人教A版（2019）数学必修第二册期末素质检测模拟题（学校自测）8

人教A版（2019）数学必修第二册期末素质检测模拟题（学校自测）8

一 、单选题（本大题共8小题，共40分）

1.（5分）某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有名志愿者服用此药，体重变化结果统计如下：

如果另有一人服用此药，估计这个人体重减轻的概率约为   

A.  B.  C.  D.

2.（5分）下列说法正确的是（  ）

A. 长度相等的向量叫相等向量 B. 零向量的长度为零
C. 共线向量是在一条直线上的向量 D. 平行向量就是向量所在的直线平行的向量

3.（5分）已知集合，从集合中选取不相同的两个数，构成平面直角坐标系上的点，观察点的位置，则事件点落在轴上与事件点落在轴上的概率关系为

A.  B.
C.  D. 、大小不确定

4.（5分）在直角梯形中，，，，分别为，的中点，为上的点，，且，，，现将四边形沿直线翻折，则在翻折过程中

A. 直线与直线所成的角不可能为
B. 直线与直线所成的角不可能为
C. 直线与平面所成的角不可能为
D. 直线与平面所成的角不可能为

5.（5分）复数

A.  B.  C.  D.

6.（5分）某中学为了解高一、高二、高三这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是

A. 随机数法 B. 分层抽样法 C. 抽签法 D. 系统抽样法

7.（5分）已知向量，，若，则

A.  B.  C.  D.

8.（5分）在三棱锥中，，，，分别是，的中点，若，则异面直线，所成角的余弦值为

A.  B.  C.  D.

二 、多选题（本大题共5小题，共25分）

9.（5分）我国居民收入与经济同步增长，人民生活水平显著提高．“三农”工作重心从脱贫攻坚转向全面推进乡村振兴，稳步实施乡村建设行动，为实现农村富强目标而努力．年年某市城镇居民、农村居民年人均可支配收入比上年增长率如图所示．根据下面图表，下列说法一定正确的是
 

A. 该市农村居民年人均可支配收入高于城镇居民
B. 对于该市居民年人均可支配收入比上年增长率的极差，城镇比农村的大
C. 对于该市居民年人均可支配收入比上年增长率的中位数，农村比城镇的大
D. 年该市城镇居民、农村居民年人均可支配收入比年有所上升

10.（5分）已知向量，，则下列命题正确的是

A. 与可能平行 B. 存在，使得
C. 当时， D. 当时，与垂直

11.（5分）在空间四边形中，，，，分别是，，，上的点，当平面时，下面结论正确的是

A. ，，，一定是各边的中点 B. ，一定是，的中点
C. ：：，且：： D. 四边形是平行四边形或梯形

12.（5分）如图，在棱长均相等的四棱锥中，为底面正方形的中心，，分别为侧棱，的中点，有下列结论正确的有 
 

A. 平面 B. 平面平面
C. 直线与直线所成角的大小为 D.

13.（5分）已知复数，则下列结论正确的有

A.  B.
C.  D.

三 、填空题（本大题共5小题，共25分）

14.（5分）若圆锥底面半径为，高为，则圆锥的侧面积为________.

15.（5分）已知三棱锥中，侧棱底面，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为______．

16.（5分）如图，在平行四边形中，，垂足为，，点是内包括边界的动点，则的最小值是      ，最大值是      . 
 

17.（5分）已知正四棱锥的底面边长为，现用一平行于正四棱锥底面的平面去截这个棱锥，截得棱台的上、下底面的面积之比为：，若截去的小棱锥的侧棱长为，则此棱台的表面积为  ______ ．

18.（5分）某圆锥的侧面展开图的面积为，扇形的圆心角的正切值为，若圆锥的体积为，其外接球的体积为，则______ .

四 、解答题（本大题共5小题，共60分）

19.（12分）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，
 

设，分别为，的中点，求证：平面；

求证：；

求直线与平面所成角的余弦值.

20.（12分）在一次由三人参加的围棋对抗赛中，甲胜乙的概率为0.4，乙胜丙的概率为0.5，丙胜甲的概率为0.6，比赛按以下规则进行；第一局：甲对乙；第二局：第一局胜者对丙；第三局：第二局胜者对第一局败者；第四局：第三局胜者对第二局败者，求： 
（1）乙连胜四局的概率； 
（2）丙连胜三局的概率．

21.（12分）如图，平面，平面，四边形是边长为的菱形，，， 
 

证明：平面

求三棱锥的体积．

22.（12分）如图，在四棱台中，底面是正方形，且，点，分别为棱，的中点，二面角的平面角大小为． 
Ⅰ证明：； 
Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值．
 

