怎样的函数关系？

(2)这个用电器功率的范围是多少？

 答案：

1. 解：（1）蓄水池容积为：8×6=48(m3)

（2）由(1)可知Q·t=48 ，Q与t成反比例关系，

所以Q增大时，t将减少.

（3）由(2)可知:

  （4）∵，∴当t≤5时，解得Q≥9.6.

即每小时的排水量至少为9.6m3.

   （5）当Q=12时，由可得t=4，

    即最少用4h可将蓄水池全部排空.

2. 解：（1）∵

∴∴函数关系式为：.

（2）∵

∴

∴

∴这个用电器功率的范围是 220～440 W.

自主完成练习，然后集体交流评价.

通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.

环节五

课堂小结

以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容.

回顾本节课所讲的内容

通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.

环节六

布置作业

教科书第159页

习题6.4  第1、2题.

课后完成练习

通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.