23.（12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，分别是，的中点，且． 
求证：平面； 
求二面角的余弦值． 
 

答案和解析

1.【答案】D;

【解析】

 
这道题主要考查概率的求法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 ． 
利用表中数据直接计算即可． 
 
解：由已知统计表可知在名志愿者中， 
服药后出现体重减轻的频率为， 
估计这个人体重减轻的概率约为．

故选D．
 

2.【答案】B;

【解析】解：大小相等、方向相同的向量叫相等向量，∴A错误； 
零向量的长度为0，∴B正确； 
方向相同或相反的向量叫共线向量，它们不一定在同一条直线上，∴C错误； 
平行向量就是向量所在的直线平行的向量，也可以共线，∴D错误； 
故选：B．
 

3.【答案】C;

【解析】解：从集合中选取不相同的两个数，共有． 
则事件：点落在轴上共包括个点，． 
事件：点落在轴上共包括个点，． 
． 
故选：． 
利用古典概型的计算公即可得出． 
熟练掌握古典概型的计算公式是解答该题的关键．
 

4.【答案】D;

【解析】此题主要考查异面直线所成角、线面角等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题根据题意逐一判定即可即可得出结论. 
解：取的中点，连接， 
显然，在沿直线翻折的过程中，线段的轨迹是圆锥的侧面，线段为圆锥的母线， 
显然，当时，直线与直线所成的角最小， 
此时夹角为，通过计算可得，， 
所以， 
又，所以 
如图，为圆上一点，过作交于点，连接， 
显然当时，平面，此时， 
所以直线与直线所成的角大于或等于且小于或等于， 
所以，均不对. 
易知就是直线与平面所成的角，且，所以不对，正确. 
故选 

 

5.【答案】D;

【解析】解： 
故选：  
据复数的运算法计算即．  
本题复数代数形式的乘除，属基础题．
 

6.【答案】B;

【解析】解：某中学为了解高一、高二、高三这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，  
拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，  
最合理的抽样方法是分层抽样法．  
故选：． 
利用随机数法、分层抽样法、抽签法、系统抽样法的定义和性质直接求解． 
该题考查抽样方法的判断，考查随机数法、分层抽样法、抽签法、系统抽样法的定义和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

7.【答案】A;

【解析】解：； 
； 
； 
； 
． 
故选：． 
根据即可得出，从而得出，这样即可求出的坐标． 
考查平行向量的坐标关系，以及向量坐标的加法运算．
 

8.【答案】C;

【解析】解：取或中点，连接， 
 
是中点，是中点，，， 
同理，可得，， 
所以就是异面直线、所成的角或其补角， 
在中，，，， 
， 
异面直线，所成角的余弦值为 
故选： 
取中点，连接，就是异面直线、所成的角或其补角，通过解三角形求解即可． 
此题主要考查异面直线所成角的求法，考查计算能力，是中档题．
 

9.【答案】BCD;

【解析】解：由增长率高，推导不出来收入高，故错误； 
由表中数据，可知城镇居民相关数据极差较大，故正确； 
由表中数据，可知农村居民相关数制中位数较大，故正确； 
由表中数据，可知增长率为正，故正确． 
故选： 
根据表中数据逐一判断，能求出结果． 
此题主要考查命题真假的判断，考查折线图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

10.【答案】BCD;

【解析】解：若与平行，则，即不成立，即与不可能平行，故错误， 
若，则得，即，此时存在，故正确， 
若，则， 
设，，则， 
则，即， 
，时，， 
则，故正确， 
当时，则，则，则与垂直成立，故正确， 
故选： 
利用向量的数量积为，求出正切函数值，判断；利用向量的数量积求解向量的投影以及向量的夹角判断；通过向量的模的求法求解判断；利用向量的数量积结合两角和与差的三角函数，求解最大值判断 
此题主要考查命题的真假的判断，向量的数量积的应用，三角函数的恒等变换的应用，考查转化思想以及计算能力．
 

11.【答案】CD;

【解析】解：在空间四边形中，，，，分别是，，，上的点，平面， 
，， 
，，，未必是各边的中点，故，错误； 
：：且：：，故正确； 
，， 
，与不一定相等， 
四边形是平行四边形或梯形，故正确． 
故选： 
由平面，得，，从而：：且：：四边形是平行四边形或梯形． 
此题主要考查线面平行的性质定理，考查逻辑推理能力，属于基础题．

 

12.【答案】ABD;

【解析】 
此题主要考查了线面平行的判定、面面平行的判定及异面直线所成角，属于中档题. 
根据条件逐项判断真假即可. 
解：选项，连接，显然为的中点，又为的中点， 
所以，而平面，平面，所以 平面；正确. 
 
选项， 由，分别为侧棱，的中点，得， 
又底面为正方形，所以，而平面，平面， 
所以平面，由选项得平面， 
又、平面，故平面平面；正确. 
 
选项，因为，所以为直线与直线所成角或其补角， 
又因为所有棱长都相等，所以， 
故直线与直线所成角的大小为；错误. 
 
选项，因底面为正方形，所以， 
又所有棱长都相等，所以， 
故，又，所以，正确. 
故均正确.
 

13.【答案】ACD;

【解析】解：对于，， 
， 
，故正确， 
对于，， 
， 
， 
，故错误， 
对于，， 
对于，， 
故，故正确， 
对于，， 
则，故正确． 
故选： 
根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数的性质，即可求解． 
此题主要考查复数的运算法则，以及复数的性质，属于中档题．
 

14.【答案】;

【解析】此题主要考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，首先根据底面半径和高利用勾股定理求得母线长，然后直接利用圆锥的侧面积公式代入求出即可． 解：圆锥的底面半径为，高为， 母线长为：， 
圆锥的侧面积为：， 
故答案为
 

15.【答案】14π;

【解析】解：画出几何模型，可以构造长方体，棱长为，，， 
则三棱锥的外接球即长方体的外接球， 
因为长方体的体对角线是长方体外接球的直径， 
设外接球的半径为， 
则，解得， 
则外接球的表面积为． 
故答案为：． 
三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，它的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长，就是球的直径，然后求球的表面积． 
该题考查球的表面积，几何体的外接球，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．

 

16.【答案】;

【解析】

此题主要考查了向量的投影的定义及其应用，考查了推理能力，属于中档题．

设与的夹角为，则，为向量在方向上的投影．据此即可得出．  
 

解：设与的夹角为，则， 
 

为向量在方向上的投影． 
因此：当点取点时，取得最小值为 
当点取点时，取得最大值为 
故答案为； 

 

17.【答案】;

【解析】解：如图， 
 
设截面四边形为，则两四边形相似， 
由截面面积与底面积的比值为：，由相似比等于面积比的平方， 
可得， 
，， 
又已知，，取为的中点，连接交， 
则为正四棱台的斜高，可得． 
此棱台的表面积为． 
故答案为：． 
由题意画出图形，结合已知求得棱台上底面边长与侧棱长，求出斜高，即可求得棱台的表面积． 
此题主要考查棱台表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
 

18.【答案】;

【解析】解：由题意，， 
，， 
圆锥的侧面展开图的面积为， 
，得， 
扇形的弧长为， 
设圆锥的底面半径为，则，得， 
圆锥的高为， 
可得圆锥的体积； 
如图，设圆锥外接球的球心为，外接球的半径为， 
由勾股定理可得：，解得 
圆锥外接球的体积 
 
故答案为： 
由已知求得扇形圆心角，再由圆锥侧面展开图的面积求得圆锥的母线长，得到扇形弧长，求出圆锥的底面半径，由勾股定理求圆锥的高，则圆锥体积可求，画出图形，求出圆锥外接球的半径，可得球的体积，作比得答案． 
此题主要考查圆锥的侧面展开图，考查圆锥体积及其外接球体积的求法，考查运算求解能力，是中档题．

 

19.【答案】证明：连接，可得，， 
又由，可得， 
平面，平面，得平面； 
证明：取的中点，连接， 
依题意，得， 
又平面平面，平面平面， 
平面，得， 
又，，、平面， 
平面，平面， 
则； 
解：连接，由知平面，可知为直线与平面所成角． 
为等边三角形，且为的中点，可得 
又， 
则直线与平面所成角的余弦值为;
 

【解析】此题主要考查直线与平面平行的判定、直线与平面垂直的判定与性质、直线与平面所成角，考查空间想象能力和推理论证能力，是中档题． 
连接，可得，，由三角形中位线定理可得，再由直线与平面平行的判定可得平面； 
取的中点，连接，得，由已知结合平面与平面垂直的性质可得平面，得，再由，由直线与平面垂直的判定可得平面，从而得到； 
连接，由知平面，可知为直线与平面所成角，由已知求解三角形得答案．
 

20.【答案】解：（1）当乙连胜四局时，对阵情况如下： 
第一局：甲对乙，乙胜；第二局：乙对丙，乙胜；第三局：乙对甲，乙胜；第四局：乙对丙，乙胜． 
所求概率为P1=（1-0.4）2×0.52=0.32=0.09 
∴乙连胜四局的概率为0.09 
（2）丙连胜三局的对阵情况如下： 
第一局：甲对乙，甲胜，或乙胜． 
当甲胜时，第二局：甲对丙，丙胜．第三局：丙对乙，丙胜；第四局：丙对甲，丙胜． 
当乙胜时，第二局：乙对丙，丙胜；第三局：丙对甲，丙胜；第四局：丙对乙，丙胜． 
故丙三连胜的概率P2=0.4×0.62×0.5+（1-0.4）×0.52×0.6=0.162．;

【解析】（1）当乙连胜四局时，对阵情况是第一局：甲对乙，乙胜；第二局：乙对丙，乙胜；第三局：乙对甲，乙胜；第四局：乙对丙，乙胜，然后利用概率公式进行求解即可； 
（2）丙连胜三局的对阵情况是第一局：甲对乙，甲胜，或乙胜．当甲胜时，第二局：甲对丙，丙胜．第三局：丙对乙，丙胜；第四局：丙对甲，丙胜．当乙胜时，第二局：乙对丙，丙胜；第三局：丙对甲，丙胜；第四局：丙对乙，丙胜．然后利用概率公式进行求解即可．
 

21.【答案】证明：因为平面，平面， 
所以，  
又平面，平面， 
所以平面 
因为四边形是菱形， 
所以，  
又平面，平面， 
所以平面 
又，平面，平面， 
所以平面平面，  
又平面， 
所以平面 
解：由知，平面，  
所以点到平面的距离等于点到平面的距离．  
如图，取的中点，连接， 
 
因为四边形是边长为的菱形，，  
所以是边长为的等边三角形， 
所以，且 
又因为平面，平面， 
所以，  
又，平面，平面，  
所以平面，  
故点到平面的距离为的长．  
所以三棱锥的体积为 
;

【解析】【试题解析】 
此题主要考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 
推导出，，从而平面平面，由此能证明平面 
求出点到平面的距离，由此能求出三棱锥的体积． 

 

22.【答案】解：（Ⅰ）证明：如图所示，延长AA1，BB1，CC1，DD1，EF交于点P， 
由题意得PA=PD=2，取AD中点M，连接PM，EM， 
则AD⊥PM，AD⊥ME，又PM∩ME=M， 
所以AD⊥平面PME，又EF⊂平面PME， 
所以AD⊥EF； 
（Ⅱ）连接AC交ME于O点，连接C1O， 
则C1O∥PA且=1， 
所以直线C1O与平面BCC1B1所成角和直线AA1与平面BCC1B1所成角相等， 
由（Ⅰ）得AD⊥平面PME，又BC∥AD，所以BC⊥平面PME， 
又BC⊂平面BCC1B1，所以平面BCC1B1⊥平面PME， 
又平面BCC1B1∩平面PME=PE， 
过O作OH⊥PE，连接C1H，则OH⊥平面BCC1B1， 
则∠OC1H是直线C1O与平面BCC1B1所成角． 
由（Ⅰ）得∠PME是二面角A1-AD-B的平面角， 
所以，在△PME中，PE===， 
S△POE=S△PME，即OH•=××2×， 
计算得， 
在直角△OC1H中，， 
所以直线AA1与平面BCC1B1所成角的正弦值为．;
 

【解析】 
Ⅰ延长，，，，交于点，取中点，连接，，运用线面垂直的判定和性质，即可得证；  
Ⅱ连接交于点，连接，运用中位线定理和线面角的定义可得直线与平面所成角和直线与平面所成角相等，由面面垂直的性质定理过作，连接，是直线与平面所成角．由Ⅰ得是二面角的平面角，由解三角形的知识可得，再由直角三角形的正弦函数的定义可得所求值． 
该题考查空间线线、线面和面面的位置关系，主要是平行和垂直的判定和性质，考查空间的二面角和线面角的求法，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题．
 

23.【答案】 
证明：取的中点，连结，， 
是的中点，，且， 
而，且是正方形， 
，且， 
四边形是平行四边形，， 
因为平面，平面， 
所以，平面． 
解：取的中点，连结，则， 
由已知，底面，侧面， 
侧面底面， 
因为侧面底面，底面，， 
侧面， 
过作，连结， 
又侧面，则， 
，、平面， 
平面，又平面， 
， 
所以是二面角的平面角， 
在中，， 
由，得，， 
而，， 
所以二面角的平面角的余弦值为：．;

【解析】该题考查二面角的平面角的求法，直线与平面平行的证明，考查空间想象能力以及计算能力．属于中档题． 
取的中点，连结，，证明四边形是平行四边形，得到，然后证明平面． 
取的中点，连结，则，过作，连结，说明是二面角的平面角，在中，转化求解即可．